MATEMATICA GENERAL

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ASIGNATURA: MATEMÁTICA GENERAL 
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA 
FACULTAD REGIONAL MULTIDISCIPLINARIA MATAGALPA 
UNAN – FAREM – MANAGUA 
 
 
 
 
MSc. Rudy Martínez MSc. Mayling Vanessa Zamora 
 
 
Aritmética 
 
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
Algebra 
 
 
Funciones 
 
 
Geometría 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
Introducción .............................................................................................................. 1 
I. Aritmética ............................................................................................................... 2 
Reseña histórica de la Aritmética .............................................................................. 3 
Números primos y compuestos ................................................................................. 7 
Múltiplos y divisores de un número ......................................................................... 11 
Múltiplo de un número ......................................................................................... 11 
Divisor de un número ........................................................................................... 11 
Algunos criterios de divisibilidad ....................................................................... 12 
Descomposición en factores primos ................................................................. 13 
Divisores de un número compuesto ................................................................. 15 
Clasificación de los conjuntos numéricos ......................................................... 16 
Máximo común divisor ......................................................................................... 16 
Mínimo común múltiplo ........................................................................................ 18 
Propiedades del mínimo común múltiplo .......................................................... 19 
Resolución de problemas con máximo común divisor o mínimo común múltiplo 21 
Operaciones con fracciones ................................................................................ 21 
Concepto de fracción........................................................................................ 21 
Unidad fraccionaria .......................................................................................... 22 
Representación de fracciones .......................................................................... 23 
Tipos de fracciones .......................................................................................... 24 
Operaciones con fracciones ................................................................................ 26 
Suma y resta de fracciones .............................................................................. 26 
Suma y resta con el mismo denominador ........................................................ 26 
Suma y resta con distinto denominador ........................................................... 27 
Multiplicación de fracciones .............................................................................. 27 
División de fracciones....................................................................................... 28 
file:///C:\Users\acer\Desktop\LibroMat%20(Reparado)%20(Reparado).docx%23_Toc413158731
 
 
 
Fracción compleja ............................................................................................ 28 
Razones y proporciones ...................................................................................... 28 
Propiedades de las proporciones ..................................................................... 30 
Magnitudes Proporcionales .............................................................................. 32 
Regla de tres .................................................................................................... 34 
Porcentajes ...................................................................................................... 38 
Medidas y magnitudes...................................................................................... 40 
II. ÁLGEBRA ........................................................................................................... 61 
¿Qué es el Álgebra? ............................................................................................... 62 
Operaciones con polinomios ................................................................................... 65 
Adición de expresiones algebraicas. ................................................................... 65 
Sustracción de expresiones algebraicas ............................................................. 66 
Multiplicación de expresiones algebraicas ........................................................... 67 
División de expresiones algebraicas .................................................................... 67 
División Sintética ................................................................................................. 69 
Operaciones con exponentes racionales. ............................................................ 70 
Productos Notables ............................................................................................. 72 
Factorización ....................................................................................................... 76 
Diferencia de cubos. ......................................................................................... 83 
Ecuaciones .......................................................................................................... 84 
Ecuaciones lineales .......................................................................................... 85 
Ecuaciones de primer grado o ecuación lineal con una variable ...................... 86 
Resolución de ecuación lineal usando las propiedades fundamentales ........... 86 
Ecuaciones cuadráticas .................................................................................... 88 
Problemas con ecuaciones lineales ................................................................. 91 
Sistemas de Ecuaciones. .................................................................................... 95 
Métodos para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables ... 95 
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución .......... 95 
file:///C:\Users\acer\Desktop\LibroMat%20(Reparado)%20(Reparado).docx%23_Toc413158774
 
 
 
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Igualación ........... 96 
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Reducción ........... 97 
Problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales ....................... 98 
Desigualdades ................................................................................................... 102 
III. Funciones ........................................................................................................ 113 
Funciones polinómicas ...................................................................................... 121 
Funciones constantes..................................................................................... 121 
Función lineal ................................................................................................. 121 
Función identidad ........................................................................................... 122 
Funciones Afín ............................................................................................... 123 
Función cuadrática ............................................................................................ 128 
Función valor absoluto ....................................................................................... 133 
Función exponencial .......................................................................................... 133 
Funciones logarítmicas ......................................................................................135 
Progresiones ..................................................................................................... 138 
Concepto de sucesión. ...................................................................................... 138 
Concepto de progresión ................................................................................. 139 
Progresión aritmética ......................................................................................... 139 
Interpolación de medios aritméticos ............................................................... 143 
Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética .................. 143 
Progresión Geométrica ...................................................................................... 146 
IV. Geometría ........................................................................................................ 160 
Conceptos Intuitivos .......................................................................................... 167 
Definicion de Geometría. ................................................................................ 167 
Objeto de la Geometría .................................................................................. 167 
Figuras Geometricas ...................................................................................... 167 
Elementos Geometricos Fundamentales ........................................................ 167 
Definiciones básicas ....................................................................................... 168 
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file:///C:\Users\acer\Desktop\LibroMat%20(Reparado)%20(Reparado).docx%23_Toc413158816
 
 
 
Clasificación de los polígonos. ....................................................................... 175 
Triángulos. ...................................................................................................... 177 
Clasificación de los triángulos ........................................................................ 177 
Área y Perímetro de un triángulo. ................................................................... 178 
Cuadriláteros .................................................................................................. 181 
Clasificación de Cuadriláteros ........................................................................ 181 
Círculo. .............................................................................................................. 185 
Segmentos y rectas notables en la circunferencia ......................................... 185 
Área del Círculo. ............................................................................................. 186 
Área de un sector circular. .............................................................................. 186 
Área de un segmento circular. ........................................................................ 187 
Área de una corona circular. .......................................................................... 187 
Área de un trapecio circular. ........................................................................... 188 
Bibliografía ............................................................................................................ 194 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Introducción 
La Matemática es lógica, precisa, rigurosa, abstracta, formal y bella. Representa un 
saber escalonado, donde cada etapa es necesaria para afrontar la siguiente. Esta 
ciencia fortalece el pensamiento crítico para entender mejor el entorno, desarrolla la 
lógica de pensamiento para la toma de decisiones. Por tanto, contribuye al 
desarrollo de las inteligencias, los sentimientos y la personalidad. 
 
Este módulo está diseñado de manera que el estudiante pueda realizar las 
actividades iniciando con una breve historia de cada una de las ramas sujetas de 
estudio como son: La aritmética, álgebra, funciones y la geometría. En segundo 
momento está destinado a lo conceptual, definiciones, teoremas gráficos y la 
ejercitación con ejemplos y un segundo momento a la ejercitación de cada uno de 
los contenidos de cada unidad con diferentes grados de dificultad procurando 
establecer ítems de seleccionar, completar, Falso y verdadero, y de resolver con 
construcciones auxiliares. 
 
Todas las ciencias son creación del ser humano y para entender cualquier 
fenómeno, se necesita la matemática, para poder interpretarlas en toda su 
dimensión. Por esta razón la asignatura de Matemática General está ubicada 
dentro de los Planes de Estudios del primer año de todas las carreras que ofrece la 
UNAN-Mangua, porque sirve de instrumento para desarrollar las distintas áreas del 
conocimiento y mejora las formas de desarrollo intelectual, hasta la forma que los 
individuos debe rigen su vida. (Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua, 
2013) 
 
La mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que hoy se ejecutan requieren 
conocimientos matemáticos. Por ejemplo, las actividades industriales, la medicina, 
la química, la arquitectura, la ingeniería, las artes, la música, educación física, las 
ciencias sociales entre otras. Por este motivo, en el programa se han pensado en 
objetivos y contenidos incluyentes para todas las carreras que sea una herramienta 
imprescindible para la formación de un profesional integral que contribuya a la 
transformación de su entorno social. 
Esperamos que este módulo pueda contribuir a tu formación profesional con una 
concepción científica y humanista, capaz de interpretar los fenómenos sociales y 
naturales con un sentido crítico, reflexivo y propositivo. 
 
 
 
 
 
Objetivos de la asignatura 
Objetivos conceptuales 
 Explicar los conceptos, definiciones, algoritmos, propiedades y leyes 
fundamentales de la Aritmética. 
Objetivos procedimentales 
 Aplicar conceptos, definiciones, algoritmos, propiedades y leyes 
fundamentales de la Aritmética en la resolución de ejercicios. 
 Resolver problemas del entorno a través de la Aritmética. 
Objetivos actitudinales 
 Valorar la importancia de la Aritmética como herramienta para la solución de 
problemas de su entorno social. 
 Participar activamente en las distintas formas organizativas del proceso 
enseñanza- aprendizaje basada en la cooperación grupal. 
Contenidos Cognitivos Contenidos 
Procedimentales 
Contenidos Actitudinales 
Conceptos, definiciones, 
algoritmos, propiedades y 
leyes de la Aritmética 
Conjunto de los números 
reales. Múltiplos y divisores 
Números primos y 
compuestos. Divisibilidades 
por 2, 3 y 5 
Máximo común divisor y 
mínimo común múltiplo. 
Operaciones con fracciones. 
Magnitudes proporcionales: 
Directa e inversa. Regla de 
tres simple y porcentaje. 
Aplicación de los conceptos, 
definiciones, algoritmos, 
propiedades y leyes 
fundamentales de la 
Aritmética en la resolución 
de ejercicios y problemas de 
la vida cotidiana. 
Cálculo de Máximo común 
divisor y mínimo común 
múltiplo. 
Algoritmo para simplificar 
operaciones con fracciones. 
Problemas: de máximo 
común divisor, mínimo 
común múltiplo, fracciones, 
regla de tres simple y 
porcentaje. 
Valoración de la importancia 
de la Aritmética como 
herramienta para la solución 
de problemas de su entorno 
social. 
Participación activa en las 
distintas formas 
organizativas del proceso 
enseñanza-aprendizaje 
basada en la cooperación 
grupal. 
 
I. Aritmética 
 
 
 
 
 
A. Vivencias 
Para iniciar esta unidad de Aritmética, se le invita a la reflexión sobre los conceptos 
y reglas importantes sobre este tema que serán de mucha utilidad en la resolución 
de problemas. 
 
Trabajo en equipo 
a) Nos organizamos en equipos de tres personas, elegimos los compañeros que 
asumirán los roles de líder, controlador de tiempo, comunicador y relator. 
b) Solicitamos al comunicador realice lectura del siguiente aspecto histórico de lasfunciones. 
 
 
 
 
Reseña histórica de la Aritmética 
 
Basado en la lectura inicial responde a las interrogantes. 
a) ¿Qué es Aritmética? 
b) ¿Por qué crees que la Aritmética es importante? 
c) ¿Cómo se usaban los números en la historia antigua? 
d) ¿Qué puedes decir de la máquina de Leibniz? 
e) Señala algunas situaciones donde haces uso de la Aritmética en la vida 
cotidiana. 
 
 
 
Documento Complementario 
 
 
 
B. Fundamentación Cientifica 
Los hombres primitivos usaban los 
dedos, rayas en huesos, troncos. 
Expresaban cantidades para 
representar animales, luna, sol, tiempo. 
Los Egipcios (2000 A. C.), usaron 
expresiones que representan las 
fracciones, apareciendo así los 
NÚMEROS FRACCIONARIOS, eso sí, 
muy básicos y generalmente con uno 
como denominador. 
En el siglo V A. C. los Griegos 
encontraron otro tipo de números que eran la solución de determinadas ecuaciones 
y que no tenían fin, eran algo que se le escapaba al razonamiento humano, eran los 
NÚMEROS IRRACIONALES. Pitágoras enseñó la importancia del estudio de los 
números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron 
importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se 
atribuyen al propio Pitágoras. 
 
Babilonios (2100 A. C.) tenían un sistema de numeración considerando el valor 
posicional de las cifras. Introdujeron un símbolo, parecido a una trompeta, que 
sustituía al espacio vacío y que podríamos considerar como cero. 
 
En el siglo XVII se empezó a considerar los NÚMEROS NEGATIVOS como 
soluciones falsas a las raíces negativas de una ecuación, en China, colocaban 
bolas rojas en los ábacos, simbolizando a los números negativos. 
 
En el siglo XIX se inició la fundamentación de los números imaginarios, los cuales 
aparecen como las raíces de números negativos. 
La máquina aritmética de Leibniz 
 
 
 
“Es inapropiado de hombres excelentes 
perder horas como esclavos en la labor de 
cálculo, que podría ser relegada 
seguramente a cualquier otro si se 
empleasen máquinas” 
Leibniz se inspiró en las ideas de Pascal 
puestas en práctica en la pascalina, pero 
pronto descubrió que para poder 
multiplicar y dividir necesitaba otro tipo de 
mecanismos. En 1674 puso en marcha su máquina de calcular. Era un prototipo de 
madera que funcionaba con muchas dificultades. En principio la bautizó como 
Staffelwalfe, calculador escalonado, pero pronto le definió como máquina 
aritmética. Un relojero le fabricó una en metal que es similar a la de la fotografía. La 
máquina usa tres tipos de ruedas: para sumar, para el multiplicando y para el 
multiplicador. Combinándolas se podían efectuar sumas, restas, multiplicaciones y 
divisiones. 
En un manuscrito de 1679 que se conserva en la biblioteca de Basse-Saxe en 
Hannover se puede comprobar cómo Leibniz dominaba el cálculo en este sistema. 
La Criba de Eratóstenes 
Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el 
norte de África. Vivió entre los años 275 y 195 antes 
de Cristo. 
Por varias décadas, fue el director de la famosa 
Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas 
más reconocidas de la época, pero lamentablemente 
sólo pocos fragmentos de lo que escribió 
sobrevivieron en el tiempo. 
Finalmente, murió en una huelga voluntaria de 
hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba. 
De todas formas, Eratóstenes se hizo famoso por dos cosas que hizo: 
1. La medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra. 
2. Creó una criba o filtro para descubrir todos los números primos. 
 
 
 
Números primos: Un número primo (positivo) es aquel número entero que sólo es 
divisible por sí mismo y por uno (y explícitamente se excluye al número 1 de la 
definición). Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… son números primos. 
Se sabe que hay infinitos números primos (el primero en comprobarlo fue Euclides), 
pero lo maravilloso que hizo Eratóstenes fue construir un mecanismo que permite 
encontrarlos a todos (los primos). 
 
 
 
2. Tacharemos todos los números que se 
pueden dividir entre 2 (Todos los números 
pares) y dejamos el 2 sin tachar.
 
1. Escribimos los primeros 100 
números 
 
¿Para qué sirve la criba de Eratóstenes? 
La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los números 
primos hasta cierto número natural dado. También se llama Criba de Eratóstenes a 
la tabla resultante de este proceso. El proceso consiste en recorrer una tabla de 
números usando el siguiente algoritmo: 
 
 
 
 
 
Este procedimiento lo hacemos con el número 
siguiente que va quedando sin tachar. De esta 
forma van quedando los número primos y los que 
no se eliminan se llaman números compuestos 
(el número 1 no es número primo ni es 
compuesto) 
 
 
Números primos y compuestos 
 
Un número primo es un número natural que sólo tiene dos factores que son el mismo 
número y el uno. (esta división debe ser exacta) 
 
 
 
2 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 2. 
3 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3. 
5 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 5. 
Un número compuesto tiene otros factores además de si mismo y el uno. 
 
4. Dejamos el 5 sin tachar y luego 
tachamos todos sus múltiplos (De 
cinco en cinco) 
 
3. Dejamos el 3 sin tachar y luego 
tachamos todos sus múltiplos (De tres 
en tres) 
 
Ejemplos de números primos 
 
 
 
 
 
 
4 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2 y 4. 
6 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2, 3 y 6. 
9 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 3, y 9. 
Los "factores" son los números que multiplicas para llegar 
a otro número 
 
Algunos números se pueden factorizar de muchas maneras: 
Los factores de 12 que es un número compuesto son: 
Factor Factor Producto Factores 
1 X 12 = 12 1, 12 
2 X 6 = 12 2, 6 
3 X 4 = 12 3, 4 
 
 
Si sólo hay una manera de factorizar un número, ese número es primo, si hay 
varias maneras es un número compuesto. 
Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. 
 
Ejemplo: Asignar el nombre de número primo o compuesto, y escribir los 
divisores de cada número. 
 
 
¿Cómo saber si un número es primo? 
Ejemplos de números compuestos 
 
Recuerda 
que 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento 
a. Para saber si un número es primo extraemos raíz cuadrada del número. 
b. Dividimos el número entre el resultado exacto o los números primos 
menores que el resultado de la raíz cuadrada. 
Ejemplos: 
 197 = 14.0356 … 
Como la raíz cuadrada es aproximada a 14, dividimos entre los números 
primos menores o iguales al resultado obtenido, en este caso entre: 2, 3, 
5, 7, 11, 13, como ninguna división es exacta el número es primo. 
 169 = 13 
Como la raíz cuadrada es exactamente 13 dividimos entre 13, y como el 
resultado es exacto porque da como resultado 13, entonces el número es 
compuesto. 
 135 = 11.619 … 
Como la raíz cuadrada es aproximada a 11, dividimos entre los 
números primos menores o iguales al resultado obtenido, en este caso 
entre: 2, 3, 5, 7 y 11, y como el resultado entre 3 es igual a 45, entre 5 es 
igual a 27 o sea que hay dos divisiones exactas, entonces el número es 
compuesto. 
Número Se puede dividir exactamente 
entre 
¿Primo o 
compuesto? 
1 (1 no es primo ni compuesto) 
2 1,2 Primo 
3 1,3 Primo 
4 1,2,4 Compuesto 
5 1,5 Primo 
6 1,2,3,6 Compuesto 
7 1,7 Primo 
8 1,2,4,8 Compuesto 
9 1,3,9 Compuesto 
10 1,2,5,10 Compuesto 
 
 
 
 97 = 9.8489 … 
 Como la raíz cuadrada es aproximada a 9, dividimos entre los números 
primos menores o iguales al resultado obtenido, en este caso entre: 2, 3, 
5, 7, como ninguna división es exacta el número es primo. 
Determina si los números 122, 324, 137, 561, 821 son primos o compuestos. 
Propiedades de los divisores 
a) Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo. 
3 esdivisor de 3 
5 es divisor de 5 
6 es divisor de 6 
b) El 1 es divisor de todos los números. 
1 es divisor de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, es decir de todos los números. 
c) Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por 
tanto el número de divisores es finito, (se pueden contar). 
Los divisores de 10 son 1, 2, 5, 10 
Los divisores de 8 son 1, 2, 4, 8 
d) Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su 
diferencia. 
Ejemplos: 
 4 es divisor de 16 y 12 
16 + 12 = 28, 4 es divisor de 28 
16 – 12 = 4, 4 es divisor de 4 
 6 es divisor de 30 y 18 
18 + 30 = 48, 6 es divisor de 48 
30 – 18 = 12, 6 es divisor de 12 
 
 
 
e) Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del 
primero. 
6 es divisor de 12, 18, 24,… 
f) Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es 
del tercero. 
Ejemplos: 
 6 es divisor de 12, 12 es divisor de 24, entonces 6 es divisor de 24. 
 8 es divisor de 16, 16 es divisor de 32, entonces 8 es divisor de 32. 
 
