Parcial de dinamica 5

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Dinámica I (MC-2431)
Gabriel Trompiz
14-11093
Clave
Primer parcial
2006 tipo A
Problema 1
La figura muestra un sistema mecánico conformado
por:
1. Un eje de sección rectángular AC y longitud 4R,
vinculado a tierra en sus extremos mediante co-
jinetes en A y C.
2. Un brazo BD de longitud 2R articulado al eje
AC mediante una horqueta en su punto medio,
como se muestra en la figura.
3. Un disco perpendicular al brazo BD vinculado
a éste mediante un cojinete en D, el cual sólo
permite una rotación del disco sobre el brazo en
el sentido indicado.
4. Una part́ıcula P obligada a describir una trayec-
toria circular de radio R con respecto al disco
mediante una vinculación mostrada en la figura.
Para el instante mostrado el eje AC gira con velocidad angular ω1 constante absoluta en el
sentido indicado. El brazo BD para el instante mostrado está contenido en el plano yz y forma 45◦
respecto al eje AC. Dicho brazo gira con velocidad angular ω2 y aceleración angular α2 relativas
al eje AC en los sentidos mostrados. El disco gira con velocidad angular ω3 constante relativa al
brazo BD. Finalmente la part́ıcula P que para dicho instante se encuentra en el punto más alto
del disco, se mueve con velocidad V0 uniforme relativa al disco.
Determine:
Vector velocidad angular absoluta y aceleración angular absolutas del disco.
Velocidad y aceleración absolutas de la particula P .
NOTA: Exprese todos los resultados en el sistema de coordenadas absoluto indicado.
1
Solución
Se tomarán dos sistemas de referencias solidários al conjunto mostrado:
Sistema BX1Y1Z1, solidário a la barra BD.
Sistema DX2Y2Z2, solidário al disco.
Para llevar un esquema de solución ordenado se hallarán las velocidades de los puntos de mayor
ayuda del sistema para poder encontrar las incognitas pedidas, posteriormente se realizará el mismo
procedimiento para las aceleraciones. Debe tenerse en cuenta que la velocidad en los puntos A ,B
y C es nula (0) debido a que pertenecen al eje de giro.
Por lo tanto: 
−→
VA =
−→0
−→
VB =
−→0
−→
VC =
−→0
Para hallar la velocidad absoluta de la barra BD, se
realizará un cambio de sistema de coordenadas, pasan-
do del sistema oxyz al BX1Y1Z1.
2
Quedando:
î = î1
ĵ =
√
2
2 ĵ1 −
√
2
2 k̂1
k̂ =
√
2
2 ĵ1 +
√
2
2 k̂1
î1 = î
ĵ1 =
√
2
2 ĵ +
√
2
2 k̂
k̂ = −
√
2
2 ĵ1 +
√
2
2 k̂1
Procediendo con el cálculo de las velocidades en la base

î1
ĵ1
k̂1
, se tiene:
Para D:
−→
VD =
−→
VB +−→ω ×
−−→
BD +−−−→VrD/B
−→
VD =
−→0 +


ω2+√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 02R
0

+
−→0
−→
VD =

√
2ω1R
0
2ω2R

Para P:
−→
VP =
−→
VD +−→ω ×
−−→
DP +−−−→VrP/D
−→
VP =

√
2ω1R
0
2ω2R
+


ω2√
2
2 ω1 + ω3
−
√
2
2 ω1
×
 00
R

+
 VR0
0

−→
VP =

√
2ω1R + VR
0
2ω2R
+

√
2
2 ω1R + ω3
−ω2R
0

−→
VP =

3
√
2
2 ω1R + ω3 + VR
−ω2R
2ω2R

Antes de realizar el cálculo de las aceleraciones, se hallaran las aceleraciones anguláres correspon-
dientes. En este caso las que afectan a los puntos D y P :
−→αD =
d−→ωD
dt
= α2
(̂
i1
)
+ ω2
(
˙̂i1
)
+
√
2
2 ω1
(
˙̂j1
)
−
√
2
2 ω1
( ˙̂
k1
)
3
Cálculando la variación temporal de cada versor:
H ˙̂i1 =

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 10
0
 =

0
−
√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1

H ˙̂j1 =

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 01
0
 =

√
2
2 ω1
0
ω2

H ˙̂k1 =

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 00
1
 =

√
2
2 ω1
−ω2
0

Al agrupar todos los términos y simplificando, αD quedará:
αD =

α2 + 12ω
2
1 − 12ω
2
1
−
√
2
2 ω1ω2 +
√
2
2 ω1ω2
−
√
2
2 ω1ω2 +
√
2
2 ω1ω2
 =
 α20
0

αD =
 α20
0

αP =
d−→ωP
dt
= α2
(̂
i1
)
+ ω2
(
˙̂i1
)
+
√
2
2 ω1
(
˙̂j1
)
+ ω3
(
˙̂j2
)
−
√
2
2 ω1
( ˙̂
k1
)
Haciendo los cálculos correspondientes:
H ˙̂i1 =

