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Guía de dinamica
Rivera Juvenal
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2 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Isaac Newton (1642-1727) I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica En la ausencia de fuerzas exteriores toda partícula continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme respecto de un sistema de referencia inercial o galileano. Primera ley (ley de inercia o principio de Galileo) Tercera ley (principio de acción y reacción) Segunda ley (ley de la fuerza) Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta. La fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo y tienen la misma dirección y sentido. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo. 3 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 A r X Y Z pÎ Ĵ K̂ a r Sistema de referencia Absoluto (Inercial) (Fijo) (Galileano) Sistema de referencia Relativo (No inercial) (Móvil) Todo lo referido a este sistema se escribe en mayúsculas ! Nomenclatura y convenciones Todo lo referido a este sistema se escribe en minúsculas ! x y z oî ĵ k̂ Denotan que el sistema es inercial I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica 4 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 )(ti rr rr = x y z o ir r i Trayectoria de la partícula i Posición absoluta de i i i i rdt rdv & r r r ==Velocidad absoluta de i Aceleración absoluta de i i ii i rdt rd dt vda && r rr r === 2 2 x y z o i 1x 1y 1z p ir r iρ r oρ r ( ) dt rd dt d dt rd dt rd dt d r dt d dt d iii io io i rrrr rr rr r =⇒+= += += ρ ρ ρρ 0 dt d dt rd ii ρ rr =⇒ trioi ∀+= rrr ρρ Definiciones Velocidad de i calculada en oxyz es igual a la velocidad de i calculada en p x1 y1 z1 ? ? I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica 5 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Coordenadas cartesianas x y z oî ĵ k̂ i ir r)(tz )(tx )(ty tkzjyixr ttti ∀++= ˆˆˆ )()()( r ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ++= ++== dt kdzk dt dz dt jdyj dt dy dt idxi dt dx kz dt djy dt dix dt d kzjyix dt d dt rdv ttt ttt i i ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ )()()( )()()( r r kzjyixv ttti ˆˆˆ )()()( &&& r ++= kzjyixa ttti ˆˆˆ )()()( &&&&&& r ++= 0 ˆˆˆ === dt kd dt jd dt idLos versores i, j y k no cambian en el tiempo ! (base inercial) Posición absoluta de i : Definiendo: dt d )((·) = 2 2 )((··) dt d = Velocidad absoluta de i Aceleración absoluta de i I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica 6 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Coordenadas cilíndricas x y z o θ iir r )(tz )(tρ tkzer trti ∀+= ˆˆ )()(ρ r ( ) kz dt edekze dt d dt rdv rrrii ˆ ˆˆˆˆ && r r ++=+== ρρρ La derivada temporal de un vector de módulo constante es perpendicular al mismo en el sentido de la rotación, e igual a la rapidez con la que rota ! Posición absoluta de i : Velocidad absoluta de i Aceleración absoluta de i k̂ rê θê nsennseneneeee rrtrttrr ˆ)(2ˆ)(ˆ2ˆˆˆˆˆ 22)()( θθ ∆∆∆+ ==∆=−=∆ )(ˆ tre )(ˆ ttre ∆+ θ∆ n̂ )(ˆ teθ θθ θ θθ ee t Lim t nsenLim t ee Lim dt ed tt trttr t r ˆˆˆ)(2 ˆˆˆ 0 2 0 )()( 0 &= ∆ ∆ = ∆ = ∆ − = →∆ ∆ →∆ ∆+ →∆ = − = + → t ee Lim dt ed trttr t r ∆ ∆ ∆ )()( 0 ˆˆˆ r r e dt ed e dt ed ˆˆ ˆˆ θ θ θ θ & & −= = kzeev ri ˆˆˆ &&& r ++= θθρρ ( ) ( ) kzeea ri ˆˆ2ˆ2 &&&&&&&&&r +++−= θθρθρθρρ ? θ∆ 0≈∆θ 22)( θθ ∆∆ ≈sen θen ˆˆ ≈ I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica rê θê 7 