LAPLACE EEST6_bd8e729160fbe15a089a183a5cb5ad10

Vista previa del material en texto

ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES 
 
5° ELECTRONICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Ing. Gianni H. Sparvoli 
 
Publicado en Marzo de 2014 
 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 2 
 
La transformada de Laplace Llamada así en honor al matemático y astrónomo francés 
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) considerado como uno de los más 
grandes científicos de la historia, a veces referido como el Newton de 
Francia, es un operador LINEAL muy útil para la resolución de 
ecuaciones diferenciales. Laplace demostró como transformar las 
ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden 
resolverse por medios algebraicos. 
 
 
A toda función del tiempo g(t) definida para todo t>0, se le hace corresponder una 
función F(s) de variable compleja s que se llama Transformada de Laplace. Se 
indica de la siguiente forma: 
 
  
−
→

− ===
b
t
st
b
t
st
ts dtgedgegLF
0
)(
0
)()()( ..limt .. 
 
 
La transformada de Laplace de la función g(t) que está en el dominio temporal t, queda 
ahora en el dominio de la variable s, cuyo significado está asociado particularmente a la 
frecuencia oscilatoria (ω en Radianes = 2.π.f). En general s = σ + jω es una variable 
compleja, cuyas partes real e imaginaria corresponden a las frecuencias neperiana y 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 3 
oscilatoria de la señal, por esta razón se dice que la función F(s) está en el dominio de 
la frecuencia. 
 
Se dice entonces que la Transformada de Laplace de la función g(t) existe si la 
integral converge. 
 
 
Es conveniente advertir que las condiciones bajo las cuales se da la convergencia son 
suficientes y no de necesidad, es decir, es posible asignarle una transformada de 
Laplace a una función que no cumpla con una de las dos condiciones. De todas 
formas, las funciones que cumplen con ambas condiciones, a las que se les denomina 
“respetables”, son las funciones de uso generalizado en ingeniería y ciencias. Cuando 
la función es respetable se cumple que: 
 
  0)( =
→
s
s
Fiml
 
 
  KFsiml s
s

→
)(.
 
La función impulso unitario δ(t) o mas conocida como la Delta de Dirac no es 
seccionalmente continua y sin embargo se le asigna, como transformada de Laplace, la 
unidad, es decir: 
 
  1 )()( == ts LF  
 
Observe que no cumple las dos propiedades previamente enunciadas. Tomemos 
distintas funciones básicas para poder calcular su transformada aplicando definición: 
 
Calcularemos entonces las las transformadas de funciones conocidas usando la 
definición en cada caso. 
 
 
 
Función constante 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 4 
g(t) = 1 
Aplicando la definición podemos calcular su función transformada según: 
 
s
e
s
dgeLF tst
st
s
1
.
1
t ...11 
0
.
0
)()( =
−
===

−

−
 
 
Función lineal 
g(t) = t 
Aplicando la definición podemos calcular su función transformada según: 
 
2
0
00
.
0
)(
1
.
1
.
1
t .. 
s
dte
s
dte
ss
e
tdettLF
st
st
ts
st
s
==
=+===



−

−

−
−
 
 
Función exponencial 
g(t) = e-t 
Aplicando la definición podemos calcular su función transformada según: 
 
1
1
.
1
1
.t .. 
0
).1(
0
)1(
0
)(
+
=
+
−
=
====

+−

+−

−−−

s
e
s
dtedeeeLF
ts
tssttt
s
 
Si la funcion se generaliza a g(t) = e-at la transformada es 
as +
1
 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 5 
Para nuestro análisis usaremos una tabla de transformadas la cual nos evitara en todos 
los casos usar la definición de la misma para resolver y calcular. 
 
