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Clases dinamica
Rivera Juvenal
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35 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Cuerpo rígido: Definiciones Cuerpo rígido : (cinemática) Cuerpo en el cual la distancia entre dos puntos cualquiera no varia en el tiempo (cinemática) ipi Rvv rrrr ×+= ω ( )iipi RRaa rvvrrvr ××+×+= ωωα Cuerpo rígido : (cinética) Un cuerpo rígido se puede considerar como un sistema de partículas donde todas las partículas están rígidamente unidas entre sí y cuyo número tiende a infinito. Densidad ρ constante, y ocupa la región del espacio Ω x y z o dvρ Ω r r dv dm =ρ ∫∫ ΩΩ == dvdmM ρ I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 36 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 ∑ = = N i imM 1 Masa total del sistema Posición del centro de masas i N i ic rmM r rr ∑ = = 1 1 Velocidad del centro de masas Cantidad lineal de movimiento del sistema Cantidad angular de movimiento de la del sistema respecto a p i N i i c c vmMdt rdv r r r ∑ = == 1 1 i N i i c c amMdt vda r r r ∑ = == 1 1 c N i ii vMvmp rrv == ∑ =1 ∑ = ×= N i iiiP vmRh 1 rrr x y z o im ir r Cuerpo rígido: Definiciones Cuerpo rígidoSistema de partículas x y z o dm r r Ω ∫∫ ΩΩ == dmdvM ρ ∫ Ω = dmr M rc rr 1 ∫ Ω == dmv Mdt rdv cc r r r 1 ∫ Ω == dma Mdt vda cc r r r 1 cvMdmvp rrv == ∫ Ω Aceleración del centro de masas ( )dmvRhP ∫ Ω ×= rrr iR r Z X Yp Z X Yp R r I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 37 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Sistemas de partículas ∫ Ω = dma M ac rr 1 cvMdmvp rrv == ∫ Ω 1ra Ley de la mecánica x y z o dvρ Ω r r E if r Ef1 r E Nf r E Nf 1− r Ef2 r c ∑ = = N i ii E amF 1 rr ∫ Ω = dmaF E r r Cuerpo rígido Recordando La resultante de fuerzas externas es igual a la masa por la aceleración del centro de masas del rígido, e igual al cambio de la cantidad lineal de movimiento de dicho rígido dt pdaMF c E r rr == ∑ = = N i E i E fF 1 rr Resultante de fuerzas externas sobre el rígido I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 38 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Sistemas de partículas: 2da Ley de la mecánica x y z o dvρ Ω r r E if r Ef1 r E Nf r Ef2 r c ∑ = ×= N i iii E p amRM 1 rrr ∫ Ω ×= dmaRM Ep rrr Cuerpo rígido: Con: Esta expresión es difícil de trabajar puesto que el integrando incluye funciones vectoriales que dependen de las coordenadas espaciales y del tiempo. Por lo anterior se prefiere la expresión: Z X Yp R r pc pE p vMRdt hd M r r r r ×+= ( )dmvRhP ∫ Ω ×= rrr I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 39 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Recordando: 2da Ley de la mecánica x y z o dvρ Ω r r c Cantidad angular de movimiento relativa del cuerpo rígido respecto al punto “p”Definiendo: Z X Yp R r ( )dmvRhP ∫ Ω ×= rrr Rvv p rrrr ×+= ω ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]dmRRvdmRdmRRdmvR dmRRvRdmRvRdmvRh pp ppP ∫∫∫∫ ∫∫∫ ΩΩΩΩ ΩΩΩ ××+×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =××+×= ××+×=×+×=×= rrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrr ωω ωω Usando el sistema OXYZ solidario al cuerpo rígido, la velocidad de un punto genérico del cuerpo es: pcpP vMRHh rrrr ×+= cRMdmR rr =∫ Ω ( )[ ]dmRRH p ∫ Ω ××= rrrr ω I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 40 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 2da Ley de la mecánica x y z o dvρ Ω r r c Z X Yp R r Usando el sistema OXYZ solidario al cuerpo rígido: ( )[ ]dmRRH p ∫ Ω ××= rrrr ω Aplicando el triple producto vectorial, i.e.: ( ) ( ) ( )CBABCACBA rrrrrr ⋅−⋅=×× ( )[ ]dmRRRH p ∫ Ω ⋅−= rrrrr ωω2 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = z y x pz py px p Z Y X R H H H H ω ω ω ω rrr ;; ( ) ( ) dm Z Y X ZYXZYXH zyx z y x p ∫ Ω ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++− ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ωωω ω ω ω 222 r ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−+ +−+ +−+ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∫ ∫ ∫ Ω Ω Ω dmYZXZYX dmZYXYZX dmZXYXZY H H H H yxz zxy zyx p p p p z y x ωωω ωωω ωωω 22 22 22 r I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 41 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 2da Ley de la mecánica Separando los integrales y tomando en cuenta que la velocidad angular es un vector libre por lo que puede salir de los integrales, se tiene: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−+ +−+ +−+ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∫ ∫ ∫ Ω Ω Ω dmYZXZYX dmZYXYZX dmZXYXZY H H H H yxz zxy zyx p p p p z y x ωωω ωωω ωωω 22 22 22 r ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++−− −++− −−+ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ΩΩΩ ΩΩΩ ΩΩΩ zyx zyx zyx p p p p dmYXdmYZdmXZ dmZYdmZXdmXY dmZXdmYXdmZY H H H H z y x ωωω ωωω ωωω 22 22 22 r ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− −+− −−+ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ΩΩΩ ΩΩΩ ΩΩΩ z y x p p p p dmYXdmYZdmXZ dmZYdmZXdmXY dmZXdmYXdmZY H H H H z y x ω ω ω 22 22 22 r pXYZI Tensor de inercia del cuerpo rígido respecto al punto p en el sistema XYZ ω rr pXYZpH I= I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 42 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Recordando: 2da Ley de la mecánica x y z o Ω cr r c Z X Yp cR r pcpP vMRHh rrrr ×+= pc pE p vMRdt hd M r r r r ×+= Limitada a un único cuerpo rígido ya que el sistema pXYZ debe ser solidario al mismo ! ω rr pXYZpH I= ( ) ( ) ( ) cppcppcpXYZpXYZ cppcppc p p cp p cp cp cppcpcp pE p vMvaMRvMvv vMvaMRvMrr dt d t H H vMv dt vd MRvM dt Rd dt Hd vMvvMRH dt dvMv dt hd M rrrrrrrrvv rrrrrrr r rv rr r rr rr rrrrrrr r r ×+×+×−++×= ×+×+×−++×= ×+×+×+= ×+×+=×+= αωω δ δ ω II cpc Rrr rrr += pcc rrR rrr −= pcpXYZpXYZ E p aMRM rrvvrr ×+×+= ωωα II pr r I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 43 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 2da Ley de la mecánica: otra expresión Limitada a un único cuerpo rígido ya que el sistema pXYZ debe ser solidario al mismo ! ( ) ( ) ( ) cpcccpccXYZcXYZ cpcccpc c c cp c cc cc cpccccp pE p vMvaMRvMvv vMvaMRvMrr dt d t HH vMv dt vdMRvM dt Rd dt Hd vMvvMRH dt dvMv dt hd M rrrrrrrrvv rrrrrrr r rv rr rrr rr rrrrrrr r r ×+×+×−++×= ×+×+×−++×= ×+×+×+= ×+×+=×+= αωω δ δω II ρ rrr += cRR cccXYZcXYZ E p aMRM rrvvrr ×+×+= ωωα II Ω cρ r c Z X Y p R r dm 1X 1Y 1Z ρ r ( )[ ] ( ) ccc c cP vMRh dmvdmvR dmvRh rrr rrrr rrrr ×+= ×+×= ×+= ∫∫ ∫ ΩΩ Ω ρ ρ pcpP vMRHh rrrr ×+= cc Hh rr = cccP vMRHh rrrr ×+= Teorema de König Note que se calculan los momentos de las fuerzas externas en p, usando datos dinámicos del punto c ( )dmvRhP ∫ Ω ×= rrr I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 44 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Momentos de inercia: ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− −+− −−+ = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ΩΩΩ ΩΩΩ ΩΩΩ pZZpYZpXZ pZYpYYpXY pZXpYXpXX pXYZ III III III dmYXdmYZdmXZ dmZYdmZXdmXY dmZXdmYXdmZY 22 22 22 I (Siempre positivos) pYYI pXXI pZZI Productos de inercia: pYXI pXYI pZXI pXZI pYZI pZYI Propiedades del tensor de inercia: 1- El valor de las componentes del tensor de inercia depende de la ubicación y orientación del sistema de coordenadas usado para expresarlo 2- El tensor de inercia es simétrico TpXYZpXYZ II = pZXpXZ II = pYXpXY II = pZYpYZ II = 3- Los momentos de inercia nunca son negativos I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 45 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Para todo valor de Y existe un diferencial de masa con X positiva y una imagen de ese diferencial con X negativa, por lo tanto: Propiedades del tensor de inercia: 4- Si un cuerpo admite un eje de simetría material y geométrico, entonces los productos de inercia asociados a ese eje son nulos 0== pZYpXY II Z X Y X Z x− x 0== ∫ Ω dmXYI pXY 5- Si un cuerpo admite un plano de simetría material