CALCULO_DEL_LIMITE_DE_FATIGA_MEDIANTE_EL_METODO_DE

Vista previa del material en texto

CÁLCULO DEL LÍMITE DE FATIGA MEDIANTE EL MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 
 
 
A. Martín-Meizoso1, J.M. Martínez-Esnaola1, J. Gil Sevillano1 
 
 
1 CEIT y TECNUN (Universidad de Navarra) 
Manuel de Lardizábal, 15, 20018 San Sebastián, España. 
E-mail: ameizoso@ceit.es 
 
 
 
RESUMEN 
 
Se revisan los procedimientos al uso para la determinación del límite de fatiga. En particular, se detalla el 
procedimiento de la escalera en la que los ensayos bajan o suben de tensión, según rompan antes de alcanzar la vida 
prevista como límite de fatiga o no. Se propone un método de análisis y cálculo del límite de fatiga basado en el 
procedimiento estadístico de máxima verosimilitud y la hipótesis de normalidad en la distribución del límite de fatiga 
(aunque pueden hacerse otras hipótesis sobre la distribución). A diferencia del método de la escalera, este 
procedimiento resulta mucho más riguroso desde el punto de vista estadístico, es mucho más versátil (pudiéndose hacer 
ensayos a niveles intermedios de tensiones) y aprovecha toda la información disponible (incluso de niveles de tensión 
lejanos al límite de fatiga). 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Standard procedures to determine the fatigue limit are reviewed. In particular the stair-case procedure is detailed; in this 
procedure the applied stress is increased or decreased in a given stress step, for the following experiment, depending on 
the previous experiment: if it survives or fails to a given number of cycles. An analytical procedure is proposed to 
compute the fatigue limit using the statistical method of maximum likelihood and assuming a normal distribution for 
the fatigue limit (other assumptions can be made about its distribution). This procedure is preferred from a statistical 
point of view, it is much more flexible (other stress levels can be introduced) and all experiments contain useful 
information (including those tests carried out at stress levels far from the fatigue limit). 
 
 
 
PALABRAS CLAVE: Límite de fatiga, métodos estadísticos, máxima verosimilitud. 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
Un componente se ve sometido a fatiga cuando soporta 
cargas alternadas: la rueda de un ferrocarril, la biela de 
un motor de explosión… Pese a diseñarse estas piezas 
por debajo de su límite elástico (por tanto sin 
deformaciones permanentes apreciables), con un 
número suficiente de ciclos, las piezas se rompen. El 
90% de las piezas que se rompen en servicio fallan 
debido a esta insidiosa patología. Esto lo descubre 
August Wöhler, hacia el año 1860 [1], y propone unos 
límites a las tensiones de diseño en función del número 
de ciclos que se requieran para una pieza. Se conocen 
como curvas de Wöhler o curvas S-N (tensión: S, frente 
a número de ciclos: N). 
 
Aparece una microgrieta, que crece a medida que se 
realizan ciclos de carga hasta alcanzar un tamaño tal 
que la sección remanente es incapaz de soportar la carga 
máxima en el ciclo y finalmente el ligamento restante 
rompe catastróficamente de forma frágil o dúctil. 
Para cada material existe una tensión umbral por debajo 
de la cual la vida de la pieza es infinita (caso más 
frecuente en los aceros) o no hay un umbral de vida 
infinita (caso más frecuente en las aleaciones de 
aluminio), pero al menos dura la especificación de 
ciclos necesaria en esa aplicación. 
 
En la práctica de la ingeniería, deberemos reemplazar el 
uso del límite elástico (con su correspondiente 
coeficiente de seguridad) por el límite de fatiga en 
aquellas aplicaciones que vayan a estar sometidas a 
cargas alternadas. Su relación con la resistencia a 
tracción del material suele estar comprendida en rangos 
que van desde el 35% al 60% de ésta, para los aceros 
aleados y al carbono; y entre el 35% y el 50% para la 
aleaciones de cobre [2]. 
 
También se puede estudiar un componente concreto con 
un complejo estado de tensiones y directamente 
explorar su vida bajo diferentes valores del rango de 
variación de la carga alternada aplicada y determinar el 
Anales de Mecánica de la Fractura 26, Vol. 2 (2009)
406
máximo valor que se puede aplicar para que el 
componente supere una cierta vida (número de ciclos en 
el ambiente de operación: medio ambiente y 
temperatura). 
 
