Clase N14

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD IV SEMANA 14 SESIÓN 1
TEMA: ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
COMPETENCIA
Resuelve problemas de contexto real con la utilización de estrategias y
procedimientos matemáticos para las aplicaciones de la derivada de una
función.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, el estudiante grafica una función determinando los
intervalos de crecimiento, puntos extremos, intervalos de concavidad y los
puntos de inflexión de una función, haciendo uso de primera y segunda
derivada.
Contenido
01
02
03
Concavidad
Teorema: Criterio de concavidad.
Puntos de Inflexión
Criterio para hallar puntos de inflexión.
Trazado de la gráfica de funciones
Pasos para graficar una función.
Las gráficas de muchas funciones se flexionan. La flexión de una
curva se conoce como concavidad la cual puede ser hacia arriba
o hacia abajo, dependiendo en que sentido del eje Y se dirige.
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Sea 𝑓 derivable en un intervalo abierto 𝐼. La 
gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba sobre 𝐼
si 𝑓’ es creciente en el intervalo.
Interpretación gráfica
Sea 𝑓 derivable en un intervalo abierto 𝐼. La 
gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼 si 𝑓’
es decreciente en el intervalo.
Interpretación gráfica
CONCAVIDAD
La gráfica de 𝑓 se encuentra 
sobre sus rectas tangentes
La gráfica de 𝑓 se encuentra 
debajo de sus rectas tangentes
Cóncava hacia arriba
𝑓’ creciente
Cóncava hacia arriba
𝑓’ creciente
TEOREMA: Criterio de concavidad
Sea 𝑓 una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto 𝐼.
1. Si 𝑓′′(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 ⟹ la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼.
2. Si 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 ⟹ la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼.
Pasos para aplicar este teorema:
Paso 1: Localizar los valores de 𝑥 en los que 𝑓′′ 𝑥 = 0 o 𝑓′′ no está 
definida.
Paso 2: Utilizar los valores de 𝑥 para hallar los intervalos de prueba.
Paso 3: Verificar el signo 𝑓′′(𝑥) en cada uno de los intervalos de prueba.
Ejemplo: Hallar los intervalos abiertos para los 
cuales la gráfica de: 
𝑓 𝑥 =
6
𝑥2 + 3
es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Solución: 
Paso 1: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ, entonces la función es 
continua en toda la recta real.
Paso 2: hallando 𝑓′ ∧ 𝑓′′.
𝑓′ 𝑥 =
−12𝑥
𝑥2 + 3 2
𝑓′′ 𝑥 =
−12 𝑥2 + 3 2 − −12𝑥 2 𝑥2 + 3 2𝑥
𝑥2 + 3 4
𝑓′′ 𝑥 =
36 𝑥2 − 1
𝑥2 + 3 3
Paso 3: hallando los valores de 𝑥 en 𝑓′′ 𝑥 = 0.
𝑓′′(𝑥) =
36 𝑥2 − 1
𝑥2 + 3 3
= 0
Donde, 𝑥 = ±1
Paso 5: gráfica
Intervalo −∞ < 𝒙 < −𝟏 −𝟏 < 𝒙 < 𝟏 𝟏 < 𝒙 < ∞
Valor de 
prueba
𝑥 = −2 𝑥 = −2 𝑥 = −2
Signo de 𝑓′′(𝑥) 𝑓′′ −2 > 0 𝑓′′(0) < 0 𝑓′′ 2 > 0
Conclusión
Cóncava 
hacia arriba
Cóncava 
hacia abajo
Cóncava 
hacia arriba
Paso 4: Resultados
Definición de punto de inflexión: Sea 𝑓 una función continua en un intervalo abierto 𝐼, y sea 𝑐 ∈ 𝐼. Un 
punto 𝑐, 𝑓(𝑐) sobre la curva es un punto de inflexión de 𝑓 si la curva cambia de cóncava hacia arriba 
a cóncava hacia abajo (o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba) en ese punto.
