Pensamiento Andino

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„ANALOGÍA ESTRUCTURAL Y ESPACIOS ALÉTICOS EN 
LOGICA BIVALENTE Y TRIVALENTE‟ 
 
“Dios dijo: 
¡Hágase el U-NO! … de inmediato, el Hombre hizo 
 Todo lo demás…” 
 
ADVERTENCIA 
Para una intelección feliz del texo se requiere, únicamente, conocer las 
cuatro operaciones fundamentales de la aritmética y nociones muy 
elementales de geometría, álgebra y lógica. Aunque parezca increíble, en 
dos leyes matemáticas básicas, fáciles de entender, el teorema de Pitágoras 
y la ley del binomio de Newton, se sintetizan unos, por lo bajo, 2.300 años 
de creación en torno al pensamiento lógico-matemático. Esto es tan así que 
estoy por pensar que estas dos leyes no sólo expresan unas simples 
relaciones matemáticas, sino estructuras fundamentales del pensamiento 
humano. Estudios recientes, en Matemática Andina, así lo demuestran por 
lo menos en cuanto a la utilización práctica, que es lo importante, del que 
hicieron nuestros ancestros del teorema de Pitágoras. No obstante, éste no 
es un anexo para ser leído de la „a‟ a la „z‟, sino que es un texto de 
enseñanzas. Está escrito en un código logo-simbólico que funciona tanto 
como pictografía y como alfabeto, de manera que cada letra y cada palabra 
representan un escenario visual en una secuencia de significación mayor. 
La sintaxis del lenguaje está basada en una lógica multi-visionaria, otra 
forma de decir infinivalencia, más que en la simple racionalidad formal, es, 
por tanto, única y requiere de la experiencia vital directa para ser entendida. 
Está, por así decir, a disposición de todo aquel que busque el significado 
más profundo, con el ojo de la mente y el ojo del espíritu, en la nueva 
dimensión, donde la interacción de lo científico y la unión mítico-simbólica 
puede ser reconocida como una experiencia que transforma. 
Deseamos, de todas maneras, indicar o citar las razones por las cuales nos 
hemos servido del simbolismo lógico-matemático, para explicitar un 
2 
 
método de análisis de la matemática andina. Las nociones de „palabra‟ y 
„número‟, históricamente, son sinónimas. No olvidemos que la voz latina 
fraso significa, indistintamente, tanto nombrar como contar. Paralelamente, 
en toda agrupación humana, por lejos que nos remontemos en el tiempo, el 
hombre siempre ha tratado de expresar y representar esa cualidad propia de 
toda colección o conjunto de cosas. En el empleo de frases vagas como un 
poco, mucho, algo, y otras, se ha establecido, eventualmente, un sistema de 
signos, palabras y frases otras (meta-frases meta-logos), que permite 
representar esa potencialidad de las cosas agrupadas y, por consiguiente, 
comparar y combinar esas cualidades y potencias de las cosas entre sí. 
La invención del número se produjo por un procedimiento, que domina en 
todo pensamiento matemático, la correspondencia biunívoca, de uno a u-no 
entre cosas de diferentes grupos. Guijarro, piedra, muesca o señal cortada 
en una madera se corresponden con las cosas, pertenecientes a un conjunto, 
en el proceso de separarlas e identificarlas. Pronto, dando un nombre a cada 
uno de los guijarros apartados a medida que se separan las cosas del 
conjunto considerado, se crea un sistema de términos, una suerte de escala, 
independiente de la naturaleza de las cosas de la colección y susceptible de 
ser aplicado a toda otra pluralidad, formada también por cosas o unidades 
discontinuas. Surge, entonces, un sistema verbal de números. Así, el 
número, expresión exacta y fija de una pluralidad, nace en forma de una 
palabra hablada y un signo escrito, palabra y signo, poética y numérica, 
juntas, ocupan un lugar o espacio, punto sobre determinado y saturado, 
inequívoco en una serie ordenada de términos y símbolos que se suceden, 
el sucesor o el siguiente de un número según el lógico italiano G. Peano. 
El conocimiento lógico-racional, propio de esta serie, constituye un 
sistema de conceptos y símbolos abstractos, caracterizado por una 
secuencia lineal, típica de nuestro modo de pensar y de nuestro hablar. En 
la mayoría de los idiomas esa estructura lineal se evidencia en el uso de 
alfabetos, que sirven para comunicar experiencias y pensamientos mediante 
largas líneas de letras, palabras y números. Por otro lado, el mundo natural 
es un mundo de infinitas variedades y complejidades, un mundo 
multidimensional que no contiene líneas rectas ni formas absolutamente 
regulares, donde las cosas no suceden en secuencias sino todas juntas, un 
mundo ‒como nos dice la física moderna- donde incluso el espacio vacío es 
curvo. 
Es evidente que nuestro sistema abstracto de pensamiento conceptual nunca 
podrá describir ni entender por completo esta realidad. Al pensar en el 
mundo nos enfrentamos al mismo tipo de problema que afronta el 
cartógrafo que trata de cubrir la superficie curvada de la tierra con una serie 
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de mapas planos. Con tal procedimiento podemos sólo esperar una 
representación aproximada de la realidad, y por ello, todo el conocimiento 
racional estará necesariamente limitado. 
La lógica formalizada, o axiomatizada, cualquiera que ésta sea, no está 
dada por una serie de estructuras única que viniera, pues, a interpretar y 
traducir un universo de esencias inmutables y trascendentales; se presenta, 
al contrario, como una diversidad de sistemas entre los que es posible pasar 
de uno a otro con sólo modificar, sea por adición, atenuación o supresión, 
uno de sus axiomas obteniéndose así lógicas diferentes. Los teoremas que 
una lógica demuestra pueden ser diferentes y hasta contradictorios de los 
que otra lógica obtiene, ya que su „verdad‟ depende de la libre elección de 
la lista o catálogo de axiomas con los cuales trabaja. Además de estas 
distinciones también se pueden señalar otras. Se puede hacer, como 
nosotros, una distinción de las estructuras lógicas a partir de la valencia, o 
grado de verdad. 
Se parte de la de menor grado posible, la bivalente o clásica, que postula 
como axioma el tercero excluido. Este axioma del tercero excluido se 
expande al del cuarto excluido, para el caso de la lógica de tres valores o 
trivalente; luego se postula el quinto excluido y se obtiene una de cuatro 
valores y así sucesivamente se expande para obtener una lógica de n 
valores, en la que se postula el „n+1 excluido‟. Estas son las lógicas 
infinivalentes o multivalentes. Todo esto se hace posible por las diferentes 
acepciones del functor monádico de negación, el „no‟. 
El símbolo „F‟, como supernegación; y el „N‟, como negación débil o 
simple. En nuestra lógica trivalente, que luego se amplía a la infinitamente 
valente, el axioma fuerte del tercero excluido, ˹p v Fp˺: o bien es del todo 
falso que „p‟ o bien „p‟, se preserva; pero se introduce un nuevo axioma 
constituido por la supernegación del tercero excluido débil, ˹F(p v Np)˺ se 
niega totalmente „p o no-p‟, lo que equivale a la introducción, o a la 
afirmación del axioma del tercero incluido, ˹p ˄ Np˺; lo que implica, a su 
vez, postular el cuarto excluido. Esta forma de razonar lógico hace que 
todas las lógicas puedan ser estudiadas y analizadas en forma análoga, a 
partir de la más simple o bivalente en relación con la trivalente, como en el 
anexo aquí presentado. 
Para ser absolutamente exactos, en nuestra interpretación y traducción 
binomial de la lógica paraconsistente de Lorenzo Peña, se da un número 
infinito de negaciones cada vez más debilitadas a partir, claro está, de la 
falsedad total; y lo mismo acontece con la verdad total, se manifiestan un 
número infinito de afirmaciones cada vez más debilitadas: 
4 
 
 
F
n
 = Falsedad Total o „F‟ („n‟, la enésima, es igual a „T‟, total o infinitamente falso, lo 
 cual en término ontológicos es absurdo). 
F
(n-1)
V = “N
n-1
. A
1
”, „n‟ grados negativo menos uno (infinitamente negativo) y un primer gradoafirmativo (infinitesimalmente afirmativo). 
F
(n-2)
V
2
 = “N
n-2
. A
2
”, „n‟ grados negativo menos dos y un segundo grado afirmativo 
 (verdadero y falso = Ferdad o Valsedad). 
 . 
 . 
 . 
F
n-(r+1)
V
n-(r+1)
 = “N
n-(r+1 )
. A
n-(r+1 )
”, es el término medio entre los dos extremos, Fn y Vn, 
 el exponente „r‟ es igual a „n-1‟, con lo cual los grados de F 
 y V son iguales si, „r‟ es par, y, alternadamente, 
 „V
r-1
F
r
‟, „V
r
F
r-1
‟, si „r‟ es impar; en todo caso, indica el 
 punto neutro o de equilibrio. Justo en el punto medio, 
 la negación llega a su máximo de verdad y la 
 afirmación a su máximo de falsedad; la negación es tanto, 
 o igual, a la verdad, como la afirmación es tanto, o igual, 
 a la falsedad, VF y FV: el 2VF. 
 . 
 . 
 . 
F
2
V
(n-2)
 = “A
n-2
. N
2
”, „n‟ grados afirmativo menos dos y dos grados negativo 
 (penúltimo grado de negatividad). 
FV
(n-1)
 = “A
n-1
 . N
1
”, „n‟ grados afirmativo menos uno (infinitamente afirmativo) y un último 
grado 
 negativo (infinitesimalmente falso). 
V
n
 = Verdad Total o „V‟ (infinitamente verdadero). 
 
