S03 s1 - Regla de la cadena

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FUNCIONES DE VARIAS 
VARIABLES: REGLA DE LA CADENA
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aplica e interpreta la regla de la 
cadena para funciones de dos varias variables y lo generaliza para funciones de 
varias variables desde los puntos de vista físico o geométrico.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES 
DE VARIAS 
VARIABLES.
REGLA DE LA 
CADENA.
Derivadas de orden superior.
REPASO: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función de dos variables, entonces 
definimos, las derivadas de segundo orden como siendo:
Ejemplo. Sea 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒌𝒚 , demostrar que 𝒇 satisface la 
siguiente ecuación.
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝟐
= 𝒂𝟐
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝟐
Solución.
REPASO: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
• Debemos calcular las derivadas de segundo orden.
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑎𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 cos(𝑎𝑘𝑦) = −𝑎2𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑘𝑦)
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑘𝑦) = −𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑘𝑦)
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −𝑎2𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑘𝑦 = 𝑎2 −𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑘𝑦 = 𝑎2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
1 Regla de la cadena
REGLA DE LA CADENA.
• Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función de dos 
variables; de tal forma que: 𝑥 = 𝑔 𝑡 , 
𝑦 = ℎ(𝑡) entonces:
Ejemplo 2. Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦4; si 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ,
𝑦 = cos 2𝑡 . Hallar 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
.
Solución.
EJEMPLO: REGLA DE LA CADENA.
•
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= cos 𝑡 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
• 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 3𝑦
4
• 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑥
2 + 12𝑥𝑦3
Luego, reemplazamos:
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥𝑦 + 3𝑦4 cos 𝑡 − 2 𝑥2 + 12𝑥𝑦3 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
= 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 2𝑡 + 3𝑐𝑜𝑠4(2𝑡) cos 𝑡 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 12𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠3 2𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
REGLA DE LA CADENA: Varias variables.
2 Regla de la cadena para 3 variables.
Ejemplo 2. Dada la función 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2𝑦 − 𝑦2 − 𝑦𝑧, donde
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑦 = 𝑒𝑡 , 𝑧 = 𝑡. Hallar
𝑑𝑤
𝑑𝑡
cuando 𝑡 = 0.
Solución.
EJEMPLO: REGLA DE LA CADENA
•
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 2𝑥𝑦 cos(𝑡) + 𝑥2 − 2𝑦 − 𝑧 𝑒𝑡 − 𝑦
Por lo tanto:
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= −3
•
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −𝑦•
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑥2 − 2𝑦 − 𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 2𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 2𝑒𝑡 − 𝑡 𝑒𝑡 − 𝑒𝑡
𝑡 = 0 𝑡 = 0
𝑡 = 0
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Recordar las reglas 
de derivación, en el 
caso de funciones 
de ℝ 𝑒𝑛 ℝ.
2.Igual que en el caso 
real, podemos 
aplicar la regla de la 
cadena, y respetar 
las reglas de 
derivación..
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de la regla 
de la cadena.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
2.Calcule 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥3𝑦2; 𝑥2 + 3𝑦) y 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥3𝑦2; 𝑥2 + 3𝑦)
Solución.
REGLA DE LA CADENA: EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones