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MATEMÁTICA 
INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dirección de Educación a Distancia 
Apartado Postal, 1874, San Salvador, El Salvador 
Tel: 2251-8200 ext: 1743 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMARIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Clase 9 | Área como límites 
 
9 Área como límites 
 
Comenzaremos estudiando el problema de calcular el área determinada por el 
eje 𝑥, las rectas verticales 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, y la gráfica de una función 𝑓(𝑥) que 
supondremos en un primer momento, continua y positiva en un intervalo 
cerrado [𝑎, 𝑏], como se observa en la figura 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Área bajo la curva f(x) en un intervalo cerrado [a, b]. Fuente: Por 
Arenivar (2019) 
 
El concepto de integral definida lo construiremos a partir de la idea de pasar 
al límite una suma (dicha suma la representaremos con el símbolo Σ), cuando 
el número de sumandos tiende al infinito y simultáneamente cada uno de los 
sumandos tiende a cero. 
 
 
Para determinar con precisión esta idea comenzamos 
estudiando las “sumatorias (𝚺)” la cual es una 
notación matemática que permite representar sumas de 
varios sumandos, finitos o infinitos. 
 
 
Notación Sigma (𝚺). 
 
Consideremos las sumas: 
13 + 23 + 33 + ⋯ + 203 y 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 
Podemos indicar estas dos sumas en una forma compacta, escribiendo la 
primera como 
 
 
∑ 𝑖3
𝑖=20
𝑖=1
 
y la segunda como 
∑ 𝑎𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
 
La letra griega mayúscula  (llamada sigma), sugiere que se van a sumar 
todos los términos de la forma indicada cuando el índice 𝑖, 𝑗 ó 𝑘 barre los 
enteros positivos, empezando en el número entero que aparece en la parte 
de debajo de ∑ y terminando con el número de arriba. Así, por ejemplo 
tenemos: 
a) ∑ 𝑎𝑗
4
𝑗=3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 
b) ∑ 𝑘2𝑛𝑘=1 = 1
2 + 22 + ⋯ + 𝑛2 
c) ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1 ∆𝑥 = 𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥 
 
Propiedades de sumatoria  
 
𝟏. ∑ 𝒄𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 = 𝒄 ∑ 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 , con 𝑐 una constante 
 
𝟐. ∑(𝒂𝒊 + 𝒃𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
= ∑ 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝒃𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
𝟑. ∑(𝒂𝒊 − 𝒃𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
= ∑ 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− ∑ 𝒃𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Algunas sumas especiales. Fórmulas 
 
𝟏. ∑ 𝒄
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝒄𝒏 
𝟐. ∑ 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
=
𝒏𝟐 + 𝒏
𝟐
 
𝟑. ∑ 𝒊𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
=
𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏
𝟔
 
𝟒. ∑ 𝒊𝟑
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏𝟐(𝒏 + 𝟏)𝟐
𝟒
 
 
Ejemplo: calcule la suma ∑
(𝒊−𝟏)𝟐
𝒏𝟑
𝒏
𝒊=𝟏 
Solución: 
 
 
 
 
 El siguiente documento contiene información 
 complementaria sobre las sumatorias. 
 Universidad de Santiago de Chile-Chile (s.f.). 
 SUMATORIAS. Para ver el documento haga clic 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑
(𝒊 − 𝟏)𝟐
𝒏𝟑
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝟏
𝒏𝟑
∑(𝒊𝟐 − 𝟐𝒊 + 𝟏)
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝟏
𝒏𝟑
[∑ 𝒊𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
− 𝟐 ∑ 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
] 
 
=
𝟏
𝒏𝟑
[
𝟐𝒏𝟐 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏
𝟔
− 𝟐 (
𝒏𝟐 + 𝒏
𝟐
) + 𝒏] =
𝟏
𝒏𝟑
[
𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝟔𝒏𝟐 − 𝟔𝒏 + 𝟔𝒏
𝟔
] 
 
=
𝟏
𝟔
[
𝟐𝒏𝟑 − 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏
𝒏𝟑
] =
𝟏
𝟔
[
𝟐𝒏𝟑
𝒏𝟑
−
𝟑𝒏𝟐
𝒏𝟑
+
𝒏
𝒏𝟑
] 
=
𝟏
𝟔
[𝟐 −
𝟑
𝒏
+
𝟏
𝒏𝟐
] =
𝟐𝒏𝟐 − 𝟑𝒏 + 𝟏
𝟔𝒏𝟐
 
 A esta suma le calculamos el límite cuando 𝑛 ⟶ ∞, obteniendo: 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟐𝒏𝟐 − 𝟑𝒏 + 𝟏
𝟔𝒏𝟐
= 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏
𝟔
(
𝟐𝒏𝟐
𝒏𝟐
−
𝟑𝒏
𝒏𝟐
+
𝟏
𝒏𝟐
) =
𝟏
𝟔
(𝟐 − 𝟎 + 𝟎) =
𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1 Cálculo de áreas bajo la curva usando límites 
 
Se quiere encontrar el área de una región 𝑹, la cual está limitada por el eje 𝑥, 
a los lados por las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, y arriba por la curva 𝑦 =
𝑓(𝑥), donde 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. (Véase 
figura 13) 
 
Figura 13: Área de una región R limitada por el 
eje x, las rectas x = a y x = b, y arriba por la 
curva y = f(x). 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
https://www.cs.buap.mx/~fjrobles/Suma.pdf
 
 
Para obtener el área de este tipo de regiones elegimos un entero positivo 
cualquiera 𝑛, y dividimos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos con una anchura 
∆𝑥 = 
𝑏−𝑎
𝑛
, introduciendo los puntos 𝑥1, 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛−1 espaciados uniformemente 
entre a y b. 
Después se trazan rectas verticales por los puntos 𝑎, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,. . . . . , 𝑥𝑛−1, 𝑏, para 
dividir la región 𝑅 en 𝑛 rectángulos con el mismo ancho. Si se aproxima cada 
uno de estos rectángulos con un rectángulo inscrito bajo la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
(Ver figura 14), entonces la unión de todos estos rectángulos formará una 
región, que puede verse como una aproximación de la región 𝑅 completa. 
 
 
Figura 14: Aproximación del área bajo una 
función y = f(x) por medio de suma de áreas 
de rectángulos. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
El área de la región 𝑅𝑛 que llamaremos suma inferior 𝒔(𝒏), puede calcularse 
sumando las áreas de los rectángulos que la forman. Por otra parte, cuando 𝑛 
se incremente, los anchos de los rectángulos se harán cada vez más pequeños, 
de tal modo que la aproximación de la región 𝑅 por la región 𝑅𝑛 será mejor 
conforme los rectángulos menores llenen mayor número de huecos que 
quedaban bajo la curva. 
 
