Integral de Línea

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Integral de Línea
MateDLG y CyADLG
Índice:
Integral de línea:
Definición
Interpretación
Teorema
Ejercicios
Independencia de Trayectoria
Definición
Campos conservativos
Teoremas fundamentales
Ejercicios
Integral de Línea
Recordar la clase 15 y 16
Recordemos sobre Campos Vectoriales
Dado un campo vectorial en es una función definida sobre un conjunto abierto y con valores en 
			donde 
Ejemplo:
Recordar
A una curva con una parametrización se le llama camino o trayectoria
Una función describe una curva cerrada si se cumple que:
Sea un camino continuo en Al camino se le llama regular si existe el vector derivada y esta derivada es continua en 
Curva seccionalmente regular
Un camino se llama seccionalmente regular si el intervalo dominio puede particionarse en un número finito de subintervalos , en cada uno de los cuales los caminos parciales correspondientes son regulares
Se denota: 
Definición
Sea un campo vectorial continua sobre el conjunto (conexo y abierto) y 
, una curva suave . Entonces la integral de línea de sobre el punto desde el punto hasta el punto 
Interpretación Física
Imagine que observa una partícula moviéndose a lo largo de una curva en y deseamos calcular el trabajo que realiza al mover la partícula desde un punto hasta el punto a lo largo de C.
Para facilitar la interpretación hagamos las siguientes comparaciones:
Supongamos que el campo de fuerzas represente el viento, y la partícula puede ser un avión volando dentro del campo de fuerzas, el cual puede estar soplando en una dirección totalmente diferente a la ruta del avión, arrastrándolo
Para hallar el trabajo hecho contra este campo de fuerzas del viento a lo largo de tomamos primero la componente de la fuerza a lo largo de la curva en un punto del cual el vector tangente unitario es:
Como:
En el i- ésimo tramo de longitud escogemos un punto cualquiera tal como Entonces podemos decir que el trabajo es realizado por el vector unitario del campo . 
Un valor aproximado para el trabajo realizado por el campo al desplazar la partícula sobre el i- ésimo tramos es:
Donde el trabajo total sería:
Observación
Pero, 
Donde: y 
Teorema
Sean y dos caminos de la curva .
Si y originan la misma orientación de :
Si y orientaciones opuestas de :
Es decir:
Además:
Notación
Si n = 2, 
 ; 
Si n = 3, 
 ; 
Ejemplo:
Sea la curva descrita por la función vectorial:
Y dado el campo vectorial:
Calcule 
Solución:
Las ecuaciones paramétricas son: 
Reemplazando en t:
Dado que: 
Recordando:
2. Calcule la integral de línea del campo sobre la parábola , desde hasta 
Solución:
Método 1:
Si parametrizamos de la siguiente forma:
Si parametrizamos de la siguiente forma:
Método 2:
Integral de línea con respecto a la longitud de arco
Sea , un campo escalar definido y acotado sobre una curva . La integral de línea respecto a la longitud de arco a lo largo de la curva se define y representa por:
Como 
3. Si recorre una sola vez la intersección de la esfera con el plano . Halle:
Solución:
Parametrizamos la curva :
Recordando:
 y 
Integral de Línea sobre caminos seccionalmente regulares
Dada una curva seccionalmente regular, se tiene la partición , de modo que se cumple:
Notación
Cuando la curva es cerrada, a la integral de línea del campo vectorial a lo largo de se le denota por los símbolos:
(antihorario)
(horario)
Ejemplo:
Evalue para donde es la curva cerrada de la figura:
Solución:
2. Halle la integral de línea del campo vectorial a lo largo del borde de la superficie de la intersección de los cilindros situada en el primer octante y recorrido en sentido horario visto desde el origen .
Solución:
Propiedades de las Integrales de Línea
Propiedad Lineal: Si y son constantes en :
Propiedad Aditiva: Si 
Independencia de Trayectorias y Campos Conservativos
Introducción
De lo visto en las secciones anteriores deducimos que en forma general, la integral de línea de campos vectoriales entre dos puntos depende de la trayectoria que une dichos puntos. Sin embargo, hemos hallado que la integral de línea de un campo vectorial constante es independiente de la trayectoria y que dependen solo de los puntos inicial y final. Si nos preguntamos ¿existen otros campos vectoriales con esa misma propiedad? Y si así fuese, ¿qué características tendrían dichos campos?
