raices PPT PARA 2 MEDIO B

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2º E. Media 
Prof. Diferencial: Olga Zapata
Prof. Matemática: Olga Saavedra
OA * Comprender las propiedades de las raíces para al aplicación de 
situaciones de la vida diaria .
RAICES
¿Qué es una Raíz?
La Definición de Raíz como Potencia
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
El Indice Igual al Exponente
Multiplicación de Raíces de Igual Indice
División de Raíces de Igual Indice
Raíz de una Raíz.
Descomponer una Raíz
Racionalización
Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Par
Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Impar
Ecuaciones Irracionales
Curiosidades
Lugares en donde buscar más Información
4
¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un 
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
2
4
Indice
Cantidad 
Subradical
(-5,3)
8






5
4
Símbolo 
de Raíz
2
Elementos de una Raíz
m a
n
Exponente del 
SubradicalINDICE
SUBRADICAL
Símbolo 
de Raíz
_
_
¿Qué significa la Raíz?
(-5,3)
3






5
4
=
Ojo: El Indice 2 
no se escribe.
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
4
2
5 =
5
2
_
4
2
54
3
(-5,3)
_
2
=
3
(-5,3)
6 





5
4 77
6
Raíz Potencia=
3
(-0,6)
2
= (-0,6)
2
3
2
_






7
2
=
6






7
2
77
6
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
Transforma las siguientes raíces a Potencia
=4
=37
=
5
3
=





3
7
4
=3 5
=3 47
=





3
2
3
5
=5m
=m nd
=2
1
6
( ) =2
5
3,0
=




 2
9
5
2
=3
2
4
=





−
7
1
3
6
5
7
=b
c
a
2
1
4
2
3
7
2
1
5
3






2
3
7
4






3
1
5
3
4
7
3
2
3
5






m
n
d
2
5
m
6
53,0
9
5
2






3 24
7
3
6
5
7
−
b ca
_
Importante:
Lectura de una Raíz.
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. 
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. 
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.
3 76
56
4 76
En General
a
nb =
b
nanb
a
0 = 0
ba a
1 = 1
b
a ≥ 2
Pero es solo una aproximación decimal de la 
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor 
forma de representar a es como .
Raíz Cuadrada
=4 ya que2 =22 4
=9 ya que3 =33 9
=16 ya que4 =44 16
=25 ya que5 =55 25
=2 ...1688724273095048804142135623,1
2 2
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que 
no entregan un resultado exacto
Ayuda a Marta a resolver el 
siguiente problema:
“Trabajo en un supermercado y 
debo empacar 121 cajas de
chocolates en una caja 
cuadrada ¿cuántos debo colocar en 
cada fila? ”
•¿Cuál es el área de un 
cuadrado cuyo lado mide 4 
cm?
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación 
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor 
forma de representar a es como .
Raíz Cúbica
=3 8 ya que2 = 222 8
=3 27 ya que3 = 333 27
=3 64 ya que4 = 444 64
=3 125 ya que5 = 555 125
=3 3 ...6163831077907408382324422495703,1
3 3 3 3
Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que 
no entregan un resultado exacto.
2
2
_
1 - Propiedad: 
El Indice Igual al Exponente.
Sabiendo que:
7
2
3 =
3
2
737
¿Cuál será el resultado de?
5
2
5 =
5
2
_
555
=
_a
n =
a
nan
aa
En General: = n
2
1
2=2
1
2)
7
5 (5
9
__
2
2
_
2 - Propiedad: 
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
Sabiendo que:
7
2
3 =
3
2
737
¿Cuál será el resultado de?
9
=
9
2
2
=
a n =nxaEn General:
5
7•
2•
_
2
2( )
1
7
_
• =
9
2(
_
2)
1
5•
7
2
9 7
•5
• mya a nx•m
y
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
b)
c) =• 33
16
9
4
3
=• 33 366
=• 28
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
=••• 5635 33
=••• 3333 9243
( ) ( ) =−•− 52,12,1
=
−
•− 3
2
3
5
4
3
2
3
2
=• 3 43 5 mm
=• 57 nn
=••• 3 753 23 nnnn baba
6
4
4
3
15303 •
6
( )32,1
9
4
3m
6n
nnba 32
2 - Propiedad: 
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
1
2) ÷(777 5 (5
5
__
2
7
_
3 - Propiedad: 
División de Raíces de Igual Indice.
Sabiendo que:
7
2
3 =
3
2
737
¿Cuál será el resultado de?
5
=
5
2
=
a n =nxEn General:
5
7÷
7
2
_
7
_
2)
1
=
5
_
2)
1
5
7
7
5 7
5
mya a nx m
y
÷
÷
÷(
÷ ÷
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
b)
d)
3 - Propiedad: 
División de Raíces de Igual Indice.
=
2
8
=
3
3
3
81
=
3 4
3 7
5
5c)
=
•
•
83
281
3
3
e)
f)
h)
=
02,0
08,0
= 33
81
4
3
256
=
•
•
3 23 2
3 83 5
nm
nm
g)
=•• 3
6
5
3
4
3 2 d
a
b
d
a
b
3
5
2
3
2,0
3
4
3mn
b
a
2
1
••
(
4 - Propiedad: 
Raíz de una Raíz.
( 77
__
7
Sabiendo que:
¿Cuál será el resultado de?
5
5
2
=
a =En General:
=
1
2
_
2
1
= 7
mn b•a m
n
)
_
2
5 _
4
5
7
54
( 77
__
7
5
5
3
=
=
1
2
_
= 7)
_
3
5 _
6
5
7
563
b
3
2
)
3
= 3
6
y2
_
7
2
3 =
3
2
737
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a)
b)
c)
e)
d)
f)
4 - Propiedad: 
Raíz de una Raíz.
=16
=3 7
=3 4 5
=48nm
=
3 3 18
3 24
x
x
=3
6
12
y
x
2
6 7
12 5
42nm
y
x2
2x
Descomponer una Raíz
nmnm =Sabiendo que:
Resolver lo siguiente
750x
6225 xx 
25
+ 732x
+
+
5
6216 xx 
4
16
+
2 x 6x
2 x
3x 2 x
3x
xx 25 3 + xx 24
3
Son términos semejantes
xx 29 3
2 x 6x
=
=
=
=
=
Descomponer una Raíz
Otro ejemplo
45 + 20
Son términos semejantes
54−
80 125− −
59  54 
59 
544  255
54  544  255 
53 52 522  55+
+
+ −
−
−
−
−
−
53 52 54 55+ − −
=
=
=
=
Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el 
denominador presenta una Raíz, con el fin de 
que ésta no aparezca. 
Ejemplos:
=
2
1
2
2 =
3a
a
a =
3 23n
n
3
93 n
¿Qué es lo que hay que saber?
Amplificar:
2
7
=
4
4
8
28
Multiplicar Raíces = 82 41682 ==
= 53 xx 4853 xxxx ==
Potencias
Raíz como Potencia
Propiedad de Raíces: xxx n
n
n n ==
Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma 
aq
p
=
3
7
=
3
3
3
7
=
33
37
=
23
37
3
37
=
xm
n
=
x
x
xm
n
=
 xxm
xn
=
2xm
xn
mx
xn
=
+
7
52 ( )
=
+
7
7
7
52 ( )
=