Por lo tanto, el área exacta de 𝑅 puede definirse como el límite de las áreas 
de las regiones de aproximación cuando 𝒏 tiende a infinito; es decir 
(1) Á𝑟𝑒𝑎 (𝑅) = lim
𝑛→∞
[á𝑟𝑒𝑎 (𝑅𝑛)] . 
Para fines de cálculo, expresamos (1) de la siguiente manera: si las alturas de 
los rectángulos inscritos las denotamos por ℎ1, ℎ2, ℎ3, … , ℎ𝑛 y usamos el hecho 
de que cada rectángulo tiene una base de longitude 
𝑏−𝑎
𝑛
, entonces 
(2) Á𝒓𝒆𝒂 (𝑹𝒏) = 𝒉𝟏 (
𝒃−𝒂
𝒏
) + 𝒉𝟐 (
𝒃−𝒂
𝒏
) + 𝒉𝟑 (
𝒃−𝒂
𝒏
) + ⋯ + 𝒉𝒏 (
𝒃−𝒂
𝒏
) 
Como suponemos que la función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], 
de acuerdo con el teorema del valor extremo que dice: “Si una función 𝒇 es 
continua en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃], entonces 𝒇 tiene tanto un valor 
máximo como un mínimo en [𝒂, 𝒃]”; entonces 𝑓 tiene un valor mínimo en 
cada uno de estos 𝑛 subintervalos cerrados siguientes: 
[𝒂, 𝒙𝟏], [𝒙𝟏, 𝒙𝟐], [𝒙𝟐, 𝒙𝟑], … , [𝒙𝒏−𝟏, 𝒃] 
 
Si estos valores mínimos ocurren en los puntos 𝒄𝟏,𝒄𝟐, … , 𝒄𝒏, entonces las alturas 
de los rectángulos inscritos son: 𝒉𝟏 = 𝒇(𝒄𝟏), 𝒉𝟐 = 𝒇(𝒄𝟐), … . , 𝒉𝒏 = 𝒇(𝒄𝒏) 
 
 
 
 
 
 
De modo que la expresión (2) puede ser escrita como 
 (3) Á𝒓𝒆𝒂 (𝑹𝒏) = 𝒇(𝒄𝟏)
𝒃−𝒂
𝒏
+ 𝒇(𝒄𝟐)
𝒃−𝒂
𝒏
+ ⋯ + 𝒇(𝒄𝒏)
𝒃−𝒂
𝒏
 
Por último, haciendo ∆𝒙 =
𝒃−𝒂
𝒏
 para la base de cada rectángulo, la expresión 
(3) pasa a ser 
(4) Á𝒓𝒆𝒂 (𝑹𝒏) = 𝒇(𝒄𝟏)∆𝒙 + 𝒇(𝒄𝟐)∆𝒙 + ⋯ + 𝒇(𝒄𝒏)∆𝒙 
Empleando la notación de sumatoria podemos expresar (4) como 
 Á𝒓𝒆𝒂(𝑹𝒏) = 𝒔(𝒏) = ∑ 𝒇(𝒄𝒊) ∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏 
Con esta notación, (1) se vuelve Á𝒓𝒆𝒂(𝑹) = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
∑ 𝒇(𝒄𝒊)∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: use rectángulos inscritos para encontrar el área bajo 
 la curva 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 
 en el intervalo [0, 2]. 
 
 Solución: La gráfica de la región 𝑅 se muestra e al figura 15 
 
 
 
Figura 15: Aproximación del área bajo la curva 
y = 4 − x2 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
 
 
 Dividimos el intervalo [0,2] en 𝑛 subintervalos de igual 
 longitud, entonces la longitud de cada subintervalo será 
 ∆𝑥 =
2−0
𝑛
=
2
𝑛
 
 Como 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 es decreciente en [0,2], el valor mínimo de 𝑓(𝑥) 
 En cada subintervalo ocurre en el punto extremo de la derecha, de modo 
 que 
 𝑐𝑖 = 𝑎 + 𝑖 (𝛥𝑥) = 0 + i (
2
𝑛
) =
2𝑖𝑛
, y 𝑓(𝑐𝑖) = 𝑓 (
2𝑖
𝑛
) = 4 − (
2𝑖
𝑛
)
2
= 4 −
4𝑖2
𝑛2
=
4𝑛2−4𝑖2
𝑛2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por lo tanto, el área sería 
 
 lim
𝑛→∞
∑
4𝑛2−4𝑖2
𝑛2
2
𝑛
= lim
𝑛→∞
4(𝑛2−𝑖2)
𝑛2
𝑛
𝑖=1
2
𝑛
= lim
𝑛→∞
8
𝑛3
∑ (𝑛2 − 𝑖2)𝑛𝑖=1 
 
 =
8
𝑛3
lim
𝑛→∞
(∑ 𝑛2𝑛𝑖=1 − ∑ 𝑖
2𝑛
𝑖=1 ) =
8
𝑛3
lim
𝑛→∞
(𝑛3 −
2𝑛3+3𝑛2+𝑛
6
) 
 
=
8
𝑛3
lim
𝑛→∞
6𝑛3 − 2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛
6
=
8
6
 lim
𝑛→∞
(
4𝑛3
𝑛3
−
3𝑛2
𝑛3
+
𝑛
𝑛3
) =
4
3
lim
𝑛→∞
(4 −
3
𝑛
+
1
𝑛2
) 
 =
4
3
(4 − 0 + 0) =
16
3
 𝑢2. 
 
 
 
Ahora, usaremos rectángulos circunscritos en lugar de los inscritos. 
Si los valores máximos de 𝑓(𝑥) en los diferentes subintervalos ocurren en los 
puntos 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, . . . . . . . , 𝑑𝑛. Entonces la suma 𝑺(𝒏) = ∑ 𝑓(𝑑𝑖) 𝛥𝑥
𝑛
𝑖=1 llamada 
suma superior es una aproximación, por rectángulos circunscritos, del área 
bajo la curva (Figura 16) 
 
 
 
 
 
Figura 16: Aproximación del área bajo una 
función y = f(x) 
por medio de una suma de áreas de 
rectángulos circunscritos. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 Y el área exacta es 𝐴 = lím
𝑛→∞
 ∑ 𝑓(𝑑𝑖) 𝛥𝑥
𝑛
𝑖=1 , ya que el error (el cual es 
representado por las partes que sobresalen de la curva) disminuye a medida 
que los rectángulos se hacen más estrechos. 
 
9.2 Sumas de Riemann 
 
Para formular el concepto de integral definida, seguiremos los siguientes 
pasos: 
Dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) la cual se asume que está definida en el intervalo 
cerrado [𝑎, 𝑏]. 
 
 
 
1. Divida el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos eligiendo puntos arbitrarios 
 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 <. . . . . . . . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 
2. Denote por 𝑷 la partición: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 <. . . . . . . . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 
(cuya representación gráfica se muestra en la figura 17), formada por estos 
puntos arbitrarios. 𝑷 = {𝒂, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, . . . . . , 𝒙𝒏−𝟏, 𝒃} 
 
 
 
 
Figura 17: Representación gráfica de una partición P. Fuente: Por Arenivar 
(2019) 
3. Sean 𝛥𝑥1 , Δ𝑥2 , ........Δ𝑥𝑛 las longitudes de los subintervalos sucesivos 
formados por la partición 𝑷. A la mayor de estas longitudes (el mayor ancho) 
se le llama la norma de la partición 𝑷 y se denota por ‖𝑃‖. 
4. Elija puntos arbitrarios 𝑥1
∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛
∗ en cada subintervalo, (ver figura 18) 
 
 
 
Figura 18: Representación gráfica de 
los puntos xi
∗ Fuente: Por Arenivar(2019) 
Estos puntos arbitrarios pueden ser los extremos del subintervalo (izquierdos 
o derechos), o el punto medio del subintervalo o cualquier punto del 
subintervalo. 
5. Forme la suma 𝑓(𝑥∗1) 𝛥𝑥1 + 𝑓(𝑥
∗
2) 𝛥𝑥2+. . . . . . . +𝑓(𝑥
∗
𝑛) 𝛥𝑥𝑛 = ∑ 𝑓(𝑥
∗
𝑖) 𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 . 
Estas sumatorias para las diferentes particiones de [𝑎, 𝑏], se conocen como 
sumas de Riemann, en honor del matemático alemán Georg Friedrich 
Bernhard Riemann (1826,1866). 
6. Incremente 𝑛, para que la norma de la partición tienda a cero ( ‖𝑃‖ → 0 ), y 
formar el límite 
 lim
 ‖ P‖→0
 ∑ 𝑓(𝑥∗𝑖) 𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 , si existe……….. (𝛼) 
 
