Mate2_Lic_4aEd_09

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Unidad 9
Integración 
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Utilizará las fórmulas básicas de integración.
Aplicará el método de integración por sustitución.
Aplicará el método de integración por partes.
Aplicará la integración a la solución de problemas.
2
353
Matemáticas 
Introducción
El cálculo diferencial es útil al considerar la rapidez de cambio de diferentes variables y las pendientes de las tangentes en diversas funciones. En el cálculo diferencial, el problema de la tangente condujo a formular, en términos 
de límites, la idea de una derivada. Este concepto es aplicable en velocidades, 
tasas de cambio y en una diversidad de problemas prácticos.
Una de las preocupaciones importantes en el cálculo integral es la 
si se tiene la derivada de una función desconocida, el cálculo integral puede 
proporcionar una forma de determinar a la función original.
En otros términos, el proceso de integración es lo contrario al proceso de 
diferenciación en el sentido de que para realizar integraciones debe conocerse la 
diferencial de una función y en el momento en el cual se integra esa diferencial, 
se llega a obtener la función original.
9.1. Concepto de integral
La integración es el proceso de hallar una función cuando se conoce su 
derivada. En otras palabras, integración es lo inverso a diferenciación. La función 
obtenida se denomina primitiva o antiderivada .
Si tenemos la diferencial de una función y luego se integra, la función 
manera un valor constante l lamado constante de integración (C); de otra 
manera el resultado puede diferir de la función original, por un valor constante, 
porque en un momento dado se considera que al realizar esta transformación se 
pierde información. Por ejemplo, si se tiene la función f(x) = 400 + 25x +3x2, 
al diferenciarla [df(x) = (25 + 6x) dx] se pierde la constante 400 y si esta 
función diferenciada se integra, no considerará ese valor, es en ese momento 
que se incluye el valor 400.
Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I, si 
F (x) = f(x) para todo valor de x que esté incluido en el intervalo I.
354
Unidad 9
Ejemplo 1
Si F F(x) = 4x3 + x2 + 3 entonces F (x) =12x2 + 2x, 
de modo que si f f (x) = 12x2 + 2x, f es la derivada de F y 
por tanto F es la antiderivada de f. 
Si G G(x) = 4x3 + x2 + 8 entonces G también 
es una antiderivada de f porque G (x) = 12x2 + 2x. 
Por ello, cualquier función de la forma 4x3 + x2 + C donde C es una constante, 
es una antiderivada de f.
De aquí se desprende la necesidad de determinar un valor constante a ser 
empleado en la integral, por lo que:
Si G es cualquier antiderivada de f en I, entonces G (x) = f(x) para toda 
x en I:
 
 Como F (x) = f(x) entonces
 F (x) = G (x) para toda x en I
Por tanto, existe una constante C tal que G(x) =F(x) + C
De donde toda antiderivada de f puede obtenerse a partir de F(x) + C, donde 
C es una constante arbitraria.
De lo anterior se desprende que la antiderivación o antidiferenciación es el 
proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de 
una función. El símbolo denota la operación de antiderivación y se escribe:
 
f x dx F x C( ) ( ) 
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada 
de f en I está dada por F(x) + C
Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I 
pueden obtenerse al asignar valores particulares a C.
2
355
Matemáticas 
Donde F (x)=f(x) y d(F (x)) = f (x) dx
El primer miembro se lee integral de f de x con respecto a x. El símbolo 
es el signo integral, f(x) es el integrando, F(x) es una integral particular, C es 
la constante de integración y F(x) + C es la función integrada. La diferencial 
dx juega un papel importante porque garantiza que se va a integrar sobre la 
base de una variable.
Si F(x) + C es la integral de f(x), en la cual C es una constante arbitraria, 
puesto que la derivada de cualquier constante es cero se tiene: 
 
d
dx
F x C
dF x
dx
dC
dx
( )
( )
 
dF x
dx
( )
 = f(x)
conoce, dado que contiene una constante. Ésta es la razón por la cual la función 
f x dx se conoce como la de f(x).
La constante de integración C puede determinarse si se da información 
adicional. Por ejemplo, si sabemos que F(x) + C = 2 y F(x) = x2 con x = 1, 
entonces la constante es:
 x2 + C = 2
 (1)2 + C = 2
 1+ C = 2
 C = 2–1
 C = 1
La constante de integración para la función x2 + C = 2 es C = 1.
La información adicional que se presenta en el ejemplo anterior, se conoce 
como condición inicial , porque se requiere que en un momento dado se tenga 
la certeza de conocer a C, de manera que la integral sea una función conocida. 
A continuación se muestran las fórmulas de integración que se emplean con 
mayor frecuencia.
356
Unidad 9
Ejemplo 2
Determinemos la siguiente integral: 5dx
Solución: la integral dada es de la forma Kdx K dx por lo que 
5 5dx dx
Como dx x C
1
, al sustituir tenemos:
 
