2023 Primer parcial 1Cuatri Tema 3

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ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
1° PARCIAL 
 
 
28/04/23 
TEMA 3 
 
PUNTAJE 1) a) 0,75 punto b) 0,75 punto c) 1 punto 2) a) 1 punto b) 1punto 3) 2 puntos 4 al 10) 0,5 cada uno 
 
 
1) Dadas las matrices 𝑨 = (𝟏 𝟎 −𝟐
𝒎 𝟏 𝟎
) , 𝑩 = 𝑨.𝑨𝒕, 𝑪 = (𝟏 −𝟐
𝟏 𝟎
) con 𝒎 ∈ 𝓡 
a) Hallar los valores del parámetro m para que la matriz B sea inversible. 
 En primer lugar, debemos encontrar la matriz B, resolviendo el producto entre A y su traspuesta. 
𝑩 = 𝑨. 𝑨𝒕 
 
Conocida la matriz B, deberemos hallar los valores del parámetro m para que la matriz sea inversible, es 
decir hallar los valores de m que hacen que el determinante de B sea no nulo 
 
 |𝑩| = | 𝟓 𝒎
𝒎 𝒎𝟐 + 𝟏
| = 𝟓(𝒎𝟐 + 𝟏) − 𝒎𝟐 = 𝟒𝒎𝟐 + 𝟓 ≠ 𝟎 ∀𝒎 ∈ ℝ |𝑩| ≠ 𝟎 
 Por lo que podemos concluir que l matriz B es inversible para todo 𝒎 ∈ 𝓡 
 
b) Para 𝒎 = 𝟏, calcular la inversa de B 
𝑩 = (𝟓 𝟏
𝟏 𝟐
) 
 
1) Calculamos el determinante de B → |𝑩| = |𝟓 𝟏
𝟏 𝟐
| = 𝟗 
 
2) Hallamos Bt para calcular la Adj B 𝑩𝒕 = (𝟓 𝟏
𝟏 𝟐
) → 𝑨𝒅𝒋 𝑩 = ( 𝟐 −𝟏
−𝟏 𝟓
) 
 
3) Hallamos B-1 sabiendo que B-1= 
𝑨𝒅𝒋 𝑩
|𝑩|
=
𝟏
𝟗
( 𝟐 −𝟏
−𝟏 𝟓
) = (
 
𝟐
𝟗
−
𝟏
𝟗
−
𝟏
𝟗
 
𝟓
𝟗
) 
c) Para 𝒎 = 𝟏, resolver la ecuación matricial 𝑩𝒕.𝑿 + 𝟗𝑪 = 𝑵 , siendo 𝑵 la matriz Nula 
𝑩𝒕.𝑿 + 𝟗𝑪 = 𝑵 → 𝑩𝒕.𝑿 = 𝑵 − 𝟗𝑪 
(𝑩𝒕.)−𝟏. 𝑩𝒕.𝑿 = (𝑩𝒕.)−𝟏(𝑵 − 𝟗𝑪) 
𝑿 = (𝑩𝒕.)−𝟏(𝑵 − 𝟗𝑪) 
 
Recordar que (𝑩𝒕.)−𝟏 = (𝑩−𝟏)𝒕 
 
2) a) Hallar la ecuación del plano 𝝅 que pasa por 𝑷 = (𝟐;−𝟏;𝟑) y es paralelo al plano 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 + 𝟒 = 𝟎 
Si el plano buscado es paralelo al dado, entonces su vector normal se puede considerar como vector 
normal del plano buscado: 
�⃗⃗� 𝝅 = (𝟐; 𝟑;−𝟏) 
 Aplicamos la fórmula de la ecuación del plano 
𝑷𝟎𝑷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . �⃗⃗� = 𝟎 
𝒏𝒙(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒏𝒚(𝒚 − 𝒚𝟎) + 𝒏𝒛(𝒛 − 𝒛𝟎) = 𝟎 
 
 Entonces 𝟐(𝒙 − 𝟐) + 𝟑(𝒚 + 𝟏) + (−𝟏)(𝒛 − 𝟑) = 𝟎 → 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 + 𝟐 = 𝟎 
 b) Hallar la ecuación vectorial de la recta perpendicular al plano 𝟐𝒙 + 𝒛 = 𝟐𝒚 + 𝟓 que pasa por el punto 
𝑷 = (𝟐; 𝟏; 𝟎) 
 
Si la recta es perpendicular al plano, entonces el vector normal del plano puede considerarse como 
vector director de la recta buscada, entonces: 
 
�⃗⃗� 𝝅 = (𝟐;−𝟐; 𝟏), 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 �⃗⃗� 𝒓 = (𝟐;−𝟐; 𝟏) 
 
 Ecuación Vectorial: 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝝀�⃗⃗� 𝒓 
(𝒙; 𝒚; 𝒛) = (𝟐; 𝟏; 𝟎) + 𝝀(𝟐;−𝟐; 𝟏) 
 
3) Dado el sistema de ecuaciones 
{
𝒙 − 𝒎𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝒎
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝒎
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒎𝒛 = 𝟑𝒎
 
 
 
Determinar los valores del parámetro 𝒎 ∈ 𝓡 , para que el sistema admita solución única, infinitas 
soluciones y no admita solución. 
 
