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LA FUNCION INVERSA
Funciones Uno-a-Uno 
• Una función f con dominio D y co-dominio o 
rango R es una función uno-a-uno si satisface
al menos una de las siguientes condiciones
equivalentes. 
1) Siempre que a ≠ b en D , f(a) ≠ f(b) en R .
2) Siempre que f(a) = f(b) en R, a = b en D .
Ejemplo: 
• f(x) = x2 NO es uno-a-uno,
ya que f(2) = f(-2) = 4 , pero 2 ≠ -2 .
Prueba de la línea horizontal
• Esta prueba dice que una función f es uno-a-
uno si cada línea horizontal interseca la 
gráfica de f en no más de un punto.
Aquí f NO
uno-a-uno.
 Existen líneas horizontals 
que intersecan la gráfica
en más de un punto.
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:
Observemos la gráfica …
La prueba de la línea
horizontal muestra que
f es uno-a-uno.
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.
Observemos la gráfica …
La prueba de la línea
horizontal muestra que
g NO es uno-a-uno.
Funciones crecientes/decrecientes
• Observaciones: 
– Una función que es creciente en todo su dominio
es uno-a-uno;
– Una función que es decreciente en todo su
dominio es uno-a-uno;
• Las gráficas de estos tipos de funciones
siempre pasarán la prueba de la línea
horizontal. 
Definición formal
• Sea f una función uno-a-uno con dominio D
y rango R .
• Una función g con dominio R y rango D es
la función inversa de f si para cada x en D y
cada y en R :
y = f(x) si y solo si x = g(y) .
x entra a f y la salida es y, 
si y solo si, cuando y entra a g, la salida es x.)
Teorema sobre funciones inversas
• Sea f una función uno-a-uno con dominio D
y rango R .
• Si g es una función con dominio R y rango
D , entonces g es la función inversa de f si y 
solo si se cumple lo siguiente :
– g(f(x)) = x para todo x en D
– f(g(y)) = x para todo y en R
Notación
• Si una función f tiene una función inversa g , 
entonces escribimos g = f -1 .
• Advertencia
– ¡ El -1 NO representa un exponente!
– f -1(y) NO es igual [f(y)]-1 .
(La función inversa no es equivalente a la función
del recíproco.
Domain and Range of f -1
• La definición de f -1 nos lleva a lo siguientes
hechos:
– El dominio de f -1 es el rango de f ;
– El rango de f -1 es el dominio de f .
• Dado esto, también es cierto que
– f -1(f(x)) = x para cada x en el dominio de f ;
– f (f -1(x)) = x para cada x en el dominio de f -1 .
Hallar e interpretar la función inversa
representada en forma tabular
• En la tabla de f (t) siguiente se muestra la distancia 
en millas que un automóvil ha recorrido en t
minutos. Encontrar e interpretar f −1 (70).
Cómo determinar f -1 algebraicamente
• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :
1. Esta es una función linear. Su pendiente es positiva. 
Por lo tanto, f es creciente en todo su dominio y 
es una funcion uno-a-uno.
2. Resolvemos la ecuación y = f(x) para x:
y = 3x - 5
y + 5 = 3x
𝑦+5
3
= 𝑥
3. Intercambiar variables: 𝑦 =
𝑥+5
3
o 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+5
3
Ejemplo (cont)
4. Verificaciones usando composición:
Por lo tanto, las funciones son inversas.
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 5
3
f(x) = 3x - 5 
Ejemplo: Dado que f es una función uno-a-
uno, hallar f -1 (x). Indicar su domino y campo 
de valores.
• Solución:
Ejemplo: Determine, si f y g son inversas.
𝑓 𝑥 =
2
𝑥3 + 1
g 𝑥 =
3 2−𝑥
𝑥
Graficas de f -1
• Como una funcion y su inversa intercambian
su dominio y rango,
– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo 
si…
– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .
Ejemplo: Trace las gráficas de
f(x) = 3x - 5
x f(x)
-3 -14
-2 -11
-1 -8
0 -5
1 -2
2 1
3 4
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 5
3
x f-1 (x)
-14 -3
-11 -2
-8 -1
-5 0
-2 1
1 2
4 3
Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe
para f(x) = 𝑥 + 3
Ejemplo (cont.)
• En general, las gráficas
de f y f -1 son 
simétricas con respecto
a la línea y = x .
• Aquí se presentan
f(x) = x3 y su inversa
f -1(x) = x1/3 .
../../Animations/chapter4/sec4-1fig10.mov
../../Animations/chapter4/sec4-1fig10.mov
Trace la gráfica de la función inversa 
de la función que se muestra.
Dominio:
Rango: 
Dominio:[-7,9]
Rango: [-1, 3]
X Y
-7
0
1
2
9
X Y
-7 3
0 2
1 1
2 0
9 -1
FIN