Determinación de conjuntos por extensión (Reales)

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GUÍA Nº10: DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS POR
EXTENSIÓN EN NÚMEROS REALES.
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz.
En esta guía se darán una serie de conjuntos escritos por comprensión (dadas sus
características) y los escribiremos por comprensión (se detallarán los elementos
que pertenecen a los mismos). Esto para el conjunto de los números Reales.
EJERCICIOS RESUELTOS:
 Determine por extensión los siguientes conjuntos:
1. A = xx /{ R 53(  x  )}62  x
Solución:
Lo primero que tenemos que hacer SIEMPRE en este tipo de ejercicios es leer lo
que tenemos en el conjunto. En primer lugar, estamos trabajando con números
reales, indicado acá en color verde: A = xx /{ R )6253(  xx (LO
QUE INDICA QUE “TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA
“RECTA REAL”). En segundo lugar, las operaciones que tenemos que realizar,
para determinar el conjunto. En este caso tenemos a la ecuación de primer grado:
53 x y al intervalo: 62  x (cerrado en 2 y abierto en 6).
Ahora resolveremos cada operación por separado así:
i. Ecuación lineal: 53 x
8
35
53



x
x
x
Esto nos da como resultado el punto 8x
NOTA: los resultados de las ecuaciones siempre se representarán como
“PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL”.
ii. Intervalo: 62  x
Este intervalo queda representado así: )6,2[
NOTA: Los símbolos < ó > significan que el intervalo será abierto y se denotan
entre paréntesis (); y los símbolos  ó ”. Significan que el intervalo es cerrado y
se denotan entre corchetes [].
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Por lo que la solución será: “El punto -8, unido con el intervalo [2,6)” Se
deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto original aparece, entre las
dos operaciones es una disyunción, marcada acá en color amarillo:
A = xx /{ R 53(  x  )}62  x .
Finalmente, la solución del conjunto será:
A=   )6,2[8 
NOTA: LOS PUNTOS SE ESCRIBEN ENTE LLAVES.
2. B = xx /{ R 6(  x  )}132 x
Solución:
Acá, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color verde: B =
xx /{ R 6(  x  )}132 x (LO QUE INDICA QUE “TODAS” LA
SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”). Ahora, las
operaciones que tenemos que realizar, para determinar el conjunto son en este
caso el punto 6x y del cual no hay nada que resolver, )simplemente será trazado
en la recta real) y la inecuación lineal: 132 x .
Resolvemos la Inecuación lineal: 132 x
2
2/4
42
312
132





x
x
x
x
x
Esto nos da como resultado el intervalo: ),2(  (NUMEROS DE 2 EN
ADELANTE, POR ESOQUEDA HASTA EL INFINITO POSITIVO)
NOTA: El símbolo < significa que el intervalo será abierto y se denotan entre
paréntesis (). Además el infinito siempre ser abierto (OJO).
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Por lo que la solución será: “El punto -6, unido con el intervalo (2, +∞)” Se
deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto original aparece, entre las
dos operaciones es una disyunción, marcada acá en color amarillo:
B = xx /{ R 6(  x  )}132 x
Finalmente, la solución del conjunto será:
B=   ),2(6 
3. C = xx /{ R 023( 2  xx  )}532 x
Solución:
Como ya sabemos, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color
verde: A = xx /{ R )6253(  xx (LO QUE INDICA QUE “TODAS”
LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”). Ahora, las
operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en este caso
son: La ecuación de segundo grado: 0232  xx y la inecuación lineal:
532 x .
Ahora resolveremos cada operación por separado así:
i. Ecuación cuadrática o de segundo grado: 0232  xx
202
101
0)2)(1(
0232




xx
xx
xx
xx
Esto nos da como resultado los puntos 1x y 2x (Recordemos que los
resultados de las ecuaciones siempre se representarán como “PUNTOS SOBRE LA
RECTA REAL”.
NOTA: La ecuación de segundo grado fue resuelta utilizando un caso de
factorización llamado: “Trinomio Cuadrado no Perfecto” (dos números que
sumados den el segundo término y multiplicados den el tercer término). Pero,
también se puede resolver utilizando la llamada “Resolvente de la ecuación de
segundo grado”.
ii. Inecuación lineal: 532 x
4
2/8
82
352
532





