Álgebra Ecuaciones ]

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ECUACIONES
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
11/3/2017
1 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
Fórmula General
2 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
Fórmula General
2 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
Fórmula General
2 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
Fórmula General
2 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
Fórmula General
2 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
x2 + 5x+ 6 = 0
Factorizando
x2 + 5x+ 6 = 0↔ (x+ 2)(x+ 3) = 0↔ C.S. = {−3;−2}
Completando cuadrados
x2 + 5x+ 6 = 0↔ x2 + 5x+
(
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸−
(
5
2
)2
+ 6 = 0
(
x+
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸ =
1
4
↔
(
x+
5
2
=
−1
2
)
∨
(
x+
5
2
=
1
2
)
C.S. = {−3;−2}
3 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
x2 + 5x+ 6 = 0
Factorizando
x2 + 5x+ 6 = 0↔ (x+ 2)(x+ 3) = 0↔ C.S. = {−3;−2}
Completando cuadrados
x2 + 5x+ 6 = 0↔ x2 + 5x+
(
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸−
(
5
2
)2
+ 6 = 0
(
x+
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸ =
1
4
↔
(
x+
5
2
=
−1
2
)
∨
(
x+
5
2
=
1
2
)
C.S. = {−3;−2}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
x2 + 5x+ 6 = 0
Factorizando
x2 + 5x+ 6 = 0↔ (x+ 2)(x+ 3) = 0↔ C.S. = {−3;−2}
Completando cuadrados
x2 + 5x+ 6 = 0↔ x2 + 5x+
(
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸−
(
5
2
)2
+ 6 = 0
(
x+
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸ =
1
4
↔
(
x+
5
2
=
−1
2
)
∨
(
x+
5
2
=
1
2
)
C.S. = {−3;−2}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
x2 + 5x+ 6 = 0
Factorizando
x2 + 5x+ 6 = 0↔ (x+ 2)(x+ 3) = 0↔ C.S. = {−3;−2}
Completando cuadrados
x2 + 5x+ 6 = 0↔ x2 + 5x+
(
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸−
(
5
2
)2
+ 6 = 0
(
x+
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸ =
1
4
↔
(
x+
5
2
=
−1
2
)
∨
(
x+
5
2
=
1
2
)
C.S. = {−3;−2}
3 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
x2 + 5x+ 6 = 0
Factorizando
x2 + 5x+ 6 = 0↔ (x+ 2)(x+ 3) = 0↔ C.S. = {−3;−2}
Completando cuadrados
x2 + 5x+ 6 = 0↔ x2 + 5x+
(
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸−
(
5
2
)2
+ 6 = 0
(
x+
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸ =
1
4
↔
(
x+
5
2
=
−1
2
)
∨
(
x+
5
2
=
1
2
)
C.S. = {−3;−2}
3 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
x2 + 5x+ 6 = 0
Factorizando
x2 + 5x+ 6 = 0↔ (x+ 2)(x+ 3) = 0↔ C.S. = {−3;−2}
Completando cuadrados
x2 + 5x+ 6 = 0↔ x2 + 5x+
(
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸−
(
5
2
)2
+ 6 = 0
(
x+
5
2
)2
︸ ︷︷ ︸ =
1
4
↔
(
x+
5
2
=
−1
2
)
∨
(
x+
5
2
=
1
2
)
C.S. = {−3;−2}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Observación
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
∆ = b2 − 4ac
Su conjunto solución es
C.S. =
{
−b−
√
∆
2a
;
−b+
√
∆
2a
}
4 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Observación
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
∆ = b2 − 4ac
Su conjunto solución es
C.S. =
{
−b−
√
∆
2a
;
−b+
√
∆
2a
}
4 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Observación
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
∆ = b2 − 4ac
Su conjunto solución es
C.S. =
{
−b−
√
∆
2a
;
−b+
√
∆
2a
}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
1x2 + 5x+ 6 = 0
Fórmula General
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuación
es :
∆ = 52 − 4(1)(6) = 1
x1 =
−5−
√
∆
2(1)
= −3 ∨ x2 =
−5 +
√
∆
2(1)
= −2
C.S. = {−3;−2}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
1x2 + 5x+ 6 = 0
Fórmula General
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6,
El DISCRIMINANTE de la ecuación
es :
∆ = 52 − 4(1)(6) = 1
x1 =
−5−
√
∆
2(1)
= −3 ∨ x2 =
−5 +
√
∆
2(1)
= −2
C.S. = {−3;−2}
5 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
1x2 + 5x+ 6 = 0
Fórmula General
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuación
es :
∆ = 52 − 4(1)(6) = 1
x1 =
−5−
√
∆
2(1)
= −3 ∨ x2 =
−5 +
√
∆
2(1)
= −2
C.S. = {−3;−2}
5 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
1x2 + 5x+ 6 = 0
Fórmula General
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuación
es :
∆ = 52 − 4(1)(6) = 1
x1 =
−5−
√
∆
2(1)
= −3 ∨ x2 =
−5 +
√
∆
2(1)
= −2
C.S. = {−3;−2}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Resolver
1x2 + 5x+ 6 = 0
Fórmula General
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuación
es :
∆ = 52 − 4(1)(6) = 1
x1 =
−5−
√
∆
2(1)
= −3 ∨ x2 =
−5 +
√
∆
2(1)
= −2
C.S. = {−3;−2}
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las ráıces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
de incógnita x. Según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ > 0, las ráıces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las ráıces son números reales e iguales.