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Coordenadas intrínsecas y x z o i )(tir r )( )(tii srr rr = tti esv ˆ)(& r = n t tti e s esa ˆˆ 2 )( )( ρ & && r += La velocidad es siempre tangencial a la trayectoria ! Posición absoluta de i : Velocidad absoluta de i Aceleración absoluta de i I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica )( ttir ∆+ r ir r ∆ )(ts )( tts ∆+ )0(s s∆ tttt i t titti t i i ese t sLim t rLim t rr Lim dt rdv ˆˆ )(00 )()( 0 & r rrr r === − == →→ + → ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ tê La aceleración tiene una componente tangencial a la trayectoria y una componente dirigida hacia el centro de curvatura de la curva en ese punto (normal). La última sólo se anula si la partícula se mueve en línea recta ! ( ) dt edseses dt da tttttti ˆˆˆ )()()( &&&& r +== = dt ed tˆ n tt e s dt ed ˆˆ )( ρ & = Definiendo: Q …Centro instantáneo de curvatura de la curva ρ …Radio de curvatura de la curva … Versor que apunta hacia el centro de curvatura nê θ∆ nê Q ρ )(ˆ ttte ∆+ )(ˆ tte s∆ n t e dt ed ˆˆ θ&= θ∆ρ∆ =s ρ ∆θ∆ s= ρ∆ρ ∆ ∆ θ∆θ ∆∆ s t sLim t Lim tt && === →→ 00 ? 8 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Sistemas de referencia móviles (i) x y z oî ĵ k̂ i iR r X Y Z p Î Ĵ K̂ ir r pr r Trayectoria de i Trayectoria de p Sistema móvil Sistema fijo JIK IKJ KJI ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ =× =× =× El sistema móvil es un sistema ortogonal, rígido y dextrógiro Sistema dextrógiro (cumple la regla de la mano derecha) t∀ 0ˆˆ 0ˆˆ 0ˆˆ =⋅ =⋅ =⋅ KJ KI JI ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ 0 ˆˆˆˆˆˆ 0 ˆˆˆˆˆˆ =⋅+⋅=⋅ =⋅+⋅=⋅ =⋅+⋅=⋅ dt IdKI dt KdIK dt d dt KdJK dt JdKJ dt d dt JdIJ dt IdJI dt d K dt IdI dt Kd J dt KdK dt Jd I dt JdJ dt Id y x z ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ ⋅−=⋅= ⋅−=⋅= ⋅−=⋅= ω ω ω Sistema ortogonal rígido Funciones escalares! tRrr ipi ∀+= rrr Posición absoluta de i : 1ˆˆ 1ˆˆ 1ˆˆ =⋅ =⋅ =⋅ KJ JI II ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ2ˆˆ 0ˆ ˆ 2ˆˆ 0ˆ ˆ 2ˆˆ =⋅=⋅ =⋅=⋅ =⋅=⋅ K dt KdKK dt d J dt JdJJ dt d I dt IdII dt d 0ˆ ˆ 0ˆ ˆ 0ˆ ˆ =⋅ =⋅ =⋅ K dt Kd J dt Jd I dt Id La derivada de un versor es perpendicular al mismo! Sistema rígido t∀ t∀ 9 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Derivada de un vector referido a una base móvil ? tRrr ipi ∀+= rrr ( ) dt Rdv dt Rd dt rd Rr dt d dt rdv ipi p ip i i r r rr rr r r +=+=+== = dt Rd r Posición absoluta de i : ( ) ( ) ( ) dt KdZK dt dZ dt JdYJ dt dY dt IdXI dt dXKZ dt dJY dt dIX dt d dt Rd ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++++=++= r KZJYIXR ˆˆˆ ++= r ? I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Sistemas de referencia móviles (ii) x y z oî ĵ k̂ i iR r X Y Z p Î Ĵ K̂ ir r pr r K dt dZJ dt dYI dt dX dt KdZ dt JdY dt IdX dt Rd ˆˆˆˆˆˆ +++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++= r A B Vector de posición relativo al sistema móvil 10 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica KK dt KdZK dt JdYK dt IdX JJ dt KdZJ dt JdYJ dt IdXII dt KdZI dt JdYI dt IdX dt KdZ dt JdY dt IdX ˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅+ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ ( ) ( ) ( ) ZYX KJI KYXJZXIZY dt KdZ dt JdY dt IdX zyxxyxzyz ωωωωωωωωω ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ =+−+−++−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ R dt KdZ dt JdY dt IdX ×=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ ω rˆˆˆ KJI zyx ˆˆˆ ωωωω ++= r 0ˆ ˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ Kdt KdJ dt JdI dt Id Recordando : K dt IdI dt KdJ dt KdK dt JdI dt JdJ dt Id yxz ˆˆˆˆ;ˆ ˆˆˆ;ˆ ˆˆˆ ⋅−=⋅=⋅−=⋅=⋅−=⋅= ωωω Definiendo : A Velocidad Angular Absoluta del sistema pXYZ: Sistemas de referencia móviles (iii) A 11 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Dt RDKZJYIXK dt dZJ dt dYI dt dX r &&& =++=++ ˆˆˆˆˆˆ B Sistemas de referencia móviles (iv) Derivada relativa a pXYZ (como si pXYZ no se moviera!) Dt RDR dt Rd r rr r +×=ω Regla general para derivar un vector referido a una base móvil Derivadas de los versores de la base móvil (Relaciones de Poisson) Siméon Poisson (1781-1840) I dt Id ˆˆ ×=ω r J dt Jd ˆˆ ×= ω r K dt Kd ˆˆ ×=ω r 0 ˆˆˆ r === Dt KD Dt JD Dt ID A B 12 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 tRrr ipi ∀+= rrr Posición absoluta de i : x y z oî ĵ k̂ i iR r X Y Z p Î Ĵ K̂ ir r pr r ( ) Dt RDRv dt Rd dt rd Rr dt d dt rdv iipi p ip i i r rvr rr rr r r +×+=+=+== ω Sistemas de referencia móviles (v) : Velocidad RiV v Dt RDV iRi r r = I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Velocidad relativa de i respecto a pXYZ Riipi VRvv vrrrr +×+= ω iR r pv r ω r Vector posición de i respecto a pXYZ Velocidad angular absoluta del sistema pXYZ Velocidad absoluta del punto p Definiendo : 13 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Sistemas de referencia móviles (vi) : Aceleración ( ) ( ) Dt VDV Dt RDRR dt d dt vd dt Vd dt RdR dt d dt vd VRv dt d dt vda Ri Ri i ii p Rii i p Riip i i v vv r rvvr vr vr vr vrvrvr r r +×+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +××+×+= +×+×+=+×+== ωωωω ωωω ( ) RiRiiipi AVRRaa vvvrvvrrvr +×+××+×+= ωωωα 2 dt dωα v r = Dt VDA RiRi r r = Gustave Coriolis (1792-1843) I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica RiV v Velocidad relativa de i respecto a pXYZ iR r pa r ω r Vector posición de i respecto a pXYZ Velocidad angular absoluta del sistema pXYZ Aceleración absoluta del punto p Definiendo : pα r Aceleración angular absoluta del sistema pXYZ RiA r Aceleración relativa de i respecto a pXYZ Aceleración de Coriolis 14 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Sistemas de referencia móviles (vii) : Movimiento I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Z X Y Z p Î Ĵ K̂ X Y Z p Î Ĵ K̂ X Y p Î Ĵ K̂ )( 1tp rr )( 2tp rr x y z oî ĵ k̂ )( 0tp rr Traslación pura 0 rr ≠pv 0 ˆˆˆ r === dt Kd dt Jd dt Id t∀ 0 rr =ω 0 rr =α Rotación pura respecto a p 00 rrrr =⇒= pp av dt Kd dt Jd dt Id ˆ; ˆ ; ˆ t∀ 0 rr ≠ω Al menos 2 de : X Z p Î Ĵ K̂ X ′ Z ′ x y z oî ĵ k̂ pr r Y ′ Y Y ′ deben ser no nulas 15 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Velocidad y aceleración I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Cuerpo rígido : Cuerpo en el cual la distancia entre dos puntos cualquiera no varia en el tiempo Z X S Y p x y z oî ĵ k̂ pr r i iR r Î t∀∈ Si ipi Rvv rrrr ×+= ω ( )iipi RRaa rvvrrvr ××+×+= ωωα 0 rv =RiV 0 rr =RiA Ĵ K̂ Sistema móvil solidario a S El punto p no necesariamente pertenece a S Cuerpo rígido S 16 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Traslación pura I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Traslación pura : Todos los puntos de S tienen la misma velocidad y aceleración Si∈∀ pipi vRvv rrrrr =×+= ω ( ) piipi aRRaa v rvvrrvr =××+×+= ωωα Y x y z oî ĵ k̂ )( 0tp rr Z X p i S iR r Î Ĵ K̂ Z X p i S iR r Î Ĵ K̂ )( 1tp rr Y 0 