Múltiplos y divisores de un número 
Múltiplo de un número 
Múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número 
exacto de veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal 
que dividido por n, da por resultado un número entero. Los primeros 
múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas de 
multiplicar. 
Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie 
infinita de los números naturales. Por tanto todo número tiene infinitos múltiplos. 
• Todo número entero es múltiplo de 1 y de si mismo. 
• Cero es múltiplo de cualquier número. 
Divisor de un número 
Divisor de un número es aquel número natural que lo puede dividir 
exactamente, resultando de cociente de la división otro número natural y 
de resto o residuo 0. 
Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor 
de 9. 
 
 
 
Ejemplos 
• 18 es múltiplo de 9, porque 18 contiene a 9 dos veces exactamente: 
18 = 2 x 9 
 20 es múltiplo de 5, porque 20 contiene a 5 cuatro veces exactamente: 
20 = 5 x 4 
• 63 es múltiplo de 7, porque 63 contiene a 7 nueve veces: 
 63 = 9 x 7 
 
 
• 7 es un divisor de 63 
• 7 divide a 63 
• 7 es un factor de 63 
• 7 es un submúltiplo de 63 
• 63 es divisible por 7 
Divisores de 2 = {1, 2} porque 2 es número primo. 
Divisores de 6 = {1, 2, 3, 6} porque 6 es número compuesto. 
Divisores de 7 = {1, 7} porque 7 es número primo. 
Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8} porque 8 es número compuesto. 
 
Algunos criterios de divisibilidad 
Regla 1. Criterio de divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 cuando 
termina en 0 o cifra par, o sea cuando su última cifra es 0, 2, 4, 6, u 8. 
Ejemplos: Los números 10, 12, 24, 36, 48 son divisibles por dos, porque sus 
últimas cifras son: 0, 2, 4, 6 y 8 respectivamente. 
Regla 2. Criterio de divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 cuando la 
suma de los valores absolutos de las cifras que lo forman es múltiplo de 3. 
Ejemplos: 
Nota: Si 63 es múltiplo de 7, también se puede decir que: 
 
 
 
 
 Analicemos si 24 es múltiplo de 3 
Sus cifras son 2 y 4, las sumamos así 2 + 4 = 6, como 6 es múltiplo de 
3, decimos que 24 es múltiplo de 3. 
 Analicemos si 438 es múltiplo de 3 
Sus cifras son 4, 3 y 8, las sumamos así 4 + 3 + 8 = 15, como 15 es 
múltiplo de 3, decimos que 438 es múltiplo de 3. 
Regla 3. Criterio de divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 cuando 
termina en cero o cinco. 
Ejemplos: Los números 15, 20, 35, 50, 85 son divisibles por 5, ya que su última 
cifra es cero o cinco. 
Descomposición en factores primos 
Para descomponer un número en sus factores primos lo dividimos por 
el primer número primo que sea posible aplicando los criterios de 
divisibilidad. 
Ejemplos: Descomponer 60 en sus factores primos 
 Su última cifra es cero, 60 tiene mitad que es 30 
 30 su última cifra es cero, tiene mitad que es 15 
 15 al sumar sus cifras nos da 1 + 5 = 6, 6 es múltiplo de 3, por tanto tiene 
tercera, además su última cifra es 5, tiene quinta, en este ejemplo lo dividimos 
entre 3 y nos da 5 
 5 su cifra es él mismo, tiene quinta, lo dividimos entre 5 y nos queda al final 1. 
 Cuando el último resultado es uno hemos terminado de descomponer el número 
en sus factores primos. Este resultado lo expresamos como un producto de 
potencias de factores primos. 
 
 
 
 
60
30
15
5
1
 
 
2
2
3
5
 60 = 22𝑥3𝑥5 
Descomponer 128 en sus factores primos 
 Su última cifra es ocho, 128 tiene mitad que es 64 
 64 su última cifra es cuatro, tiene mitad que es 32 
 32 su última cifra es dos, tiene mitad que es 16 
 16 su última cifra es seis, tiene mitad que es 8 
 8 tiene mitad que es 4 
 4 tiene mitad 2 
 2 tiene mitad 1 
 Cuando el último resultado es uno hemos terminado de descomponer el 
número en sus factores primos. Este resultado lo expresamos como un 
producto de potencias de factores primos. 
 
128
64
32
16
8
4
2
1
 
 
2
2
2
2
2
2
2
 128 = 27 
 
Ejemplo 
1200 = 24 𝑥 3 𝑥 52 
6936 = 23 𝑥 3 𝑥 172 
Teorema Fundamental de la Aritmética 
En teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética afirma que todo 
entero positivo mayor que 1 se puede representar de forma única como producto de 
factores primos. 
 
 
 
 
Divisores de un número compuesto 
Para conocer cuántos divisores tiene un número, se descompone en sus factores 
primos. Se escriben los exponentes de los factores primos y se suma a cada 
exponente la unidad, los números que resulten se multiplican entre sí. El producto 
indicará el número total de divisores. 
Ejemplos 
Encontrar el número de divisores que tienen los siguientes números. 
a) 5𝟔𝟎 = 𝟐𝟐 𝐱 𝟑 𝐱 𝟓 = 𝟐𝟐𝒙 𝟑𝟏 𝒙 𝟓𝟏, los exponentes de cada factor son 2, 1 y 1, 
a cada uno de ellos les sumaremos uno, como sigue, y el resultado es 
el número de divisores que tiene 560. 
 
Número de divisores de 560: (𝟐 + 𝟏)(𝟏 + 𝟏)(𝟏 + 𝟏) = 𝟏𝟐 
Los divisores de 560 son: 1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 28, 70, 140, 280, 560 
b) 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝐱 𝟓𝟐, los exponentes de cada factor son 2 y 2, a cada uno de ellos 
se les sumará uno. 
 
Número de divisores de 𝟏𝟎𝟎: (𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏) = 𝟗 
Los divisores de 100 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 
c) 𝟗𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝐱 𝟑𝟐 𝐱 𝟓𝟐 
 
Número de divisores de 900: (𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏) (𝟐 + 𝟏) = 𝟐𝟕 
Los divisores de 900 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 
60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Divisores de 1800 
 
𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟗𝟎𝟎
𝟒𝟓𝟎
𝟐𝟐𝟓
𝟕𝟓
𝟐𝟓
𝟓
𝟏
 
 
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟓
𝟓
 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟑 𝒙 𝟑𝟐 𝒙 𝟓𝟐 
Número de divisores: (𝟑 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏) = 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 = 𝟑𝟔, por lo tanto tiene 
36 divisores que son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 30, 36, 40, 45, 
50, 60, 72, 75, 90, 100, 120, 150, 180, 200, 225, 300, 360, 450, 600, 900, 1800 
Clasificación de los conjuntos numéricos 
 
 
Máximo común divisor 
 
El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor número 
que los divide a todos exactamente. 
Pasos para calcular el máximo común divisor 
a) Se descomponen los números en factores primos. 
b) Se toman los factores comunes con menor exponente. 
 
 
 
c) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el máximo 
común divisor. 
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor 
 
 
 
Propiedades del máximo común divisor 
a) Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores 
del máximo común divisor. 
Ejemplo: Calcular los divisores comunes de 54 y 90. m. c. d (54, 90) = 18 
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 
6, 9, 18. 
b) Dados varios números, si se multiplican o dividen porotro número 
entonces su m. c. d. también queda multiplicado o dividido por el 
mismo número. 
Se descomponen cada uno 
de los números en sus 
factores primos, luego 
escribimos sus resultados 
como producto de potencias 
y encerramos aquellos 
factores comunes y de 
menor exponente. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Si multiplicamos los dos números por 3 queda: 
 54 · 3 = 162 
90 · 3 = 270 
m. c. d. (162, 270) = 54 = 18 · 3 
Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen 
por su m. c. d. los cocientes resultantes son primos entre sí (su m. c. d. es 1). 
Ejemplo: m. c. d. (54, 90) = 18 
54 ÷ 18 = 3 
90 ÷ 18 = 5 
m. c. d. (3, 5) = 1 
c) Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos. 
 
Ejemplo: El número 12 es divisor de 36 . El mcd = 12 
Mínimo común múltiplo 
 
El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios 
números, excluido el cero. 
Pasos para calcular el mínimo común múltiplo 
a) Se descomponen los números en factores primos. 
b) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. 
 
 
 
 
 
Propiedades del mínimo común múltiplo 
a) Dados varios números todo múltiplo común a ellos es múltiplo del m. c. 
m de dichos números. 
b) Los múltiplos comunes a varios números son también múltiplos del m. 
c. m. de dichos números. 
Ejemplo: m. c. m. (16, 8) = 80 
Algunos de los múltiplos comunes de 16 y 8 son 160, 240, 320 que también 
son múltiplos de 80 
c) Cualquier múltiplo del m. c. m. de varios números también lo es de dichos 
números. 
Se descomponen cada uno de los 
números en sus factores primos, 
luego escribimos sus resultados 
como producto de potencias y 
encerramos aquellos factores 
comunes y no comunes que tienen 
mayores exponentes. 
 
