01 Trabajo Práctico Nro 1 (hasta APLICACIONES DE LA DERIVADA)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 1 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(hasta APLICACIONES DE LA DERIVADA) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 
Lo primero que tenemos que hacer cuando nos encontramos frente a una función es determinar 
el dominio de ésta: 
Ejercicio 1 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5 
En este caso vemos que cualquier número real se puede elevar al cuadrado y al resultado 
restarle 5. Para cada 𝑥 real, existe un único número real resultado de 𝑥2 − 5. Por lo tanto el 
dominio es el conjunto de los números reales ℝ y lo escribimos: 
𝐷𝑓 = ℝ 
Ejercicio 2 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 2) 
Sabemos que los logaritmos se calculan sobre números positivos (mayores que cero), entonces 
tenemos que pedir que 𝑥 − 2 > 0, que es equivalente a pedir 𝑥 > 2. Por lo tanto, podemos 
expresar el dominio de la función como: 
𝐷𝑓 = (2 ; +∞) 
Ejercicio 3 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 
En este caso tenemos un cociente de 2 polinomios, y sabemos que en una división, el divisor no 
puede ser cero, entonces tenemos que pedir que 𝑥 − 1 ≠ 0. Por lo tanto, el dominio queda 
expresado como: 
𝐷𝑓 = (−∞; 1) ∪ (1; +∞) 
También podríamos expresarlo como: 
𝐷𝑓 = ℝ − {1} 
Ejercicio 4 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑥2   𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
 
Esta función es una función definida a tramos. Podemos interpretarla como si 𝑥 es menor a 2 su 
imagen es 𝑥2 + 4, si 𝑥 es mayor o igual a 2, su imagen es 𝑥2, entonces esta función tiene como 
dominio al conjunto de los números reales, es decir: 
𝐷𝑓 = ℝ 
 
3 
 
¿Podés calcular el dominio de las siguientes funciones? 
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 7 
𝑔(𝑥) = {
1
𝑥 + 3
 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
 
 
4 
 
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑙 
La expresión anterior se lee: el límite de 𝑓(𝑥) es 𝑙 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 
Y significa que cuando 𝑥 se acerca al número 𝑥0 la imagen de la función 𝑓 se acerca al número 𝑙 
En el caso de las funciones continuas es fácil calcular el límite porque: 
Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑥0 entonces lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) 
Es decir, nos basta evaluar la función en el punto para calcular el límite. 
Las funciones polinómicas, las exponenciales, las logarítmicas, la función módulo, la función seno, 
la función coseno son continuas. Así, la suma y resta de funciones continuas, el producto de 
funciones continuas y la composición de funciones continuas, nos dan como resultado funciones 
que también son continuas. El cociente de funciones continuas, mientras no se anule el 
denominador, nos devuelve una función que también es continua. 
Resolvamos algunos ejercicios de la práctica: 
Ejercicio 1 
a) 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥2 + 2
 
La anterior función tiene por fórmula un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula 
𝑥2 + 2 ≠ 0 entonces su dominio es el conjunto de todos los número reales, es decir 𝐷𝑓 = ℝ 
Calculemos el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 1: 
Es una función continua, y al ser un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula en 1, 
entonces: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
1 + 1
12 + 2
⇒ lim
𝑥⟶1
𝑓(𝑥) =
2
3
 
 
 b) 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
 
A diferencia del ejercicio anterior, el denominador se anula para 𝑥 = −1, entonces su dominio 
es el conjunto de números reales menos el menos uno, es decir 𝐷𝑓 = ℝ− {−1} 
5 
 
La función no es entonces continua en 𝑥 = −1 y si evaluamos el numerador en 𝑥 = −1 éste 
también se anula, estamos en presencia de una indeterminación “
0
0
” ¿cómo hacemos para 
calcular el límite cuando 𝑥 tiende a −1? 
Recurrimos a la factorización de polinomios: 
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
=
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 + 1
= 𝑥 − 1 
Se puede simplificar para 𝑥 distinto de −1. Cuando calculamos el límite de la función cuando 𝑥 
tiende a −1, estamos en un entorno de −1, no en −1, por eso es válida la simplificación. Entonces 
el límite queda: 
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶−1
(𝑥 − 1) = −2 
 c) 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 (
1
3
)
𝑥
+ 4 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 𝑠𝑖 𝑥 > 0
 