Si ∆ < 0, las ráıces son números complejos conjugados.
Importante: Si ∆ ≥ 0, las ráıces son números reales
6 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las ráıces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
de incógnita x. Según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ > 0, las ráıces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las ráıces son números reales e iguales.
Si ∆ < 0, las ráıces son números complejos conjugados.
Importante: Si ∆ ≥ 0, las ráıces son números reales
6 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las ráıces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
de incógnita x. Según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ > 0, las ráıces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las ráıces son números reales e iguales.
Si ∆ < 0, las ráıces son números complejos conjugados.
Importante: Si ∆ ≥ 0, las ráıces son números reales
6 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Discusiónde las ráıces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
de incógnita x. Según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ > 0, las ráıces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las ráıces son números reales e iguales.
Si ∆ < 0, las ráıces son números complejos conjugados.
Importante: Si ∆ ≥ 0, las ráıces son números reales
6 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las ráıces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
de incógnita x. Según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ > 0, las ráıces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las ráıces son números reales e iguales.
Si ∆ < 0, las ráıces son números complejos conjugados.
Importante: Si ∆ ≥ 0, las ráıces son números reales
6 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Observación 3
Respecto a la relación y = ax2 + bx+ c, a 6= 0
Su representación geométrica es una parábola que tiene como
vértice
V =
(
− b
2a
;−∆
4a
)
=
(
− b
2a
; c− b
2
4a
)
Admite un valor máximo (ḿınimo)
y = −∆
4a
en x = − b
2a
si y sólo si a < 0 (a > 0)
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ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación geométrica de y = ax2 + bx+ c
Cuando ∆ > 0, la gráfica interseca al eje X en dos puntos, x1 6= x2
8 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación geométrica de y = ax2 + bx+ c
Cuando ∆ > 0, la gráfica interseca al eje X en dos puntos, x1 6= x2
9 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación geométrica de y = ax2 + bx+ c
Cuando ∆ = 0, la gráfica es tangente al eje X, x1 = x2
10 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación geométrica de y = ax2 + bx+ c
Cuando ∆ = 0, la gráfica es tangente al eje X, x1 = x2
11 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación geométrica de y = ax2 + bx+ c
Cuando ∆ < 0, la gráfica no interseca al eje X, x1 /∈ R, x2 /∈ R
12 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Interpretación geométrica de y = ax2 + bx+ c
Cuando ∆ < 0, la gráfica no interseca al eje X, x1 /∈ R, x2 /∈ R
13 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Sean x1, x2 ráıces de la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Suma de Ráıces Producto de Ráıces
x1 + x2 = −
b
a
x1x2 =
c
a
Diferencia de Ráıces
Si x1 > x2, entonces x1 − x2 =
√
∆
a
O también
(x1 + x2)
2 − (x1 − x2)2 = 4x1x2
14 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Sean x1, x2 ráıces de la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Suma de Ráıces Producto de Ráıces
x1 + x2 = −
b
a
x1x2 =
c
a
Diferencia de Ráıces
Si x1 > x2, entonces x1 − x2 =
√
∆
a
O también
(x1 + x2)
2 − (x1 − x2)2 = 4x1x2