Observaciones importantes 
1) Una suma de Riemann no requiere que la función 𝑓 sea continua ni no 
negativa en el intervalo [𝑎, 𝑏]. 
2) La expresión (𝛼) no necesariamente representa una aproximación al área 
bajo una gráfica. Tenga muy en cuenta que la expresión “área bajo una 
gráfica” se refiere al área comprendida entre la gráfica de una función 𝑓 no 
negativa y el eje 𝑥. 
Si 𝑓(𝑥) < 0 en [𝑎, 𝑏], entonces una suma de Riemann podría contener términos 
𝑓(𝑥∗𝑖) 𝛥𝑥𝑖, en los que 𝑓(𝑥
∗
𝑖) < 0. En este caso los productos 𝑓(𝑥
∗
𝑖) 𝛥𝑥𝑖 no son 
el área de un rectángulo, sino más bien el negativo de las áreas de rectángulos 
trazados por debajo del eje 𝑥. (Ver figura 19). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 19: Área bajo una curva y = f(x) cuando la curva no 
necesariamente es positiva 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
Se dijo antes que 𝑥𝑖
∗ en la ecuación (𝛼) del paso 6 es simplemente un punto 
elegido del i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Es decir, puede ser cualquier punto 
de este subintervalo. Pero cuando calculamos una suma de Riemann, 
generalmente elegimos los puntos de la partición P de alguna manera 
organizada. Por ejemplo, 𝑥𝑖
∗ , o bien es el punto izquierdo, o el punto derecho, 
o el punto medio del i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. 
Ejemplo: hallar la suma de Riemann para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥), en 
seis subintervalos tomando como 𝑥𝑖
∗ los puntos derechos de cada subintervalo 
en el intervalo [0,3]. 
Solución: con 𝑛 = 6, el ancho de cada subintervalo es ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
=
3−0
6
=
1
2
, y los 
seis subintervalos son: [0,0.5], [0.5,1.0], [1.0,1.5], [1.5,2.0], [2.0,2.5], [2.5,3.0] 
 
 
 Figura 20: 
Representación gráfica de la partición del intervalo [0,3] en 6 subintervalos. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
Formemos y calculemos la suma de Riemann: 
∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗)
6
𝑖=1
=
1
2
[𝑓(0.5) + 𝑓(1) + 𝑓(1.5) + 𝑓(20) + 𝑓(2.5) + 𝑓(3)] ≅ 4.4602 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el siguiente video se muestra un ejemplo 
 de como calcular la suma de Riemann de una 
 función. Matefácil (s.f.). Suma de Riemann, 
 paso a paso, ejemplo resuelto [Archivo de 
 video]. Para ver el video haga clic 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Clase 10 | La integral 
definida 
 
10. La integral definida 
 
10.1 Definición de integral definida 
 
 Si una función 𝑓 está definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces la 
integral definida de 𝑓 de 𝑎 a 𝑏, denotada por ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 , se define como: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗) ∆𝑥𝑖
𝑛
𝐼=1
𝑏
𝑎
 
 
siempre que el limite exista. 
 
Los números 𝑎 y 𝑏 del símbolo ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 se denominan 
respectivamente límites inferior y superior de 
integración, y 𝑓(𝑥) se denomina el integrando. 
 
Debido a que la integral definida se define como un límite, la integral puede 
existir o no dependiendo de la naturaleza del integrando. Si la integral existe, 
entonces decimos que 𝑓 es integrable en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. 
Una condición suficiente para que 𝑓 sea integrable en [𝑎, 𝑏] es que 𝑓 sea 
continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. El resultado de una integral definida es 
un número real. 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ZSjzuFpBoCo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: calcule la integral definida ∫ 2𝑥𝑑𝑥
2
1
 
 
 Solución: Como xxf 2)(  es una función continua en el intervalo cerrado 
 [1,2], entonces 𝑓 es integrable. 
 
 Por facilidad dividimos el intervalo [1,2] en 𝑛 subintervalos de igual 
 longitud 
∆𝑥𝑖 = ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
2 − 1
𝑛
=
1
𝑛
 
 El valor de ic de cada subintervalo será el extremo derecho. 
𝑐𝑖 = 𝑎 + 𝑖(∆𝑥) = 1 + 𝑖 (
1
𝑛
) =
𝑛 + 𝑖
𝑛
 
𝑓(𝑐𝑖) = 2 (
𝑛 + 𝑖
𝑛
) 
 
 Luego la integral definida viene dada por 
 
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
𝑁
𝐼=1
2
1
 
= lim
𝑛→∞
∑ 2 (
𝑛 + 𝑖
𝑛
)
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
 
 
= lim
𝑛→∞
2
𝑛2
∑(𝑛 + 𝑖)
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
2
𝑛2
[∑ 𝑛 + ∑ 𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
] 
 
= lim
𝑛→∞
2
𝑛2
[𝑛2 +
𝑛2 + 𝑛
2
] = lim
𝑛→∞
2
𝑛2
[
2𝑛2 + 𝑛2 + 𝑛
2
] 
 
= lim
𝑛→∞
2
𝑛2
[
3𝑛2 + 𝑛
2
] = lim
𝑛→∞
2
2
[
3𝑛2
𝑛2
+
𝑛
𝑛2
] 
 
= lim
𝑛→∞
(3 +
1
𝑛
) = lim
𝑛→∞
3 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 3 + 0 = 3 
 
 Entonces la integral definida ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 3
2
1
 
 
 
 
Las integrales definidas son números que pueden ser positivos, negativos o 
ceros 
Si la función 𝑓 cumple con ser continua y no negativa en el intervalo cerrado 
[𝑎, 𝑏], entonces la integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 es positiva, y representa el área 
de la región limitada por la función 𝑓, el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 
𝑥 = 𝑏 , tal como se observa en la figura 21. En este caso se tiene que 𝐴(𝑅) =
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 21: La integral ∫ f(x)dx
b
a
 representa el área bajo la curva f en el 
intervalo [a, b]. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
10.2 Propiedades de las integrales definidas 
 
A continuación, se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las 
integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con mayor facilidad. 
 
Propiedad 1: 
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑘(𝑏 − 𝑎) 
donde 𝑘 es constante. 
 
 
 
 
Esta propiedad nos dice que la integral de una función constante 𝑓(𝑥) = 𝑘 es 
igual a la constante multiplicada por la longitud del intervalo 𝑏 − 𝑎. Si 𝑘 > 0 y 
𝑎 < 𝑏, es de esperarse, porque 𝑘(𝑏 − 𝑎) (altura x base) es el área del rectángulo 
sombreado en la figura 22. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22: Ilustración gráfica de la 
propiedad ∫ kf(x)dx
b
a
= k(b − a). Fuente: Por 
Arenivar (2019) 
 
 Propiedad 2: 
 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
con 𝑓 y 𝑔 funciones integrables en [𝑎, 𝑏]. 
 
Esta propiedad indica que la integral de la suma o diferencia de dos o más 
funciones, es la suma o diferencia de las integrales de las funciones. Para las 
funciones positivas nos dice que el área bajo 𝑓 + 𝑔 es el área bajo 𝑓 más el 
área por debajo de 𝑔, como se puede ver en la figura 23. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23: Ilustración gráfica de la propiedad ∫ [f(x) ± g(x)]dx
b
a
= ∫ f(x)dx
b
a
±
∫ g(x)dx
b
a
 
. Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 Propiedad 3: 
 
 Si 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] y 𝑘 es una constante, entonces 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
La propiedad 3, mide la integral de una constante por una función y es igual a 
la constante por la integral de una función. 
 