 
5 5 5 5 5 51 1dx dx x C x C x C( )
En este caso puede apreciarse que 5C1 = C dado que el producto de dos 
constantes es otra constante.
Ejemplo 3
Encontremos la integral ( )3 5x dx 
Solución:
 
( ) ( )3 5 3 5 3 5x dx x dx dx xdx dx
1. Kdx K dx, en donde K es cualquier constante. 
2. dx x C
3. ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
 
4. af x dx a f x dx( ) ( ) , donde a es cualquier constante
5. x dx
x
n
Cn
n 1
1
6. 
1 1
x
dx x dx x Cln
2
357
Matemáticas 
Utilizamos x dx
x
n
Cn
n 1
1
 para 3 xdx con lo que tenemos:
 
3 3
2
3
2
3
2
1
2
1xdx
x
C x C
 
5 5 5 52 2dx x C x C( )
Por otra parte ( ( ))3 5
3
2
5 3 52 1 2x dx x x C C
Como C1 y C2 son constantes arbitrarias, se pueden denotar por C, de 
modo que:
 
( )3 5
3
2
52x dx x x C
Ejemplo 4
Calculemos ( )5 8 9 2 74 3 2x x x x dx 
Solución: 
5 8 9 2 74 3 2x dx x dx x dx xdx dx
Se aplica af x dx a f x dx( ) ( ) 
 
5 8 9 2 74 3 2x dx x dx x dx xdx dx
Empleamos x dx
x
n
n
n 1
1
+ C para cada término:
5 5
5
5
5
4
5
5 5
1x dx
x
x x C
8 8
4
8
4
23
4
4 4
2x dx
x
x x C
9 9
3
9
3
32
3
3 3
3x dx
x
x x C
358
Unidad 9
2 2
2
2
2
2
2 2
4xdx
x
x x C
7 7 5dx x C
Por lo tanto ( )5 8 9 2 7 2 3 74 3 2 5 4 3 2x x x x dx x x x x x C
Ejemplo 5
Calculemos x dx1
Solución: se transforma la raíz en un exponente
 x dx x x dx dx1 1 1
1
2
1
2
( )
Se aplica x dx
x
n
n
n 1
1
+ C 
 
( )x dx
x
x C
1
2
3
2
1
2
3
Ejemplo 6
La función de costo marginal C de una compañía es C (x) = 3x2 + 8x + 4, 
donde C(x) es el costo total de producción de x unidades.
a) Si el gasto general es de $6, determinemos la función de costo total 
correspondiente.
b) Calculemos el costo total de producir 10 unidades.
Solución: a) Como C (x) = 3x2 + 8x + 4, entonces C x x x dx( ) ( )3 8 42
Empleando x dx
x
n
n
n 1
1
+ C tenemos:
2
359
Matemáticas 
3 3
3
3
3
2
3
3 3
1x dx
x
x x C
8 8
2
8
2
4
2
2 2
2xdx
x
x x C
y utilizando kdx k dx , tenemos:
4 4 3dx x C
Por ello C(x) = x3+ 4x2+ 4x+ C
4
C(0) = 6 de donde C4 = 6, 
por lo que la función de costo total es:
 C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6
b) Se quiere conocer el costo de producir x = 10 unidades y al sustituir en 
la fórmula de costo total tenemos:
 C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6 
 C(10) = (10)3 + 4(10)2 + 4(10) + 6 = 1 446
El costo que se tiene al producir 10 unidades es de $ 1 446.
Ejemplo 7
Una compañía determinó que la función de costo marginal para la producción 
de cierta mercancía es C (x) = x x125 10
1
9
2, donde C(x) es el costo total de 
producción de x unidades de mercancía. Si los gastos generales son de $250, 
¿cuál es el costo de producción de 15 unidades?
Solución: dado que C x x x'( ) 125 10
1
9
2,
 