 
En el símbolo „N
n‟
, el exponente „n‟ señala los diferentes e infinitos grados 
que adopta la negación (niveles de negabilidad); lo mismo en „A
n‟
, „n‟ da 
cuenta de los diferentes e infinitos grados que adopta la afirmación 
(niveles de afirmabilidad). 
La metodología que se asume inicialmente para investigar en esta 
pretendida analogía, entre estas dos lógicas, es aportada por la teoría de las 
potencias proposicionales, que se definen y tienen su antecedente, a nivel 
de estructura subyacente, en la ley del binomio. El método de las potencias 
proposicionales es un procedimiento que, en un principio, se desarrolló 
para poder reducir cualquier fórmula lógica a una única conectiva (por 
ejemplo a la conyunción), por medio de una concluyente simplificación, 
no sólo del número de pasos, sino también del número de signos 
empleados para la representación de una fórmula. Nuestro interés por este 
método se sitúa en un plano más general, o de epistemología de la lógica, 
5 
 
en el sentido de que hace uso de un vocabulario casi idéntico con los 
empleados al interior de las estructuras binomiales. 
I. LA LEY DE BIVALENCIA COMO SUSTRATO DEL 
TEOREMA DE PITÁGORAS Y LA LEY DEL BINOMIO 
 
 
Matemática de la Imagen 
 
 
En la antigüedad, antes de la introducción o invención de los números 
arábigos, el problema de formular o representar una determinada ley 
matemática, como el teorema de Pitágoras, pongamos por caso, era un 
asunto más bien complicado. Si reflexionamos un poco, encontraremos en 
ciertas ocasiones, todavía hoy, que para escribir números no se emplean 
cifras, sino grupos de signos iguales entre ellos, tantos como sean las 
unidades del número. Por ejemplo, en los dados los números están 
representados por puntos; en los naipes con «oros», «copas», «espadas» y 
«bastos», o con «corazones», «tréboles», «picas» y «diamantes». La 
representación de los números con puntos constituyó antiguamente una 
ciencia: la ciencia de los números figurados de los pitagóricos, discípulos 
de Pitágoras, que vivió en el s. VI a.C. Los pitagóricos denominaban a los 
números: triangulares, cuadrados, cúbicos, etc., según se originara dicho 
número, por la distribución regular de los puntos que lo representaba, un 
triángulo rectángulo «isósceles», con los dos lados menores iguales, un 
cuadrado o un cubo. Los números cuadrados son, naturalmente, los 
cuadrados de los números. 
 
En un grupo de estudios sobre matemática ancestral andina, dirigido por el 
investigador y profesor Marcos Guerrero, durante los años 2003-5, en el 
que tuve la oportunidad de participar, se llegó a la conclusión de que el 
teorema de Pitágoras no se agota en la mera forma matemática, sino que 
avanza a constituirse, verdaderamente, en una ley general del pensamiento 
humano, sobre todo, en cuanto a la aplicación práctica de sus contenidos; 
no de otra forma, se puede explicar que culturas antiguas que, sin haber 
llegado a desarrollar la escritura, hayan, sin embargo, puesto de manifiesto, 
en sus construcciones monumentales y confección de calendarios, tener el 
conocimiento suficiente de dicho teorema. Esta forma de entender el 
teorema, sólo podía ser concebible si es que antes se demostraba que su 
estructura básica es una ley lógica; posteriormente, para felicidad del 
grupo, se demostró, en efecto, que podía ser interpretado y reducido en 
términos de la ley del índice, o de bivalencia. El procedimiento, o método 
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de reducción, del teorema a la mencionada ley, que se detalla más abajo, 
fue propuesto y validado por quien escribe estas líneas. 
 
Podríamos llamar a esta forma de hacer cálculos, antiguos o modernos, una 
matemática de la imagen, geométrica, quizás, pero imagen al fin. 
Generalizando un poco más, diremos que la matematización de la imagen 
mental es la clave para entender los distintos espacios matemáticos de 
representación (E.M.R.). Es decir, la matematización de la imagen se 
despliega originariamente en el pensamiento, como producto del pensar o 
de la actividad pensante. La ley fundamental que rige este tipo de 
pensamiento es la “Ley de Bivalencia”. Ley que preside, según el estado 
actual de nuestras investigaciones, la estructura profunda tanto del teorema 
de Pitágoras como de la ley del binomio. A continuación, se describe un 
posible proceso lógico de matematización que demuestra lo afirmado. 
 
 
Consideremos la siguiente serie o ternas de números-imágenes: 
 
 
(x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 +z2) + (x3 +y3 + z3) + ……+ (xn + yn + zn). 
 
 
Al interior de cada paréntesis podemos postular el siguiente principio 
lógico: 
 
El número „y‟es el punto medio (½) entre los números „x‟ y „z‟, por tanto 
se puede formular la siguiente identidad: 
 
 
 y = x + z / 2, multiplicando por dos y elevando al cuadrado ambos miembros de 
la identidad, tenemos: 
 4y2 = (x + z)2, desarrollando el segundo miembro (binomio), 
 4y2 = x2 + 2xz + z2. 
 
 
La secuencia deductiva anterior, se encuentra perfectamente establecida 
mediante definiciones, axiomas y reglas de inferencia, previamente 
establecidos, según el modelo que rige cualquier sistema axiomático, los 
cuales los omitimos para comodidad del lector. 
 
 
Si ahora los números „x, y, z‟ son, respectivamente, iguales a las series de 
números: 1, 2, 3, o, 2, 3, 4, o, 3, 4, 5, etc. Y, luego, procedemos a construir 
su representación gráfica, o interpretación geométrica del Binomio de 
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Newton, bastante conocida desde la escuela secundaria. Tomando la 
primera terna de números, el „2‟ es el punto medio y los números „1‟ y „3‟ 
son, respectivamente, tanto, los lados del cuadrado menor y mayor, en 
color blanco, así como los lados menor y mayor de los dos rectángulos, en 
color negro: 
 
 
 3 
 
 11 
 
 3 ↔ 3
2
 + 1
2
 + 2(3) (1) = (3 + 1)
2
, 
 16 = 16, o la 
 forma básica del binomio de Newton; 
 su resultado numérico es “16”, equi- 
 valente a las dieciséis leyes de la lógi- 
 ca clásica. 
 
 
Seguimos desarrollando la idea, según la rastra y esquema de fórmulas 
anteriores, sean los números „x, y, z‟, el número „y‟ está a medio camino 
entre „x‟ y „z‟, es decir formalizando: y = x + z / 2, multiplicando ambos 
miembros de la identidad por dos y luego elevando al cuadrado tenemos: 
 
 (2y)2 = (x + z)2, ejecutando las operaciones indicadas y desarrollando 
 el segundo miembro (binomio), 
 4y2 = x2 + 2xz + z2, restando „2xz‟ a ambos miembros, 
 4y2 - 2xz = x2 + z 2, extraemos factor común, el 2, del primer miembro, 
 2(2y2 - xz) = x2 + z2. 
 
Interpretando este último resultado, desde el punto de vista del teorema de 
Pitágoras, los componentes del miembro derecho de la identidad, ˹x
2
 + z
2
˺, 
serían los catetos; y, los componentes del miembro izquierdo, 2 (2y
2
 - xz), 
vendrían a ser la hipotenusa. Desde una perspectiva estrictamente lógica, la 
hipotenusa es el término medio que, sustraído a su vez del binomio de 
Newton, es también el famoso principio del tercero excluido, en la lógica 
clásica. En la serie de los números naturales cualquier número, excepto el 
U-no, puede hacer las veces de tercero excluido. Tomando en cuenta estas 
secuencias matemáticas, se puede demostrar fácilmente, como veremos 
más abajo, que el teorema de Pitágoras se encuentra o está incluido, de 
forma tácita o subyacente, en la ley del binomio 
 
Señalemos, de pasada, que esta interpretación del término medio como 
punto de enlace, entre el binomio y el teorema de Pitágoras, únicamente 
funciona para ternas de números iguales y no para diferentes; es decir, para 
ternas: „1, 1, 1‟; „2, 2, 2‟; „3, 3, 3‟, y así sucesivamente, concibiendo 
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idealmente la terna „x, y, z‟ como una abstracción de identidad pura (x = y 
= z) y haciendo de la pluralidad el predicado y, por tanto, contenida de 
antemano en U-NO; en realidad, así se procede en gran parte de la 
matemática (cualquier número puede ser expandido y reducido mediante la 
adición de unos), y, sobre todo, en las leyes y el cálculo de la lógica. La 
prueba, en términos analíticos, que identifica estructuralmente el binomio 
de Newton, mediante la ley de dualidad o del índice, con el teorema de 
Pitágoras, según se muestra en el gráfico „b‟, de abajo, indica claramente 
que el cuadrado, construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo, de 
área „ab/2‟, tiene un área total igual a la suma de las áreas de los cuatro 
triángulos rectángulos internos, „4ab/2‟, es decir, simplificando, „2ab‟, y es 
equivalente, simultáneamente, al término medio del binomio y a la 
hipotenusa del Teorema. En el límite de abstracción, Teorema y Binomio 
son una sola y misma cosa o estructura. Los gráficos del binomio y del 
teorema de Pitágoras, en términos analíticos y lógicos, serían los 
siguientes: 
 
a. Gráfico de la Ley del Binomio: (a + b)
2
 = a
2
 + 2ab + b
2
. 
 
 a 
 
 b ab/2 b
2
 b 
 ab/2 
 ab/2 
 a
2
 ab/2 
 
 a 
Las diagonales dividen, a los dos cuadrados de lados „ab‟, en triángulos rectángulos „ab/2‟. 
 
b. El Teorema de Pitágoras aparece si excluimos el término medio, representado 
por „2ab‟, en el binomio: 
 
 H
2
 = a
2
 + b
2
. 
 
 ab/2 b2 
 
 
 a
2 ab 
 
 
 
 
 
 ab/2 ab/2 
 H
2
 ab/2 ab/2 
 ab/2 b
2
 
 
 a
2
 ab 
9 
 
 
 
Las diagonales cruzadas dividen el cuadrado, construido sobre la hipotenusa, en cuatro triángulos 
rectángulos, „4ab/2 o 2ab‟. 
 
La suma, como se puede verificar, por simple inspección, de los cuatro 
triángulos rectángulos del cuadrado, en color naranja, es igual a „2ab‟, 
equivalente a la hipotenusa al cuadrado „H
2
‟, q.e.d. 
 
