S10 s1 - Área de una superficie

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INTEGRALES DOBLES: ÁREA DE 
UNA SUPERFICIE.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas de 
contexto real en variadas situaciones que involucran AREAS DE SUPERFICIES y sus 
interpretaciones para así poder aplicar a problemas de ingeniería.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
DOBLES.
Área de una 
superficie.
¿ Para que sirve ?
• En el caso de la transformada de Fourier, la cual 
se utiliza para el tratamiento digital de señales. 
• Para hallar la catenaria de un cable en ingeniería 
eléctrica.
• En geometría para hallar el área de las 
superficies.
• Entre otras.
INTEGRALES DOBLES.
1.Area de una superficie.
CAMBIÓ DE VARIABLE.
Definición. Sea f: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ de dos variables tal que 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 son 
funciones continuas, entonces definimos el área de la superficie como 
siendo: 
𝐴 =ඵ
𝐷
1 + 𝑓𝑥
2 + 𝑓𝑦
2
𝑑𝐴
Si definimos 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 entonces podemos calcula el área 
de la superficie de la siguiente manera.
𝐴 =ඵ
𝐷
1 + 𝑧𝑥
2 + 𝑧𝑦
2
𝑑𝐴
Ejemplo.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar la 
superficie de la cual 
se va a calcular el 
área.
2.Analizar y ver si 
al´gún cambio de 
variable nos 
facilitara los 
calculos.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
integrales dobles en 
el calculo de las 
áreas de superficies.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Calcule el área de la superficie S, formada por la parte de la esfera de 
radio 6 centrada en el origen dentro del cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟔𝒚 la cual 
está por encima del plano 𝑿𝒀.
RPTA. 𝟕𝟐(
𝝅
𝟐
− 𝟏)
Datos/Observaciones