C x x x dx dx xdx x dx( ) 125 10
1
9
125 10
1
9
2 2
 
125 10
1
9
2dx xdx x dx
360
Unidad 9
empleando kdx k dx , tenemos:
125 125 1dx x C
al emplear x dx
x
n
n
n 1
1
+ Ctenemos:
10 10
2
10
2
5
2
2 2
2xdx
x
x x C
1
9
1
9 3
1
27
2
3
3
3x dx
x
x C
Con ello C x x x x C( ) 125 5
1
27
2 3
4
comportamiento del nivel de producción, entonces C4 = 250 y la función 
de costo total es:
 
C x x x x( ) 125 5
1
27
2502 3
Se quiere conocer el costo de producción de 15 unidades, por lo que:
C( ) ( )( ) ( )( ) ( )15 125 15 5 15
1
27
15 2502 3
 
1 875 5 225
1
27
3 375 250 1 875 1125
3 375
27
250 
 
( )( ) ( )
 1 875 1125 125 250 
 C(15) = 3 375
Se incurrirá en un costo de $3 375 al producir 15 unidades.
Ejercicio 1
1. Calcula 3 4x dx
2. Obtén ( )8 4 6 4 54 3 2x x x x dx 
3. Determina x x dx( )1 
2
361
Matemáticas 
4. La función de costo marginal de una empresa está dada por C (x) =1.064 – 0.005x. 
x unidades.
5. El costo marginal de una compañía es una función de las unidades 
producidas (x) y está dado por C (x) = 2 + 60x – 5x2 determina:
b) El costo de producir una unidad.
6. Para un artículo, la función de ingreso marginal está dada por 
I (x) = 15 – 4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es 
de p dólares, determina la función de ingreso total.
Determina las siguientes integrales:
7. 
1
4x
dx 
8. 5 45 x dx 
9. 
7 2
10 55 3x x
x dx 
10. x
x
x dx
2
3
5
41
11. 6 4t dt
9.2. Integral definida
También puede definirse la integración como el proceso de encontrar 
el valor límite de una suma de términos cuando el número de éstos crece 
en este caso en el que se interpreta la integración como la determinación del 
área bajo una curva. 
El cálculo integral fue desarrollado con el propósito de evaluar áreas, que se 
El símbolo integral proviene de la forma de una s alargada, que se empleó 
originalmente para indicar tal suma.
uso de fórmulas. Por ejemplo, el área (A) de un rectángulo es igual al producto 
362
Unidad 9
de su base (b) por su altura (h), o A = bh. Sin embargo, el área comprendida entre 
curvas debe obtenerse con el cálculo integral, ya que no existe fórmula geométrica 
 Figura 9.1. Área bajo la curva.
Supongamos que se quiere conocer el área comprendida entre a y b. En la 
n rectángulos donde:
xi = Base (ancho) del rectángulo.
xi = Punto en el eje de las x que denota la división de los rectángulos x1= a, 
x2= a + x1, x3= x2+ x2, x4= x3+ x3 y así sucesivamente.
f(xi) = Valor de la altura del rectángulo.
La suma de las áreas de los rectángulos es:
 Suma = f(x1) x1+ f(x2) x2+...+ f(xn) xn 
 
f x xi i
i
n
( )
1
n ) y la base de 
éstos se acerca a cero ( x 0), el área bajo la curva entre x = a y x = b es el límite 
de la suma de los rectángulos, cuando existe el límite:
 Área = lim
,...,
n i i
i
n
i
f x x
a x b i n
1
1 
 
 
...
f(x)
f(x3)
f(x2)
f(x1)
(x1, f(x1))
(x3, f(x3))
y = f(x)
0
x1 x2 x3
x1 x2 x3 x4 xn xn+1 x
a b
f(xn)
n
2
363
Matemáticas 
 
 
 Figura 9.2. Área bajo una curva.
Al emplear el símbolo de la integral, el límite puede calcularse con:
 
A f x dx
a
b
( ) 
 
 
 
De esta manera, si quiere hallarse la integral de f(x f x dx A( ) 
 