Generalizando el procedimiento anterior para los números fraccionarios: 
 
El punto medio entre „0‟ y „1‟ es igual a un medio (½), formalizando: 
 
 ½ = (o + 1) / 2, si desarrollamos la igualdad, multiplicando por dos y elevando 
 al cuadrado ambos miembros, obtenemos el 
 resultado final: 
 12 = 12, sustituyendo „1‟ por „x, tenemos: 
 x2 = x2, o, más brevemente, la ley de bivalencia, dualidad o del índice: 
 
 ˹x2 = x˺. 
 
La noción que de la realidad levantamos, clásica o compleja, precisa de una 
lógica. La lógica de la modernidad heredó la clásica construcción 
aristotélica. Como esencia fundamental ontológica, Aristóteles definió una 
Lógica de la Identidad, en base a las tres leyes lógicas siguientes: 
 
1) Ley de Identidad: “lo que es, es”. 
 
2) Ley de la no-contradicción: “nada puede ser y al mismo tiempo no 
ser”. 
3) Ley del tercero excluido: “todo debe ser o no ser”. 
 
De la lógica anterior se desprende que A es A, que A no puede ser No-A, 
y que Nada puede ser A y No-A al mismo tiempo. Según esto, o es una 
cosa, o es la otra, pero no ambas. Es disyuntiva y no inclusiva; es 
excluyente. Toda resolución de identidades debía ser “redonda”, pero esta 
redondez comienza a romperse con la aparición de explicaciones que 
arrojan distintas y alternativas soluciones de identidad de las cosas, y tales 
explicaciones provienen de la física cuántica, o del Teorema de la 
Incompletud de Gödel, entre otras propuestas. 
 
Con los descubrimientos de la física cuántica, junto con las estrategias de 
explicación lógica y re-presentación, más bien re-interpretación, de la 
realidad surgió la necesidad de cimentar una lógica más flexible y menos 
reductiva que, apartándose de la visión excluyente del mundo, pudiera 
10 
 
explicarlo en su carácter incluyente. El ámbito cuántico nos muestra que la 
realidad no puede ser encerrada en ellecho de Procusto, de la estrechez 
exclusiva puesto que, se reveló a los físicos el carácter subatómico de la 
realidad material, en el que se es simultáneamente onda y partícula, 
continuidad y discontinuidad, materia y energía, es decir, que el término A 
es A y el B es B, pero también ese A es B, es decir, A y B, 
simultáneamente. Es la validez de la cosa y su contradicción coetánea en el 
mismo escenario. Existe un tercer término que está a la vez en A y en No-
A: el reconocimiento de ese legítimo tercer elemento es la Lógica del 
tercero incluido, que se incorpora al esquema clásico aristotélico, 
haciéndolo complejo y difuso. 
 
Actualmente, y proviniendo de los ámbitos de la lógica filosófica y la 
ingeniería de sistemas, se incorpora una importante y esclarecedora 
herramienta de análisis: la lógica multidimensional, y dentro de ella, la 
lógica paraconsistente. La Lógica Multidimensional modela la lógica 
paraconsistente. La lógica paraconsistente admite conclusiones 
contradictorias. Entrecruza sus operadores lógicos “y”, “o”, “no”, “si, 
entonces y sólo entonces” en identidad múltiple, no unitaria. La lógica 
clásica y booleana sólo encuentran paradojas o contradicciones, la lógica 
multidimensional las comprende y hace operaciones con ellas. Asigna 
valores relativos de verdad, al interior de una franja infinita de valores 
intermedios, y no un sólo valor (verdadero o falso). Modela conclusiones 
simultáneas de varios valores e identidades (verdadero y falso), donde el 
valor de verdad estaría entre las probables alternativas, y no en alguna de 
ellas. 
 
La limitación que pueda tener la mentalidad humana permite accesos 
parciales a configuraciones intelectuales o racionales, y lleva a levantar 
marcos universales de referencia. El hombre tiene que pensar dentro de los 
marcos de su medida, lo cual no excluye la visualización de otros marcos 
más elevados dentro de los que tengan cabida la imaginación, la 
especulación y el chispazo intuitivo de adelanto de dimensiones más 
amplias de lo real, terrenal, lo transrreal, lo transrreligioso o lo cósmico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II. LÓGICA BIVALENTE Y LÓGICA TRIVALENTE 
 
La lógica bivalente es una versión modificada y más simple de la lógica 
que se empieza a desarrollar históricamente a raíz de la formulación de la 
“ley del binomio” de Newton, que no hay que confundir, de ninguna 
manera, aunque tenga ciertas afinidades, con la ley de dualidad, bivalencia 
o, en fin, ley del índice. Luego Leibniz, Lambert y después Boole hacen, 
cada uno a su tiempo, una interpretación y una muy buena síntesis para el 
esclarecimiento de las leyes lógicas que estarían subyacentes en esta ley. 
Por tal motivo, haremos una breve exposición de sus ideas más 
importantes. Cabe aclarar, no obstante, que nosotros no podemos saber, a 
ciencia cierta, si Leibniz y Boole eran conscientes en cuanto a que la ley 
de Newton estaba en la base de sus ideas lógicas; en lo que respecta a 
Lambert, la influencia de la misma no puede ser más evidente. 
 
Leibniz entiende la matemática como el estudio de la forma pura, en su 
sentido más propio y simple, que puede aplicarse para el análisis y el 
esclarecimiento de las leyes lógicas; idea anticipada, como muchas otras de 
Leibniz, de lo que después se conocería como estructuras isomórficas. 
Leibniz se propone como meta desarrollar una matemática del pensamiento 
lógico dividiéndola en tres partes fundamentales: 
 
 1.- La característica universal. 
 2.- El cálculo universal. 
 3.- La ciencia universal. 
 
No vamos a entrar en una exposición detallada de cómo ve Leibniz en los 
números primos un correlato matemático de los conceptos lógicos 
primitivos que vendrían a conformar el vocabulario de la característica 
universal, pues no implica mayor dificultad y puede ser consultada 
directamente por el lector en sus escritos lógicos. Lo que sí, en cambio, 
importa saber es cómo Leibniz interpreta, en términos puramente 
matemáticos, la estructura del juicio lógico „Todo S es P‟. El sujeto „S‟, 
término no primitivo representado por un número no primo, debe incluir 
todo lo del predicado, por consiguiente, “S” debe poder dividirse siempre 
por “P”, es decir: S/P = n. Donde „n‟ es un número entero o no primo. En 
otras palabras, „n‟, en última instancia y desde un punto de vista 
estrictamente lógico, es igual a „S‟ que incluye y contiene en sí mismo a 
„P‟, luego „S = SP‟. Esta última consecuencia es importante porque 
Leibniz, a su modo, hace una interpretación interesante de la ley de 
bivalencia (infra), si „S = SP‟, es fácil por simple analogía verificar que se 
trata de dicha ley. La fórmula anterior es una síntesis entre forma 
matemática y forma lógica. 
12 
 
J.H.Lambert (1728-1777) prosigue los intentos de Leibniz de encontrar los 
elementos matemáticos y algebraicos de la lógica clásica, es decir, su 
estructura puramente deductiva y formal. En lo que sigue utilizaremos los 
lineamientos sugeridos por García Bacca, en su libro „Introducción a la 
Lógica Moderna‟, para el esclarecimiento de cómo la ley del binomio y la 
ley de bivalencia presiden todos estos desarrollos. 
 
Empieza, Lambert, sirviéndose del modo como opera el proceso de definir 
una noción, A, que representa a “hombre”, en términos de su esencia, por 
género próximo y diferencia específica; es decir, en Ag (g es el género 
próximo de A) y en Ad (d es la diferencia específica de A), compondrían 
juntos la estructura orgánica de A: 
 
1) A = Ag + Ad, a su vez Ag es también una noción; luego se compondrá 
igualmente por género y diferencia: 
 
 Ag = (Ag)g + (Ag)d, multiplicando los subíndices tenemos: 
 
 Ag = Ag
2
 + Agd, fórmula que sustituyendo en 1), dará: 
 
2) A = Ag
2
 + Agd + Ad, si volvemos a escribir Ag
2
, tomada como noción, 
en términos de género y diferencia, tendremos: 
 
3) A = Ag
3
 + Ag
2
d + Agd + Ad, y así sucesivamente hasta “n”. 
 
Por tanto, hemos encontrado, en términos de género máximo (jerarquía de 
los géneros), la composición orgánica de la noción primitiva „A‟. La 
fórmula, como término general, será: 
 
α. A = Agn + Agn-1d +.........+Ag3d + Ag2d + Agd + Ad. 
 
Nótese que en la fórmula general sólo consta una diferencia específica, Ad, 
aunque haya “n” géneros de diferentes órdenes. Los exponentes no 
representan multiplicación o potenciación, así g
3
 no será (g x g x g ), sino 
género de orden tercero, y así regresivamente desde “n”, hasta llegar al 
género segundo o penúltimo respecto del género próximo a la diferencia. 
 
Lambert es un representante digno de la lógica clásica y por tanto 
antidialéctico, ni siquiera podía haber imaginado y peor aún haber 
concebido el opuesto complementario de „α‟; en otras palabras, de un 
modo semejante a como procedimos con „α‟, podríamos definir la 
composición orgánica de „A‟ en función de la diferencia máxima, o última, 
para lo cual operamos en sentido opuesto al de los géneros, obtenemos así 
13 
 
la fórmula general de las diferencias, que en términos de lógica polivalente 
vendría a ser el siguiente: 
β. A = Ag + Adg + Ad2g + Ad3g +..........+ Adn-1g + Adn. 
 
Podríamos reunir ambas formas de definir „A‟, en función de su 
composición orgánica, α + β, es decir, integrando en A formalmente todos 
los géneros y todas las diferencias, con lo cual obtendríamos: 
 
γ. A = Agn + Agn-1d +.........+Ag3d + Ag2d + Agd + Adg + Ad2g 
 
 + Ad
3
g +..........+ Ad
n-1
g + Ad
n
. 
 