En las siguientes gráficas se muestra los puntos de inflexión.
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Criterio para determinar los puntos de inflexión: Sea 𝑓 continua en un intervalo abierto 𝐼
Paso 1: Hallar los valores de 𝑐 ∈ 𝐼 tal que 𝑓′′(𝑐) = 0 o ∄𝑓′′(𝑐).
Paso 2: Si 𝑓′′(𝑥) cambia de signo en 𝑐, entonces existe un punto de inflexión en 𝑐. Si no hay 
cambio de signo de 𝑓′′(𝑥), no existe punto de inflexión en 𝑐.
Observación: Si una curva tiene una recta tangente en un punto de inflexión, entonces la curva corta a 
la recta tangente en ese punto.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión y analizar 
la concavidad de la gráfica de:
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3
Solución: 
Paso 1: hallando 𝑓′ ∧ 𝑓′′.
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 12𝑥2
𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 − 24𝑥 = 12𝑥 𝑥 − 2
Paso 2: hallando puntos de inflexión en 𝑓′′ 𝑥 = 0
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 𝑥 − 2 = 0
Donde, 𝑥 = 0 ∧ 𝑥 = 2.
Paso 3: resultados
Paso 5: gráfica
Intervalo −∞ < 𝒙 < 𝟎 𝟎 < 𝒙 < 𝟐 𝟐 < 𝒙 < ∞
Valor de 
prueba
𝑥 = −1 𝑥 = 1 𝑥 = 3
Signo de 
𝑓′′(𝑥)
𝑓′′ −1 > 0 𝑓′′(1) < 0 𝑓′′ 3 > 0
Conclusión
Cóncava 
hacia arriba
Cóncava 
hacia abajo
Cóncava 
hacia arriba
X
Y
5
0-4
-1
3
TRAZADO DE LA GRÁFICA DE FUNCIONES
La construcción de la gráfica de una función es muy 
importante, pues con ella podemos determinar el 
comportamiento de la función.
Con la ayuda de los límites y las derivadas se puede 
construir la gráfica de una función.
Pasos para graficar una función
1) Calcular dominio de 𝑓.
2) Calcular las intersecciones con los ejes X e Y.
3) Verificar la simetría de la función.
4) Verificar la existencia de asíntotas.
5) Calcular los intervalos donde la función es creciente o decreciente y los 
valores extremos de la función.
6) Calcular concavidad y puntos de inflexión.
7) Construir la gráfica de la función (con la ayuda de la información obtenida).
Solución:
Paso 1: El dominio es
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = Τ𝑥 𝑥2 − 1 ≠ 0 = Τ𝑥 𝑥 ≠ ±1
Paso 2: Las intersecciones en 𝑥 y 𝑦 son 
𝑥 = 0 → 𝑦 = 0
𝑦 = 0 → 𝑥 = 0
Paso 3: Como 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), la función 𝑓 es par. La 
curva es simétrica respecto al eje 𝑦.
Paso 4: Calculando asíntotas
Asíntota Horizontal (AH)
lim
𝑥→±∞
2𝑥2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→±∞
2
1 −
1
𝑥2
= 2
Por tanto, AH: 𝑦 = 2.
Asíntota Vertical (AV): El denominador es 0
cuando 𝑥 = ±1, obtenemos los siguientes limites:
lim
𝑥→1+
2𝑥2
𝑥2 − 1
= ∞ lim
𝑥→1−
2𝑥2
𝑥2 − 1
= −∞
lim
𝑥→−1+
2𝑥2
𝑥2 − 1
= −∞ lim
𝑥→−1−
2𝑥2
𝑥2 − 1
= ∞
Por tanto, AV: 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1.