rr ≠pv 0 rr =ω 0 rr =α t∀ 0 r 0 r 0 r 17 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Rotación pura I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Rotación pura respecto al punto p : En general todos los puntos i de S tienen una velocidad y aceleración diferentes (en general) 0 rr =pv 0 rr ≠ω 0 rr =pa 0 rr ≠α ii Rv rrr ×= ω ( )iii RRa rvvrrr ××+×= ωωα Si∈∀ x y z oî ĵ k̂ pr r Z X Y p Z ′ X ′ Y ′ El módulo de la velocidad de un punto i depende de lo alejado que se encuentre el punto respecto a un eje que pasa por p y que es paralelo a la velocidad angular ω. A este eje se le llama eje instantáneo de rotación x y z oî ĵ k̂ Z X Y p 0 rr =pv ω r Eje instantáneo de rotación i t∀ ii′ __ 18 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Velocidad Angular como vector libre I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica x y z oî ĵ k̂ p 2Z 1X 2Y q i iR r qR r iρ r ipi Rvv rrrr ×+= 1ω iqi vv ρω rrrr ×+= 2 qpq Rvv rrrr ×+= 1ω iqpi Rvv ρωω rrrrrr ×+×+= 21 iqpip RvRv ρωωω rrrrrrrr ×+×+=×+ 211 ( ) iqi RR ρωω rr rrr ×=−× 21 iqi RR ρ rrr += iqi RR ρ rrr += 21 ωω rr = ( ) 021 rrrr =×− iρωω Sqpi ∈,, t∀ ii vv rr = La velocidad angular ω y la aceleración angular α son vectores libres (no tienen punto de aplicación, ni línea de acción) Sist. pXYZ solidario a S Sist. qX1Y1Z1 solidario a S ( )1ω r ( )2ω r qX2Y2Z2 qX1Y1Z1pXYZ S 2X 1Z 1Y pX1Y1Z1 21 αα rr = __ __ 19 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Velocidad angular absoluta y relativa I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica S1 y S2 están unidos por un pasador en q y tienen velocidades angulares absolutas diferentes Sist. pX1Y1Z1 solidario a S1x y z oî ĵ k̂ 1Z 1X 1Y p 1S qR r 2Z 2X 2Y q i iR r iρ r 2S 2ω r 1ω r Sist. qX2Y2Z2 solidario a S2 1/1 SRiipi VRvv rrrrr +×+= ω iqi vv ρω rrrr ×+= 2 qpq Rvv rrrr ×+= 1ω iqpi Rvv ρωω rrrrrr ×+×+= 21 iqi RR ρ rrr += 1, Sqp ∈ qX2Y2Z2 pX1Y1Z1 2, Sqi ∈ pX1Y1Z1 ii vv rr = qX2Y2Z2pX1Y1Z1 iqpSRiip RvVRv ρωωω rrrrrrrrr ×+×+=+×+ 21/1 1 ( ) iiqSRi RRV ρωω rr rrrr ×+−×= 21/ 1 ( ) iSRiV ρωω rrrr ×−= 12/ 1 iSSSRiV ρΩ rrr ×= 121 // ( )[ ] 012/ 12 rrrrr =×−−Ω iSS ρωω 12 /12 SS Ωωω rrr += Respecto a S1 , S2 está en rotación pura alrededor del punto q 1212 //212 SSSS Α+Ω×+= rrrvv ωαα Dt D SS SS 12 12 / / Ω =Α r r Velocidad angular de S2 relativa a S1 20 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIR&D) I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica ω r ¿ Existe algún punto e S / ve || ω ? SeRepe VRvv / rrrrr +×+= ω ( ) 0rrrrrrr =×+×=× epe Rvv ωωω ( ) 0rrrrrr =××+× ep Rv ωωω 0 r Triple producto vectorial ( ) ( ) ( )CABBACCBA rrrrrrrrr ⋅−⋅=×× ( ) ( ) 0rrrrrrrrr =⋅−⋅+× eep RRv ωωωωω ( ) ωλω ω ω ω ω ω ω r rr r rrrrr + × = ⋅ + × = 222 pep e vRvR No sólo existe un punto e X S / ve || ω , sino que existe un eje completo, que pasa por e y que tiene la dirección de ω , que verifica esta condición. A ese eje se le llama eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIR&D) El movimiento de cualquier punto i X S puede ser interpretado como: • Una traslación (deslizamiento) a lo largo del EIR&D • Una rotación respecto al EIR&D x y z o x y z o Z X S Y p eeR r Z XS Yei R r i ω r __ iei Rvv rrrr ×+= ω EIR&D DEIRe &∈ Si∈ ve || ω ____ __ __ __ __ 21 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Movimiento uniplanar I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Un cuerpo rígido S está en movimiento uniplanar, si la trayectoria de