 
 
Ejemplo: m. c. m. (16, 8) = 80 
Algunos de los múltiplos de 80 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 16 y 
de 8 
d) El m. c. m. de dos números primos entre sí es su producto. 
Ejemplo: Los números 2 y 5 son primos entre sí, entonces el m. c. m (2, 5) es 
su producto, es decir los multiplicamos 2 x 5 = 10 
e) Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. 
Ejemplo: El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36)=36 
f) Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número 
entonces su m. c. m. también queda dividido o multiplicado por el 
mismo número. 
Ejemplo: m. c. m. (32,84) = m. c. m. (25, 2² · 3 · 7) = 672 
32 · 4 = 128 
84 · 4 = 336 
𝑚. 𝑐. 𝑚. (128, 336) = 2688 = 672 · 4 
Relación entre el m. c. d. y m. c. m. 
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b 
Ejemplo: 
m. c. d. (12, 16) = 4 
m. c. m. (12, 16) = 48 
(4) ·(48) = (12) ·(16) 
192 = 192 
Si multiplicamos el m. c. m. y el m. 
c. d. se obtiene como resultado el 
producto de los dos números a los 
que se les ha encontrado el m. c. m. 
y el m. c. d. 
 
 
 
Resolución de problemas con máximo común divisor o mínimo común 
múltiplo 
a) Joel y Vera van caminando por la arena dejando huellas marcadas. Cada 60 
cm de longitud aparece una huella de Joel y cada 45 cm los de Vera. ¿En 
centímetros, coinciden alguna vez sus huellas? 
 
𝟔𝟎 𝟒𝟓
𝟑𝟎 𝟒𝟓
𝟏𝟓 𝟒𝟓
𝟓 𝟏𝟓
𝟓 𝟓
𝟏 𝟏
 
 
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟓
 𝒎. 𝒄. 𝒎. 𝟒𝟓, 𝟔𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟖𝟎 𝐜𝐦 𝐜𝐨𝐢𝐧𝐜𝐢𝐝𝐫á𝐧 
b) Mario tiene 12 rosas, 18 claveles y 6 jazmines. Desea armar el mayor 
número de ramos con la misma cantidad de flores en cada paquete y que 
cada tipo de flor tenga la misma cantidad en paquete ¿Cuántos paquetes 
puede armar y cuántas flores de cada tipo por paquete? 
 
𝟏𝟐 𝟏𝟖 𝟔
𝟔 𝟗 𝟑
𝟐 𝟑 𝟏
 
𝟐
𝟑 𝒎. 𝒄. 𝒅. 𝟏𝟐, 𝟏𝟖, 𝟔 = 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟔 
𝟏𝟐 ÷ 𝟔 = 𝟐 𝐫𝐨𝐬𝐚𝐬 
𝟏𝟖 ÷ 𝟔 = 𝟑 𝐜𝐥𝐚𝐯𝐞𝐥𝐞𝐬 
𝟔 ÷ 𝟔 = 𝟏 𝐣𝐚𝐳𝐦í𝐧 
Operaciones con fracciones 
Concepto de fracción 
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una 
totalidad en partes iguales. 
Por ejemplo, cuando hablamos de un cuarto de hora, de la mitad 
de un pastel, o de un tercio de una pizza. Tres cuartos de hora no 
son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de 
un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la 
 
 
 
totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y 
tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos 
casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, 
etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes. 
 Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno 
sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya 
fraccionaria. 
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El 
numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el 
que está bajo la raya fraccionaria. 
 
Concepto de fracción 
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la 
siguiente forma: 
a
b
→
→
numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas
denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad
 
Unidad fraccionaria 
La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad 
en n partes iguales. 
Ejemplo: En este caso tenemos una naranja que se 
ha dividido en dos partes iguales. A cada parte le 
llamaremos un medio y se representa así: 
1
2
= 0.5, 
si dividimos el numerador entre el denominador obtendremos el número en forma 
decimal que es equivalente a su forma fraccionaria. 
2 es el denominador que indica en cuántas partes se ha de dividir la naranja, en 
este caso la naranja se dividirá en dos partes iguales. 1 es el numerador, que indica 
 
 
 
cuántas partes se han de tomar, es decir se tomará 
una de dos partes de la naranja. 
Si tenemos una pizza, y queremos tomar 
𝟐
𝟖
 la 
cortamos en 8 trozos iguales, luego tomaremos 2 
trozos. De igual forma si queremos tomar 
𝟑
𝟖
 lo 
dividiremos en 8 partes, pero en este caso tomaremos tres de las ocho. 
 
Representación de fracciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recuerda que para representar fracciones dividimos la unidad en las partes 
que nos indique el denominador y tomamos las partes que nos indique el 
numerador 
 
 
 
 
Tipos de fracciones 
Fracciones propias: Son aquellas cuyo numerador es menor que el 
denominador. 
Ejemplos: 
Su valor está comprendido entre cero y uno.
𝟐
𝟑
,
𝟒
𝟗
,
𝟕
𝟖
 
Fracciones Impropias: Son aquellas cuyo numerador es mayor que el 
denominador. 
Ejemplos de fracciones impropias: 
𝟓
𝟑
= 𝟏. 𝟔 … ,
𝟕
𝟓
= 𝟏. 𝟒,
𝟐𝟑
 𝟗
= 𝟐. 𝟓 … ,
𝟏𝟕
𝟔
= 𝟐. 𝟖𝟑 … 
Las fracciones impropias se utilizan en situaciones donde necesitamos más de una 
unidad. 
Por ejemplo si hay 5 niños y queremos repartir 
entre ellos 3 tortas. Pretendemos que sean trozos 
iguales para cada uno. Dividiremos cada torta en 
dos trozos, es decir cada trozo será 
1
2
, que es lo 
que le toca a cada niño. Se hacen 6 pedazos y se tomarán 5 del total, si contamos 
los trozos obtendremos cinco de dos y se representará así 
5
2
 que es una fracción 
impropia porque el numerador es mayor que el 
denominador. Al dividir 5 entre 2 obtenemos 2.5, es 
decir que el resultado es mayor que 1. El pedazo 
que sobra es 
1
2
 y esta es una fracción propia, ya que 
el numerador es menor que el 
denominador si dividimos 1 entre 
dos se obtiene 0.5 que es menor 
que 1. 
Al dividir el numerador entre el 
denominador el resultado es un 
número menor que uno. 
Al dividir el numerador entre el 
denominador el resultado es un 
número mayor que uno. 
 
 
 
En este ejemplo tenemos dos pizzas cortadas en cuatro partes, cada trozo será 
1
4
, 
si se quieren repartir entre siete personas se necesitarán 2 pizzas enteras, setomarán 7 trozos de 4 lo que se llamará 
7
4
 y también es 
una fracción impropia porque su numerador 7 es 
mayor que el denominador 4, y al dividir 7 entre 4 es 
igual a 1.75, el resultado es mayor que 1. El trozo 
restante es 
1
4
, esta es una fracción propia porque el 
numerador 1 es menor que el denominador 4, si dividimos 1 entre 4 se obtiene 0.75 
que es menor que 1. 
 
Fracción mixta 
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra 
fraccionaria. 
Para pasar de número mixto a fracción impropia: 
a) Se deja el mismo denominador 
b) El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el 
denominador más el numerador, del número mixto. 
 
 
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 𝟐
𝟑
𝟒
=
 𝟐𝑿𝟒 + 𝟑
𝟒
=
𝟏𝟏
𝟒
 
Para pasar una fracción impropia a número mixto: 
a) Se divide el numerador por el denominador. 
b) El cociente es el entero del número mixto. 
c) El resto es el numerador de la fracción. 
d) El denominador es el mismo que el de la fracción impropia. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. Pasar 
𝟏𝟑
𝟓
 a número mixto 
 
Fracciones equivalentes 
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de los extremos es igual al 
producto de medios. 
a
b
=
c
d
 si a ∙ d = b ∙ c 
a y d son los extremos 
b y c son los medios 
 
Ejemplo. Comprobar si las fracciones son equivalentes 
𝟓
𝟖
=
𝟏𝟓
𝟐𝟒
 
 𝟓 𝟐𝟒 = 𝟖 𝟏𝟓 
𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 
Operaciones con fracciones 
 
Suma y resta de fracciones 
Suma y resta con el mismo denominador 
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. 
Ejemplos: 
 𝐒𝐮𝐦𝐚𝐫:
𝟒
𝟔
+
𝟑
𝟔
+
𝟖
𝟔
=
𝟒 + 𝟑 + 𝟖
𝟔
=
𝟏𝟓
𝟔
 
 
𝐑𝐞𝐬𝐭𝐚𝐫:
𝟗
𝟕
−
𝟑
𝟕
=
𝟗 − 𝟑
𝟕
=
𝟔
𝟕
 
 
13
5
= 2
3
5
 
 Dividimos 13 entre 5 
 2 es el cociente, será la parte entera 
 3 es el resto de la fracción, será el numerador 
 5 es el denominador anterior y lo será de la 
nueva fracción 
 
 
 
Suma y resta con distinto denominador 
 
Ejemplos. Sumar las fracciones 
a) 
6
8
+
12
4
=
6
8
+
24
8
=
30
8
=
15
4
= 3
3
4
 
b) 
4
5
+
1
3
+
1
2
=
24
30
+
10
30
+
15
30
=
49
30
= 1
19
30
 
Restar las fracciones 
a) 
6
8
−
12
4
=
6
8
−
24
8
= −
18
8
= −
9
4
= −2
1
4
 
b) 
2
3
−
1
4
=
8
12
−
3
12
=
5
12
 
c) 2
7
12
−
5
8
=
31
12
−
5
8
=
62
24
−
15
24
=
47
24
= 1
23
24
 
d) Restar 2
2
5
− 1
4
15
=
12
5
−
19
15
=
36
15
−
19
15
=
17
24
 
Multiplicación de fracciones 
 
 
𝐚
𝐛
∙
𝐜
𝐝
=
𝐚 ∙ 𝐜
𝐛 ∙ 𝐝
 
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: 
a) Por numerador el producto de numeradores. 
b) Por denominador el producto de denominadores. 
 
a) Encuentra el mínimo común denominador (m. c. m. de los denominadores). 
b) Reescribe cada fracción usando el común denominador (divide el m. c. m. 
entre cada denominador y el resultado lo multiplica por el numerador). 
c) Ahora que las fracciones tienen un común denominador, puedes sumar los 
numeradores. 
d) Simplifica a su mínima expresión, representando fracciones impropias como 
números mixtos. 
 