x
x
x
x
x
Esto nos da como resultado el intervalo: ),4( 
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como ya sabemos, se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: C = xx /{ R 023( 2  xx  )}532 x
Finalmente, la solución del conjunto será:
C=   ),4(1,2 
4. D = xx /{ R 361(  x  }0)5)(8(  xx
Como ya sabemos, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color
verde: D = xx /{ R 361(  x  }0)5)(8(  xx (LO QUE INDICA QUE
“TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”).
Ahora, las operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en
este caso son: La inecuación lineal con doble desigualdad: 361  x y la
ecuación de segundo grado factorizada: }0)5)(8(  xx .
Ahora resolveremos cada operación por separado así:
i. Inecuación lineal con doble desigualdad: 361  x
37
6361
361



x
x
x
Procedimiento: En este tipo de inecuaciones se debe hacer un “doble despeje”,
tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. NOTA: Cuando se haga la
trasposición de términos, lo que se haga de un lado, debe hacerse exactamente
igual de otro lado (vean acá que al trasponer el 6 que está sumando a la “x” se
hace NEGATIVO, hacia un lado y hacia el otro también).
Esto nos da como resultado el intervalo: ]3,7(
ii. Ecuación cuadrática o de segundo grado factorizada: 0)5)(8(  xx
505
808
0)5)(8(



xx
xx
xx
Procedimiento: Acá se igualaron a cero ambos factores de la expresión
factorizada, obteniéndose como solución DOS PUNTOS (POR SER UNA
ECUACIÓN).
Esto nos da como resultado los puntos 8x y 5x
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como ya sabemos, se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: D = xx /{ R 361(  x  }0)5)(8(  xx
Finalmente, la solución del conjunto será:
D=   }5{]3,7(8 
5. E = xx /{ R 62(  x  75  x )}
Solución:
Como ya sabemos, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color
verde: E = xx /{ R 62(  x  32  x )} (LO QUE INDICA QUE “TODAS”
LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”). Ahora, las
operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en este caso
son: La inecuación con valor absoluto: 62 x y el intervalo: 75  x .
i. Inecuación con valor absoluto: 62 x
Estas inecuaciones pueden ser resueltas al aplicar las siguientes propiedades del
valor absoluto:
1. axaax 
2. axaax 
3. axaxax 
4. axaxax 
 
Solución:
Si observamos esta inecuación, la misma tiene la forma de la propiedad:
axaax 
Debemos pues, ajustar la inecuación a resolver a dicha propiedad así:
axaax 
62662  xx
Ahora, para determinar la solución del ejercicio dado, se debe resolver la
siguiente inecuación: 626  x , así:
Lo primero que debemos tener en cuenta, como podemos observar, es que esta
inecuación tiene a una expresión algebraica entre dos relaciones de orden.
Entonces procederemos de la siguiente manera:
Haremos un despeje de la variable “x”, trasponiendo el valor que la está sumando
(para este caso, el 6), hacia AMBOS LADOS restando, y resolvemos las
operaciones correspondientes, así:
626  x
2626  x
48  x
Esto nos da como resultado el intervalo: )4,8(
i. Intervalo: 75  x
Este intervalo queda representado así: )7,5[
Acá a diferencia de los otros ejercicios anteriores, se deben “intersectar” ambas
soluciones (esto es, tomar lassoluciones comunes a ambas), porque en el
conjunto original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada
acá en color amarillo: E = xx /{ R 62(  x  75  x )}
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Entonces, observando la intersección de ambas soluciones (lo que está en azul y
rojo simultáneamente), el resultado del conjunto será:
E= )4,5[
6. F = xx /{ R 42(  x  )}954 2 x
Como ya sabemos, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color
verde: F = xx /{ R 42(  x  )}954 2 x (LO QUE INDICA QUE “TODAS”
LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”). Ahora, las
operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en este caso
son: La inecuación con valor absoluto: 42 x y la ecuación de segundo grado:
954 2 x
i. Inecuación con valor absoluto: 42 x
Como podemos ver, observamos esta inecuación tiene la forma de la propiedad:
axaxax 
Así entonces, ajustaremos la inecuación a dicha propiedad así:
axaxax 
424242  xxx
Acá tenemos que resolver dos inecuaciones de primer grado que son:
a. 42 x
b. 42 x
Las resolvemos simultáneamente así:
42 x
24 x
6x
Solución a: ]6,( 
42 x
24 x
2x
Solución b: ),2[ 
Nota: El símbolo “ ” se llama disyunción, lo cual significa que para obtener la
solución final del ejercicio, debemos unir la solución “a” con la solución “b” así:
Por lo que, al escribir de forma analítica lo expresado en el gráfico, la solución de
la inecuación será:
Solución “a”  Solución “b”
Entonces, la solución final es: ),2[]6,( 
ii. Ecuación cuadrática o de segundo grado: 954 2 x
Procedimiento: Aquí se puede simplemente despejar a “x”, y obtener las
soluciones de la ecuación (NOTA: TAMBIÉN SE PUEDE USAR LA
RESOLVENTE).
1
1
1
1
4/4
44
594
954
2
2
2
2
2