Sea el campo analice la integral de línea por dos caminos que unen el punto y 
Vemos que la integral de desde el punto hasta toma valores diferentes al modificar la trayectoria de A hacia B.
Es por esto que decimos que la integral 
Depende de la trayectoria que une de con 
Sea el campo analice la integral de línea por dos caminos que unen el punto y 
Vemos que la integral de desde el punto hasta toma valores iguales al modificar la trayectoria de A hacia B.
Es por esto que decimos que la integral 
No depende de la trayectoria que une de con 
Definición
Sea un conjunto abierto y conexo y sea un campo vectorial continuo en cada punto de . Se dice que la integral de línea del campo es independiente de la trayectoria si es que para cualesquiera que sean el par de puntos y de el valor de la integral de línea de entre dichos puntos depende solo de los puntos y y no del camino que los une. 
Segundo teorema fundamental del cálculo de integrales de línea
Sea un campo escalar con gradiente continua en una región abierta conexa . Sí y son dos puntos cualesquiera en unidos por un camino regular u trozos contenidos en , entonces se verifica:
Demostración:
Definimos la función real , tal que:
Tenemos que para el camino regular , se tiene:
y reordenando la integral:
De (1):
Generalización
En general si es seccionalmente regular, existe una partición del intervalo en un número finito de subintervalos que divide a la curva tal que:
 entonces, se cumple:
Observación: De este teorema se concluye que la integral de un gradiente es independiente del camino en cualquier conjunto abierto y conexo sobre el cual este gradiente sea continuo
Teorema
Sea un campo escalar con gradiente continua en una región abierta conexa .
Sí y son dos puntos cualesquiera en unidos por un camino cerrado contenidos en , entonces:
Observación: La notación denota una integral de línea, que se calcula igual que siempre, pero donde se hace énfasis en que es una trayectoria cerrada.
Corolario: La integral de línea de un gradiente continuo sobre un conexo y abierto, es igual a 0 a lo largo de toda curva cerrada seccionalmente regular contenida en 
Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
Sea un campo vectorial continuo sobre un conjunto conexo abierto , tal que la integral de línea de sea independiente de la trayectoria en , un campo escalar, donde:
Para cualquier camino seccionalmente regular en la gradiente existe y satisface que para todo :
La demostración de este teorema no es inmediato, por lo cual se obviará la demostración
Campo conservativo
Llamamos a un campo vectorial conservativo si satisface cualquiera de las siguientes propiedades:
La integral de línea de es independiente de su trayectoria
 es un camino cerrado
Si es el gradiente de un campo escalar sobre un conjunto abierto.
Observación: Para el último caso, a la función se le llama función potencial escalar del campo vectorial , es decir si satisface:
Condición necesaria para que un campo vectorial sea un gradiente
Si es un campo vectorial de clase (diferenciable con continuidad) sobre un conjunto abierto , y si es un gradiente en entonces las derivadas parciales de las componentes de están relacionadas, en todo punto de 
 donde 
Resumen: es conservativo en si el campo vectoriales diferenciable en cada punto de y si verifica que:
Casos particulares
Para : y las ecuaciones se reducen a una sola:
Para : :
Las ecuaciones son equivalentes a las tres siguientes:
Para , existen ecuaciones de esta clase
Demostración para n=2
Dado que es conservativo, entonces existe una función escalar tal que . Esto implica que:
Como y son diferenciables continuas en , entonces recordemos que se cumple: . Por lo tanto:
De forma similar Demuestre para 
Observación:
Sea el campo vectorial:
Cuyo dominio es el conjunto Probar que se verifica en cada punto de , pero no es conservativo.
Solución:
Identificamos:
Luego:
Encontramos que se verifica en cada punto de . Así cumple la condición necesaria que estable el teorema para que pueda ser conservativo. Sin embargo, consideremos la curva es la circunferencia de la ecuación vectorial con . Entonces la integral de línea sobre es:
Encontramos que la integral de línea es diferente de cero. Por lo tanto concluimos que el campo es un gradiente en Nótese también que es una región conexa. Es decir, un campo vectorial puede ser un gradiente en una región conexa pero sin embargo, no ser conservativo en dicha región.