y geométrico, entonces los productos de inercia asociados al eje normal de ese plano son nulos Z YX 0== pYZpXZ II Para todo diferencial de masa con Z positiva existe una imagen de ese diferencial con Z negativa, por lo tanto: 0== ∫∫ ΩΩ dmYZdmXZ I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 46 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Conocida la inercia en el centro de masas ( ) , se desea calcular la inercia en el punto p ( ) Tensor de inercia Propiedades del tensor de inercia: 6- Cálculo de la inercia en un sistema de referencia paralelo (Teorema de los ejes paralelos o Teorema de Steiner ). x y z o dm Ω R r Z X Yp c Y Z X cR r ρ r ρ rrr += cRR xcXX ρ+= ycYY ρ+= zcZZ ρ+= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2222 2222 2222 22 22 cccXX zyzcyccc zyzcyccc zcycpXX ZYMI dmdmZdmYdmZY dmdmZdmYdmZY dmZYdmZYI ++= +++++= +++++= +++=+= ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩ ρρρρ ρρρρ ρρ ( )22 cccYYpYY ZXMII ++= ( )22 cccZZpZZ YXMII ++= pXYZI cXYZI I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 47 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Propiedades del tensor de inercia: ( )( )[ ] cccXZ zxzcxccc zxzcxccc zcxcpXZ ZMXI dmdmXdmZdmZX dmdmXdmZdmZX dmZXdmXZI += +++= +++= ++== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩ ρρρρ ρρρρ ρρ cccXYpXY YMXII += cccYZpYZ ZMYII += pXYZccXYZpXYZ /III += ( ) ( ) ( )⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− −+− −−+ = 22 22 22 / cccccc cccccc cccccc pXYZc YXYZXZ ZYZXXY ZXYXZY MI Note que los valores mínimos de los momentos de inercia se obtienen para el centro de masas del cuerpo. En cualquier otro punto del cuerpo, los momentos de inercia son mayores, lo que implica que respecto al centro de masas el cuerpo ofrece la menor resistencia a la rotación ! I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 48 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Propiedades del tensor de inercia: 7- Cálculo de la inercia en un sistema de referencia con orientación diferente (Expresión del tensor de inercia en una base diferente). ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ′ ′ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ k j i k j i ˆ ˆ ˆ )cos()cos()cos( )cos()cos()cos( )cos()cos()cos( ˆ ˆ ˆ 333231 232221 131211 θθθ θθθ θθθ Conocida la inercia en el sistema de referencia pXYZ ( ), se desea calcular la inercia en el sistema pX’Y’Z’ ( )ZYXp ′′′I pXYZI Ω Z X Y p 11θ Z ′ X ′ Y ′ 12θ 13θ ijθ ángulo entre el eje i de la base pXYZ y el eje j de la base pX’Y’Z’ (medido en el plano que forman los ejes i y j) A r A′ r vector expresado en la base pXYZ vector expresado en la base pX’Y’Z’ AA ′= rr L AA T rr L=′ kjii ′+′+′= ˆ)cos(ˆ)cos(ˆ)cos(ˆ 131211 θθθDefiniendo los ángulos entre los ejes de ambas bases se puede escribir: L Matriz de rotación formada por los cosenos directores. Es una matriz “ortogonal” TLL =−1 L Un vector puede expresarse en una u otra base usando las expresiones: ω rr pXYZpH I= ω′=′ rr LIL pXYZpH LILI pXYZ T ZYXp =′′′ ( )ω′=′ rr LIL pXYZTpH base pXYZ base pX’Y’Z’ I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque 49 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Propiedades del tensor de inercia: 8- Cálculo de los ejes principales de inercia para un punto p del rígido Ω Z X Y p 3 1 2 ω rr pXYZpH I= I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque Dado que: ¿ Es posible encontrar un sistema de coordenadas con origen en p, en el cual se cumpla que la cantidad angular de movimiento del sistema ( ) tenga la misma dirección y sentido que el vector velocidad angular ( ) ? pH r ω r ωλω rrr II == pXYZpH [ ] 0rr =− ωλII pXYZ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 010 001 Iλ escalar , [ ] 0det =− II λpXYZ 0 100 010 001 det = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ pZZpYZpXZ pYZpYYpXY pXZpXYpXX III III III Problema de autovalores ( ) y autovectores ( )ω r λ Esta ecuación genera un polinomio cúbico en , cuyas raíces ( ) son los autovalores, llamados momentos principales de inercia ( ). Cada uno de esos autovalores tiene asociado un autovector ( ). Estos tres autovectores definen los ejes de una base, llamada sistema de coordenadas principales de inercia en el punto p, en la cual todos los productos de inercia son nulos. 