Hipérbola 1 _PRE 2020-II_

Vista previa del material en texto

SECCIONES CÓNICAS: HIPÉRBOLA
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
-
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1
2
Se denomina sección cónica a la curva 
intersección de un cono con un plano que no pasa 
por su vértice.
Cambiando el ángulo y el lugar de intersección 
podemos crear una circunferencia, una elipse, una 
hipérbola o una parábola.
33
𝑃
2𝑎
𝐹1 𝐹2
|𝑑 𝑃; 𝐹1 − 𝑑(𝑃; 𝐹2)| = 2𝑎
Definición.
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del
plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que
la distancia entre los focos.
4
El diseño de puentes que se sostienen con cables es 
un ejemplo de aplicación de una hipérbola
En arquitectura la forma de hipérbola es 
utilizada en el diseño de torres de enfriamiento
Aplicaciones
5
Hiperboloide
En arquitectura la forma de hipérbola es 
utilizada en el diseño de faros
6
•El cálculo de cuerpos celestes ajenos al sistema solar que entren en él, atraídos por el sol describen 
una trayectoria en forma de hipérbola, por lo que puede ser calculado su camino con toda precisión.
Otras Aplicaciones
•Algunos cometas que no tienen un ciclo periódico presentan una trayectoria en forma de 
hipérbola cuando se acercan al sol.
•El sistema de navegación de largo alcance (LORAN) utiliza sus propiedades de reflexión 
para llevarse a cabo.
•Los telescopios de tipo Cassegrain utilizan las propiedades de reflexión de la misma.
•La gráfica de la ecuación presión volumen cuando la temperatura es constante.
•La trayectoria de una partícula alfa cuando atraviesa el campo eléctrico producido por el 
núcleo del átomo. Determinar la posición de un avión cuando vuela a velocidades supersónicas
•El reloj solar
7
Elementos asociados a la hipérbola Centro: C
Vértices : V1 y V2
Focos: F1 y F2
Ejes:
Rectas asíntotas:
Eje focal : LF Eje normal: LN
L2
L1
L1 y L2
Rectas directrices:
L3
x
y
Lado recto: 𝑀𝑀′
Cuerda focal: 𝑁𝑄.
𝐵1𝐵2: Eje conjugado o imaginario
V1
V2
F1
T
Q
N
B2
B1
Radio focal: 𝐹2𝑇
L3 y L4
L4
𝐹1𝐹2: segmento focal.
𝑉1𝑉2: eje transverso o real.
8
Relaciones fundamentales 2𝑎
2𝑏
2𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
C𝑉1
𝑉2𝐹1 𝐹2
𝑉1𝑉2: 𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
𝐵1𝐵2: 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜
𝐹1𝐹2: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠
La relación entre a, b y c:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
𝐵1
𝐵2
x
y
𝑉1𝑉2 = 2𝑎
𝐵1𝐵2 = 2b
𝐹1𝐹2 = 2c
9
Eje conjugado: 𝐵1𝐵2, 𝐵1𝐵2 = 2𝑏
La hipérbola en el 
plano cartesiano
Centro: C(h;k)
X
Y
C
k
h
𝑉1 𝑉2
𝐹1
𝐹2
Focos: 𝐹1 y 𝐹2 (𝐹1𝐹2=2c)
Eje transverso: 𝑉1𝑉2, (𝑉1𝑉2 = 2𝑎)
Vértices : 𝑉1 𝑦 𝑉2
Lado recto: 𝑀𝑀′𝑦 𝑁𝑁′
Directrices: 𝐿𝐷1𝑦 𝐿𝐷2
Eje focal: L Eje normal: 𝐿1
𝑃 𝑥; 𝑦 : coordenadas genéricas
M
M’
N
N’
(Con eje focal paralelo al eje X)
𝐹1 = (ℎ − 𝑐; 𝑘) 𝐹2 = (ℎ + 𝑐; 𝑘)
𝑉1 = (ℎ − 𝑎; 𝑘) 𝑉2 = (ℎ + 𝑎; 𝑘)
𝐵1
𝐵2
𝐿1
𝐿
𝐿𝐷1 𝐿𝐷2
𝑃 𝑥; 𝑦
10
Eje conjugado: 𝐵1𝐵2, 𝐵1𝐵2 = 2𝑏
La hipérbola en el 
plano cartesiano
Centro: C(h;k)
X
k
𝑉1
𝑉2
Focos: 𝐹1 y 𝐹2 (𝐹1𝐹2=2c)
Eje transverso: 𝑉1𝑉2, (𝑉1𝑉2 = 2𝑎)
Vértices : 𝑉1 𝑦 𝑉2
Lado recto: 𝑀𝑀′𝑦 𝑁𝑁′
Directrices: 𝐿𝐷1𝑦 𝐿𝐷2
Eje focal: L Eje normal: 𝐿1
𝑃 𝑥; 𝑦 : coordenadas genéricas
M
N
(Con eje focal paralelo al eje Y)
𝐹1 = (ℎ; 𝑘 − 𝑐) 𝐹2 = (ℎ; 𝑘 + 𝑐)
𝑉1 = (ℎ; 𝑘 − 𝑎) 𝑉2 = (ℎ; 𝑘 + 𝑎)
𝐵1𝐵2
𝐿1
𝐿𝑃 𝑥; 𝑦
11
A tener en cuenta:
C
𝑉1
𝑉2 𝐹1
𝐹2
C𝑉1 𝑉2
𝐹1
𝐹2
C
𝑉1
𝑉2
𝐹1
𝐹2
𝐶 =
𝑉1+ 𝑉2
2
𝐶 =
𝐹1+ 𝐹2
2
En cualquier caso, las coordenadas del centro se obtienen así:
𝐵1
𝐵2
𝐶 =
𝐵1+ 𝐵2
2
𝐵1 𝐵2
x
y
x
y
x
y
12
Ecuación de la hipérbola
Ecuación de la hipérbola con Eje Focal en el Eje
de abscisas y centro en
el origen de coordenadas:
𝑥2
𝒂2
−
𝑦2
𝑐2 − 𝑎2
= 1
Demostración
P(x ;y)
Por definición:
V1(a;0)
V2(− a;0)
B1(0;b) B2(0; − b)
F1(c;0)
F2(− c;0)
PF2− PF1=2a
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2 − 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2 = 2𝑎
(𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 = 2𝑎 + (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes.