Paso 5: Calculado Punto Crítico (PC)
𝑓′ 𝑥 =
4𝑥 𝑥2 − 1 − 2𝑥2 ∙ 2𝑥
𝑥2 − 1 2
=
−4𝑥
𝑥2 − 1 2
PC: 𝑥 = 0
Ejemplo 1: Trace la gráfica de la función
𝑓(𝑥) =
2𝑥2
𝑥2 − 1
Intervalo 𝒇′(𝑥) 𝑓
−∞,−1 + Creciente
−1, 0 + Creciente
0, 1 - Decreciente
1, +∞ - Decreciente
Entonces:
Máximo local: 𝑓(0) = 0.
Continua ejemplo 1
Paso 6: Calculando punto de inflexión (PI)
𝑓′′ 𝑥 =
−4 𝑥2 − 1 2 + 4𝑥 ∙ 2 𝑥2 − 1 2𝑥
𝑥2 − 1 4
=
12𝑥2 + 4
𝑥2 − 1 3
PI: No hay punto de inflexión.
Como 12𝑥2 + 4 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tenemos
𝑓′′ 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥2 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 > 1
Intervalo 𝒇′′(𝑥) 𝑓
−∞,−1 + Cóncava hacia arriba
−1, 1 - Cóncava hacia abajo
1, +∞ + Cóncava hacia arriba
Paso 7: Utilizando la información de 1-6, se tiene 
la gráfica de la función 𝑓.
Ejemplo 2: trazar la grafica de la función
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 3
𝑥 − 2
Solución
Paso 1: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 2
Paso 2: Hallando las intersecciones con los 
ejes:
Eje 𝑋 ( hacemos 𝑓(𝑥) = 0):
− 3 , 0 ; 3 , 0
Eje 𝑌 ( hacemos 𝑥 = 0):
0,
3
2
Paso 3: Como 𝑓 −𝑥 ≠ 𝑓 (𝑥) , la grafica de la 
función no es simétrico respecto al eje 𝑌.
Paso 4: analizando las asíntotas
As vertical: 𝑥 = 2. 
As horizontal: No tiene, pues.
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞
As oblicua: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 1 ∧ 𝑏 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 𝑥 −𝑚𝑥 = 2
Luego, la AO es: 𝑦 = 𝑥 + 2.
Paso 5: hallando los intervalos de crecimiento y los 
valores extremos de 𝑓.
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥 𝑥 − 2 − 𝑥2 − 3 1
𝑥 − 2 2
=
𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥 − 2 2
Puntos críticos: 𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 1, 𝑥 = 3.
Intervalo −∞ < 𝒙 < 𝟏 𝟏 < 𝒙 < 𝟐 𝟐 < 𝒙 < 𝟑 𝟑 < 𝒙 < ∞
Valor de 
prueba
𝑥 = −1 𝑥 =
3
2
𝑥 =
5
2
𝑥 = 4
Signo de 
𝑓′(𝑥)
𝑓′ −1 > 0 𝑓′
3
2
< 0 𝑓′
5
2
< 0 𝑓′ 4 > 0
Conclusión Creciente Decreciente Decreciente Creciente
Entonces,
Máximo local es: 𝑓 1 = 2
Mínimo local es: 𝑓 3 = 6
Continua ejemplo 2
Paso 6: Calculando concavidad y puntos de inflexión.
Puntos de inflexión: 𝑓′′(𝑥) = 0
𝑓′′ 𝑥 =
2𝑥 − 4 𝑥 − 2 2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 3 2(𝑥 − 2)
𝑥 − 2 4
𝑓′′ 𝑥 =
2
𝑥 − 2 3
Como, 𝑥 = 2 ∉ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , entonces no es punto de 
inflexión pero se considera para encontrar los 
intervalos de concavidad.
Paso 7: Utilizando la información de 1-6, se tiene 
la gráfica de la función 𝑓.
Intervalo −∞ < 𝒙 < 𝟐 𝟐 <𝒙 < ∞
Valor de 
prueba
𝑥 = 1 𝑥 = 3
Signo de 
𝑓′′(𝑥)
𝑓′′(1) < 0 𝑓′′ 3 > 0
Conclusión
Cóncava 
hacia abajo
Cóncava 
hacia arriba
Gracias!
Equipo de los Docentes de Cálculo 1