 
En honor a la verdad, tampoco García Bacca, en el libro citado, desarrolla 
el opuesto complementario, que acabamos de deducir en función de nuestra 
lógica, lo que podría interpretarse como un hallazgo teórico propio de 
nuestra cosecha; es, por deciralgo, un libro de juventud y en consecuencia 
no topa, ni siquiera tangencialmente la idea de la polivalencia lógica, lo que 
sí hizo, García Bacca, en sus escritos lógicos de la madurez. 
 
Para concluir este apartado, sobre lógica bivalente, queremos hacer notar 
que, nuestra intención fundamental del mismo, se resume en hacer evidente 
la identidad estructural, tanto de los procedimientos lógicos de Leibniz 
como de Lambert, en función de un principio lógico-matemático 
subyacente, la ley del binomio de Newton. Vale también, como corolario 
último, indicar que en el Tractatus de Wittgentein hay una suerte de 
entendimiento binomial de la lógica en las proposiciones 4.27 y 4.42, en las 
cuales adelanta las dos fórmulas siguientes, que “consignarían la 
especificación de todas las proposiciones elementales verdaderas que 
describirían el mundo completamente”: 
 
 
 n 
 
 
 1) Kn = Σ (n, v
 
) ↔ (2
n
) 
 v = 0 
 
 
 
 Kn 
 
 
 2) Ln = Σ (Kn, K
 
) ↔ (2
2 a la n 
) 
 K = 0 
 
 
14 
 
Y cuyos desarrollos algebraicos determinan los coeficientes numéricos de 
la ley del binomio. 
 
Por ejemplo, para el desarrollo de: 
 
Kn = (n, o) + (n, 1) + (n, 2) + ... + (n, n-1) + (n, n) 
(n, 0), (n, 1)…etc., significan n dividido por 0, n dividido por 1 …etc. 
 
Suponiendo estas definiciones: (1, 0) = 1; (2, 1) = 2 ÷ 1 = 2; (2, 2)= 2 x 1 ÷ 1 x 2 = 1 
Para el caso de n = 2, tendríamos K2 = (2, 0) + (2, 1) + (2, 2) = 1 + 2 + 1, 
valores estos últimos que son los coeficientes numéricos, o binomiales, de: 
 
( a + b )
2
 = 1a
2
 + 2ab + 1b
2
. Es decir, el binomio de Newton en su versión más 
simple. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
III. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE VERDAD 
 
Una función „f‟ se define como un método efectivo que permite asignar a 
cada elemento „x‟, conjunto imagen, de su ámbito de variabilidad, un solo 
elemento „y‟ de su ámbito de valores, conjunto argumento. Formalizando: 
f(x) = y, es decir, en lenguaje natural, „f‟ de „x‟ es igual a „y‟, o el valor de 
la función „f‟ de argumento „x‟ es igual a „y‟. 
Una conectiva cualquiera se llama extensional cuando el valor de verdad de 
la proposición molecular que determina depende de los valores de verdad 
de las proposiciones atómicas que relaciona. Se dice que las conectivas 
extensionales son funciones de vedad porque permiten asignar a cada 
elemento de su ámbito de variabilidad (unidades o pares de valores de 
verdad), un único elemento de su ámbito de valores (la verdad o la 
falsedad, para la lógica bivalente, o cualquier grado de verdad para las 
polivalentes). El que los elementos del ámbito de variabilidad sean 
unidades o pares de valores, depende de que la conectiva sea monádica, 
como la negación, o diádica, como en el caso de las otras conectivas o 
conectores extensionales conocidos. 
Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que 
podemos destacar las siguientes: 
 Algebraica 
 Por tabla de verdad 
 Numérica, y otras. 
El uso de una u otra, como lo estamos comprobando, dependerá de las 
necesidades concretas en cada cuestión a ser analizada desde un punto de 
vista lógico. Lo novedoso, en nuestro trabajo, es haber ubicado una forma 
matemática específica, la forma general del binomio, que subyace a todo un 
grupo de leyes y formulaciones lógicas, (proposiciones y conectores 
diádicos: la coyunción y la disyunción, por tomar dos casos ejemplares). 
Las „cosas‟ a las que se aplican, en nuestra concepción de la lógica como 
disciplina filosófica, las funciones de verdad no son sólo las 
„proposiciones‟, sino a todas las cosas existentes. De todas maneras, desde 
hace un buen tiempo atrás, nosotros habíamos notado la profunda relación, 
por no hablar de abierta identidad, entre las matrices de verdad, como 
prueba de validez de los conectores lógicos, y ciertas leyes matemáticas ‒
suma de productos y producto de sumas-, sencillas, como la ley del 
binomio y el teorema de Pitágoras. Pasamos a dar dos ejemplos simples, 
desde la lógica bivalente, de esta relación entre las tablas de verdad y su 
forma algebraica. 
16 
 
Una tabla de verdad debe contener todos los valores posibles de una 
función lógica determinada como las que a continuación anotamos: 
 
1. F = A‟BC‟ + AB‟C‟ + AB‟C + ABC‟, suma de productos. 
2. F = (A + B + C) (A + B + C‟) (A + B‟ + C‟) (A‟ + B‟ + C‟), producto de 
sumas. 
La coma que acompaña, como índice de las letras mayúsculas, significa 
que su valor es igual a cero, A‟ = 0; en caso contrario, A = 1. Cuyos rangos 
de valores dependen del número de sus variables. Estas dos formas 
algebraicas son expresiones canónicas: de suma de productos, la una, y de 
producto de sumas, la dos; su característica principal es la aparición de 
cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o 
productos. Simplificando, las tablas de verdad son como una síntesis y 
combinación lógica entre la suma y la multiplicación y viceversa. El 
número de combinaciones posibles para una función de „n‟ variables 
vendrá dado por 2
n
, para la bivalente; o 3
n
, para el caso de una lógica 
trivalente.
 
La siguiente tabla corresponde a las dos funciones lógicas 
anotadas: „2
3
= 8, ocho columnas‟. 
 
A 1 1 1 1 0 0 0 0 
B 1 1 0 0 1 1 0 0 
C 1 0 1 0 1 0 1 0 
F 0 1 1 1 0 1 0 0 
 S
4
 S
3
 S
2
 S
1
 
 
S
1
 = A‟BC‟; S
2
 = AB‟C‟; S
3
 = AB‟C; S
4
 = ABC‟. 
 
La manera más cómoda de ver la equivalencia entre una tabla de verdad y 
una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. 
Así, la función canónica de suma de productos, F = A‟BC‟ + AB‟C‟ + 
AB‟C + ABC‟, nos indica que será “1” cuando lo sea uno de sus 
sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones 
(010 para A‟BC‟ o S
1
; 100 para AB‟C‟ o S
2
; 101 para AB‟C o S
3
; y 110 
para ABC‟ o S
4
) siendo el resto de combinaciones 0. La fila F, es la función 
de equivalencia o el resultado de las operaciones lógicas en cuestión. 
Con la función canónica de producto de sumas: 
 
17 
 
 F = (A + B + C) (A + B + C‟) (A + B‟ + C‟) ( A‟ + B‟ + C‟), 
se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la 
función será “0”, cuando sea cero uno de sus productos. 
 
IV. MATRIZ DE RELACIONES BIVALENTES (Urdimbre y Tapiz) 
 
Ley de Bivalencia o de Tercero Excluido („p o Np‟: o bien „p‟ o „no-p‟). 
Su número de operadores lógicos es 2
2 a la 2
 = 4
2
 = 16 
 
Fn Fn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
V V V V V V V V V V F F F F F F F F 
F V V V V V F F F F V V V V F F F F 
V F V V F F V V F F V V F F V V F F 
F F V F V F V F V F V F V F V F V F 
 
 
V. MATRIZ DE RELACIONES TRIVALENTES (Urdimbre y Tapiz) 
 
Ley de Trivalencia o de Tercero Incluido: ˹F(p o Np)˺˹p y Np˺, que traducida en 
lenguaje natural significa: 
 
 Si es falso totalmente que „p o Np‟, entonces es verdad que „p y Np‟, dicho en otras 
palabras se acepta que hay contradicciones verdaderas, siempre que el functor monádico 
„N‟ sea la negación simple y no „F‟, la supernegación. Su número de operadores lógicos 
es 3
3 a la 3
 = 27
3
 = 19683. Es decir, en lógica trivalente tenemos 27 modos de combinarse 
los tres valores de verdad y 19.683 operadores lógicos. 
 
 ƒn ƒn 
 
 Fn 1 2 3 4 5 6 7... 6522 ... … … … … ... 13043 ... … … … .. n=19683 
V V V 6521V V V V V V V... 6521VF ...VF VF VF VF VF VF... 6521F ...F F F F F... F 
V VF F 2187V V V V V V V... 2187VF ...VF VF VF VF VF VF... 2187F ...F F F F F... F 
V F VF 729V V V V V V V... 729VF ...VF VF VF VF VF VF...729F ...F F F F F... F 
VF V F 243V V V V V V V... 243VF ...VF VF VF VF VF VF... 243F ...F F F F F... F 
VF VF VF 81V V V V V V V... 81VF ...VF VF VF VF VF VF... 81F ...F F F F F... F 
VF F V 27V V V V V V V... 27VF ...VF VF VF VF VF VF... 27F ...F F F F F... F 
F V V 9V V V V V V V 9VF ...VF VF VF VF VF VF... 9F ...F F F F F... F 
F VF V 3V V V VF VF VF F.... 3VF ...VF VF F F F VF... 3F ...V.
...F 
VF VF F F... F 
F 
(*) 
F F 1V VF F V VF F V.... 1VF ...F V VF F V VF... 1F ...V VF F V VF..
. 
F 
 
18 
 
(*): La Matriz de Distribución de los Valores se realiza en base al teorema de Pappus, y no en función de 
su real tabla de valores que, en este caso, serían 27 combinaciones lo que elevaría, el total de 
distribuciones aléticas, a un número increíblemente grande (19.6833 = 7‟‟.625.597‟.484.987, cuya gráfica 
se despliega en la infinivalencia: imagen casi infinita que muy bien podría representar al universo en su 
conjunto). El Teorema de Pappus, nos dice: “Tres puntos situados en dos líneas paralelas, al ser unidos 
entre sí, se cruzan en tres puntos en el centro, determinando una tercera línea y configurando la estrella 
seis puntas”. 
 