Elevando al cuadrado y simplificando
𝑐𝑥 − 𝑎2 = 𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2)
Dividiendo entre 𝑎2 𝑐2 − 𝑎2 :
La ecuación de la hipérbola está dada por:
Pero:
𝑥2
𝒂2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
x
𝑥2
𝒂2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Sean los extremos del eje conjugado
y
𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2
1313
Cuando el centro es el origen de coordenadas se obtiene :
Forma canónica de la ecuación de una hipérbola.
(Eje focal coincide con el
eje de las abscisas)
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
x
y
1414
Ecuación ordinaria de la hipérbola de centro C(h; k) y eje focal paralelo al 
eje de las abscisas.
Consideremos la hipérbola mostrada en la
figura.
La ecuación de la hipérbola está dada por:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Donde a < b, a = b o a > b
Eje focal
E
je
 n
o
rm
a
l
D
ir
ec
tr
iz
 1
D
ir
ec
tr
iz
 2
C(h;k) 
x
y
15
APLICACIÓN 1 
Determine la ecuación de la hipérbola
con centro en el origen de
coordenadas, un vértice y su foco
correspondiente en 𝑉1 3; 0 𝑦
𝐹1 4; 0 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
RESOLUCIÓN
Respuesta: A
𝐴) 7𝑥2 − 9𝑦2 = 63
𝐵) 25𝑥2 − 9𝑦2 = 225
𝐶) 7𝑥
2 − 5𝑦2 = 35
𝐷) 9𝑥2 − 7𝑦2 = 63
𝐸) 9𝑥2 − 25𝑦2 = 225
𝐻 ∶
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝐷𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:
𝑎 = 3 ; 𝑐 = 4
֜ 7𝑥2 − 9𝑦2 = 63
֜ 𝐻 ∶
𝑥2
9
−
𝑦2
7
= 1
֜ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ֜ 𝑏 = 7
𝒀
𝑿
𝑭𝟏(𝟒; 𝟎)
𝑽𝟏(𝟑; 𝟎)
16
APLICACIÓN 2 
Determine la ecuación de la
hipérbola cuyos focos son:
−7; 3 y −1; 3
y la longitud de su eje
transverso es 4u.
𝐴) 4𝑥2 − 5𝑦2 + 40𝑥 + 24𝑦 + 24
𝐵) 4𝑥2 + 5𝑦2 + 40𝑥 − 24𝑦 + 24
𝐶) 4𝑥2 − 4𝑦2 + 40𝑥 + 24𝑦 − 24
𝐷) 5𝑥2 − 4𝑦2 + 40𝑥 + 24𝑦 + 24
𝐸) 5𝑥2 + 4𝑦2 − 40𝑥 + 24𝑦 − 24
RESOLUCIÓN
𝐹1 −7; 3 𝐹2 −1; 3𝐶 −4; 3
2𝑎 = 4
2𝑐 = 6
Eje transverso: 2𝑎 = 4
→ 𝑎 = 2
2𝑐 = 6 → 𝑐 = 3
22 + 𝑏2 = 32 → 𝑏 = 5H:
𝑥 + 4 2
4
−
𝑦 − 3 2
5
= 1
Desarrollando: 𝐻: 5 𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 4 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 20
𝐻: 5𝑥2 − 4𝑦2 + 40𝑥 + 24𝑦 + 24 = 0
Clave: D
𝑋
𝑌
𝑏
𝑎
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
H:
17
APLICACIÓN 3 
Determine la ecuación de la
hipérbola cuyos focos son:
−2; 6 y 8; 6
La longitud del eje conjugado es 8u
𝐴)
𝑥 − 3 2
9
−
𝑦 − 6 2
16
= 1
𝐵)
𝑥 − 3 2
9
−
𝑦 − 6 2
15
= 1
𝐶)
𝑥 − 3 2
9
−
𝑦 + 6 2
10
= 1
𝐷)
𝑥 + 3 2
9
−
𝑦 − 6 2
25
= 1
𝐸)
𝑥 − 2 2
9
−
𝑦 − 6 2
16
= 1
RESOLUCIÓN
Focos: 𝐹1 −2; 6 𝑦 𝐹2 8; 6
Eje conjugado:
2𝑏 = 8 → 𝑏 = 4
2𝑐 = 10 → 𝑐 = 5
𝑏 = 4
𝑎 = 3
𝐹1 −2; 6 𝐹2 8; 6𝐶 3; 6
𝑋
𝑌
𝑎 𝑎
𝑐 𝑐
Centro: 𝐶 ℎ; 𝑘 = 𝐶 3; 6
𝐻:
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
𝐻:
𝑥 − 3 2
9
−
𝑦 − 6 2
16
= 1
Eje focal paralelo al eje X:
Clave: A
1818
Cuando el centro es el origen de coordenadas se obtiene :
Forma canónica de la ecuación de una hipérbola.
(Eje focal coincide con el
eje de ordenadas)
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
x
y