Resulta entonces capital determinar de forma sencilla 
cuál sea el nivel de tensión (si hablamos del material) o 
la carga alternada máxima (para un componente) que 
proporcionan una vida especificada (normalmente entre 
2 y 100 millones de ciclos de vida [3]). Normalmente 
no se requiere toda la curva S-N (curva de Wöhler), 
pues de poco servirá saber que la vida será mucho más 
corta con un nivel de tensiones más alto. Sólo 
necesitaremos conocer la carga o tensión que 
deberemos no superar para que la pieza dure lo 
requerido. Entonces los ensayos se limitan a explorar 
esa zona del rango de vida y cargas. El método más 
utilizado consiste en el método de la escalera, 
básicamente una simplificación del método propuesto 
por Probit [3]. 
 
 
2. MÉTODO DE LA ESCALERA 
 
El método de la escalera se utiliza comúnmente para 
determinar el promedio (mediana) del límite de fatiga 
de un componente o de material a un número de ciclos 
especificados. Consiste en la realización de ensayos de 
fatiga secuenciados con diferentes niveles de carga, con 
un incremento de la tensión (o de la carga, o de la 
deformación) predeterminado. Si el componente o la 
probeta falla antes de alcanzar la vida prevista, el 
siguiente ensayo se realiza a una carga un escalón 
inferior. Si ésta sobrevive a ese número de ciclos (run-
out) en el siguiente ensayo se aumenta en un escalón. 
Una vez concluida la batería de ensayos (típicamente 
entre 15 y 30), se prepara una tabla, como la que se 
muestra en el ejemplo de la tabla 1, que resume los 
resultados experimentales que se muestran en la figura 
1. 
 
Como resulta evidente, la elección del tamaño del 
escalón de tensión (o carga) resultará decisiva para el 
éxito y la resolución requerida en los resultados. 
 
Supongamos los datos experimentales que se recogen 
en la tabla 1 (propuesta por Rice [3]) en unidades de 
tensión americanas: ksi. Que las unidades sean ksi o 
MPa no modifica en nada los resultados, con lo que 
mantendremos las cifras, tal como las propone Rice, y 
las etiquetaremos como MPa. 
 
La ecuación propuesta por Rice para determinar el 
límite de fatiga es: 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
Δ+= ∑
2
1
0
f
i
n
fi
SSμ
 
, nf < nr (1a) 
 
S0 es la tensión al mínimo nivel de tensión considerado, 
que contenga al menos un fallo (nivel i = 0), y ΔS el 
incremento de tensión entre los escalones. La ecuación 
para μ es un tanto retorcida. La anterior ecuación 
corresponde al caso en el que el número de piezas rotas 
(nf = 13) sea menor que el número de 
 
60,0
62,5
65,0
67,5
70,0
72,5
75,0
77,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Test number
S
tr
es
s 
[M
P
a 
o
r 
ks
i]
No failures
Failures
 
Figura 1. Secuencia de ensayos para determinar el 
límite de fatiga, de acuerdo con el procedimiento de la 
escalera (tal como lo propone Rice [3]). 
 
supervivientes (“run-outs”, nr = 17). En caso contrario, 
nr < nf, Rice propone: 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
Δ+= ∑
2
1
0
r
i
n
ri
SSμ
 
, nf > nr (1b) 
 
Para el ejemplo, que se muestra en la figura. 1, y tabla 
1, el valor medio para la resistencia a fatiga resulta1 
 
ksi) (o MPa 63.71
2
1
13
155.20.70 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=μ
 
(2) 
 
No hay un motivo para emplear la expresión (1) que no 
sea que promedia los valores de la tensión para las 
frecuencias absolutas de las roturas (o de los “run-outs”, 
según cual sea el menor de los dos). No promedia las 
probabilidades de fallo ni estima el valor 
correspondiente a una probabilidad de fallo de 0.5 
(como luego veremos en la estrategia de los dos 
puntos). Pero viene empleándose desde el año 1985, sin 
que nadie cuestione su fundamento. Se encuentra 
descrita dentro de un capítulo sobre el tratamiento 
estadístico de losensayos de fatiga y cualquier lector 
desapercibido podría pensar que tiene un sólido 
fundamento estadístico. Por desgracia no es el caso. En 
el mejor de los casos, si los incrementos entre escalones 
son pequeños, el resultado será una buena estimación. 
También resulta un procedimiento de ensayo 
excesivamente rígido: sólo podemos ensayar un escalón 
más alto o bajo. El experimentador puede sentirse 
tentado a probar con medio escalón o un tercio 
(probablemente para evitar estar rebotando entre dos 
niveles y obtener alguna información de lo que ocurre 
 