Propiedad 4: 
 Si 𝑓 es continua y no negativa en [𝑎, 𝑏] y 𝑐 es un número entre 𝑎 y 𝑏, entonces 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
 
La interpretación geométrica de esta propiedad se puede ver en la figura 24. 
El área bajo )(xfy  desde 𝑎 hasta 𝑐 más el área de 𝑐 a 𝑏 es el área total de 
𝑎 hasta 𝑏. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24: Ilustración gráfica de la propiedad 4. Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: si 𝑓(𝑥) = 2|𝑥|, entonces 
 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
 
 
 
 
 
Su gráfica se muestra en la figura 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25: Gráfica de la función f(x) = 2|x|. Fuente: Por Arenivar( 2019) 
 
Así, usando la propiedad 4 tenemos: 
 
∫ 2|𝑥|𝑑𝑥
2
−1
= ∫ −2𝑥𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 2𝑥𝑑𝑥
2
0
 
 
 
Propiedad 5: 
 
 Si 𝑓 es continua y 0)( xf para toda 𝑥 de [𝑎, 𝑏], entonces 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 0 
Si 0)( xf , entonces ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 0 representa el área bajo la gráfica de 𝑓 de 
manera que la interpretación geométrica de esta propiedad es simplemente 
que las áreas son positivas. 
 
Propiedad 6: 
 
 Si 𝑓 y 𝑔 son continuas y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 de [𝑎, 𝑏] , entonces 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 0 
 
Esta propiedad dice que una función mayor tendrá una integral mayor en un 
mismo intervalo de integración. Gráficamente podemos comparar que las 
 
 
áreas bajo las funciones 𝑓 y 𝑔 en efecto mantienen la desigualdade ya 
mencionada, (ver figura 26). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26: Ilustración gráfica de la propiedad 6. Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
Antes de dar la propiedad 7, enunciamos las dos útiles definiciones 
siguientes 
 
*Definición 1: si los límites de integración son iguales, entonces, la integral 
da cero. 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
= 0 
 
*Definición 2: si se cambia el orden de los límites de integración, 
entonces la integral cambia de signo. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
 
Estas dos definiciones implican la siguiente propiedad. 
 
Propiedad 7: 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
 
 
 
 es válida para cualquier valor de 𝑐, independientemente de que este número 
esté o no entre 𝑎 y 𝑏. 
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son tres números distintos, entonces existen seis diferentes órdenes 
de estos tres números. 
1. cba  2. bca  3. acb  4. cab  5. bac  6. abc  
El orden 2 corresponde a la propiedad 4. 
Tomemos ahora el orden cba  , entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑏
 (∗) 
Tenemos que 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑏
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
Sustituyendo en (*) tenemos 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
Para terminar, despejando tenemos 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
 
que es el resultado que se desea. De manera semejante se puede demostrar 
los cuatro órdenes restantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El siguiente documento contiene información 
 complementaria sobre la integra definida y sus 
 propiedades. Lopez, G.(2012). La integral 
 definida. Para ver el documento haga clic 
 
 
https://licgraciela08.files.wordpress.com/2008/08/la-integral-definida.pdf
 
 
 
 10.3 Teorema fundamental del cálculo. 
 
El siguiente teorema, conocido como teorema fundamental del cálculo, es 
de gran utilidad para obtener el valor de una integral definida. 
Teorema: Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], y si 𝐹 es una 
antiderivada de 𝑓 en [𝑎, 𝑏], entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
La diferencia 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) generalmente se denota por 𝐹(𝑥) |
𝑏
𝑎
, de modo que 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑥) |
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
Este teorema nos permite calcular la integral definida de una función haciendo 
uso de la antiderivada de la función que se va a integrar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el siguiente video se muestra la definición y 
 algunos ejemplos básicos sobre el uso del 
 teorema fundamental de cálculo para resolver 
 integrales. Julioprofe (29 de julio de 2012). 
 Teorema fundamental del cálculo. Definición y 
 ejemplos. [Archivo de video] Para ver el video 
 haga clic 
https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Clase 11 | Evaluación de 
integrales definidas 
 
11. Evaluación de integrales definidas 
 
El teorema fundamental del cálculo nos dice como evaluar ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, si 
conocemos una antiderivada de 𝑓 en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. 
A continuación, calculamos varias integrales definidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: evalúe ∫ (𝑥3 − 2)𝑑𝑥
4
0
 
 
 Solución: 
∫(𝑥3 − 2)𝑑𝑥
4
0
= (
1
4
𝑥4 − 2𝑥) |
4
0
= (
1
4
(4)4 − 2(4)) − (
1
4
04 − 2(0)) = 56 − 0 = 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: use el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área 
 bajo la curva 𝑓(𝑥) = cos (𝑥), en el intervalo [0,
𝜋
2
]. 
 
 Solución: el área 𝐴 que debemos encontrar se muestraen la figura 27 
 y está dada por 
𝐴 = ∫ cos (𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) |
𝜋
2
0
= 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) − 𝑠𝑒𝑛(0) = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Así, el área de la región sombreada es 𝐴 = 1 𝑢2 
 
 
 
 
Figura 27: Área bajo la curva f(x) =
cos (x), en el intervalo [0,
π
2
]. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: calcule ∫ |𝑥 − 1|𝑑𝑥
3
0
 
 
 Solución: la función 
 
 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| 
 
 es continua, de manera que la integral existe. Usted sabe que por 
 propiedad del valor absoluto se tiene: 
 |𝑥 − 1| = {
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
−(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 < 1 
 
 
 Esto sugiere descomponer la integral en dos partes: 
 
∫|𝑥 − 1|𝑑𝑥
3
0
= ∫|𝑥 − 1|𝑑𝑥
1
0
+ ∫|𝑥 − 1|𝑑𝑥
3
1
 
= ∫ −(𝑥 − 1)𝑑𝑥
1
0
+ ∫(𝑥 − 1)𝑑𝑥
3
1
= − (
𝑥2
2
− 𝑥) |
1
0
+ (
𝑥2
2
− 𝑥) |
3
1
 
= [− (
1
2
− 1) + 0] + [− (
9
2
− 3) − (
1
2
− 1)] =
5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: evalúe ∫ [2𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)]𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
 
 Solución: 
∫[2𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)]𝑑𝜃
𝜋
2
0
= ∫ [2𝑐𝑜𝑠(𝜃) −
1 + cos (2𝜃)
2
] 𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
 
= (2𝑠𝑒𝑛(𝜃) −
𝜃
2
−
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
4
) |
𝜋
2
0
= 2 −
𝜋
4
 
 
 
 
 
11.1 Cambio de variable en integrales definidas 
 
Hacer un cambio de variable para integrales definidas es muy parecido a 
hacerlo con integrales indefinidas, pero con un agregado: tomar en cuenta los 
límites de integración. 
 
