Clase N12

Vista previa del material en texto

SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD III SEMANA 12 SESIÓN 1
TEMA: PILARES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
COMPETENCIA
Evalúa la derivada de una función, haciendo uso de estrategias, 
procedimientos y recursos para resolver situaciones problemáticas de 
contexto real, las sustenta con demostraciones o argumentos sólidos.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los principales teoremas del cálculo
diferencial y calcula los valores máximos y mínimos de una función.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Una de las actividades de nuestra vida diaria es la
optimización por que siempre estamos interesados
que nuestro ahorros en el banco nos rinda lo
máximo o efectuar nuestras compras con el mínimo
gasto. Con la ayuda del calculo diferencial
resolveremos estos problemas que es una de las
aplicaciones más importantes y útiles de la derivada
en el estudio de los valores máximos y mínimos de
una función.
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
Y
X
Y=f(x)
a bc
Y
X
Y=f(x)
a bc
Y
X
Y=f(x)
a bc
f(c)
Y
X
Y=f(x)
a bc
f(c)
No tiene máximo 
absoluto.
EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
Las ordenadas de los puntos C y E son máximos relativos.
La ordenada del punto L es el mínimo absoluto.
La ordenada del punto A es el máximo absoluto
Las ordenadas de los puntos B y D son los mínimos relativos.
Sea f una función continua en [a , l ]
   4 2' 4 3 24 4 24 0    f x x x x
   2' ( 1)( 6) 0    f x x x
EJEMPLO: Hallar los valores críticos de la función: 
Solución:
La derivada de f:
f no se anula en ningún punto de <-1,1>.
La f’ no existe en x = 0
El único punto crítico es x = 0
¿f tendrá extremos absolutos?
Teorema (De los valores intermedios)
TEOREMA DE ROLLE
NOTA: El Teorema de Rolle sigue siendo valida si (c) 
se remplaza con f(a) = f(b).
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE LA FUNCION CONSTANTE
Demostración:
TEOREMA DE LA DIFERENCIA CONSTANTE
TEOREMA DE TAYLOR Y MACLAURIN
Se demostrara que las funciones derivables hasta el orden n pueden ser 
aproximados por polinomios de grado n.
Calculando, se tiene:
Este polinomio es llamado: POLINOMIO DE APROXIMACIÓN de f(x). En 
torno de x=a.
Este resto se denomina resto de Lagrange.
POLINOMIO DE TAYLOR
Si a=0, se obtiene la FORMULA DE MACLAURIN para la función f(x), 
esto es:
Solución:
Derivamos hasta el grado 4, en x=3:
Calculo de los coeficientes:
Termino constante: f(3)=2
El polinomio de Taylor:
BIBLIOGRAFIA.:
1. TOPICOS DE CALCULO (VOL. I): Máximo Mitac- Luis Toro.
2. CALCULO: Jon Rogawski
3. ANALISIS MATEMATICO I: Eduardo Espinoza