03 Trabajo Práctico Nro 3 (DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES A VALORES VECTORIALES)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 3 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES A VALORES VECTORIALES) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
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DERIVADA DE FUNCIONES A VALORES VECTORIALES 
Vamos a recordar, que si 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽 entonces 𝐹′(𝑡) = 𝑥′(𝑡) 𝐼 + 𝑦′(𝑡) 𝐽 
Asimismo, si 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽 + 𝑧(𝑡) 𝐾 entonces 𝐹′(𝑡) = 𝑥′(𝑡) 𝐼 + 𝑦′(𝑡) 𝐽 + 𝑧′(𝑡) 𝐾 
Ejercicio 19 
En este ejercicio nos piden hallar las derivadas primeras y segundas de las siguientes funciones 
vectoriales. Para ello hacemos uso de lo anteriormente expuesto: 
a) 
𝐹(𝑡) = cos2 𝑡 𝐼 + sen 𝑡 𝐽 
𝐹′(𝑡) = [2 cos 𝑡 (− sen 𝑡)] 𝐼 + cos 𝑡 𝐽 
𝐹′′(𝑡) = {[2(− sen 𝑡)](− sen 𝑡) + [2 cos 𝑡 (− cos 𝑡)]} 𝐼 + (− sen 𝑡) 𝐽 
𝐹′′(𝑡) = (2 sen2 𝑡 − 2 cos2 𝑡) 𝐼 − sen 𝑡 𝐽 
 d) 
𝐹(𝑡) = √𝑡2 + 1 𝐼 +
1
𝑡 + 1
 𝐽 + cos 5𝑡 𝐾 
𝐹′(𝑡) =
1
2√𝑡2 + 1
2𝑡 𝐼 −
1
(𝑡 + 1)2
− 5 sen 5𝑡 𝐾 
𝐹′(𝑡) = 𝑡(𝑡2 + 1)−
1
2 𝐼 − (𝑡 + 1)−2 𝐽 − 5 sen 5𝑡 𝐾 
𝐹′′(𝑡) = [(𝑡2 + 1)−
1
2 + 𝑡 (−
1
2
) (𝑡2 + 1)−
3
2 2𝑡] 𝐼 + 2(𝑡 + 1)−3 𝐽 − 25 cos 5𝑡 𝐾 
𝐹′′(𝑡) = [(𝑡2 + 1)−
1
2 − 𝑡2(𝑡2 + 1)−
3
2 ] 𝐼 + 2(𝑡 + 1)−3 𝐽 − 25 cos 5𝑡 𝐾 
 e) 
 Para realizar este ítem deben recordar que sec 𝑡 =
1
cos 𝑡
= cos−1 𝑡 
Los ejercicios siguientes corresponden a aplicaciones de la Física. Para resolverlos debemos tener 
en cuenta que la velocidad es la derivada primera de la posición de un móvil, y la aceleración es 
la derivada segunda de la posición (y, consecuentemente, la derivada primera de la velocidad). 
Ejercicio 22 
En este ejercicio nos dicen que el vector posición de un móvil en el plano está dado por la función 
𝑅 definida como 𝑅(𝑡) = 2𝑡 𝐼 + 𝑡2 𝐽 donde el tiempo 𝑡 está dado en segundos y la distancia en 
metros. 
Nos piden calcular en el ítem a) la distancia al origen en el instante 𝑡 = 2 segundos, es decir, que 
nos piden el módulo del vector posición cuando 𝑡 vale 2 , lo notamos como |𝑅(2)| 
3 
 
𝑅(2) = 2 ∙ 2 𝐼 + 22 𝐽 = 4 𝐼 + 4 𝐽 
|𝑅(2)| = √42 + 42 = √32 
En el ítem b) nos piden la ecuación de la trayectoria. Veamos que las ecuaciones paramétricas 
son: 
{
𝑥(𝑡) = 2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑡2
 𝑡 ≥ 0 
En consecuencia, la trayectoria nos queda: 
{
𝑦 = (
𝑥
2
)
2
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
 
En el ítem c) nos piden el vector velocidad y el vector aceleración. Así, llamamos 𝑉 a la función 
vectorial que describe la velocidad y llamamos 𝐴 a la función vectorial que describe a la 
aceleración. 
𝑉(𝑡) = 𝑅′(𝑡) = 2 𝐼 + 2𝑡 𝐽 
𝐴(𝑡) = 𝑅′′(𝑡) = 0 𝐼 + 2 𝐽 
En el ítem d) nos piden el módulo del vector velocidad (que llamamos rapidez) y el módulo del 
vector aceleración para el instante 𝑡 = 2 segundos. 
|𝑉(𝑡)| = √22 + (2𝑡)2 ⇒ |𝑉(2)| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 
|𝐴(𝑡)| = √02 + 22 ⇒ |𝐴(2)| = √22 = 2 
En el ítem e) nos piden comparar el módulo del vector aceleración con la derivada respecto de 𝑡 
del módulo del vector velocidad y decir qué observamos. 
El módulo del vector velocidad, que anteriormente trabajamos, es |𝑉(𝑡)| = √22 + (2𝑡)2, así, su 
derivada es: 
|𝑉(𝑡)|′ =
1
2√4 + 4𝑡2
8𝑡 =
4𝑡
√4 + 4𝑡2
 
