MATE_1C_2019_Clave_de_corrección_Recuperatorio_Segundo_parcial_25

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Clave de corrección – Recuperatorio Segundo parcial 1 
Matemática 
Clave de corrección recuperatorio segundo parcial 
25/06/2019 
 
 
 
 
Primero calculamos la derivada de la función 𝑔: 
𝑔′(𝑥) = 3 + 𝑒𝑎+𝑥 
Si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en 𝑥 = 2 es 4 
significa que 𝑔′(2) = 4 
Entonces, 
3 + 𝑒𝑎+2 = 4 
Operando algebraicamente: 
3 + 𝑒𝑎+2 = 4 → 𝑒𝑎+2 = 1 → 𝑎 + 2 = 0 ∴ 𝑎 = −2 
(una potencia de base ≠ de 1, es igual a 1 ⟺ el exponente es 0) 
El valor de la constante es 𝑎 = −2 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑎, para que la pendiente de la recta 
tangente a la gráfica de 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 𝑒𝑎+𝑥 sea 4, en el punto 𝑃 = (2; 𝑔(2)). 
 
 
Clave de corrección – Recuperatorio Segundo parcial 2 
 
 
Para graficar la función cuadrática 𝑓 necesitamos conocer el vértice y las 
raíces . 
Cálculo de las raíces: 
𝑥2 − 4𝑥 = 0 ↔ 𝑥(𝑥 − 4) = 0 ↔ 𝑥 = 0 , 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, 𝑥 = 4 
Coordenadas del vértice: 
𝑥𝑣 = −
−4
2 ∙ 1
= 2 𝑦𝑣 = (2)
2 − 4 ∙ 2 = −4 → 𝑉 = (2; −4) 
 
Averiguamos los puntos de intersección entre las gráficas de las dos 
funciones: 
𝑥2 − 4𝑥 = −𝑥 + 4 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
𝑥1;2 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−4)
2 ∙ 1
=
3 ± √25
2
=
3 ± 5
2
⟹ {
 𝑥1 = −1
𝑥2 = 4
 
 
El área limitada por las gráficas de las funciones la calculamos como 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Representar gráficamente las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 y 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 4 en 
un mismo sistema cartesiano y calcular el área de la región encerrada 
entre ambos gráficos 
 
 
Clave de corrección – Recuperatorio Segundo parcial 3 
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 = ∫[(−𝑥 + 4) − (𝑥2 − 4𝑥)]
4
−1
𝑑𝑥 = ∫[−𝑥 + 4 − 𝑥2 + 4𝑥]
4
−1
𝑑𝑥 = 
= ∫ −𝑥2 + 3𝑥 + 4
4
−1
𝑑𝑥 = (−
1
3
𝑥3 +
3
2
𝑥2 + 4𝑥)|
−1
4
 
= (−
1
3
(4)3 +
3
2
(4)2 + 4(4)) − (−
1
3
(−1)3 +
3
2
(−1)2 + 4(−1)) = 
= (−
64
3
+ 24 + 16) − (
1
3
+
3
2
− 4) = 
= −
64
3
+ 24 + 16 −
1
3
−
3
2
+ 4 = −
65
3
−
3
2
+ 44 =
125
6
 
 
 
 
 
Hallar esos valores implica plantear la ecuación 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
5
2
𝜋) = 1 
Sabemos que 
𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 1 ↔ 𝑡 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
Entonces: 
𝑥 +
5
2
𝜋 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 → 𝑥 = −2𝜋 + 2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) 
De todos los posibles valores de 𝑥 nos interesan aquellos que pertenecen al 
intervalo [−4𝜋; 5𝜋]. Entonces, 
−4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 5𝜋 
−4𝜋 ≤ −2𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
−2𝜋 ≤ 2𝑘𝜋 ≤ 7𝜋 𝑘 ∈ ℤ 
−1 ≤ 𝑘 ≤
7
2
 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 = −1,0,1,2,3 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Sea la función 𝑓(𝑥) = sen (𝑥 +
5
2
𝜋). 
Encontrar los valores de 𝑥 ∈ [−4𝜋; 5𝜋] que verifican que 𝑓(𝑥) = 1 
 
 
 
Clave de corrección – Recuperatorio Segundo parcial 4 
Los valores buscados son 
𝒌 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 
𝑥 = −2𝜋 + 2𝑘𝜋 −2𝜋 + 2(−1)𝜋 −2𝜋 + 2(0)𝜋 −2𝜋 + 2(1)𝜋 −2𝜋 + 2(2)𝜋 −2𝜋 + 2(3)𝜋 
𝒙 −𝟒𝝅 −𝟐𝝅 𝟎 𝟐𝝅 𝟒𝝅 
 
 
 
 
 
Hallamos la función inversa 𝒇−𝟏: 
𝑦 = log3(−3𝑥 + 9) − 1 
𝑦 + 1 = log3(−3𝑥 + 9) 
3𝑦+1 = −3𝑥 + 9 
3𝑦+1 − 9 = −3𝑥 
𝑥 =
3𝑦+1 − 9
−3
 
𝑥 = −
1
3
∙ 3𝑦+1 + 3 
Entonces, 
𝑓−1(𝑥) = −
1
3
. 3𝑥+1 + 3 
cuyo dominio son todos los números reales. 
Ahora hallamos la intersección de la función con el eje x (para encontrar las 
raíces y luego determinar el intervalo de positividad). 
−
1
3
. 3𝑥+1 + 3 = 0 
−
1
3
. 3𝑥+1 = −3 
3𝑥+1 = 9 → 3𝑥+1 = 32 → 𝑥 + 1 = 2 ∴ 𝑥 = 1 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Siendo 𝑓(𝑥) = log3(−3𝑥 + 9) − 1 , hallar el conjunto de positividad (𝑪
+) 
de la función 𝒇−𝟏(𝒙). 
 
 
 
Clave de corrección – Recuperatorio Segundo parcial 5 
Analizamos el signo de la función en los intervalos (−∞; 1) y (1; +∞). 
En el intervalo (−∞; 1) el signo de la función es positivo ya que, por ejemplo, 
0 ∈ (−∞; 1) y 𝑓(0) = 2 > 0. 
En el intervalo (1; +∞) el signo de la función es negativo ya que, por 
ejemplo, 2 ∈ (1; +∞) y 𝑓(2) = −6 < 0. 
Por lo tanto, el conjunto de positividad de 𝑓−1(𝑥) es 𝑪+ = (−∞; 𝟏). 
Nota 
Una forma equivalente de expresar la función inversa es 
𝑓−1(𝑥) = −
1
3
. 3𝑥+1 + 3 = −3𝑥 + 3