un punto cualquiera p X S está contenida en un mismo plano y la velocidad angular absoluta de S es siempre perpendicular a ese plano x y z o p q Z X Y S q′ ω r α Plano del movimiento (xy) Eje perpendicular al llano del movimiento (xy) ipi Rvv rrrr ×+= ω qpq Rvv rrrr ×+= ω qpq Rvv ′′ ×+= rrrr ω ω ω r r rrr qp RqpRR qqq ′ +=′+=′ qqpqpq vRv qp Rvv rrrrr r rrrr =×+= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ +×+=′ ωωω ω iR rr ×ω pv r iv r X plano del movimiento (xy) X plano del movimiento (xy) ⊥ plano del movimiento (xy)ω r iR r X plano del movimiento (xy) X plano del movimiento (xy) α∈ip, En mov. uniplanar, todos los puntos contenidos en un eje perpendicular al plano del movimiento tienen la misma velocidad y aceleración ! 22 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Movimiento uniplanar: aceleración I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica x y z o p XY SRiipi VRvv / rrrrr +×+= ω ( ) RiRiiipi AVRRaa vvvrvvrrvr +×+××+×+= ωωωα 2 Triple producto vectorial ( ) ( ) ( )CABBACCBA rrrrrrrrr ⋅−⋅=×× ( ) ( ) ( ) iiii RRRR rrvvvvrrvv 2ωωωωωωω −=⋅−⋅=×× 0 RiRiiipi AVRRaa vvvrrrvr +×+−×+= ωωα 22 ω r i Centro instantáneo de rotación En mov. uniplanar el EIR&D se convierte en un Eje Instantáneo de Rotación (EIR). La proyección del EIR en el plano de movimiento es un punto de velocidad nula, llamado Centro Instantáneo de Rotación (CIR) xz o y CIR XY ω r iiR r iv r iCIRi Rvv rrrr ×+= ω ii Rv rrr ×= ω ii Rv ω= r 0 r xz o y CIR ω r i iv r jv r j (en general) iiCIRi RRaa rrrvr 2ωα −×+= 0 rv ≠CIRa k dt kdk dt d dt d ˆˆˆ αωωωα =+== v r 0 r 23 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Movimiento de rodadura I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica 1S 2S Si en un instante dado los puntos i e i’ ocupan la misma posición en el espacio se dice que en ese instante existe contacto entre S1 y S2 en un punto (i en S1 e i’ en S2) Un instante después, no existirá contacto entre los puntos i e i’ si se verifica: NiNi evev ˆˆ ' ⋅≠⋅ rr TiTi evev ˆˆ ' ⋅≠⋅ rr Separación: Nê Tê Penetración: Un instante después, existirá contacto entre los puntos i e i’ si se verifica: NiNi evev ˆˆ ' ⋅=⋅ rr NiNi evev ˆˆ ' ⋅>⋅ rr NiNi evev ˆˆ ' ⋅<⋅ rr Deslizamiento: Rodadura: TiTi evev ˆˆ ' ⋅=⋅ rr Se dice entonces que S2 rueda sin deslizar sobre S1 'ii vv rr = Tê Nê Dirección normal a las superficies en el punto de contacto Dirección tangencial a las superficies en el punto de contacto i 'i 24 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Movimiento de rodadura: I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Rω Rω2 Rω2 Rω2 R ω o45 Rα Rα2 Rα2 Rα2 R ω α 2ωR 2ωR 2ωR 2ωR o45 o45 o45 Disco rodando sobre sup. horizontal Velocidades Aceleraciones RSDRSD Cicloide θR θ Ry x R ( ))(θθ SenRx −= ( ))(1 θCosRy −= 0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 Trayectoria que describe un punto de la periferia del disco 25 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Movimiento de rodadura: I. Leyes de Newton II. Cinemática Sist. de referencia Una partícula Sist. de partículas Cuerpos rígidos III. Dinámica Disco rodando sobre sup. circular Velocidades Aceleraciones Rα Rα2 Rα2 Rα2 ω α )( 22 rR R + ω 2ωRRω Rω2 Rω2 Rω2 R ω o45 o45 r R o45 o45 r )( 2 rR Rr + ω )( 22 rR R + ω )( )2( 2 rR rR + + ω 2ωR )( 22 rR R + ω RSDRSD -10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 r R θ α θ x ( ) ( )θSenrR + y ( ) ( )θCosrR + ( ) ( ) ( )( )RrRSenSenrRx +−+= 1θθ ( ) ( ) ( )( )RrRCosCosrRy +−+= 1θθ Trayectoria que describe un punto de la periferia del disco 26 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 Definición del sistema I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange ∑ = = N i imM 1 Sistema de N partículas de masa mi constante ! Masa total del sistema Posición absoluta y relativa del centro de masas i N i ic rmM r rr ∑ = = 1 1 Velocidad y aceleración absolutas del centro de masas Cantidad lineal de movimiento de la partícula i y del sistema Cantidad angular de movimiento de la partícula i y del sistema respecto a p i N i i c c vmMdt rdv r r r ∑ = == 1 1 i N i i c c amMdt vda r r r ∑ = == 1 1 i N i ic RmM R rr ∑ = = 1 1 iii vmp rv = c N i ii N i i vMvmpp rrvv === ∑∑ == 11 iiiPi vmRh rrr ×= ∑∑ == ×== N i iii N i iPP vmRhh 11 rrrr x y z o im 1m 1−Nm 2m Nm Z X Y p iR r ir r 27 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 1ra Ley de la mecánica x y z o im 1m 1−Nm 2m Nm E if r ir r I if r I Nf 1− r If2 r I Nf r If1 r Ef1 r E Nf r E Nf 1− r Ef2 r K r E if K r I if Resultante de fuerzas externas al sistema que actúan sobre i (producida por la interacción de la partícula i con el exterior) Resultante de fuerzas internas que actúan sobre i (producidas por la interacción de las partículas del sistema) 2da ley de Newton a la partícula i ii I i E i amff rrr =+ 2da ley de Newton a las N partículas y sumando ∑∑∑ === =+ N i ii N i I i N i E i amff 111 rrr 0 r ∑∑ == == N i ii N i E i E i amfF 11 rrr Recordando i N i ic amM a rr ∑ = = 1 1 c N i ii N i i vMvmpp rrvv === ∑∑ == 11 dt pdaMamF C N i ii E i r rrr ===∑ =1 Acción / reacción fuerzas inerciales La resultante de fuerzas externas es igual a la resultante de las fuerzas inerciales o igual al cambio de la cantidad lineal de movimiento del sistema 28 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 ∑ = ×= N i iii E p amRM 1 rrr I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 2da Ley de la mecánica x y z o im 1m 1−Nm 2m Nm E if r ir r I if r I Nf 1− r If2 r I Nf r If1 r Ef1 r E Nf r ENf 1− r Ef2 r K r E if Resultante de fuerzas externas al sistema que actúan sobre i K r I if Resultante de fuerzas internas que actúan sobre i 2da ley de Newton a la partícula i ii I i E i amff rrr =+ Sumando para las N partículas ∑∑∑ === ×=×+× N i iii N i I ii N i E ii amRfRfR 111 rrrrrr Acción / reacción El momento de la fuerzas externas es igual al momento de las fuerzas inerciales respecto a un mismo punto p Z X Y p iR r Sistema móvil PXYZ Premultiplicando Ri iii I ii E ii amRfRfR rrrrrr ×=×+× ? 1 =×∑ = N i I ii fR rr Sist. de 2 partículas im Nm p jR r kR r jkR / r j k k j ff rr −= j kf r ( ) 0/ 2 1 rrrrrrrrrrrr =×=×−=×+×=×∑ = j kjk j kjk j kk k jj i I ii fRfRRfRfRfR j kjk fR rr ||/ 0 1 rrr =×∑ = N i I ii fR 29 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 2da Ley de la mecánica: otra forma Recordando ipi Rrr rrr += El momento de la fuerzas externas es igual al cambio de la cantidad angular de movimiento respecto a p mas el término t∀ ∑ = ×= Ni iiiP vmRh 1 rrr Derivando ( ) ( ) ( ) E pcp E p N i iipi N i iii N i iipi N i iii N i ii i N i iii P MvMv Mvmvv amRvmrr dt d vm dt dRvm dt RdvmR dt d dt hd rrr rrrr rrrrr rrr r rr r +×= +×−= ×+×−= ×+×=×= ∑ ∑∑ ∑∑∑ = == === 1 11 111 x y z o im 1m 1−Nm 2m Nm Z X Yp iR r ir r pr r pii rrR rrr −= cp PE p vMvdt hdM rr r r ×+= cp vMv rr × 30 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 3ra Ley de la