algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-298

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a1 a3
∴ ∆ =
c1 c3
es el menor complementario de b2.
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
POR MENORES COMPLEMENTARIOS
El valor de un determinante es igual a la suma alge-
braica de los elementos de una línea cualquiera (fila
o columna), multiplicado cada uno de ellos por sus
respectivos menores complementarios, colocando a
cada producto el signo del elemento.
Desarrollar:
a1 a2 a3
∆ = b1 b2 b3
c1 c2 c3
desarrollando por los elementos de la 1ra. fila:
b2 b3 b1 b3 
∆ = a1 - a2 
c2 c3 c1 c3
b1 b2
+ a3
c1 c2
∆ = a1(b2c3 - c2b3) - a2(b1c3 - c1b3)
+ a3(b1c2 - b2c1)
∆ = a1b2c3 - a1c2b3 - a2b1c3 + a2c1b3
+ a3b1c2 - a3b2c1
∆ = a1b2c3 + a2c1b3 + a3b1c2 - a1c2b3
- a2b1c3 - a3b2c1
Ejemplo.
Desarrollar por menos complementarios:
1 4 2
∆ = 3 4 5
9 16 25
Solución:
Tomando la primera fila:
4 5 3 5
∆ = (1) - (4)
16 25 9 25
3 4
+ (2)
9 16
∆ = (1)(100 - 80) - (4)(75 - 45) + (2)(48 - 36) 
∆ = 20 - 120 + 24 = -76
PROPIEDADES DE LOS 
DETERMINANTES
1º Si en un determinante se cambian las filas por
columnas y las columnas por filas, el valor del
determinante no se altera. 
Ejemplo:
a1 a2
∆ = = a1b2 - a2b1
b1 b2
a1 b1
∆ = = a1b2 - a2b1
a2 b2
2º Si en un determinante se intercambian entre sí
dos filas o dos columnas, el determinante cam-
bia de signo.
Ejemplo:
a1 a2
∆ = = a1b2 - a2b1
b1 b2
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α
α α
Algebra 27/7/05 16:42 Página 310