14 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Sean x1, x2 ráıces de la ecuación cuadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Suma de Ráıces Producto de Ráıces
x1 + x2 = −
b
a
x1x2 =
c
a
Diferencia de Ráıces
Si x1 > x2, entonces x1 − x2 =
√
∆
a
O también
(x1 + x2)
2 − (x1 − x2)2 = 4x1x2
14 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Si las ecuaciones cuadráticas
mx2 + nx+ p = 0 y qx2 + rx+ s = 0
donde m,n, p, q, r y s son números reales, son equivalentes,
entonces
m
q
=
n
r
=
p
s
Reconstrucción de la ecuación
Una ecuación cuadrática en variable x, de ráıces x1 y x2 es:
x2 − (x1 + x2)x+ x1x2 = 0
15 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Si las ecuaciones cuadráticas
mx2 + nx+ p = 0 y qx2 + rx+ s = 0
donde m,n, p, q, r y s son números reales, son equivalentes,
entonces
m
q
=
n
r
=
p
s
Reconstrucción de la ecuación
Una ecuación cuadrática en variable x, de ráıces x1 y x2 es:
x2 − (x1 + x2)x+ x1x2 = 0
15 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Si las ecuaciones cuadráticas
mx2 + nx+ p = 0 y qx2 + rx+ s = 0
donde m,n, p, q, r y s son números reales, son equivalentes,
entonces
m
q
=
n
r
=
p
s
Reconstrucción de la ecuación
Una ecuación cuadrática en variable x, de ráıces x1 y x2 es:
x2 − (x1 + x2)x+ x1x2 = 0
15 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Si las ecuaciones cuadráticas
mx2 + nx+ p = 0 y qx2 + rx+ s = 0
donde m,n, p, q, r y s son números reales, son equivalentes,
entonces
m
q
=
n
r
=
p
s
Reconstrucción de la ecuación
Una ecuación cuadrática en variable x, de ráıces x1 y x2 es:
x2 − (x1 + x2)x+ x1x2 = 0
15 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Ráız común
Si α es una ráız común de las ecuaciones cuadráticas
mx2 + nx+ p = 0 y qx2 + rx+ s = 0
donde m,n, p, q, r y s son números reales (nq 6= mr), entonces
α =
ms− pq
nq −mr
16 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación polinomial de segundo grado
Propiedades de las Ráıces
Ráız común
Si α es una ráız común de las ecuaciones cuadráticas
mx2 + nx+ p = 0 y qx2 + rx+ s = 0
donde m,n, p, q, r y s son números reales (nq 6= mr), entonces
α =
ms− pq
nq −mr
16 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada
Definición
Una ecuación bicuadrada presenta la forma general:
ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0 (∗)
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Conjunto Solución
Al reemplazar y = x2, en la ecuación (∗), se obtiene
ay2 + by + c = 0,
cuyas ráıces son
y =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
17 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada
Definición
Una ecuación bicuadrada presenta la forma general:
ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0 (∗)
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Conjunto Solución
Al reemplazar y = x2, en la ecuación (∗), se obtiene
ay2 + by + c = 0,
cuyas ráıces son
y =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
17 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada
Entonces
x = ±
√
−b±
√
b2 − 4ac
2a
es decir,
x1 =
√
−b+
√
b2 − 4ac
2a
= α x2 = −
√
−b+
√
b2 − 4ac
2a
= −α
x3 =
√
−b−
√
b2 − 4ac
2a
= β x4 = −
√
−b−
√
b2 − 4ac
2a
= −β
18 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada
Entonces
x = ±
√
−b±
√
b2 − 4ac
2a
es decir,
x1 =
√
−b+
√
b2 − 4ac
2a
= α x2 = −
√
−b+
√
b2 − 4ac
2a
= −α
x3 =
√
−b−
√
b2 − 4ac
2a
= β x4 = −
√
−b−
√
b2 − 4ac
2a
= −β
18 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada
Entonces
x = ±
√
−b±
√
b2 − 4ac
2a
es decir,
x1 =
√
−b+
√
b2 − 4ac
2a
= α x2 = −
√
−b+
√
b2 − 4ac
2a
= −α
x3 =
√
−b−
√
b2 − 4ac
2a
= β x4 = −
√
−b−
√
b2 − 4ac
2a
= −β
18 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Propiedad de las ráıces
Conjuntos Solución
C.S. = {α,−α, β,−β}
Importante!