Tabla de transformadas de Laplace 
 
f(t) F(s) 
f(t) = (t) F(s) = 1 
 
f(t) = 1 
s
1
)s(F = 
 
f(t) = t 2
s
1
)s(F = 
 
f(t) = tn 1n
s
1
)s(F
+
= 
 
f(t) = e-a.t 
as
1
)s(F
+
= 
 
F(t) = t . e-a.t 2
)as(
1
)s(F
+
= 
 
F(t) = sen t 22
s
)s(F
+

= 
 
F(t) = cos t 22
s
s
)s(F
+
= 
 
f(t) = sen t . e-a.t 22
)as(
)s(F
++

= 
 
f(t) = cos t . e-a.t 22
)as(
as
)s(F
++
+
= 
 
Como ejercitación extra queda para el alumno determinar las transformadas de las 
demás funciones que aparecen es la tabla
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 6 
 
Propiedades de la Transformada de Laplace 
a) Operador lineal: la T.L. es un operador lineal. Siendo a y b constantes, tenemos 
que: 
 
La.g(t) + b.f(t) = a.Lg(t) + b.Lf(t) 
 
1º propiedad de translación: se demuestra que 
En efecto: 
 
 
b) 2º propiedad de translación: 
 
Sea una función g(t) 
 
que Lg(t) = e-sa . F(s) Se puede demostrar 
 
c) Propiedad del cambio de escala: 
 
Sea f(t) una función, tal que Lf(t) = F(s), se demostrará que: 
Tomemos 
 
 
Entonces 
     += +=+

−

−

−
0
st
)t(
0
st
)t(
0
)t()t(
st
)t()t( dt.e.f.b dt.e.g.adt.f.bg.a.ef.bg.aL
  )()(. astat FfeL −=
   ===

−−

−

−
0
)t(
t)as(
0
)t(
atst
0
)t(
st
)t( dt.f.edt.f.e.edt.f.efL
  )as()t(at Ff.eL −=




−
a t 0 
a t )at(f
 
a
1
 . Fdt.f.efL
a
s
0
)t.a(
st
)t.a(







− ==
a
du
dt
a
u
tt.au ===
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 7 
  

−=
0
)t(
st
)t( td .'f.e'f L
  







−







−
=





=
0
)(
0
)().( ...
1
.. dufe
aa
u
dfefL u
a
u
s
u
a
u
s
ta 
 






=
a
sta
f
a
fL .
1
).( 
 
Transformada de Laplace de la derivada de una función 
Sea f´(t) una función seccionalmente contínua para 0  t  N y su T. L. Es Lf(t) = F(s), 
se demostrara que: 
Lf’(t) = s.F(s) – f(0) 
 
Por definición e integrando por partes se obtiene la 
solución. 
Generalizando, para la T. L. de derivadas de funciones de orden superior tenemos que: 
 
  1)0(2)0()0(2)0(1)()( ....'... −−−− −−−−−= nnnnsnnt ffsfsfsFsfL
 
 
Transformada de Laplace de la integral de una función 
 
Sea f(t) una función tal que Lf(t) = F(s), se demostrará que 
Sea entonces 
 
 
Transformando en ambos miembros tenemos: 
LG’(t) = s.LG(t) - G(0) = s.LG(t) = F(s) 
 
Entonces 
( )  ( )
( )
s
F
dufLfL
s
t
ut =






= 
0
.
 
( )
( )
s
F
du.fL
s
t
0
u =







( ) ( ) 0 Gy f'Gdu.fG (0))t(t
t
0
u)t( === 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 8 
 
Transformada de Laplace de una señal periódica 
 
Sea una señal periódica de período p, tal que f(t+p) = f(t), tenemos entonces que: 
( ) 
( )
sp
p
t
st
t
e
dtfe
fL
−
−
−
=

1
..
0
 
La demostración no se realiza ya que involucra conceptos matemáticos no vistos 
 
Teorema del valor inicial 
 
Dada una función donde Lf’(t) = s.F(s) – f(0) 
 
y considerando por definición que si 
 
 
entonces tomando el límite cuando s →  y con la hipótesis de que f(t) es contínua en t 
= 0, tendremos que 
( )  ( ) 
   
   (t)(s)
(t)
0
(s)
0(s)
f s.F 
f s.F 0 
f-s.F '
LimLim 
LimLim
Lim 
ots
ts
s
t
s
fLLim
→→
→→
→→
=
−=
=
 