 
19683 Operadores divididos para tres valores: 6521 (1) 
 
6521 dividido para 3: .......................................2187 (2) 
 
2187 dividido para tres: .....................................729 (3) 
729 dividido para tres: .......................................243 (4) 
243 dividido para tres: .........................................81 (5) 
81 dividido para tres: ...........................................27 (6) 
 
27 dividido para tres: .............................................9 (7) 
 
9 dividido para tres: ...............................................3 (8) 
 
3 dividido para tres: ...............................................1 (9) 
 
 
El número „19.683‟ de operadores lógicos, que nos ha posibilitado 
construir la matriz anterior, coincide con el número, dado por el 
investigador boliviano, Guzmán de Rojas, en sus estudios sobre la lógica 
trivalente de la lengua aymara; aunque no explica cómo lo obtuvo, razón 
por la cual, así pensamos, no pudo ni siquiera sospechar que podía ser 
traducido a una matriz de relaciones lógicas, en forma análoga a la que se 
propone para la lógica clásica, con todas sus consecuencias. 
Recientemente, hemos descubierto que el número real no es „19.683‟, sino 
el número increíble de: (19.683)
3
 = 7‟‟.625.597‟.484.987, siete punto seis 
Billones de Leyes Lógicas, puesto que la tabla de verdad correspondiente a 
los tres valores de verdad, V-VF-F, o 1-1/2-0, requiere de 27, „3
3
‟, 
combinaciones posibles. 
 
Ampliación, del número total de leyes lógicas, desde la trivalente a la 
infinivalente: 
 
(7‟‟.625.597‟.484.987) ↔ (3
3 a la 3
) ↔ (x
x a la x
) ↔ (n
n a la n
) ↔ (∞
∞ al ∞
). 
 
19 
 
Matriz algebraica del Teorema de Pappus: se tienen tres valores, por tanto su matriz 
es de “3 x 3 x 3, o 3
3
 = 27”. 
 
ƒn V1 V1 V1 ƒn¨ V1 V2 V3 ƒn¨¨ V1 V2 V3 
 V1 V2 V3 V2 V2 V2 V2 V1 V3 
 V1 V3 V2 V3 V2 V1 V3 V3 V3 
 
 
Abstrayendo la ley de la Matriz anterior, valores en rojo, tenemos: 
 
 
De ƒn: V1 V1 V1 De ƒn¨ V2 De ƒn¨¨ V3 
 V1 V2 V2 V2 V3 
 V1 V2 V3 V3 V3 
 
 
 
Si ahora abstraemos los valores subrayados, se determinan las tres líneas 
horizontales, con sus tres respectivos puntos que, al ser unidos, se 
configura la estrella de seis puntas o figura geométrica de Pappus: 
 
V1 V1 V1 
 
V2 V2 V2 
 
V3 V3 V3 
 
 
Representación geométrica de la Figura de Pappus: 
 
 
 V1 V1 V1 
 
 
 V2 V2 V2 
 
 V3 V3 V3 
 
 
 
El rombo del centro de la estrella reproduce la forma del dispositivo 
poiético (máquina semiótica-poética: productora de metáforas al infinito); 
enriquece, asimismo, el contenido lógico-poético del punto sobresaturado. 
20 
 
Podemos concluir que el espacio de la metáfora, analógicamente hablando, 
es siempre un espacio de naturaleza lógico-matemático. 
 
VI. PRINCIPIOS ESTRUCTURALES DE LA DIVISIÓN. 
El algoritmo de la División y la relación de Continente a Contenido 
 
Elementos estructurales de la división: divisor, es el número que divide; 
dividendo, es el número a dividir; cociente, es el resultado de la división; 
residuo, es lo que queda por debajo. El algoritmo de la división, dice: 
cociente por divisor más el residuo es igual al dividendo. Si tenemos la 
fracción 12/3 = 4, doce (12), el continente, contiene cuatro (4) veces al tres 
(3), el contenido; recíprocamente, el tres está contenido cuatro veces en 
doce. 
Además se postula para la división la siguiente propiedad: 
Propiedad Conmutativa de la División. 
Esta propiedad nos dice que si en una igualdad ( a/b = c ), cambiamos el 
divisor (b) por el cociente (c), también se cumple esta nueva igualdad ( a/c 
= b, por ejemplo en „8/2 = 4 y 8/4 = 2‟, la „b‟ es igual a „2‟). Asimismo de 
esta propiedad podemos entresacar los siguientes principios que 
caracterizan dicha propiedad: 
 
 Principio de equivalencia: 
En cualquier división, el dividendo contiene „N‟ veces al cociente, 
siendo el mismo „N‟ el divisor, y si „N‟ = x, entonces „x/ x = 1 x‟. A 
partir de este principio, de equivalencia, podemos sacar la siguiente 
importante consecuencia: Cualquier número, elemento, sistema, 
idea, o cualquier otra cosa, dividida por sí misma nos da la unidad 
„1‟. 
 Principio referencial. 
En toda división, el cociente toma como referencia de reparto a la 
unidad „1‟, y ésta será siempre considerada de forma tácita. 
 Principio que da cuenta de las operaciones con el Conjunto 
Vacío. 
El conjunto vacío es un conjunto sin elementos que puede ser 
representado por el cero ( 0 ), pero sigue siendo un conjunto y por 
tanto puede ser sometido a operaciones de conjuntos. El cero, „0‟, 
será el conjunto vacío por excelencia. 
 
21 
 
Cuando operamos con conjuntos vacíos por lo normal nos fijamos 
únicamente en el resultado de sus elementos componentes que, al carecer 
de ellos, los datamos como cero. Pero olvidamos algo esencial, y es del 
número de conjuntos vacíos con los cuales estamos operando. Si tomamos 
un vaso vacío, cuyo contenido es „0‟, y lo multiplicamos por 3, el resultado 
real será que tenemos 3 vasos vacíos, pero el resultado parcial será que, por 
estar vacíos, el total en número de sus elementos es „0‟. Ejemplo, si 
ejecutamos la siguiente multiplicación, en términos algebraicos y luego en 
términos concretos (con vasos vacíos): 
 
 „0 x (X)‟ = 0‟, si X = 3: 
 „0 x 3 = 0‟, correcto. 
 
 0 X 3 = 0 , parcialmente correcto. 
 
 0 x 3 = 0 + 0 + 0 , correcto. 
 
De igual manera ocurre si sumamos tres conjuntos vacíos, sólo será 
parcialmente correcto el afirmar que su suma es igual a cero, ya que en 
verdad tendríamos tres conjuntos vacíos, de contenido „0‟. 
 
 0 + 0 + 0 = 0, correcto. 
 
 0 + 0 + 0 = 0 , parcialmente correcto. 
 
Así que en este último caso la operación se ajusta y se da un resultado sólo 
desus elementos, pero olvidamos que se está usando un grupo o serie de 
conjuntos (vacíos). Tal resultado, siendo parcial, tiene su importancia, pues 
este método de multiplicar entre conjuntos vacíos luego es generalizado sin 
distinción como una propiedad y justificación de lo que se está ejecutando: 
“si multiplicamos „cero‟, por cualquier número, „X‟, tenemos como 
resultado „cero‟: „X‟ x „0‟ = 0”. 
Y claro, al tomar como principio y explicación a un resultado parcial y no 
al resultado total de la operación, se termina por aceptar principios de 
indeterminación que en realidad no existen, sino sólo en matemática pura y 
su lógica (clásica). 
22 
 
Lo mismo acontece para la operación inversa, la división: si dividimos tres 
vasos de contenido vació, con cero elementos, para tres, tenemos como 
resultado total un vaso vacío y no cero o indeterminado: 
 
 
 
 0 + 0 + 0 
 = 0 
 3 
 
 „0 + 0 + 0‟ = 0 
 3 
 
Si sustituimos, en fin, la „X‟ que representaba a cualquier número, por 
cuatro y uno, se obtiene „1x0 = 4x0 = 0‟, estamos aceptando que ambos 
términos son idénticos, cuando no lo son, pues en el primero hay solamente 
un conjunto vacío y en el segundo hay cuatro conjuntos vacíos, aunque el 
número de elementos contenidos, el cero, sea igual en ambos términos de la 
igualdad, como vimos en el ejemplo de los tres vasos vacíos, de contenido 
cero. Cuando operamos de este modo (X x 0 = 0) debemos de convenir, 
siempre, en que estamos operando parcialmente y sólo con relación a los 
elementos de los conjuntos vacíos que estamos usando. De igual manera, 
debemos aceptar que dicha operación es parcialmente indeterminada, 
puesto que tres conjuntos vacíos no puede ser lo mismo que un conjunto 
vacío. Y por esta misma razón no podemos usar este tipo de postulados 
para concluir que „0/0‟ sea una operación indeterminada. 
Según el principio de equivalencia, tenemos „X/X = 1‟. En donde „X‟, 
repitamos nuevamente, puede ser cualquier cosa: una estructura, un 
concepto, un número, una relación : ˹0/0 = 1˺; ˹ / = 1˺; ˹a/a = 1˺; ˹/ = 
1˺. Una figura como el cuadrado dividido por sí mismo es igual a la unidad, 
es decir, a un otro cuadrado pero evidentemente más pequeño, esta 
diferencia en tamaño es descartada en lógica clásica. 
 
 
 
 = 1x ; = 1x , normalmente el „1‟ no se coloca. 
 
 
 
23 
 
La división ˹0/0 = 1˺, es una aparente contradicción pues se entiende, según 
el principio de equivalencia, que debería ser igual a cero. Si se quiere 
averiguar el resultado concreto de la división de „0/0‟, se debe plantear la 
ecuación siguiente: 
 
˹0/0 = 1X˺, con lo cual, ˹0X = 0˺. 
Se observará, adicionalmente, que cero e infinito, considerados como 
relaciones, no son del tipo de „uno a uno‟. Cero es una relación de „uno a 
varios‟, e infinito es una relación de „varios a uno‟ (Aritmética de la 
Relación). 
 