 Si A = F(x) + C
Para x = a, el área A = 0 y por tanto F(a) + C = 0
 de donde C = –F(a)
Así, A = F(x) + C = F(x) + (–F(a)) = F(x) – F(a) 
y
y = f(x)
xa b
d
c
Sea f a,b]. Si 
 Área f x x
n i i
i
n
lim ( )
1
 
 
entonces, si el límite existe a medida que x 0 y el número de intervalos 
n f de a a b y se 
escribe: 
 
f x dx f x x
na
b
i i
i
n
( ) lim ( )
1 
El número a indica el l ímite inferior de integración y el número b es el 
límite superior de integración.
364
Unidad 9
Para encontrar el área abcd (f igura 9.2) bajo la curva f(x), haciendo 
x = b, tenemos A = F(b) – F(a).
De esta manera: Área = f x dx F x
b
a
F b F a
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
Este resultado se conoce como teorema fundamental del cálculo integral . 
La constante de integración C no está contenida en la solución para A. Así, la 
f x dx
a
b
( ) 
 
 
 se llama la integral 
f(x) de a a b.
Ejemplo 8
Evalúa la integral:
8
1
3
dx
aSolucion : el limite inferior es 1, el limite supeerior es 
 3 y la funcion dada es ( ) 8
Al integrar la 
b f x
ffuncion se tiene:
1
3
8 8
8 3 8 1
24 8
16
1
3
dx x
( ) ( )
Ejemplo 9
Evalúa la integral 
5 2
2
3
x dx
Solución: los límites son a = 2 y b = 3 con una función f(x) = 5x2, al 
integrar la función se tiene:
5
5
3
2
2
3 3
2
3
x dx
x
 
 
.
2
365
Matemáticas 
 
 
 
5 3
3
5 1
3
5 27
3
5
3
130
3
43 33
3 3( ) ( )
( )
.
Ejemplo 10 
Calcula el área de la región limitada por la curva y = x2, el eje x y las 
rectas x = 1 y x = 3.
Solución:
Al integrar la función tenemos: A x dx
x2
3 3
1
1
3
3 3
3
3
3
1
3
27
3
1
3
 
 
( ) ( )
 
26
3
2u
u2 = unidades cuadradas, ya que estamos calculando áreas.
366
Unidad 9
Ejemplo 11
Calcula el área de la región limitada por la curva y x x x3 2 6 , y el 
eje x.
 Solución:
De la gráf ica podemos observar que resultan dos áreas, es decir, las 
intersecciones con el eje son (–3,0) y (2,0), como una limitante del área es el eje 
x, entonces, el área quedará determinada por:
A= A A1 2 
A = ( ) ( )x x x dx x x x dx3 2 3 2
0
2
3
0
6 6
2 se encuentra debajo del eje x, donde y, la 
altura del rectángulo es negativo; por lo que el área resultante es el negativo 
2. Por ello, para el cálculo del área neta 
consideramos un signo menos antes de la función de la segunda integral.
A
1
 = x x x
4 3 2
3
0
4 3
6
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
4
0
3
6 0
2
3
4
3
3
6
3
2
4 3 2 4 3 2
 
A1
A2
2
367
Matemáticas 
 
( )0
81
4
27
3
54
2
243 108 324
12
189
12
1189
12
A2 = 
x x x4 3 2 2
04 3
6
2
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
4
2
3
6 2
2
0
4
0
3
6 0
2
4 3 2 4 3
116
4
8
3
24
2
48 32 144
12
64
12
64
12
A = 
189
12
64
12
253
12
2u
Ejemplo 12
Calcula el área de la región limitada por la curva y x
x
2
, el eje x y 
las rectas x = 1 y x = 2.
368
Unidad 9
Solución:
A x
x
dx
x
x
( )
ln
( )
ln
( )
2
2
2
2
2
2 2
1
2
1
2
2 2
1
2 2
 