Si α y β son dos ráıces no simétricas (α+ β 6= 0) de la ecuación
bicuadrada
ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0
entonces :
α2 + β2 = − b
a
y α2β2 =
c
a
19 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Propiedad de las ráıces
Conjuntos Solución
C.S. = {α,−α, β,−β}
Importante!
Si α y β son dos ráıces no simétricas (α+ β 6= 0) de la ecuación
bicuadrada
ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0
entonces :
α2 + β2 = − b
a
y α2β2 =
c
a
19 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Propiedad de las ráıces
Reconstrucción de la ecuación
Una ecuación bicuadrada en variable x, donde dos de sus ráıces α
y β son no simétricas, es :
x4 − (α2 + β2)x2 + α2β2 = 0
20 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación bicuadrada
Propiedad de las ráıces
Reconstrucción de la ecuaciónUna ecuación bicuadrada en variable x, donde dos de sus ráıces α
y β son no simétricas, es :
x4 − (α2 + β2)x2 + α2β2 = 0
20 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Polinomio sobre R
Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir :
p(x) = a1x
n + a2x
n−1 + a3x
n−2 + . . .+ anx+ an+1
donde: a1, a2, . . . , an+1 son números reales, a1 6= 0
a1, a2, . . . , an+1 : Coeficientes
a1 : Coeficiente principal
n : Grado de p(x)
R : Conjunto de los Números Reales
21 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Polinomio sobre R
Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir :
p(x) = a1x
n + a2x
n−1 + a3x
n−2 + . . .+ anx+ an+1
donde: a1, a2, . . . , an+1 son números reales, a1 6= 0
a1, a2, . . . , an+1 : Coeficientes
a1 : Coeficiente principal
n : Grado de p(x)
R : Conjunto de los Números Reales
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Polinomio sobre R
Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir :
p(x) = a1x
n + a2x
n−1 + a3x
n−2 + . . .+ anx+ an+1
donde: a1, a2, . . . , an+1 son números reales, a1 6= 0
a1, a2, . . . , an+1 : Coeficientes
a1 : Coeficiente principal
n : Grado de p(x)
R : Conjunto de los Números Reales
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Polinomio sobre R
Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir :
p(x) = a1x
n + a2x
n−1 + a3x
n−2 + . . .+ anx+ an+1
donde: a1, a2, . . . , an+1 son números reales, a1 6= 0
a1, a2, . . . , an+1 : Coeficientes
a1 : Coeficiente principal
n : Grado de p(x)
R : Conjunto de los Números Reales
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Definición
Sea p(x) un polinomio definido sobre R, la ecuación polinomial
p(x) = 0, se denomina rećıproca, si cumple que si r es solución
de la ecuación, entonces 1/r ( su rećıproco ) también es una
solución de la ecuación.
Teorema
Una condición necesaria para que una ecuación p(x) = 0 sea
rećıproca, es que los coeficientes equidistantes de los extremos
de p(x) sean iguales o simétricos (sumen cero).
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Definición
Sea p(x) un polinomio definido sobre R, la ecuación polinomial
p(x) = 0, se denomina rećıproca, si cumple que si r es solución
de la ecuación, entonces 1/r ( su rećıproco ) también es una
solución de la ecuación.
Teorema
Una condición necesaria para que una ecuación p(x) = 0 sea
rećıproca, es que los coeficientes equidistantes de los extremos
de p(x) sean iguales o simétricos (sumen cero).
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Observación 1
Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde
los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
iguales, la ecuación polinomial p(x) = 0 tiene como ráız a −1.
Observación 2
Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde
los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
simétricos, la ecuación polinomial p(x) = 0 tiene como ráız a 1.
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Observación 1
Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde
los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
iguales, la ecuación polinomial p(x) = 0 tiene como ráız a −1.
Observación 2
Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde
los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
simétricos, la ecuación polinomial p(x) = 0 tiene como ráız a 1.