El módulo del vector aceleración es |𝐴(𝑡)|, que vale 2 para cualquier 𝑡 mayor o igual que 0. Así 
observamos que: 
|𝐴(𝑡)| ≠ |𝑉(𝑡)|′ 
. 
 
4 
 
INTEGRAL DE FUNCIONES A VALORES VECTORIALES 
Vamos a recordar, que si 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽 entonces ∫ 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝐼 + ∫ 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 𝐽 
Asimismo, si 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽 + 𝑧(𝑡) 𝐾 entonces ∫ 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝐼 + ∫ 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 𝐽 +
∫ 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡 𝐾 
Ejercicio 26 
Para resolver este ejercicio vamos a tener en cuenta lo anteriormente expuesto: en él nos dicen 
que un móvil tiene vector aceleración 𝐴(𝑡) = 2 𝐼 + 6𝑡 𝐾, que sabiendo que en el instante inicial 
su velocidad está dada por 𝑉(0) = 𝐽 − 𝐾 y su posición por 𝑅(0) = 𝐼 − 2𝐾, determinemos las 
funciones vectoriales 𝑅(𝑡) y 𝑉(𝑡) 
Primero integramos la aceleración para obtener la velocidad: 
𝑉(𝑡) = ∫ 𝐴(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 2 𝑑𝑡 𝐼 + ∫ 0 𝑑𝑡 𝐽 + ∫ 6𝑡 𝑑𝑡 𝐾 
𝑉(𝑡) = ∫ 𝐴(𝑡) 𝑑𝑡 = (2𝑡 + 𝑐1) 𝐼 + 𝑐2 𝐽 + (3𝑡
2 + 𝑐3) 𝐾 
𝑐1, 𝑐2 y 𝑐3 son las constantes y evaluamos la función vectorial que describe la velocidad en cero 
para comparar con el dato que tenemos y así poder darle los valores que corresponden a estas 
constantes: 
𝑉(0) = (2 ∙ 0 + 𝑐1) 𝐼 + 𝑐2 𝐽 + (3 ∙ 0
2 + 𝑐3) 𝐾 
𝑉(0) = 𝑐1 𝐼 + 𝑐2 𝐽 + 𝑐3 𝐾 
El dato que tenemos nos dice que 𝑉(0) = 𝐽 − 𝐾, entonces igualamos: 
𝑐1 𝐼 + 𝑐2 𝐽 + 𝑐3 𝐾 = 𝐽 − 𝐾 
Entonces 𝑐1 = 0, 𝑐2 = 1 y 𝑐3 = −1 
Así, el vector velocidad nos queda: 
𝑉(𝑡) = 2𝑡 𝐼 + 𝐽 + (3𝑡2 − 1) 𝐾 
Ahora que tenemos al vector velocidad, vamos a integrarlo para obtener al vector posición: 
𝑅(𝑡) = ∫ 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 2𝑡 𝑑𝑡 𝐼 + ∫ 1 𝑑𝑡 𝐽 + ∫(3𝑡2 − 1) 𝑑𝑡 𝐾 
𝑅(𝑡) = ∫ 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 = (𝑡2 + 𝑐1) 𝐼 + (𝑡 + 𝑐2) 𝐽 + (𝑡
3 − 𝑡 + 𝑐3) 𝐾 
𝑐1, 𝑐2 y 𝑐3 son las constantes y evaluamos la función vectorial que describe la posición en cero 
para comparar con el dato que tenemos y así poder darle los valores que corresponden a estas 
constantes: 
𝑅(0) = (02 + 𝑐1) 𝐼 + (0 + 𝑐2) 𝐽 + (0
3 − 0 + 𝑐3) 𝐾 
5 
 
𝑅(0) = 𝑐1 𝐼 + 𝑐2 𝐽 + 𝑐3 𝐾 
El dato que tenemos nos dice que 𝑅(0) = 𝐼 − 2 𝐾, entonces igualamos: 
𝑐1 𝐼 + 𝑐2 𝐽 + 𝑐3 𝐾 = 𝐼 − 2 𝐾 
Entonces 𝑐1 = 1, 𝑐2 = 0 y 𝑐3 = −2 
Así, el vector posición nos queda: 
𝑅(𝑡) = (𝑡2 + 1) 𝐼 + 𝑡 𝐽 + (𝑡3 − 𝑡 − 2) 𝐾