 22 1
2 2 2
1
2
2 88 2
ln
[ ln ] . u
Ejercicio 2
Evalúa las siguientes integrales:
1. 6
2
5
dx
2. ( )x dx2
1
4
5
3. 12 3
1
3
x dx
4. ( )3 2 52
1
2
x x dx
2
369
Matemáticas 
Calcula el área de la región límitada por la curva, el eje x y las rectas 
indicadas:
5.
6.
y x x
y x x x
2
3
6
12 1 1 las rectas y 
7. y x x2 10 25 las rectas x = –3 y x = –2
8. y
x
4
 las rectas x = 5 y x = 2
9. y x2 5 las rectas x = 5 y x =3
10. y x x4 28 las rectas x = 0 y x = 2
deben describir algunas técnicas para efectuar la integración de funciones, como 
se muestra en los puntos siguientes.
9.3. Integración por sustitución
El método de sustitución que se emplea con mayor frecuencia en la integración 
de una función de la forma f x dx( ) requiere de tres pasos a seguir:
En el primer paso, si se tiene una función f(x), por ejemplo, f(x) = (x + 1)2 y 
queremos encontrar ( )x dx1 2 , se debe sustituir el valor (x + 1) por una nueva 
variable denominada u. Así:
 u = (x + 1) 
 u2 = (x + 1)2
El segundo paso consiste en encontrar la diferencial de la nueva variable (du) 
y posteriormente sustituirla. En este caso, tenemos:
 du = d(x + 1) = (1)dx
370
Unidad 9
Como puede observarse, du = dx, y con ello f x dx( ) ahora se convierte 
en g u du( ) .
Al quedar la nueva función en términos de u, se integra con respecto a 
esa variable.
En el tercer paso se sustituye el valor de u en el resultado de la integral 
g u du( ) y se encontrará el valor de la integral f x dx( ) . 
Con estos tres pasos se facilita la integración de una función que no es posible 
integrar directamente con las fórmulas proporcionadas.
Ejemplo 13
Determinemos ( )x xdx
2 31
Solución: f x x x( ) ( )2 31
Paso 1.Se sustituye la función (x2 + 1) por la variable u.
 u = x2 + 1
Paso 2. Se calcula la diferencial du, se despeja xdx y se sustituye el resultado 
en la integral.
Como u = x2 + 1
du d x x dx( ) ( )2 1 2 
du = 2xdx, por lo que xdx
du
2
Sustituimos u y du e integramos
( )x xdx u du u du2 3 3 31
1
2
1
2
 
1
2 4
4u
C
 
1
8
4u C
 
2
371
Matemáticas 
 
u
C
4
8 
Paso 3. Volviendo a sustituir u = x2 + 1 en el resultado de la integral, 
se tiene:
( )x xdx
u
C2 3
4
1
8
 
( )x
C
2 41
8
( )
( )
x xdx
x
C2 3
2 4
1
1
8
 
 
Ejemplo 14
Determinemos la integral 
6
5
2
3
x
x
dx
( )
Solución: se sustituye (x3 + 5) por u, por lo cual tenemos:
 
du d x( )3 5
 
du x dx(3 2) 
De donde: 
 6x2dx = 2du
Sustituyendo u y du tenemos:
 
6
5
2
2
3
x
x
dx
du
u( )
 2
1
u
du
 =2 ln u + C
 =2 ln x3+5 + C
372
Unidad 9
Ejemplo 15
El cambio en la producción P de una empresa cuando aumenta el consumo de 
los artículos que produce está dada por la función P (x) = (x2 + 1)4x. Obtengamos 
la función de la producción total para la empresa.
Solución: 
 P (x) = (x2 + 1)4x
para encontrar la función de producción debemos integrar ( )x xdx2 41
 u = (x2 + 1)
 u4 =(x2 + 1)4
 
du d x x dx( ) ( )2 1 2
De donde:
 
xdx
du
2
Al sustituir u y du tenemos:
 