Teorema (Generalización de campo conservativo)
Sea un campo vectorial diferenciable con continuidad en un conjunto convexo abierto de El campo es conservativo en si y solo sí se verifica que:
Convexo
Convexo
Teorema 2.0 
Sea un conjunto simplemente conexo en y sea el campo vectorial
, donde y son campos escalares diferenciables con continuidad en cada punto de El campo es conservativo en si y solo sí:
En cada punto de 
Simplemente conexo
No simplemente conexo
Ejercicios:
Sea el campo vectorial:
Pruebe que el campo es conservativo. Luego, calcule 
Solución:
Esta igualdad se verifica en todo por lo que el campo es conservativo. Entonces demos hallar un campo escalar 
Lo que implica que:
Primero, integramos P con x como la variable de integración, tal que:
Pero recordemos que:
Entonces procedemos a derivar la ecuación con respecto a y:
Igualamos:
Reemplazando en :
Luego, por el segundo teorema fundamental :
2. Determine si tiene una función potencial Si es así encontrarla.
Solución:
Esta igualdad se verifica en todo por lo que el campo es conservativo. Entonces demos hallar un campo escalar 
Lo que implica que:
Integramos la primera ecuación con respecto a x:
Luego, derivamos f con respecto a y e igualamos a la segunda ecuación:
Reemplazamos:
Respuesta:
La función potencial del campo vectorial sobre es 
3. Calcule la circulación (integral de línea) del campo vectorial:
a lo largo de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
Solución:
Se verifican las 3 igualdades en todo , dado que este es un conjunto conexo, se concluye que es conservativo en todo el espacio .
Dado que para el punto en la curva es y para 
 el punto es , entonces la integral de línea es:
Método 1:
Puesto que es conservativo, entonces existe un escalar tal que por lo que se cumple:
En:
Integrando respecto a y:
En:
Integrando respecto a z:
Por aplicación del segundo teorema fundamental:
Método 2:
Buscando trayectorias:
Siguiendo trayectorias rectilíneas paralelas a los ejes coordenados, uniendo el punto con y luego este punto con y finalmente este punto con .
Se muestran las trayectorias . En una trayectoria paralela al eje x las coordenadas y y z se mantienen constantes. Entonces implica que y el integrando de se reduce a . Análogamente para la trayectoria paralela al eje donde y son constantes, entonces y el integrando se reduce a y finalmente para la trayectoria paralela al eje , donde y son constantes, lo que implica que .
Entonces la integral de línea pedida es equivalente a:
En 
En 
En 
Finalmente:
Observación
Recordemos que:
Teorema
Sea un conjunto simplemente conexo en en y sea el campo vectorial:
donde y son campos escalares diferenciables con continuidad en cada punto de El campo es conservativo en si y solo si en cada punto de .
Observación:
A los campos conservativos también se les denomina campos irrotacionales.
El módulo de una fuerza es inversamente proporcional a la distancia entre su punto de aplicación y el origen de coordenadas y siempre está dirigido hacia dicho origen. Calcular el trabajo realizado al desplazar una partícula a lo largo de la curva de intersección del elipsoide y el plano , desde el punto hasta el punto en sentido antihorario visto desde el eje positivo.
Solución:
Si es el punto de aplicación de la fuerza, entonces la distancia de este punto al origen de coordenadas es 
. Así es el campo de fuerzas definido, entonces su módulo es:
Donde es una constante positiva. Si dicha fuerza está dirigida siempre hacia el origen, entonces el vector unitario del punto al origen es:
De 
Nótese que el dominio de este campo es . Este dominio es simplemente conexo. El rotacional del campo es:
Al desarrollar el rotacional, este nos dará como resultado que es nulo, en una región conexa, entonces concluimos que es conservativo en su dominio. Si es una función potencial para , entonces
En:
Integrando respecto a y:
En:
Integrando respecto a z:
Dado que la integral de línea depende solo del punto inicial y del final, entonces:
1222
XY1(1,1)
ZXY
YX
YX
YX
ZXY