+
77
752
=
+
27
7572
7
3572 +
=
aq
p
=
a
a
aq
p
=
aaq
ap
=
2aq
ap
qa
ap
En General
1)
2)
3)
=
5
7
n
=
14
7
nn
=
nn4
7
=
n
n
nn2
7
=
nn
n
2
7
4) =3
7
n
n
Racionaliza las siguientes Expresiones
=
11
7
11
7
=
a
ax
a
ax
52
15
52
15
=
a
ba
a
ba
10
40
10
40 22
=
33 a
aa
a
aa
=
49
7
49
7
=
ab
ab
=
+
2
28
=
−
xyxy
yxxy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma 
n kaq
p

=
3 4
7
=
3 2
3 2
3
4
4
4
7
=
3 2
3
44
47
=
3 3
3
4
47
4
474
=
4 3xm
n
=

4
4
4 3 x
x
xm
n
=


4 3
4
xxm
xn
=


4 4
4
xm
xn
mx
xn4
=
+
3 2
3
a
aa ( )
=
+
3
3
3 2
3
3 a
a
a
aa ( )
=
+
3 2
33
3 aa
aaa
=
+
3 3
33 2
3 a
aaa
a
aaa
3
33 +
=
 n kaq
p
=
 −
−
n kn
n kn
n k a
a
aq
p
=


−
−
n knk
n kn
aaq
ap
=

 −
n n
n kn
aq
ap
En General
1)
2)
3)
aq
ap n kn

 −
=
3 74
7
4) =
3 6 44
7
=
 33 6 44
7
=
 32 44
7
.....
4
4
44
7
3 2
3 2
32


Racionaliza las siguientes Expresiones
=
33 11
7
11
7
=
3 23 2 52
15
52
15
a
ax
a
ax
=
3 2
2
3 2
2
10
40
10
40
a
ba
a
ba
=
3 2
3
3 2
3
ba
aab
ba
aab
=
33 49
7
49
7
=
3 5ab
ab
=
+
4 3
4 74 11
2
22
=
−
7 69
7 623
yx
yxx
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo, 24 = ya que 422 =
entonces 
y así para todas las Raíces Cuadradas 
de Números Positivos
NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ
CUADRADA DE NÚMEROS 
NEGATIVOS
Es decir: 
4− No Existe 
2,0− No Existe 
36
25
− No Existe 
En General, Esta condición es propia 
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4 12,0− No Existe 
8
36
25
− No Existe 
Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e 
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR 
NO tienen restricción
Es decir: 
283 −=− ya que =−−− 222 8−
3273 −=− ya que =−−− 333 27−
3
2
27
8
3 −=− ya que=−−−
3
2
3
2
3
2
27
8
−
21287 −=− ya que =−−−−−−− 2222222 128−
Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de 
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
73 =+x
xx 213 −=+
13743 +=−++ xxx
1375123 +=++ xx
Para resolverlas hay que seguir 
dos pasos muy sencillos:
i) Si hay más de una raíz, se 
debe aislar en uno de los lados 
de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos lados 
de la ecuación.
OJO. En estricto rigor la solución de la 
ecuación debe estar en el siguiente 
conjunto:
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
642 =−x
 +,2
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada 
en uno de los dos lados de la ecuación.
642 =−x Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos 
lados de la igualdad a 2.
( ) 22 642 =−x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y 
el exponente se simplifiquen.
3642 =−x
Se resuelve como una ecuación de primer 
grado con una incógnita.
20=x
2/
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
138 =+−+ xx
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos 
lados de la ecuación.
Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos 
lados de la igualdad a 2.
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y 
el exponente se simplifiquen y en el otro 
lado de la igualdad tengamos que realizar el 
cuadrado de un binomio.
xx ++=+ 318
2/
( ) ( )22 318 xx ++=+
xxx ++++=+ 33218
x+= 324 Debemos volver al paso i), raíz aislada y 
elevamos al cuadrado ambos lados de la 
igualdad.
2/
( )22 324 x+=
( )x+= 3416
x41216 +=
x=1
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se 
transforma en una Ecuación de Primer Grado 
con una Incógnita
Curiosidades
...2
1
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+
+=
1)
2) Algoritmo para determinar una raíz.
Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327
RAICES