 
Sirve para determinar el valor de una función cuando t→0 
 
 
Teorema del valor inicial 
 
De la misma forma que el anterior se demuestra que: 
 
 
( )  0 F Lim FfL (s)
s
)s(t ==
→
   (t)
t
(s)
0s
f Lims.F Lim 
→→
=
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 9 
Función nula 
 
Si f(t) es una función de t /  t>0 entonces f(t) se llama función nula 
 
 
 
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
 
Si consideramos la igualdad Lf(t) = F(s) entonces llamaremos a f(t) transformada 
inversa de Laplace y se expresará: 
Donde se lo conoce como operador inverso de la transformada.Como la transformada de una función nula es cero se deduce que para 
funciones distintas tenemos distintas anti transformadas, o dicho de otra forma la 
transformada inversa de Laplace de una función es única 
 
Propiedades de la transformada inversa de Laplace 
 
Todas las propiedades vistas para la trasformada de Laplace se aplican en sentido 
inverso para la transformada inversa de Laplace, por consiguiente todas son validas 
leyéndolas al revés. 
 

t
0
)t( dt.f
( ) ( ) s1t FLf −=
1L−
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 10 
i0 
i(t) 
v(t) 
L 
+ 
 
ESTUDIO DE ELEMENTOS SIMPLES USANDO 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
Resistencia 
 
 i(t) 
 
 R 
 
v(t) 
Capacitor 
 
 
 i(t) 
 
 C 
 
v(t) 
 
 1/C.s 
 
I(s) 
 
 
v0.C + 
otra forma 
 
 
 
 
 
 I(s) 1/C.s + v0./s 
 
Inductancia 
 
V(s) 
V(t) = i(t) . R  V(s) = I(s) . R 
  C.vV.s..CvV.s.CI
t
v
.Ci 0)s(0)s()s(
)t(
)t( +=+=


=
s
v
I
s.C
1
Vvt.i.
C
1
t.i.
C
1
v 0)s()s(0
t
0
)t(
t
)t()t( +=+==
−
  L.iI.s..LiI.s.LV
t
i
.Lv 0)s(0)s()s(
)t(
)t( −=−=


=
I(s) i0.L L.s 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 11 
CLASIFICACION DE LAS PERTURBACIONES O ENTRADAS DEL 
SISTEMA 
 
Entrada tipo impulso o impulsiva 
Este tipo de entrada e muy particular ya que tiene características que la hacen muy 
importante para el análisis de un sistema. Decimos que la función impulso se define 
como: 
 
f(t) = (t) o mas conocida como la DELTA DE DIRAC su T.L es F(s) = 1 
 f(t) 
 
 
→ 
t 
→ 
La importancia de esta función, radica en que por ser impulsiva nunca se sabe cuando 
aparece, pero en el momento que lo hace genera un barrido en frecuencia de 0 a , lo 
cual es útil para analizar al sistema en su respuesta en frecuencia. Vemos además que 
la amplitud tiende a  cuando el tiempo de duración tiende a 0 
 
Entrada tipo escalón unitario 
Este tipo de entrada es muy usada ya que representa cualquier variación brusca de 
una magnitud física. Decimos que la función escalón unitario se define como: 
 
f(t) = 1 su T.L es 
 f(t) 
 
 
 
 1 
 
t 
s
1
)s(F =
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 12 
La importancia de esta función, radica en que por ser escalón representa una variación 
brusca 0de un estado final de trabajo a uno nuevo inicial. Cabe aclarar que el salto 
puede realizarse con valores mayores a 1 
 
 
Entrada tipo rampa unitaria 
Este tipo de entrada es muy usada ya que representa cualquier variación lenta de una 
magnitud física. Decimos que la función rampa unitaria se define como: 
 
f(t) = t su T.L es 
 
 f(t) 
 
 
 
 
 
 
t 
La importancia de esta función, radica en que por ser rampa representa una variación 
lenta de un estado final de trabajo a uno nuevo inicial. Cabe aclarar que el retraso o 
pendiente de la rampa puede ser mayor o menor a 1 
 