Si pensamos el dominio de esta función, para los valores menores o iguales que cero está definida, 
para los mayores que cero, hay problemas en 𝑥 = 1 porque se anula el denominador de la 
expresión. Entonces el dominio se expresa como: 
𝐷𝑓 = ℝ − {1} 
Cuando queremos calcular el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 3, al acercarnos a 3 lo 
hacemos entonces por valores positivos, el entorno de 3 son valores positivos, entonces tenemos 
en cuenta la segunda expresión: 
lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶3
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
32 − 1
3 − 1
= 4 
Para calcular el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 0, tenemos que diferenciar si nos 
acercamos con valores mayores a 0 o menores a 0, eso implica tener que calcular los límites 
laterales por la derecha o por la izquierda, para que exista límite es necesario que los límites 
laterales sean iguales: 
Si nos acercamos con valores mayores a 0 (limite por derecha) nos queda: 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶0+
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
02 − 1
0 − 1
= 1 
Si nos acercamos con valores menores a 0 (límite por izquierda) nos queda: 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
[(
1
3
)
𝑥
+ 4] = [(
1
3
)
0
+ 4] = 5 
6 
 
Observamos que los límites laterales resultan distintos, entonces no existe el límite de la función 
cuando 𝑥 tiende a 0 
 f) 
𝑓(𝑥) =
sen (𝑥 +
𝜋
2
)
cos(2𝑥) − 1
 
Para determinar el dominio tenemos que ver cuando se anula el denominador, es decir: 
cos(2𝑥) − 1 = 0 
cos(2𝑥) = 1 
A continuación observamos la representación gráfica de la función de fórmula cos(2𝑥) 
 
Podemos observar que cos(2𝑥) toma valor 1 en los múltiplos de 𝜋 
El dominio puede expresarse como: 
𝐷𝑓 = ℝ− {𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = 𝑘𝜋 ∧ 𝑘 ∈ ℤ⁄ } 
Lo anterior se puede leer “el dominio de la función f es el conjunto de números reales salvo los 
valores de 𝑥 pertenecientes a los reales tal que estos sean múltiplos de 𝜋, es decir, 𝑘𝜋 y 𝑘 
pertenece al conjunto de los números enteros”. 
Nos piden el límite cuando 𝑥 tiende a 0 
Analizamos qué sucede con el numerador de la función: 
lim
𝑥→0
sen (𝑥 +
𝜋
2
) = sen (0 +
𝜋
2
) = 1 
 Y con el denominador: 
lim
𝑥→0
[cos(2𝑥) − 1] = cos(2 ∙ 0) − 1 = 0 
Vemos que cuando el numerador tiende a un número distinto de 0 y el denominador tiende a 0, 
el cociente no tiene límite real , tiende a ∞ 
 
7 
 
Ejercicio 2 
 d) 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 + 3𝑥 − 5
𝑥2 + 2𝑥 − 3
 
Vamos a plantear que el domino de la función es el conjunto de los números reales que no anulan 
el denominador, las raíces (o ceros) del polinomio que se encuentra en el denominador son −3 
y 1, entonces expresamos al dominio como: 
𝐷𝑓 = ℝ− {−3 ; 1} 
Cuando 𝑥 tiende a 1, el numerador y el denominador tienden a 0, éste es un caso de 
indeterminación, se resuelve factorizando los polinomios y simplificando: 
lim
𝑥→1
2𝑥2 + 3𝑥 − 5
𝑥2 + 2𝑥 − 3
= lim
𝑥→1
2 (𝑥 +
5
2
) (𝑥 − 1)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
2 (𝑥 +
5
2
)
(𝑥 + 3)
=
2 (1 +
5
2
)
1 + 3
=
7
4
 
Nos piden calcular límites de la función cuando 𝑥 → −∞ y 𝑥 → +∞, en estos casos y teniendo 
cocientes de polinomios lleva a una indeterminación del tipo “
∞
∞
”, para resolverlo en ambos 
polinomios sacamos factor común 𝑥 con la mayor potencia: 
lim
𝑥→−∞
𝑥2 (2 +
3
𝑥 −
5
𝑥2
)
𝑥2 (1 +
2
𝑥 −
3
𝑥2
)
= lim
𝑥→−∞
2 +
3
𝑥 −
5
𝑥2
1 +
2
𝑥 −
3
𝑥2
=
2
1
= 2 
En los pasos anteriores se simplificó 𝑥2 y se tuvo en cuenta que si el numerador tiene a un número 
y el denominador tiende a infinito, el cociente tiende a cero. Si realizamos el gráfico: 
 