1 En la ref. [3] el resultado es de 71.25 ksi, pero hay un 
pequeño error en su tabla 5 (2 × 4 = 8 y no 6). También 
en su ecuación (21) i está escrito como un subíndice y 
no debería serlo. 
Anales de Mecánica de la Fractura 26, Vol. 2 (2009)
407
Tabla 1. Ejemplo de resultados de una campaña de ensayos de fatiga (adaptado de [3]) 
 
Nivel de tensión, i Tensión, S 
[MPa (o ksi)] 
Número de fallos, f Número de Run-outs, r 
-3 62.5 0 1 
-2 65.0 0 1 
-1 67.5 0 3 
0 70.0 2 8 
1 72.5 7 4 
2 75.0 4 0 
nstresses = 6 - Total de fallos, nf = 13 Total de run-outs, nr = 17 
 
 
con niveles intermedios) o los resultados experimentales 
obtenidos hasta el momento aconsejarían redefinir el 
incremento entre los escalones, pero esto no resulta 
admisible. 
 
 
3. LA ESTRATEGIA DE LOS DOS PUNTOS 
 
Otro procedimiento de estimar el límite de fatiga 
consiste en concentrar todos los experimentos en 
únicamente dos niveles de carga en los que se observen 
tanto fallos como “run-outs” [4,5]. 
 
En consecuencia se obtiene la probabilidad de fallo para 
dos niveles de carga (su complemento sería la 
probabilidad de supervivencia). Ahora se necesita 
introducir una hipótesis sobre la forma de la función de 
distribución, la más frecuente es suponer la distribución 
de resistencias normalmente distribuida (aunque se 
pueden realizar otras hipótesis). Entonces se calculan 
los valores de μ y de σ que encajen con los datos (las 
dos frecuencias estimadas). Como ventaja adicional del 
método, también permite estimar la dispersión del límite 
de fatiga. 
 
Para el ejemplo de la tabla 1, μ = 71.77 y σ = 0.30 
(ambos en MPa o ksi). 
 
Sin embargo sólo dos niveles pueden evaluarse. Si 
existen 3 niveles de carga con mezclas de fallos y “run-
outs” habrá que ignorar algún nivel. Obsérvese que 
primeramente hay que encontrar los dos niveles en los 
que aparezcan mezclados fallos y run-outs, con lo que 
probablemente ya tengamos datos de más de dos niveles 
de carga. O bien podría realizarse un ajuste a esos datos 
experimentales por un método de mínimos cuadrados a 
los 3 ó 4 niveles que presenten mezcla de fallos y “run-
outs”. Pero ¿qué sentido real tiene minimizar distancias 
al cuadrado en un mundo de frecuencias? 
 
 
4. MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 
 
Supongamos que, para un número de ciclos de vida 
dados, la tensión de ensayo de las probetas (o 
componentes) supervivientes se distribuye de forma 
 
 
normal [6]. O al menos que así ocurre para el nivel 
particular del número de ciclos de vida que se quiere 
 
estimar. Para una función de distribución normal dada 
(de media μ y desviación típica σ), la probabilidad de 
observar lo que experimentalmente se ha observado 
viene dada por 
 
( )[ ] ( )[ ]∏
=
−=
nstresses
i
f
i
r
i
ii SFSFV
1
,,,,1 σμσμ
 
(3) 
 
en donde ri representa el número de “run-outs” al nivel 
de carga i-ésimo, y fi el número de fallos observados al 
mismo nivel de carga. F es la probabilidad acumulada 
de fallo, correspondiente a una función normalmente 
distribuida de media μ y desviación típica σ : 
 
( ) dxxSF
S
∫
∞− ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
2
2
1exp
2
1,,
σ
μ
πσ
σμ
 
(4) 
 
Si se sospecha otro tipo más apropiado de distribución 
(Weibull, logarítmico-normal…) puede modificarse la 
expresión (4) introduciendo la acumulación de la 
función de distribución que se considere más apropiada. 
 