FUNCION TRANSFERENCIA 
 
Dado un sistema como el siguiente 
 
 e(t) s(t) 
 
 
Se denomina función transferencia del sistema a laT.L. de la salida dividido la T.L. de la 
entrada. Para nuestro caso: 
 
 
2
s
1
)s(F =
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 13 
nn
nn
mm
mm
s
s
s
asasasa
bsbsbsb
E
S
H
++++
++++
==
−
−
−
−
........
........
1
1
10
1
1
10
)(
)(
)(
 
 
El orden del sistema queda definido por el grado del denominador (potencia más alta 
de s). Para nuestro caso el valor de n 
La función transferencia es una propiedad del sistema, independiente de la magnitud y 
naturaleza de la entrada. Incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada 
con la salida, no obstante no brinda ninguna información respecto a la entrada física del 
sistema. Si no se conoce se puede establecer experimentalmente, introduciendo 
entradas conocidas y estudiando la respuesta del sistema. 
Tomemos una función genérica, para un sistema dado tenemos que 


=
=
−
−
−
−
−
−
=
++++
++++
==
n
j
jn
m
i
im
nn
nn
mm
mm
s
s
s
psb
zsa
asasasa
bsbsbsb
E
S
H
1
1
1
1
10
1
1
10
)(
)(
)(
)(.
)(.
........
........
 
Donde zi serán los ceros de la función y zj serán los polos de la función. 
Si aplicamos fracciones simples para su análisis, resulta: 
.......
...2
.
)(
)(
22
32
2
21
+
++
+
+
+
+
−
+
−
+
−
=
 ss
FsE
ps
D
ps
C
ps
B
ps
A
sG
 
Donde p1 y p3 son polos reales simples, p2 es un polo real doble. Para un o<<1 
tenemos polos complejos conjugados. Caso contrario tenemos polos reales y distintos. 
Para una mejor visualización de cada caso, analicemos la ubicación de estos polos en 
un plano complejo s y su situación al ser antitransformados. 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 14 
DIAGRAMA DE BLOQUES 
 
 Es una representación gráfica de las funciones analizadas por cada componente y del 
flujo de las señales. Tal diagrama indica las interacciones que existen entre los 
diversos componentes. Todas las variables del sistema se enlazan entre sí a través de 
bloques funcionales. El bloque funcional o bloque, es un símbolo de la operación 
matemática que el bloque produce a la salida, sobre la señal que tiene a la entrada. 
Sobre los bloques se colocan las funciones transferencias de los componentes; los 
bloques están conectados por flechas para indicar la dirección del flujo de señales. La 
señal solo puede pasar en la dirección de las flechas. 
La figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La flecha que apunta al 
bloque indica 
 
 
 
 
 
la entrada, y la que se aleja indica la salida. Tales flechas se denominan señales. Un 
diagrama de bloques contiene información respecto al comportamiento dinámico, pero 
no contiene información respecto a la constitución física del sistema. 
 
PUNTO DE SUMA: se indica la operación suma con un circulo y una cruz, donde el 
signo + o - , indica la operación a realizar 
 
 
PUNTO DE BIFURCACIÓN: es un punto desde el cual la señal de un bloque va 
concurrentemente a otros bloques o puntos suma. 
 
 
Función de 
transferencia 
G(s) 
a a-b 
b 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 15 
 Pto. de bifurcación 
 
 
 
Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado 
Denominamos un sistema a lazo cerrado a todo aquel donde existe comunicación entre 
la salida y la entrada. En la figuramos vemos que el lazo se cierra con una 
realimentación que se envía desde la salida hacia el punto suma y tiene como función 
la de modificar la salida antes de compararla con la entrada. 
 