x
x
x
x
x
x
x
x
Esto nos da como resultado los puntos 1x y 1x (Recordemos que los
resultados de las ecuaciones siempre se representarán como “PUNTOS SOBRE LA
RECTA REAL”.
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como hemos visto, acá se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: F = xx /{ R 42(  x  )}954 2 x
Finalmente, la solución del conjunto será:
F=   ),2[1,1]6,( 
7. G = xx /{ R 065( 2  xx  )}062  xx
Solución:
Como ya sabemos, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color
verde: G = xx /{ R 065( 2  xx  )}062  xx (LO QUE INDICA QUE
“TODAS” LA SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”).
Ahora, las operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en
este caso son: La inecuación cuadrática o de segundo grado: 0652  xx y la
ecuación de segundo grado: 062  xx
i. Inecuación cuadrática o de segundo grado: 0652  xx
Para resolver este tipo de inecuaciones, en primer lugar vamos a factorizar el
polinomio de segundo grado asociado a la inecuación así:
0)6)(1(  xx
Observemos que la inecuación es “mayor que cero”, por lo que el estudio de
signos, partiendo del producto planteado a partir de la factorización realizada, se
hará de la siguiente manera (ambos positivos y ambos negativos):
Caso 1 (ambos positivos): )( 
Nos queda entonces:
Caso 1.1 (primer factor positivo):
),1(:
1
01
1.1 


Sol
x
x
Caso 1.2 (segundo factor positivo):
),6(:
6
06
2.1 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 1” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 1.1: ///// ; Solución 1.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
),6(1 casoSol
Caso 2 (ambos negativos): )( 
Nos queda entonces:
Caso 2.1 (primer factor negativo):
)1,(:
1
01
1.2 


Sol
x
x
Caso 2.2 (segundo factor negativo):
)6,(:
6
06
2.2 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 2” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 2.1: ///// ; Solución 2.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
)1,(2 casoSol
Finalmente, para obtener la solución total de la inecuación unimos ambas
soluciones así: 21 casocasototal SolSolSolución  .
Entonces: ),6()1,( vSolución .
ii. Ecuación cuadrática o de segundo grado: 062  xx
Esta ecuación la resolveremos utilizando un caso de factorización llamado:
“Factor Común”, así:
606
0
0)6(
062




