S12 s2 - CAMBIÓ DE VARIABLE

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INTEGRALES TRIPLES:CAMBIÓ DE 
COORDENADAS.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce y aplica cambios de 
variable a integrales triples para facilitar el cálculo de integrales triples y así 
aplicarlo a problemas aplicados.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
TRIPLES.
CAMBIÓ DE 
VARIABLE
¿ Para que sirve ?
• En el caso de geometría para calcular volúmenes 
de solidos en el espacio.
• Para hallar el centro de masa, momentos 
estáticos.
• Diseño y construcción de estructuras metálicas.
• Entre otras.
INTEGRALES TRIPLES.
1.Cambió de variable.
CAMBIÓ DE VARIABLE.
Considere 𝑓:ℝ3 → ℝ una función en las variables 𝑥, 𝑦 e 𝑧 integrable, la idea de 
cambiar de variable surge por que en algunos casos la integral es muy complicada. 
Sea 𝐸 la región en (𝑥, 𝑦, 𝑧) donde se realiza la integración, para ello considere 
𝐹: 𝐸′ ⊂ ℝ3 → ℝ3 dada por 𝐹 𝑢, 𝑣, 𝑧 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 𝑢, 𝑣, 𝑤 ; es 
evidente que 𝐹 𝐸′ = 𝐸. Igual que en integrales dobles se pide que 𝐹 sea de clase 
𝐶1 e inyectiva y con jacobiano no nulo.
Por lo tanto la integral queda de la siguiente manera.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Hallar el volumen de la intersección de 𝑥2 + 𝑦2 = 9, 𝑥2 + 𝑧2 = 9, 
𝑦2 + 𝑧2 = 9
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar la 
región y hacer el 
cambio de variable 
más natural.
2.No olvidar el 
jacobiano en los 
cambios de 
variable.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de el 
cambio de variable en 
las integrales triples.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Hallar el volumen del solido acotado por la superficie del 
paraboloide elíptico 𝟑𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛 y bajo el cilindro 𝒙𝟐 + 𝒛 = 𝟒.
RPTA. 4𝝅.
Datos/Observaciones