MatCS T6 SOR

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Profesor tutor: Santiago de la Osa Rodríguez
TUTORIA 6.Matemáticas aplicadas a 
las Ciencias Sociales
Profesor tutor: Santiago de la Osa Rodríguez
sdelaosa@eivissa.uned.es
Ejercicio :
Sea C={a,b,c,d} , calcula P(C)
Como C tiene 4 elementos sabemos que C tiene 2⁴=16 subconjuntos 
por lo que P(C) tiene 16 elementos.
Construyamos los subconjuntos de C
Subconjunto con 0 elementos: Ø
Subconjuntos con 1 elementos: {a},{b},{c},{d}Subconjuntos con 1 elementos: {a},{b},{c},{d}
Subconj con 2 elementos: {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
Subconjuntos con 3 elementos: {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
Subconjuntos con 3 elementos: {a,b,c,d}=C
Entonces P(C)={Ø, {a},{b},{c},{d}, {a,b},{a,c},{a,d},{b,c}, 
{b,d},{c,d}, {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},C}
Ejercicios de autoevaluación
APLICACIONES
 Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transfor-
mación que convierte cada elemento del conjunto A en un 
único elemento del conjunto B.
-El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la 
aplicación.
-El conjunto B se llama conjunto final o rango de la 
aplicación.
 Las aplicaciones suelen designarse por las letras f,g y h y se 
representan por f:A→B 
 Si el elemento xϵA se transforma en el elemento yϵB se escribe f(x)= y, 
se puede leer de las siguientes formas:
- efe de x igual y
- la imagen de x es igual a y.- la imagen de x es igual a y.
- la imagen inversa de y es igual a x
- la preimagen de y es x
Ejemplo:
A f B
Ejemplo: Construir el diagrama de flechas sabiendo que:
f(1)= b f(2)= a f(3)= b f(4)= c
A f B
Ejemplos de no aplicaciones:
A f B A g B 
h: A B 
Imagen e inversa de un subconjunto
 Sea f:A→B una aplicación y C⸦A. Se denomina imagen 
del subconjunto C al conjunto de las imágenes de los 
elementos de C. La imagen de C se representa por f(C)
 Ejemplo:
 Ejemplos:
Sigui M={c,d}, calcula f(M)
Tipos de aplicaciones
 Una aplicación f : A→ B es inyectiva si a cada valor del conjunto 
A corresponde un solo valor de B tal que,en el conjunto A no 
puede haber dos o más elementos que tengan la misma 
imagen.
De una manera más visual 
sería decir que no pueden
llegar más de una flecha 
a los elementos de B.
A f B
Una aplicación f:A→B es, sobreyectiva cuando cada elemento 
de “B” es la imagen de cómo mínimo un elemento de “A”
De una manera más visual
sería que a todo elemento del 
conjunto B le llegue como
mínimo una flecha
A g B
Ejercicio:Sea f:{1,2,3}→{a,b}tal que f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b.
¿Es f sobreyectiva? 
Una aplicación f:A→B es, biyectiva si es al mismo tiempo 
inyectiva y sobreyectiva; es decir, si a todos los elementos 
del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el 
conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de 
llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
De una manera más gráfica seríaDe una manera más gráfica sería
de que de cada elemento de A 
sale una única flecha y a cada 
elemento de B llega una única flecha.
A h B
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES
 Si tenemos dos aplicaciones: f(x) y g(x) de modo que el dominio 
de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una 
nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el 
valor g[f(x)].
 Ejemplo:
Ejercicio: Sea A={0,1} B={3,4} y C={5,6}
f: A→B , g:B→C
Sabem que f(0)=4 f(1)=3 g(3)=5 g(4)=6
Si h=gof , calcula h(1) y h(2)
Ejercicios de aplicaciones
a) f(uno)=1
b) f(cinco)=5
c) f(tres)=3
a) La imagen de tres es 4 y la preimagen de 2 es dos.
b) La imagen de uno es 4 y la preimagen de 1 es cinco
c) La imagen de cuatro es 2 y la preimagen de 1 es cinco
a) que. es la imagen de queso.
b) fr es la imagen de fruta.
c) ar.Tiene como preimagen arma.
CARDINAL DE UN CONJUNTO
 El cardinal de un conjunto A es su número de elementos y 
se representa por #(A).
Ejemplo: Sea A={a,b,f,g,r}, calcula #(A)
CÁLCULO DE CARDINALES CON DOS 
CONJUNTOS
 Si A y B son dos conjuntos siempre se cumple que:
#(AUB) = #(A)+#(B)-#(AꓵB)
oo
#(AUB) = #(A-B)+#(B-A)+#(AꓵB)
 Demostración gráfica de las fórmulas
#(AUB) = #(A)+#(B)-#(AꓵB)
A B
#(AUB) = #(A-B)+#(B-A)+#(AꓵB)
 Ejemplo: Sabiendo que #(AUB)=15, #(A)=10 y #(B)=9 calcula 
#(AꓵB)
 Ejemplo: Sabiendo que #(A)=10 y #(AꓵB)=3 calcula #(A-B)
 Ejemplo: Si B⸦A , calcula #(AꓵB) sabiendo que #(A)=7 y 
#(B)=3.
 Observación: Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal 
de la unión es igual a la suma de cardinales.
#(AUB) = #(A)+#(B)