 
 
Ejemplo. Multiplicar las fracciones 
 
𝟒
𝟓
 ∙ 
𝟐
𝟑
 ∙ 
𝟏
𝟒
 =
 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 
 𝟓 ∙ 𝟑 ∙ 𝟒 
=
𝟖
𝟔𝟎
=
𝟒
𝟑𝟎
=
𝟐
𝟏𝟓
 
División de fracciones 
 
Ejemplo. Dividir las fracciones 
4
5
÷
3
8
= 
4
5
 ∙ 
8
3
 =
 4 ∙ 8 
 5 ∙ 3 
=
32
15
 
Fracción compleja 
a) 
5
6
−
6
4
1
8 +
3
6
= 
5
6
−
6
4
 ÷ 
1
8
+
3
6
 = 
10
12
−
18
12
 ÷ 
3
24
+
12
24
 = −
8
12
 ÷ 
15
24
 
= −
8
12
∙
24
15
= −
192
180
= −
96
90
= −
48
45
= −
16
15
= −1
1
15
 
b)
 1
1
2 ∙ 
2
5
 
2 +
1
6 −
1
4
= 1
1
2
 ∙ 
2
5
 ÷ 2 +
1
6
−
1
4
 = 
3
2
 ∙ 
2
5
 ÷ 
2
1
+
1
6
−
1
4
 
= 
6
10
 ÷ 
24
12
+
2
12
−
3
12
 = 
6
10
 ÷ 
23
12
 = 
6
10
 ∙ 
12
23
 =
72
230
=
36
115
 
 
Razones y proporciones 
Definiciones 
Razón o Relación: Es la relación de tamaño que existe entre dos números 
(distintos de cero) expresada como el cociente entre ellos. 
𝐚
𝐛
÷
𝐜
𝐝
=
𝐚
𝐛
∙
𝐝
𝐜
=
𝐚 ∙ 𝐝
𝐛 ∙ 𝐜
 
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: 
a) Por numerador el producto de los extremos. 
b) Por denominador el producto de los medios. 
 
 
 
O sea que se llamará así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de 
ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente. Estas cantidades las 
presentaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de 
la siguiente manera: 
antecedente
consecuente
 
El valor de una razón corresponde al cociente entre el antecedente y el 
consecuente de la razón 
Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente 
será 4. Nuestra razón quedará: 
7
4
, se lee siete es a cuatro 
Orden en una razón: En una razón, al anotar las cantidades, debemos mantener el 
orden en que se nombran los elementos que se están comparando. Las razones 
siempre se expresan en forma reducida. Por ejemplo, digamos que en una escuela 
por cada 18 estudiantes varones hay 29 estudiantes féminas. La razón 18 a 29 
debe expresarse como 18 ∶ 29 o bien 
18
29
, se lee dieciocho es a veinte y nueve. 
Se llama razón a un número de la forma 
b
a
 que se lee “a es a b” y que significa que 
al número ”a le corresponde el número b”. 
En un aula, por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el número de alumnos es 16 
¿Cuántas alumnas tiene el aula? 
La razón 
4
7
 se lee 4 es a 7 entonces 
4
7
=
8
14
=
12
21
=
16
28
 por lo tanto hay 28 alumnas. 
Proporción: Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden, 
constituyen una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la 
razón de los dos segundos. O sea que una proporción es una igualdad entre 
dos o más razones. 
En una proporción 
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
 que se lee: “a es a b como c es a d” 
 
 
 
 
𝐚
𝐛
 es la primera razón 
 
𝐜
𝐝
 es la segunda razón 
 a y d son los extremos 
 b y c son los medios 
 a y c son los antecedentes 
 b y d son los consecuentes 
Ejemplo 
 6 ∶ 4 ∶ : 3 ∶ 2 𝑆𝑖 
6
4
= 1.5
3
2
= 1.5
𝑆𝑒 𝑙𝑒e "6 es a 4 como 3 es a 2" 
Una proporción puede ser ordinaria o continua. 
Ordinaria si tiene la forma: 
a
b
=
c
d
 por ejemplo 
7
8
=
14
16
 
Continua: cuando sus medios son iguales 
a
b
=
b 
d
 por ejemplo 
4
6
=
6
9
 
Propiedades de las proporciones 
 En toda proporción, el producto de los términos extremos es igual al 
producto de los términos medios, por lo tanto: 
a
b
=
c
d
⟹ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9. Se escribirán 
2
3
=
6
9
, entonces 2 9 = 3 6 
Como los resultados son iguales podemos afirmar que son fracciones equivalentes, 
pero además están formando una proporción. 
 En toda proporción la suma del antecedente y consecuente de la primera 
razón es a su antecedente como la suma del antecedente y consecuente de 
la segunda razón es a su antecedente. 
a
b
=
c
d
⟹
a + b
a
=
c + d
c
 
 
 
 
Ejemplo. 
 
6
4
=
3
2
→
6 + 4
6
=
3 + 2
3
→
10
6
=
5
3
→ 30 = 30 
 En toda proporción la suma del antecedente y consecuente de la primera 
razón es a su consecuente como la suma del antecedente y consecuente de 
la segunda razón es a su consecuente. 
a
b
=
c
d
⟹
a + b
b
=
c + d
d
 
Ejemplo. 
 
6
4
=
3
2
→
6 + 4
4
=
3 + 2
2
→
10
4
=
5
2
→ 20 = 20 
 En toda proporción la diferencia del antecedente y consecuente de la 
primera razón es a su antecedente como la diferencia del antecedente y 
consecuente de la segunda razón es a su antecedente. 
a
b
=
c
d
⟹
a − b
a
=
c − d
c
 
Ejemplo. 
6
4
=
3
2
→
6 − 4
6
=
3 − 2
3
→
2
6
=
1
3
→ 6 = 6 
 En toda proporción la diferencia del antecedente y consecuente de la 
primera razón es a su consecuente como la diferencia del antecedentey 
consecuente de la segunda razón es a su consecuente. 
a
b
=
c
d
⟹
a − b
b
=
c − d
d
 
Ejemplo. 
 
6
4
=
3
2
→
6 − 4
4
=
3 − 2
2
→
2
4
=
1
2
→ 4 = 4 
 La suma del antecedente y consecuente de la primera razón es a su 
diferencia como la suma del antecedente y consecuente de la segunda 
razón es a su diferencia. 
a
b
=
c
d
⟹
a + b
a − b
=
c + d
c − d
 
 
 
 
Ejemplo. 
 
6
4
=
3
2
→
6 + 4
6 − 4
=
3 + 2
3 − 2
→
10
2
=
5
1
→ 10 = 10 
Cálculo de los valores de una proporción 
 Hallar el valor de un extremo. 
Ejemplo: 
5
6
=
10
x
→ 5x = 6 10 → 5x = 60 → x =
60
5
→ x = 12 
 Hallar el valor de un extremo en una proporción continua. 
En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio 
proporcional dividido por el extremo conocido. 
Ejemplo:
x
6
=
6
9
→ x 9 = 6 6 → 9x = 36 → x =
36
9
→ x = 4 
 Hallar el valor del medio de una proporción. 
En toda proporción continua el medio es igual al producto de los extremos dividido 
por el medio conocido. 
Ejemplo:
5
6
=
x
12
→ 5 12 = 6 x → 60 = 6x →
60
6
= x → x = 10 
Magnitudes Proporcionales 
Cuando aplicamos proporciones a la solución de problemas observamos que la 
relación entre dos cantidades variables produce una de dos tipos de magnitudes 
proporcionales o proporciones directa o inversa. 
Magnitudes Directamente Proporcionales 
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al disminuir una la otra 
también disminuye o al aumentar una la otra también aumenta en la misma 
proporción. Es el caso más común, por ejemplo a menor cantidad de huevos 
comprados menos debe ser el costo. 
En la magnitud directamente proporcional el valor de la razón permanece 
constante. 
Por ejemplo si tenemos: 
7
4
 
 
 
 
Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el 
mismo número tanto a 7 como a 4 
7
4
=
7𝑥4
4𝑥4
=
28
16
 
Hemos formado: 
7
4
=
28
16
 
Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan porque se han multiplicado 
ambos números por el mismo número 4. (Éste puede ser cualquier número) 
Ejemplo: Venta de metros de tela. Al aumentar la compra de metros de tela el costo 
aumenta en esa proporción. 
Tela (metros) 10 15 20 
Costo (C$) 90 135 180 
¿Cómo reconocer sin una proporción es directa? Si una cantidad aumenta, la 
otra también, y el cociente entre sus valores es una constante. 
Libras de azúcar 1 2 4 5 10 20 
Precio (C$) 10 20 40 50 100 200 
Cociente (división) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 
Magnitudes Inversamente Proporcionales 
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar el valor de 
una variable la otra disminuye y viceversa. 
Por ejemplo si queremos formar una proporción empleando el criterio de 
magnitudes inversamente proporcionales 
4
7
=
4 ÷ 4
7x4
=
1
28
 
Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye, el número de arriba 
se divide entre 4 y el de abajo se multiplica por el mismo 4. 
 