Procedimiento a seguir: 
 
1. Decidir el cambio de variable a utilizar: 𝑢 = 𝑓(𝑥) 
2. Calcular el diferencial de la nueva variable 𝑢 (𝑑𝑢) en términos de la variable 
𝑥. 
3. Calcular los nuevos límites del intervalo de integración en la nueva variable. 
4. Sustituir 𝑢 𝑦 𝑑𝑢 en la integral para hacer desaparecer todo lo escrito en 
variable 𝑥. 
5. Escribir en la integral en la variable 𝑢, los nuevos límites de integración. 
6. Calculamos la integral con la nueva variable y con los nuevos límites de 
integración. El resultado obtenido es el valor de la integral definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplos: evaluar las siguientes integrales definidas: 
𝑎) ∫(𝑥 + 1) (𝑥2 + 2𝑥 + 2)
1
3
2
1
 𝑑𝑥 
 Hacemos 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 y calculamos 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 2(𝑥 + 1)𝑑𝑥 
 Como necesitamos escribir (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 en términos de 𝑢, despejamos 
 (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 , obteniendo (𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
 . 
 Como 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 podemos ver fácilmente que cuando 𝑥 = 1, 
 entonces 𝑢 = 12 + 2(1) + 2 = 5, y que cuando 𝑥 = 2, entonces 𝑢 = 10 
 
 Por tanto, 
∫(𝑥 + 1) (𝑥2 + 2𝑥 + 2)
1
3
2
1
 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑢
1
3
10
5
𝑑𝑢 =
1
2
𝑢
4
3
4
3
⌉
10
5
=
3
8
(10
4
3 − 5
4
3) 
𝑏) ∫
√𝑥2 − 9
𝑥
5
3
 𝑑𝑥 
 Como la integral se resuelve por sustitución trigonométrica seguimos 
 los pasos: 
 1)𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐𝜃 
 2)𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑥
3
 
 3)Dibujar un triángulo rectángulo como el siguiente 
 
 
 Figura 28: Triángulo rectángulo asociado al cambio 
𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐𝜃. 
Fuente: Elaboración propia 
 
 4) 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝜃 
 5) 𝑥2 = 9𝑠𝑒𝑐2𝜃 
 6) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐
𝑥
3
 
 7) √𝑥2 − 9 = 3 𝑡𝑎𝑛𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como estamos ante un método de sustitución vamos a calcular nuevos 
 límites de integración para la nueva variable . 
 Cuando 𝑥 = 3, tenemos 3 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃, es decir 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1 y 𝜃 = 0 
 Cuando 𝑥 = 6, tenemos 6 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃, es decir 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 2 y 𝜃 =
𝜋
3
 
 
 Por lo tanto 
 
 Sustituyendo tenemos, 
∫
√𝑥2 − 9
𝑥
5
3
 𝑑𝑥 = ∫
3𝑡𝑎𝑛 (𝜃)
3𝑠𝑒𝑐 (𝜃)
𝜋
3
0
3𝑠𝑒 𝑐(𝜃) 𝑡𝑎 𝑛(𝜃) 𝑑𝜃 = 3 ∫ 𝑡𝑎𝑛2(𝜃)
𝜋
3
0
𝑑𝜃 
= 3 ∫(𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 1)
𝜋
3
0
𝑑𝜃 = 3[𝑡𝑎𝑛(𝜃) − 𝜃] |
𝜋
3
0
 
= 3 {[𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
3
) −
𝜋
3
] − [𝑡𝑎𝑛(0) − 0]} = 3 (√3 −
𝜋
3
) 
 
 
 
 
11.2 Integración de funciones pares e impares 
 
Supóngase que la función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [−𝑎, 𝑎], y por 
ende integrable en el intervalo. 
 
(a) Si 𝑓 es una función par; es decir, sí , entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
 
(b) Si 𝑓 es una función impar; es decir, sí . Entonces. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= 0 
Las gráficas en las figuras 29 y 30 ilustran la paridad de una integral. 
Para el caso en que 𝑓 es positiva y par, en (a) vemos que el área debajo de 
𝑦 = 𝑓(𝑥) es el doble del área desde 0 hasta 𝑎. 

)()( xfxf 
)()( xfxf 
 
 
 
 
 
 
Figura 29: Área bajo la curva de 
una función par en un intervalo 
simétrico 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
 
. Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
Figura 30: Área bajo la curva de una función 
impar en un intervalo simétrico 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= 0 
. Fuente: Por Arenivar (2019) 
Recuerde que una integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 se puede expresar como el área 
arriba del eje 𝑥 y debajo de 𝑦 = 𝑓(𝑥) menos el área debajo del eje 𝑥 y arriba 
de la curva. Por lo tanto, en la figura 30 vemos que el área es 0 porque las 
áreas se cancelan. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: la integral de una función par entre – 𝑎 y 𝑎 es el doble de la 
 integral entre 0 y 𝑎. 
∫ 𝑥2
0.6
−0.6
 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
|
0.6
−0.6
=
(0.6)3
3
−
(−0.6)3
3
= 2
(0.6)3
3
= 2 ∫ 𝑥2
0.6
0
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31: Ilustración gráfica de ∫ x2
0.6
−0.6
 dx . Fuente: Elaboración propia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: la integral de una función impar entre – 𝑎 y 𝑎 es cero. 
∫ 𝑥3
1
−1
 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
|
1
−1
=
1
3
−
(−1)4
3
= 0 
 
 
Figura 32: Ilustración gráfica de ∫ x3
1
−1
 dx . 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: evalúe 
∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥3)
√𝜋
3
− √𝜋
3
𝑑𝑥 
 Solución: Como 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥3) es una función par (como se puede 
 observar en la figura 33 es simétrica con respecto al eje 𝑦). Se deja al 
 lector verificar que se cumple que 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33: Gráfica de f(x) = x2cos(x3). 
Fuente: elaboración propia 
 
 
∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥3)
√𝜋
3
− √𝜋
3
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥3)
√𝜋
3
0
𝑑𝑥 
 Aplicamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑥3 y cambiamos límites de 
 integración, obtenemos 
= 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑢)
𝜋
0
𝑑𝑢 =
2
3
𝑠𝑒𝑛(𝑢) |
𝜋
0
=
2
3
(0) 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: evalúe ∫ (𝑥3 − 2𝑥)
1
−1
𝑑𝑥 
 
 Solución: sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥, y 𝑓(−𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥 = −𝑓(𝑥) , entonces la 
 función 𝑓 es impar, y la gráfica de la función es simétrica con respecto 
 al origen, y así 
∫(𝑥3 − 2𝑥)
1
−1
𝑑𝑥 = 0 
 
 
Observación: no siempre va a graficar para saber si la función dada es par o 
impar. Lo que debe hacer es aplicar la definición de función par o impar 
estudiada en cálculo diferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.3 Integrales impropias 
 
Se le llama integral impropia de una función a toda 
integral cuya función está definida en un intervalo 
infinito, o a aquélla que esté definida en un intervalo 
cerrado y acotado, pero que posee un número infinito de 
discontinuidades en dicho intervalo, o en último caso, a 
 la integral que presente las dos características 
 anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: 
 Decir silas siguientes integrales son impropias o no. 
𝑎) ∫ 𝑒2𝑥
∞
0
𝑑𝑥, 𝑏) ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥2 + 𝑥
 𝑑𝑥,
1
−1
 𝑐) ∫
1
𝑥2 − 4
2
0.5
 𝑑𝑥, 𝑑) ∫
√𝑥 + 2
𝑥
𝑑𝑥,
∞
0
 𝑒) ∫
1
𝑥2 − 9
2
0.5
𝑑𝑥 
 Solución: 
a) La integral es impropia porque está definida en un intervalo infinito. 
b) La integral es impropia ya que es discontinua en 𝑥 = 0, valor 
perteneciente al intervalo cerrado [−1,1] en donde está definida la 
integral. 
c) La integral es impropia porque la función no está definida en 𝑥 = 2. 
d) La integral es impropia porque está definida en un intervalo infinito y 
además, porque la función es discontinua en 𝑥 = 0. 
 