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 10
0
 =

0
−
√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1

H ˙̂j1 =

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 01
0
 =

√
2
2 ω1
0
ω2

H ˙̂k1 =

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 00
1
 =

√
2
2 ω1
−ω2
0

H ˙̂j2 =

ω2√
2
2 ω1 + ω3
−
√
2
2 ω1
×
 01
0
 =

√
2
2 ω1
0
ω2

4
Al agrupar los resultados obtenidos y simplificar, se obtendrá:
αP =

α2 + 12ω
2
1 +
√
2
2 ω1ω3 −
1
2ω
2
1
−
√
2
2 ω1ω2 +
√
2
2 ω1ω2
−
√
2
2 ω1ω2 +
√
2
2 ω1ω2 + ω2ω3

αP =
 α2 +
√
2
2 ω1ω3
0
ω2ω3

Una vez halladas las aceleraciones angulares,se pueden hallar las aceleraciones absolutas del disco
y de la particula. Nótese que bajo el mismo razonamiento:
−→aA =
−→0
−→aB =
−→0
−→aC =
−→0
Para D:
−→aD = −→aB +−→α ×
−−→
BD +−→ω ×−→ω ×−−→BD +−→ω ×−→Vr +
−→
Ar
−→aD =

 α20
0
×
 02R
0

+

ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×


ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×
 02R
0


−→aD =
 00
2α2R
+


ω2√
2
2 ω1
−
√
2
2 ω1
×

√
2ω1R
0
2ω2R


−→aD =
 00
2α2R
+

√
2ω1ω2R
−2ω22R− ω21R
−ω21R

−→aD =

√
2ω1ω2R
−2ω22R− ω22R
2α2R− ω21R

Para P:
−→aP = −→aD +−→α ×
−−→
DP +−→ω ×−→ω ×−−→DP +−→ω ×−→Vr +
−→
Ar
5
−→aP =

√
2ω1ω2R
−2ω22R− ω22R
2α2R− ω21R
+

 α2 +
√
2
2 ω1ω3
0
ω2ω3
×
 00
R

+

ω2√
2
2 ω1 + ω3
−
√
2
2 ω1
×

ω2√
2
2 ω1 + ω3
−
√
2
2 ω1
×
 00
R

+


ω2√
2
2 ω1 + ω3
−
√
2
2 ω1
×
 VR0
0

+
 00
−V
2
R
R

−→aP =

√
2ω1ω2R
−2ω22R− ω22R
2α2R− ω21R
+
 0−α2R− ω21R
0
+


ω2√
2
2 ω1 + ω3
−
√
2
2 ω1
×

√
2
2 ω1R + ω3R
−ω2R
0

+
0
−
√
2
2 ω1VR
−
√
2
2 ω1VR − ω3VR
+
 00
−V
2
R
R

−→aP =

√
2ω1ω2R
−2ω22R− ω21R− α2R−
√
2
2 ω1ω3R−
√
2
2 ω1VR
2α2R− ω21R−
√
2
2 ω1VR − ω3VR −
V 2R
R
+
 −
√
2
2 ω1ω2R
−12ω
2
1R−
√
2
2 ω1ω3R
−ω22R− 12ω
2
1R−
√
2ω1ω3R− ω23R

−→aP =

√
2
2 ω1ω2R
−2ω22R− 32ω
2
1R− α2R−
√
2ω1ω3R−
√
2
2 ω1VR
2α2R− 32ω
2
1R−
√
2
2 ω1VR − ω3VR − ω
2
2R−
√
2ω1ω3R− ω23R−
V 2R
R

Resultados
Disco:
H Velocidad absoluta: −→VD =

√
2ω1R
0
2ω2R

H Aceleración absoluta: −→aD =

√
2ω1ω2R
−2ω22R− ω22R
2α2R− ω21R

Part́ıcula:
H Velocidad absoluta: −→VP =

3
√
2
2 ω1R + ω3 + VR
−ω2R
2ω2R

6
H Aceleración absoluta: −→aP =

√
2
2 ω1ω2R
−2ω22R− 32ω
2
1R− α2R−
√
2ω1ω3R−
√
2
2 ω1VR
2α2R− 32ω
2
1R−
√
2
2 ω1VR − ω3VR − ω
2
2R−
√
2ω1ω3R− ω23R−
V 2R
R

Debe tenerse en cuenta que los resultados mostrados están en la base

î1
ĵ1
k̂1
, y por enunciado se
piden en

î
ĵ
k̂
 por ende se procederá a realizarse un cambio de base.
Siendo:
î1 = î
ĵ1 =
√
2
2 ĵ +
√
2
2 k̂
k̂1 = −
√
2
2 ĵ +
√
2
2 k̂
Sustituyendo la relación establecida de bases en cada resultado expuesto y simplificando se tendrá:
Disco:
H Velocidad absoluta: −→VD =

√
2ω1R
−
√
2ω2R√
2ω2R

H Aceleración absoluta: −→aD =

√
2ω1ω2R
−
√
2ω22R−
√
2α2R√
2α2R−
√
2ω21R−
√
2ω22R

Part́ıcula:
H Velocidad absoluta: −→VP =

3
√
2
2 ω1R + ω3R + VR
−3
√
2
2 ω2R√
2
2 ω2R

H Aceleración absoluta:
−→aP =

√
2
2 ω1ω2R
−
√
2
2 ω
2
2R− 3
√
2
2 α2R +
√
2
2 ω3VR +
√
2
2 ω
2
3R +
√
2
2
V 2R
R√
2
2 α2R−
3
√
2
2 ω
2
1R− ω1VR −
√
2
2 ω3VR −
3
√
2
2 ω
2
2R− 2ω1ω3R−
√
2
2 ω
2
3R−
√
2
2
V 2R
R

7