( )x xdx u
du
u du
u
C2 4 4 4
5
1
2
1
2
1
2 5
 
1
10
5u C
 
1
10
12 5( )x C
 
La función que se obtuvo representa la producción total de un artículo cuando 
se consumen x unidades de un artículo.
Ejercicio 3
1. Calcula 6 52 3 2x x dx( )
2. Determina 2 52 1x x dx( )
2
373
Matemáticas 
3. Obtén 2 3 52x x dx( ) 
4.
5.
6.
3 4
2 2
1
5 5 7
2 3
3 4
5
6 2
5 7 10 4 6
x x
x x
dx
x
x
dx
x x x x x
( )
( ) ( 11
1
2 1
2 72 3
)
( )
dx
y
dy
x x dx
7.
8.
9.
la demanda de sus productos. Si la función V(x) = 30x2(5x3 – 2) muestra ese cambio, 
calcula 30 5 22 3x x dx( ) para obtener la función de las ventas totales.
10.
producción de una empresa dedicada a la fabricación de utensilios de cocina 
es U(x) = 2x2(6x3 – 3), calcula 2 6 32 3x x dx( ) para obtener la función de 
utilidades totales.
11. Una compañía encuentra que su función de costo marginal es 
C (x) = 5x3(x4 – 3), determina 5 33 4 2x x dx( ) a f in de encontrar l a 
función de costo total .
9.4. Integración por partes
Cuando una expresión que incluye productos o logaritmos no puede evaluarse 
directamente por medio de las fórmulas o por sustitución, una de las técnicas 
más útiles para transformarla en una forma estándar es el método de integración 
por partes, que se obtiene de la fórmula para la derivada del producto de dos 
funciones. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:
 d f x g x f x g x g x f x dx[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]' '
 f x g x dx d f x g x g x f x dx' '[ ( ) ( )] ( ) ( )
374
Unidad 9
Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene:
 
f x g x dx d f x g x dx g x f x dx' '
 
f x g x dx f x g x g x f x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '
Donde:
 u = f(x) y v = g(x)
Entonces:
 du = f (x)dx y dv =g (x)dx 
Con ello:
 
 udv uv vdu
Ésta es la fórmula de integración por partes. Su util idad depende de la 
elección apropiada de u y dv, de manera que las integrales udv vdu y 
puedan evaluarse.
No hay una regla general para separar una expresión propuesta en dos 
factores u y dv
debe observarse que:
1. dx siempre forma parte de dv.
2. dv tiene que ser fácilmente integrable.
3. Cuando la expresión que se va a integrar es el producto de dos funciones, suele 
convenir la elección del elemento más complicado y que pueda integrarse, como parte 
de dv vdu lo más fácilmente posible.
Normalmente, al trabajar la integración por partes se emplean funciones 
exponenciales y logarítmicas, siendo las siguientes fórmulas de integración 
las empleadas:
1. 
dx
x
x Cln
2. a dx
a
a
Cx
x
ln
 donde a > 0 y a 1
3. e dx e Cx x
2
375
Matemáticas 
Ejemplo 16
Determinemos la integral x xdxln
Solución: en primer lugar se determinan las sustituciones u, v, du y dv. Por 
conveniencia, se elige como v al elemento que sea fácilmente integrable.
Sea: 
 
x xdx x xdxln ln ( )
Tomemos:
 u = ln x du d x
x
dxln
1
 dv = xdx
Para encontrar v es necesario integrar dv
 
v dv xdx
x
C
2
2
 
v
x2
2
Sustituyendo en la fórmula udv uv vdu tenemos:
 
x x dx
x x x
dx
x x x
Cln
ln ln2 2 2
2 2 2 4
Ejemplo 17
Calculemos xe dxx
Solución: al efectuar las sustituciones:
 u = x du = dx
 dv = ex dx v dv e dx ex x 
Con ello:
 xe dx xe e dx
x x x xe e Cx x e x Cx ( )1 Ejemplo 
376
Unidad 9
18
La función del crecimiento que hay en la producción de un artículo es f(x) 
= ln x. La empresa desea conocer una función que exprese la producción total 
a fin de poder determinar en cualquier momento el nivel total de producción 
que puede ser requerido en el mercado. Para ello evaluemos lnxdx.
Solución: para facilitar el cálculo tomemos:
 u = ln x du
x
dx
1
 
 dv = dx v dv dx x 
Empleando la fórmula dada, la función que proporciona las bases para 
determinar la producción total es:
 
ln ln lnxdx x x x
x
dx x x dx x x x C x x C
1
1ln (ln )
Ejemplo 19
Determina la integral
 
e x dxx( )1 2
Tomemos
 u = (x + 1)2 dv = exdx
 du = 2(x + 1)dx v = ex
Sustituyendo en la fórmula udv uv vdu tenemos
 
e x dx e x e x dxx x x( ) ( ) ( )1 1 2 12 2
En este caso, para resolver la integral e x dxx( )1 tenemos que aplicar 
el método de nuevo haciendo
u = (x + 1) dv = exdx de donde
du = dx v = ex
por tanto
2
377
Matemáticas 
 
e x dx e x e x e dxx x x x( ) ( ) ( )1 1 2 12 2
integrando tenemos
 
e x dx e x e x e Cx x x x( ) ( ) [ ( ) ]1 1 2 12 2
 e x e x e Cx x x( ) ( )1 2 1 22
Ejercicio 4
Calcula las siguientes integrales:
1. x e dxx2
2. lnx xdx2
3. ln t t dt
4. ln( )x xdx1
5.
6.
7. 
 