 
 En el siguiente video se muestra una 
 explicación del concepto de la integral de 
 funciones pares e impares así como algunos 
 ejemplos que refuerzan el contenido. 1ª con 
 Berni (14 de junio de 2017). Integral de 
 función par e impar [Archivo de video] Para 
 ver el video haga clic 
https://www.youtube.com/watch?v=acMyl60vpJ0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) La integral no es impropia ya que no está definida en un intervalo 
infinito, y además, porque la función sólo es discontinua en 𝑥 = ±3, y 
estos dos valores no pertenecen al intervalo cerrado [0.5,2]. 
 Decimos que una integral impropia es convergente, si es posible calcular 
 su valor. Caso contrario, la integral impropia es divergente. 
 
 
 *Integrales impropias de primera especie 
 
 Si la función 𝑓(𝑥) es continua en los intervalos [𝑎, ∞[, ]−∞, 𝑏] y ]−∞, +∞[ 
 respectivamente, entonces se define: 
1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
𝑡
𝑎
∞
𝑎
 
2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑡
𝑏
−∞
 
3. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑐
𝑐
−∞
∞
−∞
 
 Donde en (3) 𝑐 es cualquier número real y cada una de las integrales 
 impropias de la derecha se hacen con los casos 1 y 2. 
 Si los límites anteriores existen se dice que la integral impropia 
 converge, en caso contrario, la integral diverge. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: determine la convergencia o divergencia de la integral 
 impropia ∫
1
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
𝑑𝑥
∞
0
. 
 
 Solución: 
∫
1
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
∫
1
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
∞
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Primero, dada 𝑓(𝑥) =
1
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
, hallamos su antiderivada: 
∫
1
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
= ∫
1
𝑒𝑥 +
1
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑒2𝑥 + 1
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
𝑒2𝑥 + 1
= ∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥)2 + 1
𝑑𝑥 
 Esta integral la resolveremos por sustitución haciendo 𝑢 = 𝑒𝑥, de donde 
 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥. Sustituyendo tenemos 
 ∫
𝑒𝑥
(𝑒𝑥)2+1
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢2+1
= arctan (𝑢) = arctan (𝑒𝑥) 
 
 Retomemos el límite 
lim
𝑡→∞
∫
1
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
= lim
𝑡→∞
(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥))|
𝑡
0
= lim
𝑡→∞
[(𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑡)) − (𝑡𝑎𝑛−1(𝑒0))] 
=
𝜋
2
−
𝜋
4
=
𝜋
4
. La integral impropia converge a 
𝜋
4
. 
 Recuerde: 𝒕𝒂𝒏−𝟏(∞) =
𝝅
𝟐
 y 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝟏) =
𝝅
𝟒
 
 Cada caso1, 2 y 3 respectivamente, es ilustrado en las figuras 34, 35 y 
 36: 
 
 
Figura 34: Ilustración gráfica del caso ∫ f(x)dx =
∞
a
lim
t→∞
∫ f(x)dx 
t
a
. 
Fuente: elaboración propia 
 
 
 
 
 Figura 35: Ilustración gráfica del caso 
∫ f(x)dx = lim
t→−∞
∫ f(x)dx
b
t
b
−∞
. 
Fuente: elaboración propia 
 
 
 
 
Figura 36: Ilustración gráfica del caso ∫ f(x) dx =
∞
−∞
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
∞
c
c
−∞
. 
Fuente: elaboración propia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*Integrales impropias de segunda especie 
Si la función 𝑓(𝑥) tiene alguna discontinuidad infinita en cualquier extremo 
del intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] o en un valor dentro del intervalo; puede definirse: 
1. Si la función es continua en [𝑎, 𝑏[ , y tiene una discontinuidad infinita en 𝑏, 
entonces: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑏−
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑎
𝑏
𝑎
 
2. Si la función 𝑓(𝑥) es continua en ]𝑎, 𝑏], y tiene una discontinuidad infinita 
en 𝑎, entonces: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑎+
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
𝑏
𝑎
 
3. Si la función es continua en [𝑎, 𝑏], y tiene una discontinuidad infinita en 𝑐 
que pertenece al intervalo ]𝑎, 𝑏[, entonces: 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
, donde estas 
dos integrales de la derecha se hacen como en 1 y 2. 
Las regiones anteriores son como las que se indican a continuación en la 
figura 37: 
 
 
 
 
 
 
Figura 37: 
Ilustración 
gráfica de los casos 1, 2 y 3 (de izquierda a derecha) de integrales impropias 
de segunda especia. 
Fuente: elaboración propia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el siguiente video se muestra un ejemplo 
 de una integral impropia de primera especia 
 donde ambos límites de integración son 
 infinitos. Julioprofe (s.f.). Integrales 
 impropias-Ejercicio 4 [Archivo de video] Para 
 ver el video haga clic 
https://www.youtube.com/watch?v=6uIeKpA2dHw&t=597s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: 
 Estudiar la convergencia o divergencia de la integral ∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)
2
3
8
0
 
 
 Solución: 
 Esta integral impropia es de segunda especie, y caso 3. La discontinuidad 
 se presente en 𝑥 = 4, entonces escribimos: 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
3
8
0
= ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
3
4
0
+ ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
3
8
4
= lim
𝑡→4−
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
3
𝑡
0
+ lim
𝑡→4+
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
3
8
𝑡
 
 
 Calculando la antiderivada de ∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)
2
3
. Hacemos 𝑢 = 4 − 𝑥 𝑦 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥. 
 Entonces 
 por la regla de la potencia escribimos 
 ∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)
2
3
= − ∫(4 − 𝑥)
−
2
3(−𝑑𝑥) = −3(4 − 𝑥)
1
3 + 𝑐 
 
 Entonces 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
2
3
8
0
= lim
𝑡→4−
−3 (4 − 𝑥)
1
3|
𝑡
0
+ lim
𝑡→4+
−3 (4 − 𝑥)
1
3|
8
𝑡
= lim
𝑡→4−
−3 [(4 − 𝑡)
1
3 − (4 − 0)
1
3] + lim
𝑡→4+
−3 [(4 − 8)
1
3 − (4 − 𝑡)
1
3] 
= −3 (0 − 4
1
3) + (−3) ((−4)
1
3 − 0) = −3[−2 √4
3
] = 6√4
3
 
 
 La integral impropia ∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)
2
3
8
0
 es convergente. 
 
 
*Integrales impropias de tercera especie 
Estas integrales son de los dos tipos estudiados antes: límites de integración 
infinitos e integrandos con discontinuidades infinitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: examine la integral ∫
1
𝑥2
∞
0
𝑑𝑥 y diga si es convergente o no. 
 
 Solución: 
∫
1
𝑥2
∞
0
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥2
1
0
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑡→0+
∫
1
𝑥2
1
𝑡
∞
1
𝑑𝑥 + lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
𝑡
1
 
 
 La integral indefinida 
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =
𝑥−1
−1
+ 𝑐 = −
1
𝑥
+ 𝐶 
 
 Sustituyendo tenemos: 
lim
𝑡→0+
−
1
𝑥
⌋
1
𝑡
+ lim
𝑡→∞
−
1
𝑥
|
𝑡
1
= − (
1
1
−
𝟏
𝟎
) + (− (
1
∞
−
1
1
)) = ∞ 
 
 Y la integral impropia diverge. 
 