 
 
Número de obreros 1 2 3 4 
Días de trabajo 60 30 20 15 
Ejemplo: La velocidad de un vehículo y la duración del trayecto. Cuanto mayor es la 
velocidad, el tiempo disminuye en esa proporción. 
Velocidad (Km/h) 40 80 160 
Tiempo (horas) 4 2 1 
¿Cómo reconocer sin una proporción es inversa? Si una cantidad aumenta, la otra 
disminuye, y el producto entre sus valores es una constante. 
Variable 1 15 30 60 
Variable 2 4 2 1 
Constante 60 60 60 
Regla de tres 
Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones está en la resolución 
de los problemas de regla de tres. 
Cuarta proporcional 
La cuarta proporcional es el cuarto número buscado en una proporción donde se 
conocen los otros tres. 
El cuarto número se obtiene por el “producto cruz” o regla de tres. 
Ejemplo: 
6
12
=
8
x
 de donde se obtiene 6x = 12 8 
𝑥 =
 12 8 
6
= 16 
A veces es más práctico usar una tabla para plantear la proporción, de la siguiente 
manera 
6 8 
12 x 
 
 
 
Ejemplos de proporcionalidad directa 
a) Un fabricante factura 350 sillas idénticas a un precio de C$5600. ¿Cuál sería 
el precio de 1250 sillas? 
Solución 
Primero expresamos los datos en la siguiente tabla, sabiendo que la 
proporcionalidad es directa (ambos valores aumentan, a más sillas mayor precio) 
 Número de sillas Precio en córdobas 
Conozco 350 5600 
Desconozco 1250 X 
350x = 1250 5600 
x =
 1250 5600 
350
 
x = C$20000 Por lo tanto el precio de las 1250 sillas será de C$ 20000 
b) Si 5 libros de lectura costaron $ 210. ¿Cuál es el precio de la docena de 
libros? 
Solución 
Es una proporcionalidad directa: 
 Número de libros Precio en dólares 
Conozco 5 210 
Desconozco 12 X 
5x = 12 210 
x =
 12 210 
5
 
x = C$ 504 Por lo tanto el precio de la docena de libros será de C$ 504 
Otra forma de plantear la regla de tres para este problema es la siguiente: 
 
 
 
Convenimos en usar un signo más cuando en el planteo la segunda cantidad 
aumenta o es mayor que la primera y un signo menos cuando disminuye o es 
menor 
Si 5 libros cuestan $ 210, más libros costarán más”, entonces nos queda: 
+ 5 libros 210 $ + 
– 12 libros x – 
Si los dos signos son iguales (más o menos), existe entre los elementos del 
problema una correspondencia directamente proporcional. 
Si los signos fueran distintos uno más y otro menos, la correspondencia que existe 
es inversamente proporcional. 
 
Como la correspondencia de este problema es directamente proporcional, 
planteamos la proporción con los datos en el orden que figura en el planteo. 
c) Un automóvil recorre 240 km. en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá 
recorrido en 2 horas? 
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que ”a menos horas recorrerá 
menos kilómetros”. 
 Número de 
kilómetros 
Número de horas 
Conozco 240 3 
Desconozco X 2 
 240 2 = 3x 
 240 2 
3
= x 
x = 160 Km, es decir habrá recorrido 160 Km en 2 horas 
 
 
 
 
d) Ana compra 5 libras de papas, si 2 libras cuestan C$ 26, ¿cuánto pagará 
Ana? 
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más libras de papas, más 
córdobas. 
 Número de libras Precio 
Conozco 2 26 
Desconozco 5 X 
2x = 5 26 
 5 26 
2
= x 
x = C$65 , es decir Ana pagará C$65 por las 5 libras de papas 
 
Proporcionalidad inversa 
Ejemplo: A tres trabajadores les tomó 30 días construir una casa. ¿Cuántos días 
les habría tomado si hubieran laborado 5 trabajadores para construir la misma casa 
y en las mismas condiciones? 
Solución 
Primero expresamos los datos en la siguiente tabla, sabiendo que la 
proporcionalidad es inversa (Si aumenta un dato el otro disminuye: a más 
trabajadores menos días) 
 Número de 
trabajadores 
Número de días 
Conozco 3 30 
Desconozco 5 X 
 3 30 = 5x 
x =
90
5
 
x = 18, A 5 obreros les habría tomado 18 días construir la misma casa 
 
 
 
Lo más importante es razonar bien el planteo, para deducir si la proporción es 
directa o inversa. 
8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el 
momento, 2 deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres a los 
restantes? 
Solución 
 Número de 
jóvenes 
Número de días 
Conozco 8 24 
Desconozco 6 X 
 
Si 8 jóvenes podían pasar con esos alimentos 24 días, menos jóvenes podrán vivir 
más días. La correspondencia es inversamente proporcional. 
 
Cuando formamos la proporción en una correspondencia inversamente 
proporcional, invertimos antecedente y consecuente de la razón donde figura x. 
 8 24 = 6x 
 8 24 
6
= x 
32 = x 
Los víveres durarán 32 días a los 6 jóvenes. 
Porcentajes 
 
Tanto por ciento: Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien 
partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios 
centésimos de un número. El signo de tanto por ciento es %. 
Así, el 4% de 80 o 
4
100 de 80 equivale a cuatro centésimas partes de 80, es decir, 
que 80 se divide en cien partesiguales y de ellas se toman cuatro. 
 
 
 
Es evidente que el 100% de un número es el mismo número. Así, el 100% de 10 es 
10. 
Ejemplos 
a) Al comprar un televisor que vale C$ 8200 nos hacen un descuento del 6% 
¿Cuánto tenemos que pagar? 
 Precio del televisor 
(Córdobas) 
Porcentaje 
% 
Se conoce 8200 100 
Se desconoce x 5 
100 x = 8200 5 % 
x =
 8200 5 % 
100 %
 
x =
41000
100
 
x = 410, le hacen un descuento de C$ 410 
Como la pregunta del problema es cuánto tiene que pagar, finalmente debemos 
realizar una resta de lo que costaba el televisor inicialmente menos el descuento 
que es de C$ 410. 
8200 − 410 = C$ 7790, este será lo que tiene que pagar con el descuento 
b) Si un carro en diciembre costaba $ 3500, pero en este mes se le hizo un 
aumento de precio del 20 % ¿cuánto cuesta el automóvil actualmente? 
 
Precio del carro 
(Dólares) 
Porcentaje 
% 
Se conoce 3500 100 
Se desconoce X 20 
100 x = 3500 20 % 
x =
 3500 20 % 
100 %
 
x =
70000
100
 
x = 700 
700 es lo que se le aumentará actualmente. 
 
 
 
Como la pregunta es cuánto costará el automóvil actualmente, debemos sumar el 
valor de lo que aumentará más lo que costaba anteriormente 
700 + 3500 = 4200, esto es lo que cuesta el automóvil actualmente. 
 
 El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene vehículo. Si el número total de 
empleados es de 1200 ¿cuántos empleados tienen auto? 
 Número de empleados 
que tiene auto 
Porcentaje 
% 
Se conoce 1200 100 
Se desconoce x 60 
100 x = 1200 60 % 
x =
 1200 60 % 
100 %
 
x =
72000
100
 
x = 720 
720 empleados tienen automóvil 
Medidas y magnitudes 
El ser humano por naturaleza se empeña en medir, definir, comparar. Por lo tanto 
desde sus orígenes estableció la necesidad de medir. 
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. 
Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. 
La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad. 
Ejemplo: 
Si queremos medir la longitud de un pasillo en primer lugar debemos elegir la 
unidad, en este caso la más apropiada es el metro. 
Sistema métrico decimal 
En el pasado cada país y, en algunos casos, cada región seguían unidades de 
medidas diferentes. Esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los 
pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792, la Academia de Ciencias de 
París propuso el Sistema Métrico Decimal. 
 