 
x xdx
x x dx
xe dxx
ln
( )6 4
3
8. La función del crecimiento de la demanda de un artículo determinado 
f(x) = (2x + 3)ln x. Una empresa desea conocer una función 
que garantice que es posible obtener la demanda total del artículo en cuestión. 
Para ello calcula 2 3x xdxln .
Ejercicios resueltos
1. Calculemos ( )x x x x x dx5 4 3 25 4 3 2 
Solución: la integral a obtener es de la forma:
 
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx'
378
Unidad 9
Con ello:
( )x x x x x dx x dx x dx x dx x dx xdx5 4 3 2 5 4 3 25 4 3 2 5 4 3 2
 
 
x x x x x
C
6 5 4 3 2
6
5
5
4
4
3
3
2
2
 
x
x x x x C
6
5 4 3 2
6 
2. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal está dada 
por I (x) = 12 – 3x. Si x unidades son demandadas, calculemos la función 
de ingreso total.
Solución: I (x) = 12 – 3x
 
 I x dx x dx dx xdx'( ) ( )12 3 12 3
 
12 3 12
3
2
2
dx xdx x
x
C
 
12 3 12
3
2
2
x dx x
x
C
 
3. Determinemos 20 4 32 3x x dx( ) por el método de sustitución.
Solución: f(x) = 20x2(4x3 – 3)
 u = (4x3 – 3)
 
du
dx
x12 2
 du = 12x2 dx
 
dx
du
x12 2
2
379
Matemáticas 
Por sustitución:
 
 20 4 3
5
3
5
3
2 3x x dx u du udu( )
 
5
3 2
5
3
4 3
2
2 3 2u
C
x
C
( )
 
5 4 3
6
3 2( )x
C
4. ( )4 3 23 2
2
5
x x x dx 
Solución: ( )4 3 2 4 3 23 2
2
5 3 2
2
5
2
5
2
5
x x x dx x dx x dx xdx 
 
4 3 23
2
5 2
2
5
2
5
x dx x dx xdx
 
4
4
3
3
2
2
4
2
5 3
2
5 2
2
5x x x
 
x x x4
2
5
3
2
5
2
2
55 2 5 2 5 24 4 3 3 2 2
 = (625 – 16) – (125 – 8) + (25 – 4)
 = 609 – 117 + 21
 = 513
5. Calculemos (ln )x x dx3 empleando la integración por partes.
Solución: u = ln x du
x
dx
1
 
 dv = x3dx v dv x dx
x3
4
4 
 
( )ln ln
ln
x x dx
x
x
x
x
dx
x x x
dx3
4 4 4 3
4 4
1
4 4
380
Unidad 9
 
x x
x dx
x x x
C
4
3
4 4
4
1
4 4
1
4 4
ln ln
 
x x x
C
4 4
4 16
ln x x C
4
4
1
4
ln
 
6. Calcula el área de la región l imitada por la curva y
x
1
 las rectas 
x = 2 y x = 4 y el eje x.
Solución
A
x
dx
x
u
1
4 2
1 3862 0 6931
0 6930
2
4
4
2
2
 
 
 
 
ln
ln ln
. .
.
Ejercicios propuestos
1. Calcula ( )4 33x dx 
2. La función de costo marginal está determinada por C (x) = 6x, donde C(x) 
es el número de cientos de dólares del costo total de producción de x unidades 
de cierta mercancía. Determina:
2
381
Matemáticas 
b) El costo de producir 200 unidades.
3. Calcula 5
3
4
5
x
x
dx por el método de sustitución.
4. ( ) .8 3 23 2
0
3
x x dx 
5. Calcula x xdx4 ln empleando la integración por partes.
6. Calcula el área de la región limitada por la curva y x x x3 23 4 el 
eje x y la recta x = 2.
Autoevaluación
1. El resultado de x x
x
dx
1
 es:
 
 
a) 
2
3
2
3 2
x x C
/
 
b) 
2
5
2
5
2
1
2
x x C
 
c) 
2
3
2
3
2
1
2
x x C
 
d) 
2
5
2
5
2
x x C
2. Al resolverse 2 3 52x x dx( ) por el método de sustitución se tiene: 
 
