2022 Segundo parcial 2Cuatri Tema 4

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ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
2° PARCIAL 
 
 
04/11/22 
TEMA 4 
 
 PUNTAJE 1) 2 puntos 2) a) 1,5 puntos b) 0,5 puntos 3) 2,5 puntos 4 ) al 10) 0,5 cada uno 
 
 
1) Dada la familia de vectores ( ) ( ) ( ) 3 , ; ;1 , 1;1; 1 , 1; 1;1de A k k k = − − + , determinar el conjunto de los k para 
el cual los vectores del conjunto A son linealmente dependientes. RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
2) a) Hallar el subespacio de 
4 generado por los vectores ( ) ( ) 1;1;0;2 , 2; 1;1;1A = − 
 b) ¿El vector ( )0;1;1;3u = pertenece al subespacio generado por los vectores del conjunto A ?Justifique 
adecuadamente su respuesta RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
3) Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se 
necesita un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina 
de 2 horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone 
de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. Si el 
beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150 mil y 100 mil pesos, respectivamente, ¿cuántas alfombras 
de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo? Resolver por método 
gráfico. RESOLUCIÓN EN LA HOJA 4 
4) Dada la siguiente función ( ); 4 2 1Z x y x y= + − y la región determinada por las siguientes restricciones 
4
2 7 , 0
2 13
x y
x y con x y
x y
− + 

+  
 + 
 el valor máximo y mínimo de Z es: 
 
 a) 25, 0máx mínZ Z= =  b) 25, 9máx mínZ Z= = 
 c) 25 , 13máx mínZ Z= =  d) Ninguna respuesta es correcta 
 
5) Una base del espacio formado por todos los puntos del plano ( ) 3; ; / 5 4 0A x y z x y z=  + − = es: 
 
 
 
 a) ( ) ( ) 1;5;0 , 0;4;1B =  b) ( ) ( ) 1; 5;0 , 0;4;1B = − 
 c) ( ) ( ) 1; 5;0 , 0; 4;1B = − −  d) ( ) ( ) 1;5;0 , 0; 4;1B = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) El conjunto de valores de a para que los vectores del conjunto ( ) ( ) ( ) ;0;1 , 1;1; , 0;1;0S a a= no generen a 3
es: 
 
 a)  1,1−  b)  1,1− − 
 c)   d)  
 
 
7) Sea la región del plano R 
0
0
3 15
3 15
2
x
y
x y
x y
x y




+ 
 − 

+ 
 y la función 5 15Z x y= + los vértices de la región de soluciones 
factibles son 
 a) ( ) ( )0;2 0;5 (2;0) (15;0)A B C D  b) ( ) ( ) ( )5;0 6;3 15;0A B C 
 c) ( ) ( ) ( ) ( )0;0 0;5 6;3 5;0A B C D  d) No existen soluciones factibles 
 
8) Dado el sistema homogéneo
2 0
2 0
2 0
kx y z
x ky z
x ky z
+ − =
+ + =
− + =





 el conjunto de valores de k para que el conjunto solución del 
sea un subespacio de dimensión no nula es: 
 a)  0 −  b)  
 c)  2,1−  d)  2,1 − − 
 
 
9) ¿Para qué valores de b la solución del sistema 
3 2 4
4 2 3 0
x y z b w
x y z w
+ + = − +

+ − + =
es un subespacio propio de 4 ? 
 a) 0b =  b) 1b = 
 c) 4b = −  d) 4b = 
 
 
10) El plano balance que contiene todas las posibilidades de consumo ( ); ;x y z para un presupuesto de $7200, 
correspondiente a tres bienes, está dado por 31 2 1
120 150 400
xx x
+ + = 
 Entonces el vector de precios es: 
 a) ( )120;150;400p =  b) ( )48;60;160p = 
 c) ( )60;48;18p =  d) ( )150;120;45p = 
 
 
 
 
1) Dada la familia de vectores ( ) ( ) ( ) 3 , ; ;1 , 1;1; 1 , 1; 1;1de A k k k = − − + , determinar el conjunto de los k 
para el cual los vectores del conjunto A sean linealmente dependientes. 
Planteamos la combinación lineal de los vectores de la familia ( ) ( ) ( ) 3 , ; ;1 , 1;1; 1 , 1; 1;1de A k k k = − − + e 
igualamos al vector ( )0;0;0 y determinamos cuál o cuáles son los valores de k, para que la familia A sea un conjunto 
linealmente dependiente de 3 
( ) ( ) ( ) ( ); ;1 1;1; 1 1; 1;1 0;0;0k k k  − + − + + =
 
Operando e igualando al vector nulo, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo 
 Escribimos su matriz ampliada y resolvemos el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema que deberá ser 
nulo
( )
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0
1 1 0
1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1
k
k k
k k k
k k
k
  