xx
x
xx
xx
Esto nos da como resultado los puntos 0x y 6x (Recordemos que los
resultados de las ecuaciones siempre se representarán como “PUNTOS SOBRE LA
RECTA REAL”.
NOTA: ESTA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO TAMBIÉN PUEDE SER
RESUELTA UTILIZANDO UNA RESOLVENTE.
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Como hemos visto, acá se deben “unir” ambas soluciones porque en el conjunto
original aparece, entre las dos operaciones es una disyunción, marcada acá en
color amarillo: G = xx /{ R 065( 2  xx  )}062  xx
Finalmente, la solución del conjunto será:
G= ),6[}0{)1,( 
OBSERVACIÓN: El intervalo ),6[  queda cerrado en -6, ya que el punto al estar
superpuesto sobre el intervalo, lo cierra. Es decir, cambia al paréntesis por un
corchete.
8. H = xx /{ R 08( 2  xx  )}7 x
Solución:
Como ya sabemos, estamos trabajando con números reales, indicado acá en color
verde: H = xx /{ R 08( 2  xx  )}7 x (LO QUE INDICA QUE “TODAS” LA
SOLUCIONES SERÁN DIBUJADAS EN UNA “RECTA REAL”). Ahora, las
operaciones que tenemos que realizar para determinar el conjunto en este caso
son: La inecuación de segundo grado: 082  xx y un intervalo representado por
la expresión: x7 .
i. Inecuación cuadrática o de segundo grado: 082  xx
Para resolver este tipo de inecuaciones, en primer lugar vamos a factorizar el
polinomio de segundo grado asociado a la inecuación así:
0)8( xx
Observemos que la inecuación es “menor o igual que cero”, por lo que el
estudio de signos, partiendo del producto planteado a partir de la factorización
realizada, se hará de la siguiente manera (uno positivo y uno negativo o
viceversa):
Caso 1 (primer factor positivo y segundo negativo): )( 
Nos queda entonces:
Caso 1.1 (primer factor positivo):
),0[:
0
1.1 

Sol
x
Caso 1.2 (segundo factor negativo):
]8,(:
8
08
2.1 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 1” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 1.1: ///// ; Solución 1.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
]8,0[1 casoSol
Caso 2 (primer factor negativo y segundo positivo): )( 
Nos queda entonces:
Caso 2.1 (primer factor negativo):
]0,(:
0
1.2 

Sol
x
Caso 2.2 (segundo factor positivo):
),8[:
8
08
2.2 


Sol
x
x
Para obtener la solución del “Caso 2” intersecamos ambas soluciones así:
Solución 2.1: ///// ; Solución 2.2: /////
Entonces si tomamos en cuenta la intersección de las 2 soluciones nos queda que:
2casoSol
Finalmente, para obtener la solución total de la inecuación unimos ambas
soluciones así: 21 casocasototal SolSolSolución  .
Entonces:  ]8,0[vSolución .
Finalmente: ]8,0[vSolución . Esto se justifica por la propiedad: AA 
ii. Intervalo generado por la expresión: x7
Cuando tengamos este tipo de expresiones hay que tener cuidado al leerlos, como
ven está escrito así: x7 , pero realmente debe leerse así: 7x . Por lo tanto, la
solución se lee así: “Los valores de x mayores que 7”, y se representa con el
intervalo: )7,( .
Acá se deben “intersectar” ambas soluciones (esto es, tomar las soluciones
comunes a ambas), porque en el conjunto original aparece, entre las dos
operaciones es una disyunción, marcada acá en color amarillo: H = xx /{ R
08( 2  xx  )}7 x
Ahora trazaremos las soluciones de las operaciones i y ii en una recta real así:
Entonces, observando la intersección de ambas soluciones(lo que está en azul y
rojo simultáneamente), el resultado del conjunto será:
H= )7,0[
Ejercicios Propuestos:
Determine por extensión los siguientes conjuntos:
A = {x/x    (x2 – 3x = 0  3x + 5= -1)}
B = {x/x ( 6x  01242  xx  021102  xx )}
C = {x/x ( 1042 x  0812 x  12x )}
D = {x/x (x+35  x2-4x-6=0)}
E= {x/x (x2-40  -123x -9  2x – 12  0}
F = {x/x (2x - 2 6  x-8  8x12)}
G= {x/x (-x8  x2-x-12 = 0  x -160)}
H = {x/x  [(
2
x
- 1  1  x2- 3x - 40 = 0)8 x-1 14]}
I = {x/x  [(x2- 4x  0  (x-8) (x+6) = 0)  -x+ 15  5]}