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Observación 3
Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado par, la
ecuación rećıproca p(x) = 0, se resuelve mediante la sustitución
x+
1
x
= z
Ejemplo
Resolver :
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6 = 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Observación 3
Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado par, la
ecuación rećıproca p(x) = 0, se resuelve mediante la sustitución
x+
1
x
= z
Ejemplo
Resolver :
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6 = 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Resolución
Piden resolver :
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6 = 0
Como x 6= 0,
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6
x2
=
0
x2
6x2 + 5x− 38 + 5
x
+
6
x2
= 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Resolución
Piden resolver :
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6 = 0
Como x 6= 0,
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6
x2
=
0
x2
6x2 + 5x− 38 + 5
x
+
6
x2
= 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Resolución
Piden resolver :
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6 = 0
Como x 6= 0,
6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6
x2
=
0
x2
6x2 + 5x− 38 + 5
x
+
6
x2
= 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Sea
6
(
x2 +
1
x2
)
+ 5
(
x+
1
x
)
− 38 = 0 (∗)
si x+
1
x
= z, entonces x2 +
1
x2
= z2 − 2
al reemplazar en (∗), se tiene que :
6(z2 − 2) + 5z − 38 = 0
de lo cual
6z2 + 5z − 50 = (3z + 10)(2z − 5) = 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Sea
6
(
x2 +
1
x2
)
+ 5
(
x+
1
x
)
− 38 = 0 (∗)
si x+
1
x
= z, entonces x2 +
1
x2
= z2 − 2
al reemplazar en (∗), se tiene que :
6(z2 − 2) + 5z − 38 = 0
de lo cual
6z2 + 5z − 50 = (3z + 10)(2z − 5) = 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Sea
6
(
x2 +
1
x2
)
+ 5
(
x+
1
x
)
− 38 = 0 (∗)
si x+
1
x
= z, entonces x2 +
1
x2
= z2 − 2
al reemplazar en (∗), se tiene que :
6(z2 − 2) + 5z − 38 = 0
de lo cual
6z2 + 5z − 50 = (3z + 10)(2z − 5) = 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Sea
6
(
x2 +
1
x2
)
+ 5
(
x+
1
x
)
− 38 = 0 (∗)
si x+
1
x
= z, entonces x2 +
1
x2
= z2 − 2
al reemplazar en (∗), se tiene que :
6(z2 − 2) + 5z − 38 = 0
de lo cual
6z2 + 5z − 50 = (3z + 10)(2z − 5) = 0
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Se sigue que :
3z + 10 = 0 ∨ 2z − 5 = 0
al sustituir
z = x+
1
x
3
(
x+
1
x
)
+ 10 = 0 ∨ 2
(
x+
1
x
)
− 5 = 0
3x2 + 10x+ 3 = 0 ∨ 2x2 − 5x+ 2 = 0
(3x+ 1)(x+ 3) = 0 ∨ (2x− 1)(x− 2) = 0
C.S. =
{
−3,−1
3
,
1
2
, 2
}
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Se sigue que :
3z + 10 = 0 ∨ 2z − 5 = 0
al sustituir
z = x+
1
x
3
(
x+
1
x
)
+ 10 = 0 ∨ 2
(
x+
1
x
)
− 5 = 0
3x2 + 10x+ 3 = 0 ∨ 2x2 − 5x+ 2 = 0
(3x+ 1)(x+ 3) = 0 ∨ (2x− 1)(x− 2) = 0
C.S. =
{
−3,−1
3
,
1
2
, 2
}
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Se sigue que :
3z + 10 = 0 ∨ 2z − 5 = 0
al sustituir
z = x+
1
x
3
(
x+
1
x
)
+ 10 = 0 ∨ 2
(
x+
1
x
)
− 5 = 0
3x2 + 10x+ 3 = 0 ∨ 2x2 − 5x+ 2 = 0
(3x+ 1)(x+ 3) = 0 ∨ (2x− 1)(x− 2) = 0
C.S. =
{
−3,−1
3
,
1
2
, 2
}
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Se sigue que :
3z + 10 = 0 ∨ 2z − 5 = 0
al sustituir
z = x+
1
x
3
(
x+
1
x
)