 
Figura 2. Verosimilitud (“Likelihood”) en función de μ 
y σ (en MPa o ksi), para los datos contenidos en la 
tabla 1. 
 
Anales de Mecánica de la Fractura 26, Vol. 2 (2009)
408
La figura 2 muestra en ordenadas la verosimilitud en 
función de μ y σ, para los datos contenidos en la tabla 
1. 
 
Para hacer máxima la verosimilitud, deberemos calcular 
los valores de μ y de σ que hacen máxima la 
probabilidad definida en la ecuación (3), es decir, la 
posición del máximo en la superficie representada en la 
figura 2. La estrategia más habitual consiste en hacer 
máximo su logaritmo neperiano, en lugar de su valor 
absoluto (el logaritmo es una función monótona 
creciente en el valor de la variable) y resulta mucho más 
sencillo, rápido y preciso de calcular 
 
( )[ ]∑
=
+−=
nstresses
i
iiii FfFrV
1
ln1lnln
 
 (5) 
 
en donde, por simplicidad, Fi representa F(Si, μ, σ). 
Ahora deberíamos obtener las derivadas parciales de la 
expresión (5) con respecto a las incógnitas μ y σ e 
igualarlas a cero. Entonces obtendremos un sistema de 
dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas. 
 
Su codificación en Matlab® 7.0.0 se muestra en el 
Apéndice. Es extraordinariamente breve y emplea la 
función ‘fminsearch’ para calcular el mínimo 
(cambiando el signo a la ecuación (3)) usando un 
método “simplex” de Nelder-Mead (algoritmo de 
búsqueda directa [7]). También es sumamente rápido. 
No hay ningún inconveniente en que utilice el código 
que se adjunta como mejor prefiera. Como alternativa 
también puede barrer los valores de μ y σ, como se 
muestra en la figura. 2, para localizar dónde se obtiene 
la máxima verosimilitud, empleando las ecuaciones (3) 
ó (5). 
 
Nuestra mejor estimación es: μ = 71.69 y σ = 1.80 
(ambas en MPa o ksi). En este ejemplo concreto, tanto 
Rice como el método de los dos puntos proporcionan 
buenas estimaciones de μ, no así para σ. El método de 
los dos puntos proporciona una estimación de σ = 2.10, 
bastante por arriba del valor más probable de 1.80 
(como se observa en la figura 2). Otros métodos 
propuestos [8,9], suponiendo una distribución normal y 
aproximando la distribución binomial por otra normal; 
para el límite de fatiga, estiman σ como 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Δ⋅=
∑∑
== 029.062.1 2
2
11
2
f
nstresses
i
i
nstresses
i
if
n
iffin
Sσ 
 (6a) 
 
cuando el primer término del corchete sea mayor o igual 
a 0.3 y 
 
SΔ⋅= 53.0σ (6b) 
si es menor de 0.3. En el ejemplo, esta expresión 
predice: 
 
93.1029.0
13
1523135.262.1 2
2
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−×
×=σ (7) 
 
Curiosamente, el resultado sería casi perfecto si se 
eliminara el término 0.029 en la expresión (6a). 
 
 
5. CONCLUSIÓN 
 
Se describe un método para analizar los resultados de 
los ensayos dirigidos al cálculo del límite de fatiga. El 
método de máxima verosimilitud tiene un fundamento 
estadístico mucho más sólido que otros métodos 
descritos en la bibliografía [8,9]. Tampoco se realizan 
aproximaciones como sustituir la distribución binomial 
por una normal. 
 
Este procedimiento es mucho más flexible con los 
experimentos, permitiendo ensayar a niveles 
intermedios de carga o al antojo del experimentador. El 
método aprovecha toda la información experimental 
disponible, de cualquier nivel de carga; falle la probeta 
o no, aún proporciona información. 
 
La resolución no es explícita, pero un mínimo programa 
de ordenador, que se proporciona en el Apéndice, 
permite resolverlo con facilidad. No hay excusa para no 
hacer un correcto análisis de los resultados, desde el 
punto de vista estadístico, sobre todo considerando el 
tiempo y dinero que habitualmente conlleva hacer este 
tipo de experimentos. 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
Los autores desean agradecer la financiación recibida, 
por parte de la Unión Europea, dentro del proyecto 
MicroFat (Contrato número: RFSR-CT-2005-00034, en 
colaboración con CSM e Iveco (Italia), Ascometal 
(Francia)y Sidenor (España)); al Ministerio de Ciencia 
e Innovación por la financiación recibida dentro del 
proyecto (MAT2008-03735/MAT) y al Gobierno Vasco 
por la financiación recibida dentro del proyecto PI09-
09. 
 