 
Clase 12 | Integración 
numérica 
 
12. Integración numérica 
 
No toda integral definida puede ser evaluada por el teorema fundamental del 
cálculo, debido a que hay situaciones donde tal vez no se cuenta con una regla 
de integración para evaluar determinado integrando, aun utilizando tablas de 
las reglas de integración, 
Por ejemplo, si deseamos calcular la integral definida: ∫ √1 − 𝑥3
31
0
𝑑𝑥, vemos que 
el integrando contiene una función 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥3
3
 cuya antiderivada no 
podemos encontrarla por ningún método de integración de los vistos en la 
unidad 2. Y como no podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo para 
evaluarla, entonces debemos recurrir a técnicas de aproximación. 
Consideremos nuevamente a la integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 como el área bajo 
la gráfica de una función 𝑓 continua y no negativa en el intervalo [𝑎, 𝑏]. En la 
 
 
clase 9 vimos que una forma de aproximar una integral definida es construir 
elementos rectangulares como se ve en la figura 38 y sumar sus áreas. 
 
 
 
 
Figura 38: Aproximación del área bajo 
la gráfica de una función f por medio de áreas 
de rectángulos. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
Esta es básicamente laidea de una suma de Riemann. Sin embargo, parece 
razonable a partir de la siguiente figura 39, que podemos obtener una mejor 
estimación de ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 sumando áreas de trapecios en vez de áreas de 
rectángulos. 
 
 
 
Figura 39: Aproximación del área bajo la gráfica de 
una función f por medio de áreas de trapecios. 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
12.1 Regla del trapecio 
 
Un método de aproximación numérica para calcular las integrales definidas es 
la regla del trapecio. Como en el caso de la regla del rectángulo, el intervalo 
[𝑎, 𝑏] se divide en 𝑛 subintervalos del mismo ancho. 
Como vemos 𝑛 la figura 40, la aproximación consiste en sumar las áreas de 
los trapecios definidas por los subintervalos. Las alturas de los trapecios están 
definidas por los puntos finales de los subintervalos. 
 
 
 
 
 
Figura 40: A 
proximación del área bajo la gráfica de una 
función f por medio de áreas de trapecios desde x = a hasta x = b . Fuente: 
Por Arenivar (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
En el desarrollo de este método, suponemos que 𝑓 es continua en el intervalo 
[𝑎, 𝑏] y que la integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 representa el área de la región limitada 
por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋, desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏. (Ver figura 40) 
 
Regla del trapecio: Si la función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] 
y los números 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏 forman una partición regular en [𝑎, 𝑏], 
entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ (
𝑏 − 𝑎
2𝑛
) [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)] 
Donde 
𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 
Observaciones: 
1. La aproximación tiende a volverse más exacta a medida que 𝑛 aumenta. 
2. Aunque en ciertas integrales puede utilizarse el teorema fundamental 
del cálculo para calcularlas, este no puede utilizarse para calcular 
integrales tan simples como ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥
𝜋
0
 debido a que 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) no tiene 
una antiderivada elemental. Sin embargo, es posible calcularla aplicando 
la regla del trapecio. 
3. Los coeficientes en la regla del trapecio se escriben mediante el patrón: 
1,2,2,2,…,2,2,1. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: use la regla del trapecio para aproximar el área de la región 
 bajo la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 3. 
 
 
 Solución: el área en cuestión está dada por la integral 
∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥
3
0
 
 
 
Esta integral que puede ser evaluada mediante sustitución trigonométrica. 
Pero aplicando la regla del trapecio con 𝑛 = 6 subintervalos (en muchos 
ejercicios ya dan la cantidad de subintervalos a utilizar, pero si no 
 
 
proporcionan el dato, usted puede asumir la cantidad de subintervalos que 
quiera usar) tendríamos 
∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥
3
0
≈ (
3 − 0
2(6)
) [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] 
∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥
3
0
≈ (
1
4
) [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] 
Calculemos ahora los 𝑓(𝑥𝑖) 
 
Sabemos que 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛; por lo tanto, obtenemos podemos 
elaborar una tabla donde resumimos todos los datos que necesitamos para 
resolver el problema: 
 Tabla 1 Cuadro de valores para la regla del trapecio aplicada a ∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥
3
0
 
𝒊 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒌 𝒌𝒇(𝒙𝒊) 
0 0.0 1.0 1 1.0 
1 0.5 1.12 2 2.24 
2 1.0 1.41 2 2.82 
3 1.5 1.8 2 3.60 
4 2.0 2.24 2 4.48 
5 2.5 2.69 2 5.38 
6 3.0 3.16 1 3.16 
 Total 22.68 
 Fuente: Elaboración propia 
Luego 
∫ √𝑥2 + 1𝑑𝑥
3
0
≈ (0.25)[1 + 2.25 + 2.82 + 3.60 + 4.48 + 5.38 + 3.16] 
= 0.25(22.68) = 5.67 
Cabe mencionar, que los resultados se han redondeado a dos decimales. 
 
La figura 41 muestra la gráfica de la región del ejemplo anterior. 
 
Figura 41: Gráfica del área bajo la gráfica de la 
función f(x) = √x2 + 1 desde x = 0 hasta x = 3 . 
Fuente: Por Arenivar (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: calcule ∫ √𝑥3 + 8
3
𝑑𝑥
5
2⁄
1
 usando la regla del trapecio con 𝑛 = 6. 
 Exprese el resultado con dos cifras decimales. 
 
Solución: aplicando la fórmula de la regla del trapecio tenemos 
 
∫ √𝑥3 + 8
3
𝑑𝑥
5
2⁄
1
≈ (
5
2⁄ − 1
2(6)
) [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] 
∫ √𝑥3 + 8
3
𝑑𝑥
5
2⁄
1
≈ (
3
2⁄
12
) [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] 
∫ √𝑥3 + 8
3
𝑑𝑥
5
2⁄
1
≈ (
1
8
) [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)] 
 
 
Sabemos que 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛; por lo tanto, obtenemos podemos 
elaborar una tabla donde resumimos todos los datos que necesitamos para 
resolver el problema: 
 
Tabla 2 Cuadro de valores para la regla del trapecio aplicada a ∫ √𝑥3 + 8
3
𝑑𝑥
5
2⁄
1
 
𝒊 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒌 𝒌𝒇(𝒙𝒊) 
0 1.0 2.0800 1 2.0800 
1 1.25 2.1225 2 4.245 
2 1.50 2.1722 2 4.3444 
3 1.75 2.2282 2 4.4564 
4 2.0 2.2894 2 4.5788 
5 2.25 2.3551 2 4.7102 
6 2.50 2.4244 1 2.4244 
 Total 26.8392 
Fuente: Elaboración propia 
 
 
 
Entonces 
∫ √𝑥3 + 8
3
𝑑𝑥
5
2⁄
1
≈ (
1
8
) [26.8392] = 3.35 
 
 
12.2 La regla de Simpson. 
 
Otro método para aproximar el valor de una integral definida lo da la regla 
parabólica o regla de Simpson. Para una partición en el intervalo [𝑎, 𝑏], esta 
regla da por lo general una mejor aproximación que la regla del trapecio. 
Vimos que en la regla del trapecio, los puntos sucesivos de la gráfica de 𝑓 se 
unían mediante segmentos de recta para formar trapecios, mientras que la 
regla de Simpson los puntos de 𝑓 se unen mediante segmentos de parábola. 
En una gráfica, el intervalo [𝑎, 𝑏] se divide en un número par de 𝑛 subintervalos 
que tienen el mismo ancho ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, con 𝑛 par. 
Y así una serie de parábolas son aptas para graficarse, una por cada pareja de 
subintervalos. En la gráfica de la figura 42 se muestra una función 𝑓 mediante 
la unión de dos segmentos de una parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 42: Aproximación del 
área bajo la gráfica de una 
función f por medio de áreas delimitadas por segmentos parabólicos. Fuente: 
elaboración propia. 
Regla de Simpson. 
Si la función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], 𝑛 es un número entero 
par, y los números 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏 forman una partición regular de [𝑎, 𝑏], 
entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ (
𝑏 − 𝑎
3𝑛
) [𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + 4𝑓(𝑥3) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1)
+ 𝑓(𝑥𝑛)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: haciendo uso de la regla de Simpson, obtenga una aproximación 
 de ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
4
1
, con 𝑛 = 6. 
 