 La „X‟, acompañada de la unidad de modo tácito, denota también lo 
indeterminado (no hay que olvidar nunca, en matemática pura, que el „1‟, 
el „0‟ y el „‟, no son simples números sino meta-números, siendo números 
están más allá del número. Es decir, „X‟ al ser cualquier número, incluido 
el mismo cero, lo que nos daría el extraño resultado ˹00 = 0˺, de donde „0
2
 
= 0‟. De esta forma cualquier número multiplicado por cero cumplirá el 
resultado de dicha ecuación, siendo por tanto tal solución a esta división 
(0/0) siempre indeterminada. 
 
Ahora bien, esta solución a la división entre ceros parece incorrecta, o 
ilógica. Para entender plenamente la división hay que tener en mente la 
multiplicación, porque indistintamente, se aplica la norma o ley única de la 
multiplicación a la división; pero al ser „0/0‟ una división deberíamos 
esperar aplicar normas, propiedades y leyes propias de la división. La 
propiedad estructural más importante de la división es precisamente la 
relación o el principio de equivalencia y sus consecuencias. 
 
Siguiendo este razonamiento, la conclusión de que „0/0‟ es indeterminada y 
que cualquier número debería cumplir esta condición es, como dijimos, a 
todas luces incorrecta, puesto que si, ˹0/0 = 5˺, entonces, según el principio 
de equivalencia, el dividendo, que en este caso es 0, tendría que ser cinco 
veces superior que el divisor, y como se ve esto no es así porque ambos son 
ceros. Por tanto, para que se cumplan las condiciones de la división, 
principio y consecuencias, es necesario que cero sobre cero sea igual a uno, 
˹0/0 = 1˺, de esta forma se obtiene lo siguiente: cualquier número dividido 
por sí mismo nos da la unidad „1‟; 3/3 =1; 5/5 =1; 0,7/0,7 =1, etc. No 
debemos, por este motivo, atribuir siempre al „0‟ otras propiedades, ni 
tampoco al infinito. En otros términos, el cero es también un número como 
los demás, pero infinitamente chico; y, el infinito, es un número pero, 
asimismo, infinitamente grande. En la división de números iguales el 
resultado es igual-a-la-unidad, pero de „uno‟ mismo, para ser enteramente 
matemáticos, y no del todo, lógicamente hablando, cuando se trata de „U-
24 
 
NO‟, pues su núcleo es dialéctico o contradictorio. En todos los demás 
casos,-si-el-dividendo-y-divisor-son-diferentes, no-equivalentes o iguales,-
el-cociente nunca será „1‟. 
 
En el primer caso, entendiendo a cero como meta-número, se puede decir 
que el „0‟, como dividendo, contiene 1(una) vez la unidad, como cociente, 
y al „0‟ también como divisor, luego ˹0/0 = 1˺, resultado diferente, o igual 
tal vez, de ˹0/0 = 1(0)˺. Esta propiedad de equivalencia o igualdad, entre 
dividendo y divisor, cuando el cociente es la unidad, „1‟, es posible 
generalizarla a cualquier otro elemento, no importando su naturaleza; si al 
cero, lo interpretamos como si fuera un círculo, la división entre dos 
círculos nos dará siempre la unidad „1‟ y no otro círculo, pero esto 
contradice lo que nos dice el sentido común, si divido nada (cero o círculo) 
entre nada, entonces no estoy dando nada, o ˹0/0 = 0˺. Esta contradicción, 
como veremos más adelante, la hemos detectado y está presente en el 
centro mismo de la ley de bivalencia, y es posible que sea el fundamento 
del principio de indecibilidad que caracteriza a los sistemas axiomáticos, 
estudiado en los años veinte del siglo pasado por Godel. 
 
Insistamos, el fundamento de la traslación de esta propiedad a cualesquiera 
otros elementos es debido a que la propiedad de equivalencia de la división 
afirma igualdad entre dividendo y divisor cuando el resultado es „1‟. Luego 
si tenemos dos elementos, de naturaleza física idéntica, dos vasos, como 
dividendo y divisor y dicha división nos da la unidad, esto quiere decir que 
los elementos físicos que intervienen en la división son iguales o 
equivalentes. Y viceversa, la unidad es el resultado de la división entre dos 
elementos iguales o equivalentes. Así, si tenemos dos elementos 
desconocidos „V‟ y „F‟ pero sabemos que cumplen la ecuación V/F =1, 
entonces sabemos que son elementos equivalentes o iguales (en el límite) o 
en, el caso contrario, que no son iguales. 
 
De la igualdad „0/0 = 1(0)‟, entendida como división entre círculos, 
obtenemos, multiplicando por círculo o cero ambos miembros, las 
siguientes relaciones: 
 
 0 = 1(0) x (0) 
 0 = 1(0)2 
 0 = 02, equivalente a la ley del índice: x = x2. 
 
La „x‟, como hemos visto, puede ser cualquier número o cosa. En las 
operaciones lógico-matemáticas (0/0 =1; infinito/ infinito = 1; 
elemento/elemento = 1), sus soluciones particulares tienen preeminencia, 
por sobre las operaciones, comúnmente aceptadas, con los otros números 
25 
 
de la aritmética elemental;debido a que los términos cero, infinito, 
elemento, o cualquier cosa, en lógica, no son o no representan valores 
numéricos concretos –aritmética común y corriente- y sólo se concretizan y 
se determinan así cuando se comparan –aritmética de la relación- con ellos 
mismos, en cuyo caso habrá igualdad entre dividendo y divisor. Por tanto, 
las operaciones que con ellos se ejecuten carecen de las propiedades de los 
otros números (suma, multiplicación, etc.). 
 
La Unidad, como Propiedad Referencial, es la Característica Formal 
de (U-NO) 
 
En toda división, el cociente toma como referencia de reparto a la unidad 
„1‟. Esto significa que, sin importar si el dividendo a repartir es superior a 
la unidad o inferior, siempre se tomará el resultado como “cantidad que le 
correspondería a la unidad”. Si dividimos 60 dólares entre 5 personas le 
corresponderán 12 dólares a cada U-NO (12 dólares a 1). Esto se 
comprende fácilmente. Pero si dividimos ½ tarta entre una ½ clase de 
estudiantes, en sentido tácito, la división nos dirá cuánto caben a 1(una); 
pero, no es que a la media clase de escolares le corresponda un pastel 
entero, sino que el cociente resultante es para cada unidad y, en 
consecuencia, lo que nos dice la división es que a una clase entera de 
escolares le correspondería un pastel. 
 
Del mismo modo, si dividimos 4 dólares entre 0,5 (4/0,5 = 8) no quiere 
decir que a 0,5 le corresponden 8, sino que sería a la unidad a quien 
corresponde 8. Es esto último lo que, en verdad, se quiere decir cuando „0/0 
= 1‟. No que al divisor (0) le corresponde la unidad 1, sino que al ser 
dividendo y divisor iguales, a cada unidad sobre “la que se reparte” le 
tocaría una unidad “de lo que se reparte”. Así si repartimos 0 dólares entre 
0 personas (0/0 = 1), no quiere decir que a cero personas le toque un dólar, 
sino a la unidad de referencia (u-na persona, en sentido tácito) le tocaría un 
dólar. En conclusión, vemos que las divisiones de números racionales son 
porcentajes a la unidad, tanto por unidad; „0/0 = 1‟ es también un 
porcentaje a la unidad, U-NO por cada unidad: „0 = 1 x 0; 0 = 0‟. 
 
Es muy interesante resaltar esta singular propiedad del cero, „0 / 0 = 
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)x‟, „x‟ puede ser cualquier número, pero escojamos el cero lo 
que nos daría: „0/0 = (un cero, cero veces más pequeño que) 0‟, escrito en forma breve: 
„0/0 = 1(un)0‟; cuando cero se divide por sí mismo revela su naturaleza, no 
de un simple número, sino de un meta o hipernúmero (los subíndices 
numéricos de „X‟, están revelando la existencia muy interesante de una 
matemática subyacente, o tácita, que acompaña a la explícita). Cualquier 
cosa material, cuando se la concibe dividida por sí misma, indudablemente 
26 
 
no es igual al número “1”, en sentido abstracto, sino a la misma (una) cosa 
aunque disminuida o potenciada. 
 
Un cuadrado dividido por un cuadrado sigue siendo igual a un cuadrado, 
pero acaso más pequeño; o, también, al contrario, un cuadrado potenciado 
al cuadrado sería un cuadrado más grande. Lo mismo podríamos afirmar, si 
es posible concebir tal división, de un hombre dividido por sí mismo nunca 
sería igual al „uno‟, sino un (U-NO) hombre, pero, tal vez, disminuido o 
potenciado. En los fractales, esta propiedad singular de la división, se 
conoce como homotecia; en la técnica del holograma, es conocida, 
también, esta propiedad cuando, al recortar un trozo de película 
holográfica, aquél preserva la imagen original de ésta, pero más pequeña. 
 