 
 
Progresivamente fue adoptado por todos los países, a excepción de los de habla 
inglesa, que se rigen por el Sistema Inglés o Sistema Imperial Británico. 
El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y 
submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o 
submúltiplos de 10. (Sistema Internacional, SI) 
El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes 
magnitudes: Longitud, Masa, Capacidad, Superficie y Volumen 
Las unidades de tiempo no son del Sistema Métrico Decimal, ya que están 
relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 60. El tiempo es una magnitud 
del Sistema Sexagesimal. 
Medidas de longitud 
La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para 
medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: 
 
Unidad Abreviatura Equivalencia 
Kilómetro Km 1 000 m 
Hectómetro Hm 100 m 
Decámetro Dm 10 m 
Metro M 1 m 
Decímetro Dm 0.1 m 
Centímetro Cm 0.01 m 
Milímetro Mm 0.001 m 
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en 
la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior. 
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a 
multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre 
ellas. 
 
http://www.vitutor.com/di/m/a_9.html
http://www.vitutor.com/di/m/a_3.html
http://www.vitutor.com/di/m/a_4.html
http://www.vitutor.com/di/m/a_5.html
http://www.vitutor.com/di/m/a_6.html
http://www.vitutor.com/di/m/a_7.html
http://www.vitutor.com/di/m/b_1.html
 
 
 
Ejemplos de conversión de medidas 
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos 
a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya 
que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. 
1. Pasar 50 metros a centímetros 
Para pasar de metros a centímetros se 
multiplica el número por 100, es decir por 
la unidad seguida de dos 
ceros porque hay dos lugares de separación (se multiplica porque 
vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor). 
50 · 100 = 5 000 𝑐𝑚 
2. Pasar 4 385 milímetros a metros 
Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque 
vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad 
seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación. 
4 385 ÷ 1000 = 4.385 𝑚 
Para expresar en metros los siguientes casos convertimos cada uno de ellos en 
metros y luego realizaremos la suma de sus resultados 
3. Expresar en metros 
a) 5 Km; 5 Hm; 7 Dm  5 000 m + 500 m + 70 m = 5 570 m 
b) 3 m; 2 cm; 3 mm  3 m + 0.02 m + 0.003 m = 3.023 m 
c) 25.56 Dm; 526.9 dm  255.6 m + 52.69 m = 308.29 m 
d) 53 600 mm; 9 830 cm  53.6 m + 98.3 m = 151.9 m 
e) 1.83 Hm + 9.7 Dm + 3 700 cm  183 m + 97 m + 37 m 317 m 
Recuerda 
que 
 
 
 
Medidas de masa 
La unidad principal para medir masas es el gramo. 
Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales 
son: 
Medida Símbolo Equivalencia 
Kilogramo Kg 1000 g 
Hectogramo Hg 100 g 
Decagramo Dg 10 g 
Gramo G 1 g 
Decigramo dg 0.1 g 
Centigramo cg 0.01 g 
Miligramo mg 0.001 g 
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una 
unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por 
la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. 
 
Ejemplos de conversión de medidas 
1. Pasar 50 kilogramos a decigramos: 
Tenemos que multiplicar (porque el kilogramo es mayor que 
el decigramo) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que 
hay cuatro lugares entre ambos. 
𝟓𝟎 𝐊𝐠 · 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝐝𝐠 
 
2. Pasar 408 miligramos a decigramos: 
Tenemos que dividir (porque el miligramo es menor que el 
decigramo) por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos 
lugares entre ambos. 
𝟒𝟎𝟖 𝒎𝒈 ÷ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒. 𝟎𝟖 𝒅𝒈 
 
 
 
 
 
3. Expresar en gramos 
Para expresar en gramos los siguientes casos convertimos cada uno de ellos en 
gramos y luego realizaremos la suma de sus resultados. 
a) 5 Kg; 5 Hm; 7 Dg → 5 000 g + 500 g + 70 g = 5 570 g 
b) 3 g; 2 cg; 3 mg → 3 g + 0.02 g + 0.003 g = 3.023 g 
c) 25.56 Dg; 526.9 dg → 255.6 g + 52.69 g = 308.29 g 
d) 53 600 mg; 9 830 cg → 53.6 g + 98.3 g = 151.9 g 
e) 1.83 Hg; 9.7 Dg; 3 700 cg → 183 g + 97 g + 37 g = 317 g 
 
Conversiones de Peso corporal 
Otras medidas de masa 
a) Cambio de 150 lb a kilogramos. Dividir 150 entre 2.2 = 68 kg 
b) Cambio de 60 kg a libras. Multiplicar 60 por 2.2 = 132 lb 
Ejemplos 
a) A un paciente se le receta 4 gramos diarios de acetaminofén, si se tiene 
tabletas en presentación de 500 mg ¿cuántas tabletas se le deben dar? 
Solución: Para convertir 4 g a mg, se debe mover el punto decimal (4.0 g) tres 
lugares a la derecha: 4000 o multiplicar por 1000 como factor, así 4 𝑥 1000 =
 4000 mg, Como ambas cantidades están en la misma unidad de medida, 
procedemos a dividirlas para obtener el número de tabletas que nos pregunta el 
problema. 
4,000𝑚𝑔
500𝑚𝑔
= 8 se le deben dar 8 tabletas 
b) Un niño pesa en el centro de salud 42 Kg, ¿Cuánto es el peso del niño en 
libras? 
Solución 
 
 
 
Como se pide convertir de kilogramos a libras se multiplica 42 Kg por 2.2 (Un 
kilogramo 
 42 2.2 = 92.4. El peso del niño es de 92.4 libras. 
 
c) Expresa en gramos 
Para expresaren gramos los siguientes casos convertimos cada uno de ellos en 
gramos y luego realizaremos la suma de sus resultados 
 
Medidas de capacidad 
La unidad principal para medir capacidades es el litro. 
También existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores: 
 
Medida Símbolo Equivalencia 
Kilolitro Kl 1000 l 
Hectolitro Hl 100 l 
Decalitro Dl 10 l 
Litro l 1 l 
Decilitro dl 0.1 l 
Centilitro cl 0.01 l 
Mililitro ml 0.001 l 
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una 
unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por 
la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos de conversión de medidas 
1. Pasar 50 hectolitros a centilitros: 
Tenemos que multiplicar (porque el hectolitro es mayor que el 
centilitro) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay 
cuatro lugares entre ambos. 
𝟓𝟎 · 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒍 
2. Pasar 2587 centilitros a litros 
Tenemos que dividir (porque el centilitro es menor que 
el litro) por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay 
dos lugares entre ambos. 
𝟐𝟓𝟖𝟕 𝒍 ÷ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟓. 𝟖𝟕 𝒍 
Las tazas dosificadoras también son una forma práctica para la administración de 
medicamentos líquidos, sin embargo ha habido errores en la dosificación con ellas. 
Verifique siempre que las unidades (cucharadas, cucharaditas, ml o cc) en la taza o 
la jeringa concuerden con las unidades de la dosis que desea administrar. 
 
Conversión de unidades: 
 1 ml = 1 cc 
 2,5 ml = 1/2 cucharadita 
 5 ml = 1 cucharadita 
 1.5 ml = 1 cucharada 
 3 cucharaditas = 1 cucharada 
 
II. Expresar en litros 
Para expresar en litros los siguientes casos convertimos cada uno de ellos 
en litros y luego realizaremos la suma de sus resultados. 
a) 5 Kl; 5 Hl; 7 Dl → 5 000 l + 500 l + 70 l = 5 570 l 
 
 
 
b) 3 l; 2 cl; 3 ml → 3 l + 0.02 l + 0.003 l = 3.023 l 
c) 25.56 Dl; 526.9 dl → 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l 
d) 53 600 ml; 9 830 cl → 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l 
e) 1.83 Hl; 9.7 Dl; 3 700 cl → 183 l + 97 l + 37 l = 317 l 
 
Medidas de superficie 
 
La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la 
superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. 
Otras unidades mayores y menores son: 
Medida Símbolo Equivalencia 
Kilómetro cuadrado Km2 1 000 000 m2 
Hectómetro cuadrado Hm2 10 000 m2 
Decámetro cuadrado Dm2 100 m2 
Metro cuadrado m2 1 m2 
Decímetro cuadrado dm2 0.01 m2 
Centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2 
Milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2 
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en 
la parte superior, cada unidad vale 100 más que la anterior. 
 
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a 
multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos pares de ceros como 
lugares haya entre ellas. 
 
 
 
 
 
Ejemplos de conversión de medidas 
a) Pasar 1.5 hectómetros cuadrados a metros cuadrados: 
Tenemos que multiplicar (porque el Hm2 es mayor que el 
m2) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos 
lugares entre ambos. 
 𝟏. 𝟓 · 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎𝒎𝟐 
b) Pasar 15 000 mm2 a m2: 
Tenemos que dividir (porque el mm2 es menor que el m2) 
por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres 
lugares entre ambos. 
𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝒍 ÷ 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 𝒎𝟐 
Medidas de superficie agrarias 
Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias. La 
hectárea que equivale al hectómetro cuadrado. 
 
1 Hectárea = 1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m2 
Medidas de volumen 
La medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico. 
Otras unidades de volúmenes son: 
Medida Símbolo Equivalencia 
kilómetro cúbico Km3 1 000 000 000 m3 
Hectómetro cúbico Hm3 1 000 000 m3 
Decámetro cúbico Dm3 1 000 m3 
Metro cúbico m3 1 m3 
Decímetro cúbico dm3 0.001 m3 
Centímetro cúbico cm3 0.000001 m3 
Milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3 
 
 
 
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en 
la parte superior, cada unidad vale 1 000 más que la anterior. Por lo tanto, el 
problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por 
la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas. 
Ejemplos 
a) 15 m3 → 15 x 1 000 000 = 15 000 000 cm3 
b) 102 cm3 → 102 ÷ 1 000 000 = 0.000102 m3 
c) 35 Dm3 = 35 x 1 000 000 = 350 000dm3 
Ejemplos de conversión de medidas 
a) Pasar 1.36 Hm3 a m3: 
Tenemos que multiplicar (porque el hm3 es mayor que el m3) 
por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay dos lugares 
entre ambos. 
1.36 𝑥 1 000 000 = 1 360 000m3 
b) Pasar 15 000 mm3 a cm3 
Tenemos que dividir (porque el mm3 es menor que el cm3) por la 
unidad seguida de tres ceros, ya que hay un lugar entre ambos. 
15 000 ÷ 1 000 = 15 cm3 
 
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa 
Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad. 
Ejemplo. Un litro es la capacidad que contiene un recipiente cúbico de un 
decímetro de arista, es decir, la capacidad contenida en un volumen de un 
decímetro cúbico (1 dm3) También existe una relación entre el volumen y la masa 
de agua. 
 