Para analizar el sistema de ecuaciones en función del parámetro debemos en primer lugar buscar para 
qué valores del parámetro m anulan el determinante de la matriz de los coeficientes. 
|
𝟏 −𝒎 −𝟐
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟐 𝒎
| = 𝟎 
 
 
 Por lo tanto |𝑨| = 𝒎𝟐 − 𝟒 = 𝟎 →→ 𝒎 = −𝟐 ∨ 𝒎 = 𝟐 
 
 Podemos garantizar en base a lo anterior que 𝒔𝒊 𝒎 ≠ −𝟐 ∧ 𝒎 ≠ 𝟐 el sistema es SCD ( única solución) 
 Debemos analizar que ocurre con el sistema para los valores de m hallados. 
 Reemplazamos en el sistema 𝒎 = −𝟐 
 
Por lo tanto, podemos concluir que si 𝒎 = −𝟐 el sistema resulta incompatible (SI). 
Reemplazamos por 𝒎 =2 
 
Por lo tanto, podemos concluir que si 𝒎 = 𝟐 el sistema resulta incompatible (SI). No existen valores de m 
para los cuales el sistema resulta compatible indeterminado. 
 
4) La matriz B solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales {
𝑨 + 𝑩 = (
𝟐 −𝟑
𝟏 𝟒
)
𝟐𝑨 − 𝑩 = (
𝟏 𝟎
𝟐 𝟐
)
 es: 
 
 a) 𝑩 = (
−𝟏 𝟎
−𝟐 −𝟐
) 
 
 b) 𝑩 = (
𝟏 −𝟏
𝟏 𝟐
) 
 
 c) 𝑩 = (
𝟏 −𝟐
𝟎 𝟐
)  d) B= (
 𝟏 𝟏
−𝟏 𝟐
) 
 
5) ¿Para qué conjunto de valores de 𝒎 ∈ 𝓡, el rango de 𝑨 es 3, siendo
 
𝑨 = (
−𝟐 𝟏 −𝟑
−𝟏 𝒎 𝒎 − 𝟐
 𝒎 𝟎 𝟐
)? 
 
 a) ∅  b) 𝓡 − {𝟏} 
 c) 𝓡 − {
𝟏
𝟐
, 𝟏}  d) {
𝟏
𝟐
, 𝟏} 
 
6) Sabiendo que |𝑨| = |
𝒎 𝒏 𝒑
𝒒 𝒓 𝒔
𝟐 𝟏 𝟑
| = 𝟓, los determinantes |𝑩| = |
𝟑𝒎 + 𝟐 𝟑𝒏 + 𝟏 𝟑𝒑 + 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑
𝒒 𝒓 𝒔
| 𝒚 
 |𝑪| = |
𝟏
𝟓
 𝑨−𝟏. 𝑨𝟐| son iguales a: 
 
 a) |𝑩| = −𝟏𝟓 |𝑪| =
𝟏
𝟐𝟓
  b) |𝑩| = 𝟏𝟓 |𝑪| = 𝟏 
 c) |𝑩| = −𝟏𝟓 |𝑪| = 𝟏  d) |𝑩| = 𝟏𝟓 |𝑪| =
𝟏
𝟐𝟓
 
 
 
7) Un cajero automático contiene sólo billetes de 100, 200 y 500 pesos. En total hay 130 billetes con un 
importe de $30.000. suponiendo que el número de billetes de $100 es el triple que el número de billetes 
de $500, ¿Es posible que en el cajero exista esa combinación de billetes? 
 a) No es posible, es un sistema incompatible.  b) 40,10,80 respectivamente 
 c) 80,10 y 40 respectivamente  d) 10,40,80 respectivamente 
 
8) Dadas las matrices 𝑨 = (𝟐 𝟏
𝟏 𝟏
) , 𝑩 = (𝟏 𝒙
𝒙 𝟎
) , 𝑪 = ( 𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟐
) el valor de x que verifican que 
 B+C= 𝑨−𝟏 es: 
 
 𝒙 = 𝟐  b) 𝒙 = 𝟏 
 c) ∄𝒙 que verifique la igualdad  d) 𝒙 = 𝟎 
9) Sea el sistema de ecuaciones {
𝒙 + 𝒛 = 𝟐
−𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
−𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐
 entonces el conjunto solución del sistema es: 
 
 
 a) {(𝒙, 𝒚, 𝒛)/𝒙 = −𝟑𝒛, 𝒚 = 𝟎, 𝒛 ∈ 𝓡}  b){(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒙⁄ = 𝟐 − 𝒛, 𝒚 = 𝟐 − 𝟑 𝒛, 𝒛 ∈ 𝓡} 
 c) {(𝟎; 𝟎; 𝟎)}  d)  
 
10) En una economía hipotética de dos industrias A y B la matriz de insumo producto viene dada por la 
siguiente tabla 
 A B DF PT 
A 5 3 12 20 
B 10 9 5 24 
VA 5 12 --- 
PT 20 24 --- 44 
 
Si la demanda final se modifica a: 𝑫𝑭 = (
𝟐𝟔
𝟑𝟗
) el nuevo vector producción es: 
11) 
 a) 𝑿 = (
𝟏𝟎𝟒
𝟓𝟐
)  b) 𝑿 = (
𝟐𝟎, 𝟏𝟓
𝟑𝟒, 𝟒𝟓
) 
 c) 𝑿 = (
𝟓𝟐
𝟏𝟎𝟒
)  d) 𝑿 = (
𝟑𝟒, 𝟒𝟓
𝟐𝟎, 𝟏𝟓
)