Según el matemático y filósofo francés René Guenón, la postulación 
aritmética de los números negativos, en su naturaleza enteramente 
contradictorios, evidencian la imposibilidad de su existencia, aunque de 
alguna manera tienen que poseer „ser‟ puesto que son indispensables para 
el completo funcionamiento del sistema de coordenadas. Al graficar en la 
recta real los números negativos y positivos, que más bien parece una recta 
bastante irreal (surreal, sub-real y anti-intuitiva), se hace necesario estudiar 
detenidamente con argumentos claros y, en lo posible sencillos, las 
complicaciones, que presenta la recta numérica en su relación con la 
representación lógica binomial, el sistema se configura así: 
 
 0 
 -∞ .… -3 -2 -1 +1 +2 +3 ….+∞ 
 
Se puede apreciar, en la recta anterior, que parece lógico suponer que „-3‟ 
es mayor que „-2‟ y éste es mayor que „-1‟; pero, es al contrario, „-1‟ es 
mayor que „-2‟, mayor que „-3‟, mayor que „-4‟ y, en el límite, muchísimo 
mayor que „-n‟ („-n‟ se identifica con el „-∞‟). Lo que tiene como 
consecuencia, que „-2‟, intuitivamente hablando, debería encontrarse al 
interior de „-1‟, como fracción negativa, justo en el punto medio; „-3‟, en la 
mitad del lado derecho de „-2‟, en el 1/4; „- 4‟, en la mitad del lado derecho 
de „-3‟, en el 1/8; y así hasta el „- n‟, cuyo punto, o fracción negativa con 
denominador siempre par, estará situado, en la recta, en la mitad del lado 
derecho de „ –n+1‟, en el (1/2 de „-n+1‟): 
 
 
 
 Giro de 1800 hacia arriba 
 
 
 -1 -2 - 3 - 4 +1 
27 
 
 0 
 - ½ -¼ -1/8 
 
 
En el límite, el „-n‟, equivalente a „-∞‟, sería igual a „0‟, según se aprecia 
en la recta, números en rojo; esto es así, porque el „- ∞‟, en realidad, es el 
número negativo infinitamente menor con relación a „-1‟; o, mejor, tiene 
una carga negativa infinitamente menor que „-1‟. Las sucesión creciente de 
cifras significantes en la recta numérica, con la cual regularmente operamos 
(„-2‟, „-3‟, „-4‟, „-5‟. ….. , „- ∞‟), como se ve es pura apariencia, ya que 
para que puedan determinar un contenido significativo, cada vez más 
negativo, tienen que, al contrario, disminuir cada vez más su valor 
numérico con respecto a „-1‟, que es el totalmente negativo (aumentan-
disminuyendo); por este motivo, si mis razonamientos son correctos, deben 
efectuar un salto al „vacío‟, como cambiando de dimensión en otro plano, 
dando un giro hacia arriba de 180
0
 y teniendo como punto de giro el „-1‟. 
Sólo entendido así, el número „- ∞‟, podría ser equivalente, de modo 
provisional, a lo totalmente falso (F); pero justo antes, en el enésimo, 
menos uno, número negativo, lo positivo, o la verdad, se hace infinitesimal, 
arribando a su grado ínfimo, o „F
n-1
V
1
‟. Los valores lógicos de la 
representación binomial, si bien aparecen asociados a cada punto de la 
recta, no presenta tales ambigüedades, puesto que cada valor lógico no es 
un simple número aislado, sino un par ordenado, en el plano complejo. 
Cada grado de verdad está compuesto por dos valores algebraicos, el uno 
en una sucesión decreciente y el otro en una creciente, y viceversa. 
 
Por el otro lado, ocurre precisamente lo contrario, cualquier cifra 
fraccionaria, desde el „-1/2‟ hasta el „-1/∞‟, es mayor que „-1‟, puesto que 
empiezan a poseer cada vez más un algo o grano de verdad; demostrando 
en todo caso, de forma evidente, que el „-1‟ es el único número con el 
mayor potencial negativo, lo totalmente falso (F); las „cifras significantes‟, 
las fracciones negativas decrecientes, tienen un „contenido o significado‟ 
cada vez más positivo, o tienen un potencial negativo cada vez menor que 
„-1‟ (decrecen-aumentando). La fracción „-1/∞‟, en el límite, sí es igual a 
„0‟, y a partir de ahí, del „0‟, como punto neutro, se suceden los números 
positivos (+1, +2, +3,+ 4, …, +∞), con su respectiva carga creciente de 
verdady decreciente de falsedad; y, finalmente, posicionados ya en el otro 
límite, no de „0‟ sino de „+∞‟, la positividad se hace totalmente verdadera 
(V); pero antes, en el enésimo, menos uno, lo negativo, o la falsedad, se 
hace infinitesimal, arribando a su grado ínfimo, o „F
1
V
n-1
‟. De esta forma, 
lo negativo siempre estará presente, como sombra, en lo positivo, excepto 
en lo totalmente positivo y viceversa. Esta última reflexión, permitiría 
introducir, según la lógica de Peña, la constante „', tal que v()=n∞, con 
28 
 
los siguientes rasgos: son tautologías: „‟, „ →p≡p‟, vale este secuente: 
Bp sys B p. „‟es el enunciado infinitamente más verdadero de los 
verdaderos, o el infinitamente más verdadero de los que no son deltodo 
verdaderos. 
 
El análisis anterior está denunciando que, los números negativos, son 
también meta-números o hiperreales, necesarios únicamente para el 
correcto funcionamiento de un sistema. Valga esta digresión sobre los 
números negativos, sobre todo si tomamos en cuenta que ciertas lógicas 
multidimensionales como las “transitivas”, en sus modalidades 
paraconsistentes (aquellas que aceptan más de un valor designado o 
afirmable y no sólo el „1‟ o „V‟, en el límite infinitos; así como su 
contrapartida, infinitos valores antidesignados o negables; al tiempo que 
rechazan la versión débil del principio de Cornubia, ˹(p ˄ Np) → q˺, esto es 
dada una contradicción afectada por el functor de negación débil “N”, no se 
obtiene como inferencia cualquier proposición), parece como si, al 
momento de formalizar los grados de verdad, lo hicieran dentro del 
intervalo, „0 y el ∞‟, incluidos ambos, siendo el „∞‟ infinita falsedad y el 
„0‟ total falta de falsedad, es decir, plena verdad, sin percatarse, 
conscientemente, así parece, de esta singular forma de ser de los números 
negativos. Lo que sí queda totalmente claro es que, entre „0‟ y „1‟, entre „1‟ 
y „2‟, etc., etc., el sistema lógico binomial propuesto necesariamente debe 
funcionar con exponentes fraccionarios. 
 
No obstante, para que todas las operaciones, entre números positivos y 
negativos, siempre sean posibles de ejecutar con lógica, habría que 
suponer, algo arbitrariamente, pero en todo-nada bien justificado, que la 
distancia, entre „0‟ y „-1‟, siempre estarían expandiéndose, en proporciones 
iguales a las que se estarían dando entre las distancias que se cubren en los 
números positivos, entre „0‟ y „1‟, entre „1‟ y „2‟, etc. etc. El menos dos, „-
2‟, por ejemplo, intuitivamente, al ser menor, cuantitativamente, que „-1‟, 
estaría situado en algún lugar, como hemos dicho, tal vez en el punto 
medio, al interior de la distancia que se da entre „0‟ y „-1‟; y tendría, por así 
decir, dos propiedades: por una parte, sería el número negativo casi 
infinitamente más grande, inmediatamente delante de „-1‟, antes del giro de 
180
0
; por otra parte, el „-2‟, de la recta de los números reales, comúnmente 
reconocida por los matemáticos, tendría, también, que ser identificado con 
el segundo número infinitamente más negativo, después del „-1‟ (el más 
cercano a „0), a igual distancia, pero en sentido opuesto, en que esté situado 
„+2‟, el siguiente de „+1‟. Es como si, por arte de magia, no hay otra forma 
de entenderlo, la „distancia infinita‟, existente entre „0‟ y „-1‟, volviera 
sobre sí misma, como mordiéndose la cola, transmutándose en la escala 
normal negativa: „-∞‟, .…., „-4‟, „-3‟, „-2‟, „-1‟. Con la puesta en existencia 
29 
 
de los números negativos se hace patente, acaso, más que en ninguna otra 
parte de la aritmética, la intervención de una lógica contradictorial y no de 
la identidad. 
 
En base a la interpretación de los números reales, incluidos los negativos, 
arriba graficados, si se toma, meta-numéricamente hablando, al número „1‟ 
como referencia, y haciendo corresponder, para ubicar cualquier número „r‟ 
e inclusive el opuesto de „1‟ (habría que suponer que lo mismo acontece 
con toda la serie: „2‟, „3‟, „4‟, …, „n‟, puesto que entre „1 y 2‟, entre „2 y 3‟, 
etc., asimismo, hay infinitos números), no es el punto equidistante o medial 
de ningún número, sino sólo a condición de tomar el inverso de cada 
número „r‟ pero en el campo de los números negativos (el -2, el -3, el -4, 
…., -„n‟.), „1/r‟, o „1/2r‟para ser más precisos, por cuanto el denominador 
siempre es un número par. 
 
Únicamente así se podría interpretar, a la función del inverso (como se 
aprecia, de modo claro y evidente, a simple vista, en la recta de arriba), en 
relación a „1‟, como teniendo la propiedad de la negación simple o débil; y 
no como se afirma, según algunos defensores de las lógicas transitivas: 
“…Como primer paso, tomemos como valores de verdad todos los números 
reales en el intervalo entre 0 y ∞, ambos inclusive, siendo ∞ infinita 
falsedad y 0 total falta de falsedad, e.d., plena verdad. Tomemos al número 
1 como equidistante o punto medial, y hagamos corresponder a cada 
número r, como inverso suyo, 1/r. Esa función del inverso será la que 
asignemos a la negación [simple]; expresado un poco menos 
informalmente: para toda valuación, v, y toda fórmula p: v(Np)=1/v(p). 
Añadimos un functor de verdad total, que leemos: „Es totalmente cierto 
que‟, „H‟, tal que v(Hp)=0 si v(p)=0, y en caso contrario = ∞”. (Ver 
opúsculo, “Algunas Aplicaciones Filosóficas de Lógicas Transitivas”, de 
Lorenzo Peña, pág. 11 y ss, versión digital, Theoria, 1992). 
 
Esta manera de “formalizar” los grados de verdad tiene, en mi criterio, un 
grave problema el que sólo se formalicen, y por tanto visualicen, los 
infinitos grados de veracidad, pero no los de la falsedad. Esto da pauta a 
que se desarrolle más la imaginación metafísica para que se produzca el 
arte de entender los grados y matices de veracidad, en contra de la 
imaginación (lógica) matemática, más simple y mucho más esclarecedora 
de lo que la multidimensionalidad implica. 
 