 
 
 
Ejemplo.1 g equivale a 1 cm3 de agua pura a 4 °C. 
Analicemos las relaciones que existen entre capacidad, volumen y masa (de agua): 
Capacidad Volumen Masa (de agua) 
1 Kl 1 m3 1 t 
1 l 1 dm3 1 Kg 
1 ml 1 cm3 1 g 
Ejemplos de relaciones entre capacidad, volumen y masa 
Expresa en litros: 
a) 23.2 m3 = 23 200 dm3 = 23 200 l 
b) 0.07 m3 = 70 dm3 = 70 l 
c) 5.2 dm3 = 5.2 l 
d) 8 800 cm3 = 8.8 dm3 = 8.8 l 
Otras Medidas de longitud 
Tradicionalmente, la unidad de medida utilizada era la vara. Su valor más usado era 
el de 83.6 cm. 
Otras unidades son: 
Medida Equivalencias 
Pulgada 2.3 cm 
Palmo 9 pulgadas ≈ 20.9 cm 
Pie 12 pulgadas ≈ 27.9 cm 
Vara 3 pies ≈4 palmos ≈83.6 cm 
Paso 5 pies ≈ 1.39 m 
Milla 1 000 pasos ≈ 1.39 km 
Legua 4 millas ≈ 5.58 km 
 Medidas de longitud Medidas de masa 
Medida Equivalencias 
Pulgada = 2.54 cm 
Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm 
Yarda = 3 pies = 91.44 cm 
Braza = 2 yardas = 1.829 m 
Milla terrestre 880 yardas = 1.609 km 
milla náutica 1 852 m 
Medida Equivalencias 
Onza 28.375 g 
Libra 454 g 
1 Libra 16 Onzas 
 
 
 
Múltiplos (letras Griegas) Submúltiplos (letras en Latín) 
Prefijo Símbolo Factor de multiplicación 
Deca Da 10 10
1 
Hecto H 100 10
2 
Kilo K 1000 10
3 
Mega M 1 000 000 10
6 
Giga G 1 000 000 000 10
9 
Tera T 1 000 000 000 000 10
12 
 Peta P 1 000 000 000 000 000 10
15 
Exa E 1 000 000 000 000 000 000 10
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C Ejercitación 
Primera parte 
1. A la par de cada proposición escriba una (V) si es verdadera o una (F) es 
falsa. 
a. – 2 es un número entero. 
b. 5 4 es un número racional. 
c. 6 ( 2 - 5) es un número natural. 
d.  es un número irracional. 
e. Todo número real es entero . 
f. ( 7) ( 7 ) es un número entero. 
g. 3. 55555… Es un número irracional. 
h. 0.5 es un número racional. 
i. ( 8) ( 5) es un número racional. 
j. Todo número entero es racional. 
2. Elaborar un mapa conceptual del conjunto de los números reales y de la 
aplicación en sus actividades personales. 
 
3. Dados los números 54, 540, 315 y 162, determine: 
a. La cantidad de divisores de cada número 
b. Los divisores de cada número. 
 
4. Agrupa los siguientes números en el cuadro que corresponda. Algunos 
números pueden ir en más de un cuadro. 
Prefijo Símbolo Factor de multiplicación 
Deci D 1/10 10
 -1 
Centi C 1/100 10
-2 
Mili M 1/1000 10
-3 
Micro  1/1 000 000 10
-6 
Nano N 1/1 000 000 000 10
-9 
Pico p 1/1 000 000 000 000 10
-12 
 Femto f 1/1 000 000 000000 000 10
-15 
Atto a 1/1 000 000 000 000 000 000 10
-18 
 
 
52 
 
46 81 55 25 30 21 40 
70 105 87 72 85 36 220 
Divisibles por 2 Divisibles por 3 Divisibles por 5 
 
 
 
 
5. Marca con una X los números de la lista que son primos 
32 45 17 123 91 80 37 
51 95 221 97 541 301 121 
6. Resolver los siguientes problemas. 
a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar 72 baldosas cuadradas 
de manera que formen un rectángulo? 
b) Las edades de Pedro y Juan son dos números enteros consecutivos cuya 
suma es 51. Si Pedro es el menor, ¿cuál es la edad de cada uno? 
c) Si Enrique tiene un año menos que Basilio y ambas edades suman 103 
años, ¿cuál es la edad de cada uno? 
d) Las edades de Pedro, Juan y Enrique que son tres números enteros 
consecutivos, suman 87 años. Si Enrique es el menor y Pedro el mayor, 
¿cuál es la edad de cada uno? 
e) ¿Qué factor común tiene 8 y 9? 
f) ¿Qué factor común tiene 10, 11 y 12? 
g) ¿Qué factor común tiene 84, 83, 82 y 81? 
 
7. Hallar el Máximo Común Divisor por descomposición en factores primos 
entre los números dados. 
a) 5, 50, 25 b) 100, 60 c) 125, 100, 50 d) 60, 90, 120 
a) 40, 80, 150 f) 68, 48, 88 g) 24, 40, 64, 72 
8. Hallar el Mínimo Común Divisor por descomposición en factores primos 
entre los números dados. 
a) 12, 16 b) 24, 48, 72 c) 12, 16, 20 d) 40, 50, 60 
 e) 10, 20, 40 f) 25, 50, 18 g) 125, 35, 105, 40 
 
53 
 
 
9. Resolver los siguientes problemas por m. c. m. o m. c. d. 
a) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero 
cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. 
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 
b) Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado 
los dos en Barcelona. 
c) ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 
d) Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 
cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. 
 ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? 
 ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? 
e) ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 
48, en cada caso, da de resto 9? 
f) Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un 
tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en 
Sevilla los tres viajantes ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a 
coincidir en Sevilla? 
g) Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene 
bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene 
bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número 
de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. 
¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 
h) María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y 
quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna 
bola. 
 ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? 
 ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 
i) Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da 
una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 
minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. 
¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? 
¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos? 
j) Juan tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. 
Acaba de tomar los dos medicamentos juntos. ¿De aquí a cuántas horas 
volverá a tomárselos a la vez? 
 
54 
 
k) Eva tiene una cuerda roja de 15 m y una azul de 20 m. Las quiere cortar en 
trozos de la misma longitud, de forma que no sobre nada. 
¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo de cuerda que puede cortar? 
l) Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han 
coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de 
su abuela? 
m) Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, 
de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de 
naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas 
de cada caja y el número de cajas necesarias. 
n) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 
540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. 
Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se 
pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de 
garrafas que se necesitan. 
o) Un cambista tiene tres fajos de billetes de C$4,500, C$5,240 y C$6,500. Si 
todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible, ¿Cuánto 
vale cada billete y cuántos billetes hay en cada fajo? 
p) La alarma de los celulares de María, Juan y Pedro suenan al mismo tiempo 
el día martes 01 de marzo de 2011 a las 10:30 am. Si el celular de María 
está programado para timbrar cada 18 min, el de Juan y Pedro cada 20 y 23 
min, ¿Cuál es el menor tiempo transcurrido para que los tres celulares 
suenen simultáneamente? ¿En qué día, mes, año y hora, exactamente? 
q) Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de 
jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del 
mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos 
bloques de jabón hay en cada caja? 
r) ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número 
exacto de cuadernos de C$30, C$45 o C$50 cada uno si quiero que encado 
caso me sobren C$25 ? 
s) Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo 
cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el 
día 2 de enero. ¿Cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán 
a salir juntos (el año no es bisiesto). 
t) ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 
48, en cada caso, da de resto 9? 
 
55 
 
u) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 
m de ancho. Calcula el lado de la baldosa y el número de las baldosas, tal 
que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea 
necesario cortar ninguna de ellas. 
10. Dadas las figuras marca con un lápiz sobre cada una la fracción que se 
le indica y escribe su significado.
 
11. Efectuar las operaciones indicadas. 
a) 
1
2
+ 2
1
4
+
2
6
 − 3
1
6
−
2
8
+ 4 
b) 4 
−3
8
−
1
5
 + 2 −2
4
3
− 1
2
3
 
c) 
 
2
5
+
3
10 − 5 ∙ −2
2
5
 
2
4 + 6
 
d) 
3
8 +
4
6 − 3
6
9 +
3
10 − 3
x2
7
10
 
e) 3
1
5
− 2
1
5
 + 2 +
3
2
−
1
3
 
 
12. Resolver los siguientes problemas de fracciones. 
a) Un depósito contiene 90 litros de agua. Se consumen los 3/5 de su 
contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan? 
b) De una pieza de tela de 60 m se cortan 5/6. ¿Cuántos metros mide el trozo 
restante? 
c) ¿Cuánto son los 2/5 de 10 litros? 
 
56 
 
d) Una bolsa contiene 80 confites. Eva se comió 1/5 de los caramelos y Ana 
1/2. ¿Cuántos confites se comieron Eva, y Ana? ¿Qué fracción de caramelos 
se comieron entre las dos? 
e) Elena va de compras con C$240. Se gasta 3/4 de esa cantidad. ¿Cuánto le 
queda? 
f) A lo largo de una calle instalaron 3 tubos con las siguientes medidas: el 1ro 
mide 6m; el 2do mide 6
1
2
m y el 3ro mide 8
1
4
m. ¿Cuántos metros de tubo 
instalaron en la calle? 
g) De una finca de 40 hectáreas se venden los ¾ y se alquila 1/2 del resto. 
¿Cuánto queda? 
h) De una deuda de $90 se paga un abono de 1/2. ¿Cuánto se debe todavía? 
i) Tenía C$1000, y compré cinco lapiceros de a C$18.50 cada una y tres 
memorias de a C$145 cada una. ¿Cuánto me queda? 
j) Un estudiante dibujó dos circunferencias de radios 5/4 cm