mecánica: Definiciones Trabajo realizado por la fuerza F para llevar una partícula i desde el punto 1 al punto 2 por el camino ci ∫ ⋅=→ 2 1 21 r r i F rdFW r r Un campo de fuerzas es conservativo si su rotacional es nulo 0 rrr =×∇ cF x y z o im ic iF r ir r kjiUF zUyUxU c ˆˆˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ++=∇−= rr k z j y i x ˆˆˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ r 2121 2 1 2 1 2 1 UUdUrdUrdFW U U r r i r r i cF c −=−=⋅∇−=⋅= ∫∫∫→ rrrr Si un campo de fuerzas es conservativo entonces se puede expresar como el gradiente de una función escalar U llamada Energía Potencial 1 2 ird r Operador diferencial Nabla El trabajo depende del camino!! El trabajo de un campo de fuerza conservativo se puede calcular como un cambio de Energía Potencial y es independiente del camino que se tome 011 1 11 =−=⋅= ∫→ UUrdFW icF c rr ic ic ic 31 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 3ra Ley : Energía potencial gravitatoria El campo gravitatorio es un campo de fuerzas conservativo ? 0 rrr =×∇ iF jgmF ii ˆ−= r UFi ∇−= rr 00ˆˆˆˆ r = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ − ∂ ∂ =−×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x gm z gm jgmk z j y i x i i i x y z o im ih gr iF r es conservativo iF r ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z U y U x U ii gmF 0 0 r ( )yUU = dygmdU i= ∫∫ = dygmdU i ( ) cteygmU iy += ctehgmU ii += 0=U La energía potencial gravitatoria de una partícula en una posición dada se calcula como su peso por la distancia de la partícula a un nivel de referencia preestablecido. A mayor altura respecto al nivel, mayor energía potencial 32 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 3ra Ley : Energía potencial elástica de un resorte El campo elástico lineal es un campo de fuerzas conservativo ? SI. 0 rrr =×∇ iF ixkFi ˆ−= r UFi ∇−= rr 0 0 ˆˆˆˆ r= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y kx z kxixkk z j y i x La energía potencial elástica de un resorte se calcula como un medio de la constante de rigidez del resorte por el cuadrado de la deflexión respecto a la posición indeformada. im x es conservativo iF r ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧− = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z U y U x U i xk F 0 0 r ( )xUU = dyxkdU = ∫∫ = dyxkdU ( ) ctexkU x += 22 1 k k x y z o im 0L 0L Constante de rigidez del resorte Longitud indeformada del resorte x Deflexión del resorte ctexkU i += 2 2 1 33 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 3ra Ley de la mecánica: Deducción 2da ley de Newton para la partícula i Trabajo de las fuerzas externas al sistema ic ic ic x y z o im 1c E if r ir r 1 2 I if r Nm 1m ic ii I i E i amff rrr =+ ∫∫∫ ⋅=⋅+⋅ 2 1 2 1 2 1 r r iii r r i I i r r i E i rdamrdfrdf rrrrrr ∑∫∑∫∑∫ === ⋅=⋅+⋅ N i r r iii N i r r i I i N i r r i E i rdamrdfrdf 111 2 1 2 1 2 1 rrrrrr ∑∫ = →→ ⋅=+ N i r r iii IE rdamWW 1 2121 2 1 rr 2 2 1 2 1 iiiiii vmvvmT =⋅= rr ∑∫ = → ⋅= N i r r i E i E rdfW 1 21 2 1 rr Trabajo sobre la partícula i Trabajo sobre las N partículas Trabajo de las fuerzas internas del sistema Energía cinética de la partícula i ic ic ic ∑∫ = → ⋅= N i r r i I i I rdfW 1 21 2 1 rr ic ic ic 34 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I Euro Casanova, sep-dic 2007 I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange 3ra Ley de la mecánica: Deducción 2 2 1 2 1 iiiiii vmvvmT =⋅= rr i i iiii i v dt vdmvvm dt d