321 ,, λλλ 332211 ,, ppp III λ 321 ,, ωωω rrr ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 22 11 123 00 00 00 p p p p I I I I 50 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Propiedades del tensor de inercia: 8- Principio de superposición I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque Si un cuerpo está formado por la unión de 2 o más cuerpos rígidos, su inercia se puede calcular como la suma de las inercias de cada cuerpo respecto al mismo punto p y en el mismo sistema de coordenadas ∑ ΩΩ = i pXYZpXYZ iII Usando el Teorema de Steiner 321 ΩΩΩ=Ω UU [ ]∑ ΩΩΩ += i pXYZccXYZpXYZ ii /III iii pXYZccXYZpXYZ ΩΩΩ += /III 3Ω Z X Y p 3Ω 1Ω Z X Y 3c Z X Y 2cZ X Y 1c 51 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Inercia de un cilindro respecto a su centro de masa I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque Z X Yc R H Cilindrode radio R, altura H y densidad uniforme ρ ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )22 324 2 2 22 4 2 2 2 0 2 24 2 2 2 0 2 2 2 4 2 2 2 0 0 22 2222 3 12124 4 22 )2cos(1 4 2 )sin( 4 )sin( )sin( HRMHRHR dzZRR dzdZRR dzdZRR dzddrrZr dvZrdmZYI H H H H H H H H R cXX +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += += +=+= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ − − − − ΩΩ ρπ ρπ θρθ θρθ θρθ ρθ π π π HR M 2π ρ = )sin( )cos( θ θ rY rX = = dzddrrdv θ= θ X Yr 52 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Inercia de un cilindro respecto a su centro de masa I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )22 3242 2 22 4 2 2 2 0 2 242 2 2 0 2 2 2 4 2 2 2 0 0 222222 3 121244 22 1)2cos( 42 )cos( 4 )cos()cos( HRMHRHRdzZRR dzdZRRdzdZRR dzddrrZrdvZrdmZXI H H H H H H H H R cYY +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += +=+=+= ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ − −− −ΩΩ ρπρπ θρθθρθ θρθρθ ππ π ( ) ( ) ( )[ ] 2224 )sin()cos( 242 2 42 2 2 0 4 2 2 2 0 0 22222 MRRHdzRdzdR dzddrrrdvrrdmYXI H H H H H H R cZZ ==== =+=+= ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ −− −ΩΩ ρπρπθρ θρρθθ π π ( ) ( ) ( ) ( ) 0)sin( 4 )sin()cos( 4 )sin()cos()sin()cos( 2 2 2 0 2 42 2 2 0 4 2 2 2 0 0 2 === === ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ −− −ΩΩ dzRdzdR dzddrrrdvrrdmXYI H H H H H H R cXY ρθθρθθ θρθθρθθ ππ π 53 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Inercia de un cilindro respecto a su centro de masa I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque ( ) ( ) 0)sin( 3 )cos( 3 )cos()cos( 2 2 2 0 32 2 2 0 3 2 2 2 0 0 === === ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ −− −ΩΩ dzRdzdR dzddrrZrdvZrdmXZI H H H H H H R cXZ ρθθρθ θρθρθ ππ π ( ) ( ) 0)cos( 3 )sin( 3 )sin()sin( 2 2 2 0 32 2 2 0 3 2 2 2 0 0 =−== === ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ −− −ΩΩ dzRdzdR dzddrrZrdvZrdmXZI H H H H H H R cYZ ρθθρθ θρθρθ ππ π ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = 2 2 1 22 12 1 22 12 1 00 030 003 MR HRM HRM cXYZI Z X Yc R H 54 Universidad Simón Bolívar MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011 Tensor de inercia Inercia de una barra y un disco I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Cuerpo rígido Definiciones 1ra ley 2da ley Tensor de inercia 3ra ley Ecs. de Lagrange Choque ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 00 00 2 2 1 2 1 2MR cXYZI Inercia de una barra Inercia de una disco Una barra ideal es un cilindro de radio nulo (R=0) Un disco es un cilindro de altura nula (H=0) ( )RM , X Y R Z c ( )LM ,Barra X Y Z cL Disco ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 000 010 001 12 2ML cXYZI
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