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Math Quick Reference Card ─ ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1.3 ─ (cc) www.3con14.com 
Ecuaciones LOGARíTMiCAS 
 
Son aquellas en la que la incógnita  x  aparece sometida a la operación de 
logaritmación. Es decir, contienen términos de la forma  loga x . 
El principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones 
logarítmicas elementales es: 
 
« Los logaritmos de dos expresiones positivas,  de una misma base positiva y 
distinta de la unidad  son iguales cuando, y sólo cuando, son iguales dichas 
expresiones ». 
log loga au v u v    
 
Definición de logaritmo:  log ya x y a x    
0 1 ; 0 ;a a x y       
Aunque no existe un único procedimiento general para resolver 
ecuaciones logarítmicas, existen algunos métodos sencillos que 
podemos utilizar para resolverlas: 
 
 Aplicando la definición de logaritmo 
 Por igualdad de logaritmos, aplicando el principio anterior 
 Aplicando las distintas propiedades de logaritmos 
 Por cambio de variable 
 Resolución pasando a su forma exponencial 
 
De manera práctica, un método para resolver ecuaciones logarítmicas 
consiste en lograr que los dos miembros de la ecuación tengan una 
misma expresión logarítmica. Frecuentemente utilizaremos las 
propiedades de los logaritmos en orden inverso, simplificando y 
realizando transformaciones oportunas. 
 
Al terminar debemos comprobar las soluciones obtenidas (en la 
ecuación original) porque pueden aparecer soluciones extrañas (no 
olvidar que el cero y los números negativos no tienen logaritmo y la 
base  0 y 1a a  ) 
 
 Reduciendo ambos miembros de la ecuación a una sola 
expresión logarítmica  
 
3
3 3
3
2
3
2 32
log log32 log 2 32 0
2
lo
3log
g log 2 16 0
32
log32 log
2
32
2
0
2
x x
x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
x

   

 



 ; ;4 4x x  
 
El cero y los números negativos no tienen logaritmo, por tanto, la única 
solución válida es   4x   
 
 Realizando transformaciones oportunas 
 
3
3
4
1
1 1
log10 log5 log2 lo
1 1 1
1 lo
g log5
3 3
1
3log2 log2 log log5
3
1
4 log2 log5 log
3
2
log log
5
g5 log log log5
3 2
16
5
3
x
x
x
x x
x
     
     
 

 
   
 
   
 
 Empleando ecuaciones exponenciales 
 
   
2 2
2
2
2 2
5 9 4 7
5 9
4 7
5 9 4 7 4
2 2
2 2
2 2
10000log 2 log1000 log125 log5 log
161000
log 2 log 5 625125
2 8 5 5
5 9 3 4 7 4
5 6 0 4 3 0
5 2
5 9 log 2 log125 3 4 7 log5 l
5 2 3
2
g16
2
o 4
4
x x x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x
x
x
x
x
   
 
 
   
  
 
 
     
     

  
 

  


 




4
1
16 312
2
x
x


 
 

 
 Utilizando un cambio de variable 
 
5
22
5
5
5
5
5
loglog
23 7
2
2 02 7 6
12 1 1 8
7 49 48
223
4
2 log 1
log 2
log 2
3
log
2
10
25 1
1005
log 125 2 log7
loglog
loglog 2
5
x
x
x tx t
t
tt
tt
t tt t
tt
t
t x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x x
x


 
   
              
 
  






 


 
 
 Utilizando la definición de logaritmo 
 
0.51
3 2
2
0
3
.
3
2
1
7
5
2
1 1 1 log 0.5
log 5 log 3 log 2
31
2 100
1 1 175 100 3
1 1
343
2
1 15 3
1007
10
5
0
10
x x
x xx
x
x
x
x
x
x
x x
xx
x
x

  

     
 
  
 
 
    





 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LOGARITMICAS 
 
Un sistema de ecuaciones logarítmicas está formado por varias 
ecuaciones logarítmicas. Se resuelven como los sistemas ordinarios 
pero utilizando los métodos antes dichos para las ecuaciones 
logarítmicas. 
 
Ejemplo 
 
2 2 7 3
7
3
2
7 3 7 5
10log log10
10
log log10
10 1
2log 3log 7
l
10 100 10 ; 100
1
o
0
g log 1
x x y
y
x
x y y
y y y x
y
x y
x y
     
   
 
   
 
  
 



  
 
Nota: en la mayoría de los logaritmos no se especifica la base porque 
presuponemos que es 10, aunque es conveniente saber que en la mayoría de los 
textos científicos se considera, si no se indica lo contrario y se omite la base, que la 
base es  e (es decir, logaritmo neperiano o natural) aunque se siga escribiendo 
log en lugar de  ln .