Observamos que la función tiende a 2, cuando 𝑥 tiende a +∞ y cuando 𝑥 tiende +∞. Además,cuando 𝑥 tiende a 0 la función tiende a 
7
4
= 1,75 
 
8 
 
Ejercicio 3 
En este ejercicio nos piden a partir de la representación gráfica de funciones, determinar los 
límites laterales. Tengamos en cuenta que si los límites laterales son iguales, entonces existe el 
límite. 
i) En este caso se observa que si nos acercamos a 𝑥 = −3 tanto por derecha como por 
izquierda el valor de la función se acerca a 𝑦 = −3 entonces: 
lim
𝑥→−3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) = −3 
 
ii) Acá observamos que si nos acercamos a 𝑥 = −1 por izquierda, el valor de la función 
se acerca a 2, es decir: 
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = 2 
Y si nos acercamos a 𝑥 = −1 por derecha, el valor de la función se acerca a 0, o sea: 
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 0 
Como los límites laterales son distintos, no existe el límite cuando 𝑥 tiende a −1( en 
el gráfico se observa un salto). 
Ejercicio 4 
En este ejercicio nos piden que a partir de las representaciones gráficas que nos presentan, 
determinar si las funciones, a las que corresponden estas representaciones, son continuas en un 
punto llamado genéricamente 𝑥0 y determinado para cada función 
Vamos a recordar que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑥0 si: 
𝑥0 pertenece al dominio de la función, 
si existe el límite real cuando 𝑥 tiende a 𝑥0, 
y si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) 
Se deben cumplir a la vez las tres condiciones anteriores para que una función 𝑓 sea continua en 
𝑥0 
i) En la representación gráfica vemos que 
𝑓(0) = lim
𝑥→0
(𝑥) = −1 
Entonces 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 0 
 
ii) En esta representación gráfica se observa que 𝑓(−3) = 1 y que los límites laterales 
son distintos dado que lim
𝑥→−3−
𝑓(𝑥) = −1 y lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥) = 3 entonces no existe el 
límite cuando 𝑥 tiende a −3, por lo tanto, la función no es continua en 𝑥 = −3 
 
iii) En esta representación gráfica, la función no está definida para 𝑥 = 2, 2 no 
pertenece al dominio, entonces la función no es continua en 𝑥 = 2 
 
9 
 
Ejercicio 5 
Dada la función 𝑓:ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2−4
𝑥+2
    𝑠𝑖 𝑥 < −2
4    𝑠𝑖 𝑥 = −2
2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > −2
 
lim
𝑥→−2−
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2−
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2−
(𝑥 − 2) = −4 
Además: 
lim
𝑥→−2+
2𝑥 = 2 ∙ (−2) = −4 
Como los límites laterales son iguales, existe el límite lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = −4 
La función evaluada en −2: 
𝑓(−2) = 4 
Entonces: 
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−2) 
Como la función evaluada en −2 no es igual al valor que toma el límite, entonces la función no es 
continua en 𝑥 = −2 
Ejercicio 6 
Nos piden determinar el valor de la constante 𝑎 perteneciente al conjunto de números reales 
para que la función sea continua en el punto 𝑥0 dado. 
 b) 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 + 𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 4
𝑎 − 𝑥2   𝑠𝑖 𝑥 > 4
 
para 𝑥0 = 4 
Calculamos los límites laterales que tienen que ser iguales: 
lim
𝑥→4−
(𝑥2 + 𝑎𝑥) = 42 + 4𝑎 = 16 + 4𝑎 
lim
𝑥→4+
(𝑎 − 𝑥2) = 𝑎 − 42 = 𝑎 − 16 
 
Ahora igualamos los límites: 
16 + 4𝑎 = 𝑎 − 16 
4𝑎 − 𝑎 = −16 − 16 
10 
 
3𝑎 = −32 
𝑎 = −
32
3
 
Con este valor de 𝑎 vemos que: 
𝑓(4) = lim
𝑥→4
𝑓(𝑥) = −
80
3
 
 
Pueden resolver todos los ejercicios hasta APLICACIONES DE LA DERIVADA, tema que veremos el 
lunes próximo.