Considerando que: 
Obtenemos la FUNCIÓN TRANSFERENCIA DIRECTA que es la relación entre C(s) y 
E(s) . Esto es: 
 
De las igualdades antes planteadas podemos obtener la FUNCIÓN TRANSFERENCIA 
A LAZO CERRADO y esta vale: 
 
Esta función relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de los 
elementos de la acción directa y de realimentación. 
R(s) E(s) 
B(s) 
C(s) 
G(s) 
H(s) 
)s(
)s(
)s()s(
E
B
H.G =
)s(
)s(
)s(
E
C
G =
)s()s(
)s(
)s(
)s(
HG1
G
R
C
+
=
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 16 
 
Ubicación de los polos en el plano s 
 
Tomemos la función genérica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 17 
 
 
 
 
 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 18 
 
Los polos de lazo abierto de un sistema representan características propias del mismo, 
no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros 
elementos dinámicos tal como se representa en el ejemplo. 
 
 
 
 
 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 19 
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
respuesta al 
impulso0
b
t

Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a 
una ecuación diferencial de primer orden 
)()(
)(
00 trbtca
dt
tdc
=+
La función de transferencia es: 
0
0
)(
)(
as
b
sR
sC
+
=
reacomodando términos también se puede escribir como: 
1)(
)(
+
=
s
K
sR
sC

donde 
0
0
a
b
K = , es la ganancia en estado estable, 
0
1
a
= , es la constante de tiempo del sistema. 
el valor 

1
0 −=−= as se denomina polo. 
respuesta al escalón 
AK
t
AK632120.0

AK981684.0
4
0
367879.0 b
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 20 
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 
 
 
 
 
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a 
una ecuación diferencial linea de segundo orden 
)(
)()(
)(
)()(
212
2
0212
2
0 trb
dt
tdr
b
dt
trd
btca
dt
tdc
a
dt
tcd
a ++=++
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde: 
.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden: 
)( pss
K
+
)(sR )(sC
)(sE
K
p
donde 
es una const. 
que representa 
una ganancia. 
es una const. Real que 
 representa al polo 
del sistema. 
Su función de transferencia de lazo cerrado es: 
Kpss
K
sR
sC
++
=
2)(
)(
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos 








−−+








−++
=
K
pp
sK
pp
s
K
sR
sC
4242
)(
)(
22
• Reales diferentes si: K
p

4
2
K
p
=
4
2
K
p

4
2
, 2. Reales iguales si: 
3. Complejos si 
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables 
2
nK =  22 == np
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC


++
= forma estándar del sistema 
de segundo orden. 
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina 
atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento 
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los 
parámetros y .  n
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario: 
(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe )10(  )()( sRsC
donde se denomina frecuencia natural amortiguada. Si 
21  −= nd
n 

))(()(
)( 2
dndn
n
jsjssR
sC


−+++
=
)(sR
es una entrada escalón, entonces 
sss
sC
nn
n
)2(
)(
22
2


++
=
Se obtiene la salida en el tiempo 
)0(
1
tan
1
1)(
2
1
2








 −
+
−
−= −
−
ttsen
e
tc d
tn





(2) Caso de amortiguamiento crítico : )1( =
)(sC
ss
sC
n
n
2
2
)(
)(


+
=
)0()1(1)( +−=
−
ttetc n
tn 
la transformada inversa arroja 
en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón 
es 
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 22 
 
 
 
 
sss
sC
nnnn
n
)1)(1(
)(
22
2
−−+−++
=


t
t
n
n
e
etc




)1(
22
)1(
22
2
2
)1(12
1
)1(12
1
1)(
−+−
−+−
−−−
−
−+−
+=
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una 
entrada escalón, es 
(3) Caso sobreamortiguado : )1( 
)(sC
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es 
0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1
ca1=
0=2.0=
4.0=
7.0=
ANALISIS DE LOS MODELOS CIRCUITALES II 
 "TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Pág. 23 
 
 
 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
 t 
 c(t) 
1 
 0 
st
pM
rt pt
Definición de los parámetros de la respuesta transitoria 
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan 
basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de 
los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera 
instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común 
clasificarla con base a los siguientes parámetros. 
1. Tiempo de retardo 
 
2. Tiempo de crecimiento 
 
3. Tiempo pico 
 
4. Sobre impulso máximo 
 
5. Tiempo de establecimiento 
rt
dt
pt
pM
st