dt dT rrrr ⋅=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅= 2 1 iiii i i ii ii rdamrddt vdmdt dt rd dt vdmdT rrr rrr ⋅=⋅=⋅= ( ) 12 1 12 11 2121 2 1 2 1 TTTTdTrdamWW N i ii N i T T i N i r r iii IE i i −=−==⋅=+ ∑∑ ∫∑∫ === →→ rr Energía cinética de la partícula i 122121 TTWW IE −=+ →→ ( ) ( )1122)( 21)(21 UTUTWW NCINCE +−+=+ →→ El trabajo de la fuerzas externas e internas puede ser descompuesto en trabajo de fuerzas conservativas y trabajo de fuerzas no conservativas o que no se conozca su potencial 21 )( 21 )( 21 UUWW CICE −=+ →→ )( 21 )( 2121 CENCEE WWW →→→ += )( 21 )( 2121 CINCII WWW →→→ += El trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre el sistema para ir de 1 a 2 es igual al cambio de la energía mecánica que experimenta el mismo! ic Euro Casanova / Dpto. de Mecánica / Universidad Simón Bolívar. Formulario Dinámica I & Dinámica II Cinemática Coordenadas cartesianas kzjyixri ˆˆˆ ++= r kzjyixa kzjyixv i i ˆˆˆ ˆˆˆ &&&&&& r &&& r ++= ++= Coordenadas cilíndricas kzrr ri ˆˆ += ε r ( ) ( ) kzrrrra kzrrv ri ri ˆˆ2ˆ ˆˆˆ 2 &&&&&&&&& r &&& r +++−= ++= θ θ εθθεθ εθε Coordenadas intrínsecas ( )( )tii Srr rr = ( ) ( ) n t tti tti e S eSa eSv ˆˆ ˆ 2 )( ρ & &&r &r += = Sistemas no inerciales ( ) ).(2 2 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ;;; 2 uniplanarmovAVRRaa AVRRaa VRvv K dt Kd J dt Jd I dt Id dt d t RR dt RdRrr RiRiiipi RiRiiipi Riipi i i i ipi ⇔+×+−×+= +×+××+×+= +×+= ×= ×= ×= =+×=+= rrrrrrrr rrrrrrrrrr rrrrr r r r r r r rr r rrr ωωα ωωωα ω ω ω ω ωα δ δω Dinámica de sistemas de partículas ii N i ii N i i N i PiPCM N i ii N i i N i ii CM N i ii CM N i ii CM N i i vmRpRhhvMvmpp M am a M vm v M Rm RmM rrrrrrrrrr r r r r r r ×=×===== ==== ∑∑∑∑∑ ∑∑∑ ∑ ===== === = 11111 111 1 ).(; 1 2 11 uniplanarmovRmIaMRIM vMv td hdMamRM td pdaMamF N i iiPPCMP E P CMP PE P N i iii E PCM N i ii E ⇔=×+= ×+=×==== ∑ ∑∑ = == rrrr rr r rrrr r rrr α Euro Casanova / Dpto. de Mecánica / Universidad Simón Bolívar. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 121 1 2 121 11222121 2 1;; kxU mghU rdFW rdFW UTUTWW elast ref grav N i i I i I N i i E i ncE IncE = = = = +−+=+ ∑∫ ∑∫ = → = → →→ r o r r o r ( ) ).( 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 uniplanarmovRMvIMvT vmTT CMPPP N i ii N i i ⇔×++= == ∑∑ == rv o r ωω Dinámica del Cuerpo Rígido ω rr rrrr rrrr rr PXYZP CMCMCMP PCMPP CM HvMRHh vMRHh vMp I= ×+= ×+= = ).( ;; uniplanarmov aMRM aMRM aMRM aMRM vMv td hdM td pdaMF CMCMCM E P PCMP E P CMCMCMXYZCMXYZ E P PCMPXYZPXYZ E P CMP PE PCM E ⇔ ×+= ×+= ×+×+= ×+×+= ×+=== rrrr rrrr rrrrrr rrrrrr rr r rrrr α α ωωα ωωα I I II II TT PXYZ T ZYXP CMCM CMCMCMCM CMCMCMCMCMCM PXYZCMPXYZCMCMXYZPXYZ KJIKJI YXSym ZYZX ZXYXZY M ′′′== + −+ −−+ =+= ′′′ ˆˆˆˆˆˆ; ; 22 22 22 // LLILI IIII ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ).( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1;; 22 2 2 1 2 121112221 uniplanarmovRMvIMvT RMvMvT kxU mghU rdFWUTUTW CMPPP CMPPXYZP elast CMref gravN i i E i ncEncE ⇔×++= ×++= = = =+−+= ∑∫ = →→ rv o r rv o rr o r r o r ωω ωωωI Ecuaciones de Lagrange ( ) 2 1 1 ,,1 )( 21 2 1;; ,,, xCDrFqQW q D q U q T q T dt dQ qqqrr N i N i iijjNj jjjj nc j Nii & r o r && L rr L === ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = = ∑ ∑ = = = δδδ Teoría de choques ..... ..... ;; ILcontactoenptoslosdeonaproximacirelVel ILcontactoenptoslosdeoalejamientrelVel ehp P E P E o orrrr =∆=∆= MF
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