  
  





 
 
− +  − + = 
 
+ + =
− + + +

=
+
−
=
− 
−
 
Desarrollamos el determinante por la primera fila por la Regla de Laplace 
( ) ( )
( ) ( )
( )  
2 2
2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 1 1 2 2 1 1 5 0
5 5 0 0 5 5,0
k
k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
k k k k k k k
+ − + −
− + = − + = + + − − − − + − =
− −
−
= + − − − + − = + + + + − = + =
+ = + = → =  = −   −Los vectores del conjunto serán LD sólo si
 
 
2) a) Hallar el subespacio de 
4 generado por los vectores ( ) ( ) 1;1;0;2 , 2; 1;1;1A = − 
Para hallar el subespacio generado planteamos la combinación lineal de los vectores del conjunto A dado 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1;1;0;2 2; 1;1;1
1 ;1 ; 2 2 ; 1 ;1 1
1 2 ;1 1 ;1 2 1
1
; ; ;
0; ; ; ; ;
; ; ; ;
1
1
2 1 0 2 1 0 2
1 1 1 0 0 0 2
0 1 0 1 0 1
2 1 2 0
2
1 1
2
x y z w
x y z w
x y z w
x x z x z
x
y y z y z x z
y
z z z
z
w w z
w
 
      
      
 
 

 
+ =
+ =
+ + =

− −    + =     − + + − +    = →      
    =     − 
−
 
−

−
−
+ =
1 0 2
0 0 3
0 1
0 0 2 4 0 0 2 3
 3 0 2 3 0,
:
x z
y x z
z
w z x z w x z
y x z w x z
−   
   
− +   
   
      − − + − +   
− + = − + =Para que el sistema no sea incompatible, es necesrio que y al mismo tiempo entonces
el subespacio generado por A es ( ) 
( ) 
4
4
 A ; ; ; / 3 0 2 3 0
 A ; ; ; / 3 2 3
x y z w y x z w x z
x y z w y x z w x z
=  − + =  − + =
 =  = −  = −
 
 
 
 b) ¿El vector ( )0;1;1;3u = pertenece al subespacio generado por los vectores del conjunto A ?Justifique 
adecuadamente su respuesta 
 
El vector pertenece al subespacio generado si puede expresarse como combinación lineal de los vectores del 
conjunto, de mismo modo también es posible determinar si pertenece al subespacio si verifica la condición que deben 
cumplir los vectores de este. 
Planteamos en primer término la combinación lineal del vector ( )0;1;1;3u = 
 
( ) ( ) ( )0;1;1;3
1 2 0 1 0 2 1 0 2
0
1 1 1 1 0 2 0 0 4
1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1
2 1 3 2 0 2
1;1;0;2 2; 1;1;1
1 2
1 1
2
0
1
0 6
3
por lo tanto podemos concluir
 
 
 

 
+ =

− −      + =       −      = →        
      =      
   
−
 + =
−
El sistema es incompatible, 
( ) 4: A ; ; ; / 3 2 3
 que no pertenece al subespacio
x y z w y x z w x z=  = −  = −Por otro lado , dado que el subespacio generado por A es
El vector para pertenecer al subespacio debería cumplir con las condiciones 
Condici ( )0;1;1;3
1 0 3 1 3 2 0 3 1
 3 2 3 y x z w x z dado que :u = →
 −   
 −  =
−
−
 
ones que no se cumplen ya que siendo
 
 
3) Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita 
un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de 2 
horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone 
de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. 
Si el beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150 mil y 100 mil pesos, respectivamente, ¿cuántas 
alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo? Resolver 
por método gráfico 
Con los datos del enunciado armamos una tabla que nos permitirá plantear el problema.La función objetivo es ( ) ; 150 100B x y x y= + , sujeta a las restricciones 
 2 3 600
2 480
, 0
x y
x y
x y
+ 

+ 
 
 
 Alfombra Seda Alfombra Lana Disponibilidad 
Trabajo Manual 2 3 600 
Trabajo Máquina 2 1 480 
Utilidad $ 150 (en miles) $ 100 (en miles) 
 
 
Evaluamos la función de Beneficio ( ) ; 150 100B x y x y= + en cada uno de los vértices de la región. 
 
( )
( )
( )
( )
0;0 150 0 100 0 0
0;200 150 0 100 200 20.000
210;60 150 210 100 60 37.500
240;0 150 240 100 0 36.000
 
 
 
B
B
B
B
=  +  =
=  +  =
=  +  =
=  +  =
 
El plan óptimo de producción será producir 210 alfombras de seda y 60 alfombras de lana. Dando un beneficio 
máximo de $37.500.