01 Trabajo Práctico Nro 1 (consideraciones sobre DERIVADAS)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 1 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(consideraciones sobre DERIVADAS) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
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ASPECTOS GENERALES DE LA FUNCIÓN DERIVADA 
Vamos a repasar algunas propiedades sobre las derivadas, algunas reglas de derivación y algunas 
fórmulas de cálculo de derivadas que nos van a ser necesarias para abordar los futuros problemas 
de la Guía de Trabajos Prácticos ¿sí? 
Lo primero que vamos a tener en cuenta es que 𝑓′(𝑥) se lee “derivada de la función 𝑓(𝑥)”. 
Derivada de una constante 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 entonces 𝑓′(𝑥) = 0 siendo 𝑐 constante. 
Derivada del producto entre una constante y una función 
Si 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) entonces [𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)]′ = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥) siendo 𝑐 constante. 
Derivada de la suma de funciones 
Si 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) entonces [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
Derivada de la resta de funciones 
Si 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) entonces [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) 
Derivada del producto de funciones 
Si 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) entonces [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
Derivada de un cociente de funciones 
Si 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 entonces [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]
′
=
𝑓′(𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
Derivada de una composición de funciones 
Si 𝑓[𝑔(𝑥)] entonces {𝑓[𝑔(𝑥)]}′ = 𝑓′[𝑔(𝑥)] ∙ 𝑔′(𝑥) 
Derivada de una potencia 
Si 𝑥𝑛 entonces (𝑥𝑛)′ = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 
Derivada de un logaritmo natural 
Si ln 𝑥 entonces (ln 𝑥)′ =
1
𝑥
 
Derivada del seno 
Si sen 𝑥 entonces (sen 𝑥)′ = cos 𝑥 
Derivada del coseno 
Si cos 𝑥 entonces (cos 𝑥)′ = −sen𝑥 
 
3 
 
Derivada de una exponencial con base constante 
Si 𝑎𝑓(𝑥) entonces [𝑎𝑓(𝑥)]
′
= 𝑎𝑓(𝑥) ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑓′(𝑥) 
Algunos ejercicios para practicar… 
Ahora que tenemos el panorama necesario para afrontarnos a derivar algunas funciones, 
calculemos algunas derivadas: 
Dada la función 𝑌 = 𝑓(𝑥) calcular su derivada: 
a) 
𝑌 = 𝑥2 + ln𝑥 
Si 𝑌 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + ln𝑥 entonces 𝑌′ o 𝑓′(𝑥), como gusten llamarle resulta: 
𝑌´ = 2𝑥 +
1
𝑥
 
En la resolución anterior se tuvieron en cuenta las nociones vistas en derivada de una suma, 
derivada de una potencia y derivada del logaritmo natural. 
b) 
𝑌 = 𝑒𝑥 
𝑌′ = 𝑒𝑥 ∙ ln 𝑒 ∙ 1 = 𝑒𝑥 
En la resolución anterior se tuvo en cuenta la noción vista en derivada de una exponencial con 
base constante. 
c) 
𝑌 = 4 sen 𝑥 − 7√𝑥 
Recordemos que √𝑥 = 𝑥
1
2 entonces la expresión nos queda: 
𝑌 = 4 sen 𝑥 − 7𝑥
1
2 
𝑌′ = 4 cos 𝑥 − 7
1
2
𝑥(
1
2
−1) 
𝑌′ = 𝑓´(𝑥) = 4 cos 𝑥 −
7
2
𝑥−
1
2 
En la resolución anterior se tuvieron en cuenta las nociones vistas en derivada de una resta de 
funciones, derivada del producto entre una constante y una función, derivada del coseno y 
derivada de una potencia. 
 
 
4 
 
d) 
𝑌 = cos(4𝑥3 − 1) 
𝑌′ = −sen(4𝑥3 − 1) ∙ (4 ∙ 3𝑥2 − 0) = −sen(4𝑥3 − 1) ∙ 12𝑥2 
En la resolución anterior se tuvieron en cuenta las nociones vistas en derivada de una 
composición donde se tuvo en cuenta que 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 4𝑥3 − 1 entonces 𝑌 =
𝑓[𝑔(𝑥)] entonces 𝑌′ = {𝑓[𝑔(𝑥)]}′ y podemos resolverla teniendo idea de que la derivada es 
igual a la derivada del coseno aplicada a 4𝑥3 − 1 multiplicada por la derivada de 4𝑥3 − 1. 
 e) 
𝑌 = 𝑒5𝑥 ∙ (√𝑥5
3
+ 4𝑥 − 2) 
𝑌′ = 𝑒5𝑥 ∙ 5 ∙ (√𝑥5
3
+ 4𝑥 − 2) + 𝑒5𝑥 ∙ (
5
3
𝑥
2
3 + 4) 
En la resolución anterior se tuvo en cuenta la noción vista en derivada de un producto de 
funciones, se pensó a 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥 y a 𝑔(𝑥) = (√𝑥5
3
+ 4𝑥 − 2). Recuerden que √𝑥5
3
= 𝑥
5
3 
 f) 
𝑌 = tan 𝑥 
Y por definición de tangente: 
𝑌 =
sen𝑥
cos 𝑥
 
Entonces aplicamos las nociones vistas en derivada de un cociente: 
𝑌′ =
cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 − sen𝑥 ∙ (−sen 𝑥)
(cos 𝑥)2
=
cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 − sen𝑥 ∙ (−sen 𝑥)
cos2 𝑥
 
𝑌′ =
cos2 𝑥 + sen2 𝑥
cos2 𝑥
 
Teniendo en cuenta que cos2 𝑥 + sen2 𝑥 = 1 
𝑌′ =
1
cos2 𝑥