 
REFERENCIAS 
 
[1] Wöhler, A., “Versuche über die Festigkeit der 
Eisenbahn Wagenachsen Zeitschrift für Bauwesen“, 
(1860). 
 
[2] Forrest, P.J., “Fatigue of Metals“, Addison-Wesley, 
Reading, Massachusetts, EEUU (1962). 
 
[3] Rice, R.C., “Fatigue Data Analysis”, en Metals 
Handbook, 9th edt., Vol. 8, Mechanical Testing. 
Anales de Mecánica de la Fractura 26, Vol. 2 (2009)
409
American Society for Metals. Metals Park, Ohio, 
EEUU (1985). 
 
[4] Conway, J.B., Sjodahl, L.H., “Analysis and 
Representation of Fatigue Data”, ASM International, 
Materials Park, Ohio, EEUU (1991). 
 
[5] Little, R.E., Jebe, E.H., “Statistical Design of 
Fatigue Experiments”, Applied Science Publishers 
Ltd., Londres, Reino Unido (1975). 
 
[6] Davoli, P., Bernasconi, A., Filippini, M., Foletti, S., 
Papadopoulos, I.V. ”Independence of the torsional 
fatigue limit upon a mean shear stress”, Int. J of 
Fatigue 25 (2003) 471-480. 
 
[7] Lagarias, J.C., Reeds, J.A., Wright, M.H., Wright, 
P.E. "Convergence Properties of the Nelder-Mead 
Simplex Method in Low Dimensions," SIAM 
Journal of Optimization 9, 1 (1998) 112-147. 
 
[8] Collins, J.A., Failure of Materials in Mechanical 
Design: Analysis, prediction, prevention”, John 
Wiley & Sons. Nueva York, EEUU (1993). 
 
[9] T. Dahlberg, A. Ekberg, “Failure Fracture Fatigue 
An Introduction”, Tore Dahlberg, Sweden (2002), p. 
215-216. 
 
 
Ejemplo de entrada de daos: Rice.xls 
 
Stress [ksi] Number of Failures Number of Run-outs
62,5 0 1
65 0 1
67,5 0 3
70 2 8
72,5 7 4
75 4 0 
 
Ejemplo de resultados: 
 
Name of Excel file with: Stress, 
Failures and Run-outs (3 columns): 
rice 
optmusig = 71.6873 1.7981 
 
APÉNDICE 
Código de Matlab 7.0.0 
 
function FatigueLimit 
%FATIGUE LIMIT (Matlab 7.0.0 code: fatiguelimit.m) 
%It reads an Excel table with three columns: 
%Stress, Number of Failures, Number of Run-outs. 
%A normal distribution for the stress limit is assumed. 
%MAXIMUM LIKELIHOOD is used. 
%Function at likelihood.m is required 
clear all 
namefile=input('Name of Excel file with: Stress, Failures and Run-outs (3 columns):'... 
,'s'); 
data=xlsread(namefile); 
S=data(:,1); %The stresses (or loads, or strains) in the first column 
f=data(:,2); %Number of failures 
r=data(:,3); %Number of run-outs 
mu=S(fix(length(S)/2)); %Initial value for the mean 
sigma=S(2)-S(1); %Initial value for the standard deviation 
mu0_sig0=[mu sigma]; %Initial values for mu and sigma 
[optmusig]=fminsearch(@likelihood,mu0_sig0,[],S,f,r) 
 
function like = likelihood(vmus,S,f,r) %Computes likelihood 
mu =vmus(1); %Mean value for the normal distribution 
sigma=vmus(2); %Standard deviation 
like=-1; %Likelihood. Negative because 'fminsearch' searches minimums 
for i=1:length(S); 
 like=like*(1-normcdf(S(i),mu,sigma)).^r(i).*normcdf(S(i),mu,sigma).^f(i); 
end
 
Anales de Mecánica de la Fractura 26, Vol. 2 (2009)
410