 
a) 
( )3 5
6
2 2x
C
 
b) 
( )3 5
6
2x
C
 
c) 
( )3 5
6
2x
C
 
d) 
( )3 5
3
2 2x
C
382
Unidad 9
3. Una compañía dedicada a realizar estudios publicitarios para diferentes 
empresas, quiere determinar la demanda total de un artículo después de que ha 
transcurrido cierto tiempo de que se realizó una campaña de promoción. Si la 
compañía encontró la función de demanda f(x) = 2x(3x2 + 5) y quiere calcular la 
demanda que hay al transcurrir entre uno y cinco días de que inició la campaña, 
2 3 52
1
5
x x dx( ) , ésta tiene como 
resultado:
 a)1 000
 b)1 100
 c)1 056
 d)1 036
4. El resultado de x xdx2 ln es:
 
a) 
x x x
C
3 3
3 3
ln
 
b) 
x x x
C
3 3
3 9
ln
 
c) x x
x
C3
3
9
ln
 
d) 
x x x
C
3 3
3 2
ln
 5. Resuelve ( ) .5 8 9 2 74 3 2x x x x dx 
 6. Calcula x x
x
dx2
1
 
 7. Determina 
( )5 72
4
3
x
x
dx
 8. Evalúa 
1
2
5 2( )x dx 
 9. Calcula x
x
dx
2
3 1
10. Calcula ( )lnx dx2
11. Determina ln5xdx
2
383
Matemáticas 
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. 
3
5
5x C
2. 
8
5
2 2 55 4 3 2x x x x x C
3. 
2
5
2
3
5
2
3
2
x x C
4. C(x) = 1.064x – 0.0025x2 + 16.3
5. a) C x x x x( ) 2 30
5
3
652 3
 b) 95.3333
6. I(x) = 15x – 2x2 + C
7. 
1
3 3x
C
8. 
25
9
9
5x
C
9. 
7
4
1
5 54 2
2
x x
x x C
10. 
3
5
2
4
5
3
1
4
x
x
x
C
11. 
2
3t
C
384
Unidad 9
Ejercicio 2
1. –18
2. 36
3. 240
4. 9
 5. A = 36u2 
 
6. A= 6 u2
 
2
385
Matemáticas 
7. A= 19/3u2 
 
8. A= 3.66u2 
 
 
 9. A = 68/3u2 
 
386
Unidad 9
10. A = 
224
15
u2 
 
 
Ejercicio 3
1. 
2 5
3
3 3( )x
C
2. ln x2 + 5 + C
3. 
( )3 5
6
2 2x
C
 
4.
5.
6.
7.
1
2
2 2
1
6 1
1
45 5 5
1
2
2 1
3 4
6
5 7 9
ln
( )
( )
ln
x x C
x
C
x x x
C
y C
x
C8.
( )2 7
9
3 32
2
387
Matemáticas 
9. (5x3 – 2)2 + C
10. 
1
18
6 33 2( )x C 
11. 
5
12
34 3( )x C
Ejercicio 4
1. e x x Cx ( )2 2 2
2. 
x
x x C
3
3
3
1
9
ln
3. 
1
2 4
2
2
t t
t
Cln
4. 
x x
x x
x
x C
2 2
2 4
ln
ln
5.
6.
7.
 
2
3
 
 
x x x C
x x x
C
e x Cx
3
2
3
2
5 6
3
4
9
6
5
6
30
1
ln
( ) ( )
( ) 
8. ln ( )x x x
x
x C2
2
3
2
3 
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. x4 – 3x + C
2. a) C(x) = 3x2 + 8
 b) El costo de producir 200 unidades es de $12 000 800
3. ln (x5 – 3) + C
388
Unidad 9
4. 303
5. 
x
x
x
C
5 5
5 25
ln
 
6. u2
Respuestas a la autoevaluación
 1. b)
 2. a)
 3. c)
 4. b)
 5. x5 –2x4 + 3x3 – x2 + 7x + C
 6. 
x
x C
3
3
 
7. 
15
5
x
x
C
5
3
1
3
21
2
389
Matemáticas 
 8. 12
 
9. ln
1
3
13( )x C
10. x(lnx)2 – 2x ln x + 2x + C
11. x ln 5x – x + C