+ 10 = 0 ∨ 2
(
x+
1
x
)
− 5 = 0
3x2 + 10x+ 3 = 0 ∨ 2x2 − 5x+ 2 = 0
(3x+ 1)(x+ 3) = 0 ∨ (2x− 1)(x− 2) = 0
C.S. =
{
−3,−1
3
,
1
2
, 2
}
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Se sigue que :
3z + 10 = 0 ∨ 2z − 5 = 0
al sustituir
z = x+
1
x
3
(
x+
1
x
)
+ 10 = 0 ∨ 2
(
x+
1
x
)
− 5 = 0
3x2 + 10x+ 3 = 0 ∨ 2x2 − 5x+ 2 = 0
(3x+ 1)(x+ 3) = 0 ∨ (2x− 1)(x− 2) = 0
C.S. =
{
−3,−1
3
,
1
2
, 2
}
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Ecuación rećıproca
Se sigue que :
3z + 10 = 0 ∨ 2z − 5 = 0
al sustituir
z = x+
1
x
3
(
x+
1
x
)
+ 10 = 0 ∨ 2
(
x+
1
x
)
− 5 = 0
3x2 + 10x+ 3 = 0 ∨ 2x2 − 5x+ 2 = 0
(3x+ 1)(x+ 3) = 0 ∨ (2x− 1)(x− 2) = 0
C.S. =
{
−3,−1
3
,
1
2
, 2
}
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Material de Estudio
Ejercicio 65
Hallar el número de valores a ∈ Z, para que una de las ráıces de
3x2 + 2(9a− a2)x− 12a = 0
se encuentre en el intervalo 〈−24;−6〉
Ejercicio 69Se desea construir un paraleleṕıpedo recto, de base cuadrada de 120
cm de longitud. ¿Cuál es el mayor valor (en cm2) que puede asumir la
superficie total del paraleleṕıpedo?
29 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Material de Estudio
Ejercicio 65
Hallar el número de valores a ∈ Z, para que una de las ráıces de
3x2 + 2(9a− a2)x− 12a = 0
se encuentre en el intervalo 〈−24;−6〉
Ejercicio 69
Se desea construir un paraleleṕıpedo recto, de base cuadrada de 120
cm de longitud. ¿Cuál es el mayor valor (en cm2) que puede asumir la
superficie total del paraleleṕıpedo?
29 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Material de Estudio
Ejercicio 65
Hallar el número de valores a ∈ Z, para que una de las ráıces de
3x2 + 2(9a− a2)x− 12a = 0
se encuentre en el intervalo 〈−24;−6〉
Ejercicio 69
Se desea construir un paraleleṕıpedo recto, de base cuadrada de 120
cm de longitud. ¿Cuál es el mayor valor (en cm2) que puede asumir la
superficie total del paraleleṕıpedo?
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Material de Estudio
Ejercicio 71
Determine la suma de valores de “m” si las cuatro ráıces de
x4 − 30x2 + (m+ 1)2 = 0
Se hallan en progresión aritmética.
Ejercicio 73
Al resolver x4 + ax2 + 3a = 0, las ráıces x1, x2, x3, x4 verifican
x71 + x
7
2 + x
7
3 + x
7
4 + 5 = a
Determine k = x31x2x3x4 + x1x
3
2x3x4 + x1x2x
3
3x4 + x1x2x3x
3
4
30 / 30
ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Material de Estudio
Ejercicio 71
Determine la suma de valores de “m” si las cuatro ráıces de
x4 − 30x2 + (m+ 1)2 = 0
Se hallan en progresión aritmética.
Ejercicio 73
Al resolver x4 + ax2 + 3a = 0, las ráıces x1, x2, x3, x4 verifican
x71 + x
7
2 + x
7
3 + x
7
4 + 5 = a
Determine k = x31x2x3x4 + x1x
3
2x3x4 + x1x2x
3
3x4 + x1x2x3x
3
4
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ECUACIONES
N
Ecuación Rećıproca
Material de Estudio
Ejercicio 71
Determine la suma de valores de “m” si las cuatro ráıces de
x4 − 30x2 + (m+ 1)2 = 0
Se hallan en progresión aritmética.
Ejercicio 73
Al resolver x4 + ax2 + 3a = 0, las ráıces x1, x2, x3, x4 verifican
x71 + x
7
2 + x
7
3 + x
7
4 + 5 = a
Determine k = x31x2x3x4 + x1x
3
2x3x4 + x1x2x
3
3x4 + x1x2x3x
3
4
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ECUACIONES
N
	Ecuación polinomial de segundo grado
	Ecuación bicuadrada
	Ecuación Recíproca