REGLA_DE_LA_CADENA-TANGENTE

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CáLCULO 1
SESIÓN 2: Regla de la cadena. Rectas tangente y normal a una curva.
1
Héctor Paredes Aguilar
SABERES PREVIOS:
CONSUMO DE CAFÉ
Al finalizar la sesión, el estudiante calcula la derivada de una función compuesta haciendo uso de las regla de la cadena así como determina las rectas tangentes y normales a una curva en el planteamiento y resolución de problemas de contexto real.
LOGRO
REGLA DE LA CADENA 
 DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS
Las reglas de derivación estudiadas hasta el momento son limitadas a expresiones sencillas. Veamos.
¿Cómo se puede derivar la siguiente función? 
Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar 
Por supuesto, el problema no pasa por elevar el binomio a la potencia 20.
TEOREMA: LA REGLA DE LA CADENA 
TEOREMA. 
Si y = f(u) es una función derivable de u.
Y u = g(x) es una función derivable de x.
Entonces: 
y = f(g(x)) es una función derivable de x cuya derivada esta dada por el producto:
O bien, de forma equivalente por:
Ejercicios:
1.
2.
3.
 REGLA GENERAL DE LA POTENCIA 
TEOREMA 
Si y = [u(x)] n donde “u” es una función derivable de “x” y “n” es un número racional entonces:
o su equivalente
Ejercicios:
Encontrar dy/dx 
9
PROBLEMA DE APLICACIÓN:
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Y LA REGLA DE LA CADENA
Sea u=u(x) una función diferenciable, entonces:
EJERCICIOS:
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Sea u=u(x) una función diferenciable, entonces:
DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LA REGLA DE LA CADENA
EJERCICIOS:
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
Sea f-1(x) la función inversa o recíproca de f(x).
Sabemos que se cumple siempre (f o f-1)(x) = f(f-1(x)) = x
Si dos expresiones son iguales, sus derivadas también serán iguales, por lo que podemos conservar dicha igualdad al derivar.
Por la Regla de la cadena, derivando ambos lados de la igualdad:
f ‘(f-1)(x)).(f-1)’(x) = 1
Despejando la derivada de la función inversa:
Si una función es la inversa de otra, la derivada de una de ellas es la unidad partido por la derivada de la función compuesta.
Gráficas de funciones inversas
16
y= ex
y= - √x 
y= x2
y= -0,5x+1
y= -2x+2
y= ln x
EJERCICIOS:
Vamos a calcular la derivada de
 
}
Sean
La derivada es:
Como: 
EJERCICIOS:
 
}
Sean
La derivada es:
Como: 
Vamos a calcular la derivada de
RECTA TANGENTE Y NORMAL
Sea f : R →R una función derivable en x=a, considerando la interpretación geométrica de f´(a) se dan las siguientes definiciones:
Recta tangente:
Recta Normal:
Recta tangente
Recta normal
a
f(a)
y= f(x)
EJEMPLO
Encuentre las ecuaciones de recta tangente y normal de la curva:
 cuando a = 3.
EJERCICIOS:
Sea f(x)= x² - 2x + 3, obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva en el punto P (2,3).
Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto de abscisa x=0.
Hallar los puntos de la curva , en donde las rectas tangentes a dicha curva tengan su pendiente igual a 1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función:
 , sabiendo que es paralela a la recta L cuya ecuación es 2y+5 = 0.
1
2
3
4
¡Ahora todos a practicar!
TRABAJO EN EQUIPO
En equipos desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3 de la hoja de trabajo
REFLEXIONEMOS:
 ¿Por qué crees que este tema es importante?
 ¿Qué dificultades se presentaron en la solución de los ejercicios?
 ¿Qué aprendiste en esta sesión?
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
24
Héctor Paredes Aguilar
2
3
)
3
(
+
=
x
y
????
)
3
(
20
3
+
=
x
y
.
dydydu
dxdudx
=
1
[]'
nn
d
unuu
dx
-
=
[
]
1
()
n
dydu
nux
dxdx
-
=
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
2
cos'
tansec'
secsectan'
d
senuuu
dx
d
uuu
dx
d
uuuu
dx
=
=
=
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
2
cos'
cotcsc'
csccsctan'
d
usenuu
dx
d
uuu
dx
d
uuuu
dx
=-
=-
=-
(
)
(
)
(
)
[
]
)
2
4
(
2
)
1
2
cos(
).
1
2
(
4
1
2
cos
.
2
.
1
2
.
2
)
´(
:
1
2
)
(
2
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
x
sen
x
x
sen
x
x
sen
x
f
Solución
x
sen
x
f
(
)
(
)
(
)
[
]
)
1
5
(
).
1
5
(
cos
15
1
5
.
5
.
1
5
cos
.
3
)
´(
:
1
5
cos
)
(
2
2
3
+
+
-
=
+
-
+
=
+
=
x
sen
x
x
sen
x
x
f
Solución
x
x
f
[
]
[
]
)
(
ln
)
(
u
a
a
a
dx
d
u
e
e
dx
d
u
u
u
u
¢
=
¢
=
[
]
[
]
u
e
u
u
dx
d
u
u
u
dx
d
a
a
¢
=
¢
=
log
1
)
(
log
)
(
1
)
ln(
112. Derivada función recíproca 1 ()().(())fxffx
arcsen()
x
1. ( )()( )().
fgxgfxx
==
oo
1
1
2. Derivada función recíproca 
1
 ()().
(())
fx
ffx
-
-
¢
=
¢
1
()
cos(arcsen())
gx
x
¢
=
()sen() y ()arcsen().
fxxgxx
==
2
1
1
x
-
(
)
2
2
cos(arcsen)1sen(arcsen )1
xxx
=-=-
2
1
()
1tg(arctg())
gx
x
¢
=
+
()tg() y ()arctg().
fxxgxx
==
2
1
1
x
+
()
tgarctgxx
=
()´()()
yfafaxa
-=-
1
()()
´()
yfaxa
fa
-=--