 Solución: Sea 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
, con 𝑛 = 6 y ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
=
4−1
6
= 0.5, 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 
 Usemos la siguiente tabla de valores, 
 
 Tabla 3 Cuadro de valores para la regla de Simpson aplicada a ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
4
1
 
𝒊 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊) 𝒌 𝒌𝒇(𝒙𝒊) 
0 1.0 1 1 1 
1 1.5 2/3 4 8/3 
2 2.0 1/2 2 1 
3 2.5 2/5 4 8/5 
4 3.0 1/3 2 2/3 
5 3.5 2/7 4 8/7 
6 4.0 1/4 1 1/4 
 Total 8.326 
 Fuente: Elaboración propia 
 tenemos por la regla de Simpson, 
 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥
4
1
≈ (
3
18
) [8.326] ≈ 1.388 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el siguiente video se habla sobre todo lo 
 referente a la regla de Simpson, incluyendo el 
 cálculo del error aproximado al hacer 
 estimaciones por dicha regla. Universitat 
 Politècnica de València - UPV (28 de enero de 
 2016) Método de Simpson [Archivo de video] 
 Para ver el video haga clic 
https://www.youtube.com/watch?v=Uie0KxjwKlE&t=549s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: hallar un valor aproximado para ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
1
0
, 
a) Usando la regla del trapecio con 𝑛 = 8. 
b) Usando la regla de Simpson con 𝑛 = 8. 
 Comparemos los resultados entre ellos y con el resultado exacto. 
 
 Solución: 
 Tenemos que 𝑓(𝑥) =
1
1+𝑥2
, 𝑛 = 8, ∆𝑥 =
1−0
8
= 0.125, 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 
 
 
 
Tabla 4 Cuadro comparativo devalores para las reglas del trapecio y Simpson 
aplicadas a ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
4
1
 
 
Tabla para regla de trapecio Tabla para regla de Simpson 
𝒊 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑘 𝑘𝑓(𝑥𝑖) 𝑖 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑘 𝑘𝑓(𝑥𝑖) 
0 0.00
0 
1.0000
0 
1 1.00000 0 0.00
0 
1.0000
0 
1 1.00000 
1 0.12
5 
0.9846
1 
2 1.96922 1 0.12
5 
0.9846
1 
4 3.93844 
2 0.25
0 
0.9411
7 
2 1.88234 2 0.25
0 
0.9411
7 
2 1.88234 
3 0.37
5 
0.8767
1 
2 1.75342 3 0.37
5 
0.8767
1 
4 3.50684 
4 0.50
0 
0.8000
0 
2 1.60000 4 0.50
0 
0.8000
0 
2 1.60000 
5 0.62
5 
0.7191
0 
2 1.43820 5 0.62
5 
0.7191
0 
4 2.87640 
6 0.75
0 
0.6400
0 
2 1.28000 6 0.75
0 
0.6400
0 
2 1.28000 
7 0.87
5 
0.5663
7 
2 1.13274 7 0.87
5 
0.5663
7 
4 2.26548 
8 1.00
0 
0.5000
0 
1 0.50000 8 1.00
0 
0.5000
0 
1 0.50000 
 Tota
l 
12.5559
2 
 Tota
l 
18.849
5 
Fuente: Elaboración propia 
 
Por la regla del trapecio tenemos 
 
 
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
≈ (
1
16
) [12.55592] ≈ 0.78475 
Por la regla de Simpson tenemos 
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
≈ (
1
24
) [18.8495] ≈ 0.78540 
El valor exacto de la integral 
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) ⌊
1
0
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(1) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (0) 
=
𝜋
4
− 0 =
𝜋
4
= 0.87540 (Aproximadamente) 
Al comparar las respuestas vemos que la regla de Simpson da una 
aproximación mucho más precisa a la integral que la regla del trapecio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El siguiente documento contiene información 
 complementaria sobre los métodos de 
 integración numérica: Regla del trapecio y 
 regla de Simpson. Universidad Nacional del 
 Nordeste-Argentina (s.f.). Integración 
 numérica. Para ver el documento haga clic 
 
 
http://www.ing.unne.edu.ar/assets/pdf/academica/departamentos/computacion/comp/IN.pdf
 
 
 Referencias citadas en la UNIDAD 3 
 
Arenivar, L. (2019). Cálculo Integral (primera edición). El Salvador: 
Editorial Universidad Don Bosco. 
 
Arenivar, L. (2019). Cálculo Integral (primera edición). El Salvador: 
Editorial Universidad Don Bosco. 
 
Gonzalez, Heraldo (Universidad se Santiago de Chile-Chile) (s.f.). 
SUMATORIAS. Recuperado de 
https://www.cs.buap.mx/~fjrobles/Suma.pdf 
 
Universidad Nacional del Nordeste– Argentina (s.f.). Integración numérica. 
Recuperado de 
http://www.ing.unne.edu.ar/assets/pdf/academica/departamentos/comput
acion/comp/IN.pdf 
 
Lopez, G. (2012). La integral definida. Recuperado de 
https://licgraciela08.files.wordpress.com/2008/08/la-integral-definida.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.cs.buap.mx/~fjrobles/Suma.pdf
http://www.ing.unne.edu.ar/assets/pdf/academica/departamentos/computacion/comp/IN.pdf
http://www.ing.unne.edu.ar/assets/pdf/academica/departamentos/computacion/comp/IN.pdf
https://licgraciela08.files.wordpress.com/2008/08/la-integral-definida.pdf
 
 
 Glosario de los términos citados en la 
UNIDAD 3 
 
Integral 
Definida 
La integral definida de 𝑓 de 𝑎 a 𝑏 es el número 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑡𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
)∆𝑥 
Sumatoria La sumatoria o sumatorio (llamada también 
notación sigma) es una operación matemática que 
se emplea para calcular la suma de infinitos 
sumandos. 
Suma de 
Riemann 
La suma de Riemann es un método de integración numérica 
que nos sirve para calcular el valor de una integral definida 
Teorema 
Fundamental 
del Calculo 
El teorema fundamental del cálculo nos permite 
calcular una integral definida usando una primitiva 
de la función. Si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥), el 
valor de la integral definida entre a y b es: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
Integral 
Impropia 
Una integral impropia es aquella integral que tiene 
límites de integración infinitos o que la función 
presenta discontinuidades infinitas en un extremo 
del intervalo cerrado[𝑎, 𝑏], o en algún número dentro 
de dicho intervalo. 
Integración 
Numérica 
Son procedimientos numéricos para obtener la 
integral definida de una función, que por lo general 
no pueden ser calculadas mediante el teorema 
fundamental del cálculo. 
Regla del 
Trapecio 
La regla del trapecio es una forma de aproximar 
una integral definida utilizando n trapecios. 
Regla de 
Simpson 
La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una 
aproximación más precisa, ya que consiste en 
conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la 
curva mediante parábolas de segundo grado, y 
sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el 
área aproximada bajo la curva. 
 
 
 Enlaces en UNIDAD 3 
 
Julioprofel (s.f.) Integrales impropias-Ejercicio 4. [archivo de 
video]. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=6uIeKpA2dHw&t=597s 
 
 
Matefácil (s.f.). Suma de Riemann, paso a paso, ejemplo 
resuelto. [archivo de video]. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=ZSjzuFpBoCo 
 
 
Julioprofe (29 de julio de 2012). Teorema fundamental del 
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