En el opúsculo de Peña, se afirma que el „∞‟ es el equivalente numérico de 
la falsedad total „F‟, pero parece ser, siendo más exactos, que la falsedad, al 
aproximarse cada vez más a menos uno, „-1‟, según la recta hiperreal, 
vendría a ser falsedad total en el „-∞‟, coincidiendo totalmente „-∞‟ con „-
30 
 
1‟. El cero, „0‟, en cambio, en mi opinión, vendría a ser comprehendido 
como „una nada de falsedad y de verdad simultáneamente‟ (no como lo que 
es totalmente cierto, según Peña, y, más bien, el „0‟, vendría a ser en 
verdad el punto medial o neutro, que correspondería a la negación débil 
„N‟); debería, pues, el „0‟, ser entendido como el lugar, o momento, a partir 
del cual lo verdadero comienza y se hace cada vez más verdadero hasta 
arribar a lo totalmente verdadero, o „+∞‟ ; y por el contrario, es decir, en 
sentido opuesto y del mismo modo, como el lugar, o momento, a partir del 
cual lo falso comienza y se hace cada vez más falso hasta arribar a „-1‟, o „-
∞‟. Peña, no obstante, da a entender que, al menos intuye, sino es que sabe, 
de la naturaleza controversial o paradójica de los números negativos. 
 
El mismo Lorenzo peña no está satisfecho con una lógica transitiva 
definida en esos términos: 
 
“Hay una razón para no estar satisfechos con el resultado, y es que, si bien la lógica 
que hemos obtenido es genuinamente infinivalente, no contiene ningún vocablo que 
exprese algo así como „más bien‟, „bastante‟, „un tanto‟, „muy‟, etc…..Otra razón es 
que …. Hay coyunciones copulativas que no son semánticamente reducibles a „y‟…. 
P.ej. la partícula discontinua „no sólo…sino [que] también‟— en la cual parece que los 
conyuntos interactúan en el sentido de que el grado de falsedad resultante podrá ser 
mayor que los grados de falsedad de sendos conyuntos. Representemos esa conyunción 
copulativa más fuerte como „•‟: aseverando „p •p •p •…•p
m
‟ , donde para cada i≤n „p
i
‟ 
tiene un valor de verdad infinitamente más falso que elvalor mínimo (el cual en nuestra 
representación es la Verdad [total]), se estará haciendo un aserto cuyo grado de 
falsedad será, cæteris paribus, tanto mayor cuantos más conyuntos haya (y no sólo 
cuanto menos verdaderos sean). La introducción de esa superconyunción nos permite 
obtener, como definidos, muchos functores de matiz alético. En el intervalo [0, ∞] 
podemos tomar v(p•q)=v(p)+v(q). Este functor tiene los rasgos siguientes: 
conmutatividad, asociatividad, elemento neutro (el elemento mínimo, 0); además, • es 
distributivo con respecto a los functores ˅y ˄. 
 
 Hay todavía una razón para pensar que está incompleta nuestra busca de 
operaciones: para pasar al cálculo cuantificacional necesitaremos una operación 
infinitaria que venga asignada como imagen semántica del cuantificador universal; esa 
operación tiene que ser la que dé la menor cota superior, o sea el supremo. Pero el 
supremo de un conjunto de asertos todos verdaderos —en algún grado— puede que sea 
∞, la falsedad total. Para evitar eso tomamos como dominio de valores de verdad a uno 
resultante de incrementar el ya dado añadiendo, para cada número real r<∞, un nuevo 
número hiperreal, nr, infinitesimalmente mayor que r, y para cada r>0 uno 
infinitesimalmente menor que r, mr. La combinación de esos functores nos permite 
obtener infinitos functores definidos de matiz alético y, además, lograr que el sistema 
resultante sea una extensión cuasi-conservativa de cada sistema posible de lógica que 
tenga una matriz característica con sólo un número finito de valores de verdad. Eso 
quiere decir que para cada sistema así S hay en el nuestro un functor de afirmación, 
„☼‟, definible mediante los ya introducidos, tal que p es una tautología de S sys „☼p‟ 
es una tautología del sistema que estamos elaborando. 
31 
 
 
Lo mejor de todo es que ahora podemos tener una constante, „‟, tal que v()=n∞ con 
estos rasgos: son tautologías: „‟ , „ p p‟ ; vale este secuente: p sys  p. 
„‟ es el enunciado menos verdadero de los verdaderos, o el más falso de los que no 
son del todo falsos. Expresa la verdad meramente infinitesimal, el grado ínfimo de 
verdad”. 
 
Debo pedir disculpas por la introducción de esta extensa cita, pero es 
necesaria para resaltar lo complicados que pueden ser los razonamientos 
lógicos de Peña. En efecto, se pone a „0‟, primero como el elemento 
mínimo representando la total falta de falsedad, es decir, la plena verdad. Y 
luego, se lo reinterpreta, al ser el elemento mínimo, también como 
elemento neutro. En otro lugar, nosotros hemos señalado que el „cero‟ 
siempre tiene un valor „neutro‟ tanto en la recta de los números reales como 
al interior de las coordenadas cartesianas. La navaja de Ockham debería 
funcionar, en este lugar, mejor que nunca cuando Peña propone tener la 
constante „‟como: “v()=ncon estos rasgos: son tautologías: , 
pp; vale este secuente: Ap sys A p. „‟es el enunciado menos 
verdadero de los verdaderos, o el más falso de los que no son deltodo 
falsos. 
 
Acaso, me pregunto yo, con nuestro sistema binomial de lógica 
(∞ - 1)
L∞, no 
quedaría mejor definida la constante „‟ como „F
n-1
 V
1
‟, para expresar la 
verdad meramente infinitesimal, el grado ínfimo de verdad, o el más falso 
de los que no son del todo falsos (ya que hay por lo menos un grado de 
„V)‟, sin descartar, y aceptando de buena manera, las mismas tautologías y 
el secuente incluido. 
 
La semántica veredictiva de Peña recuerda mucho a la astronomía 
ptolemaica que, al constatar empíricamente algunos movimientos 
irregulares de los astros y que demandaban para su esclarecimiento el 
cambio de modelo astronómico, se buscaba, en cambio, un tanto 
tozudamente, extender y complicar sus leyes, a más no poder, para 
explicarlos y mantener la armonía y consistencia aparente de ambos 
sistemas. Esto es lo que acontece con el modo, esencialmente numérico, de 
representar los valores de verdad de las lógicas paraconsistentes, como son 
en estos casos los sistemas lógicos de Peña. Para ser lógicos habría que 
insistir en el hecho de que tales números no son simples números, sino 
“hipernúmeros”, pues representan en sí mismos valores y relaciones entre 
valores, escalares o tensoriales (mezcla o matices de valores). 
 
Para explicar los grados y matices de verdad, en su sistema numérico de 
representación, Peña se ve obligado a introducir la noción de número 
32 
 
“hiperreal”, en el intervalo [0,1], además, claro está, del número “real” que 
irían asociados a cada valor de verdad. “Un hiperreal (en palabras del 
autor) es el resultado de dejar tal cual a un número real, o de aumentarlo o 
disminuirlo infinitesimalmente. Quiere ello decir que, en el intervalo 
abierto ]0,1[ ‒o sea: excluidos de él 0 y 1-, a cada número real le 
corresponderán tres hiperreales: 1°) el número real mismo; 2°) el resultado 
de darle un incremento infinitesimal; 3°) el resultado de disminuirlo 
infinitesimalmente. En el intervalo cerrado [0,1] habrá, además, los cuatro 
siguientes hiperreales: 0; el resultado de aumentar infinitesimalmente a 0, 
el resultado de disminuir infinitesimalmente a 1; y 1 mismo.” (Ver 
“Apuntes Introductorios a la Lógica Matemática Elemental”, pág. 26, 
1980). 
 
Hasta aquí llego en mi intento de seguir y acoplarme, con mi método 
lógico, a los razonamientos de Peña, en cuanto a las lógicas transitivas, por 
qué no estoy tan seguro de que tal acoplamiento sea ni siquiera 
mínimamente posible. En otras palabras, procedo a explicar todo lo 
anterior, sobre las lógicas transitivas, con el método binomial de lógica 
infinivalente. Para lo cual, me valgo de la interpretación de la „recta real‟ 
como la „recta alética‟, o de la verdad: 
 
 F
n
 FV V
n
 
 - ∞ 0 +∞ 
 FV 
 
Se nota enseguida las ventajas de nuestro sistema de representación 
binomial de los grados y matices de verdad, aparte de ser auténticamente 
algebraico y no numérico, incluye todo los hiperreales, no sólo en el 
intervalo entre cero y uno, abierto o cerrado, sino también entre cero y 
cualquier otro número (0-1-2-3…n) según se grafican en el sistema de 
coordenadas. Adicionalmente, para las lógicas aquí consideradas, también 
se puede hablar de tablas de verdad, según lo demuestra la construcción del 
rectángulo infinito, realizado más abajo, y no solamente de „asignación‟ de 
valores. Para visualizar mejor el modelo, procedemos a ejemplificar con 
una lógica infinivalente „n‟, pero por motivos prácticos de entendimiento, 
se reduce „n‟ a un valor de cinco o pentavalente, con las mismas 
propiedades numéricas descritas para los intervalos abierto o cerrado, ]V
n
, 
F
n
[; [V
n
, F
n
]: 
 
 
 V
n
F
0
 = valor de „n‟, en número real, igual a 5. 
 
V
n-1
F
1 
= valores en números hiperreales, como resultado de disminuir y aumentar infinitesimalmente un valor o 
 número: 4 y 1. 
 
33 
 
V
n-2
F
2
 = valores en números hiperreales, como resultado de disminuir y aumentar más que infinitesimalmente 
un valor o número: 3 y 3. 
 
V
1
F
n-1
 = valor en hiperreales, como resultado de aumentar y disminuir infinitesimalmente un valor o número: 1 
y 4. 
 
 V
0
F
n 
 = valor de „n‟, en número real, igual a 5. 
 
En el intervalo cerrado, [V
n
 F
0
, V
0
F
n
], se dan simultáneamente, es decir, 
son visualizables directamente, los siguientes valores hiperreales: partiendo 
de lo absolutamente nada de verdad, „V
0
‟, empezamos, pues, con „V
0
F
n‟
, o 
lo totalmente falso; el resultado de disminuir infinitesimalmente a „V
0
F
n‟
, o 
„F
n-1‟
; el