CLASE-3--Ejercicios-obligatorios

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2400 - Matemática I 
 
 
1 
 
CLASE N°3 - Ejercicios obligatorios 
TRABAJO PRÁCTICO N° 2: LÍMITES 
 
Ejercicio 8 a) Indeterminaciones del tipo (→ +∞) − (→ +∞) 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
3
𝑥3 − 1
−
1
𝑥 − 1
) = 
Para saber a ciencia cierta si este límite está indeterminado o no deberíamos calcular sus 
límites laterales. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
(
3
𝑥3 − 1
−
1
𝑥 − 1
) = (?∞) − (?∞) 
Para determinar los signos de cada infinito y así ver si el límite está indeterminado o no 
hacemos algunos cálculos con valores de 𝑥 → 1+ 
Por ejemplo, si 𝑥 = 1,01: 
3
1,013 − 1
−
1
1,01 − 1
=
3
0,030301
−
1
0,01
= (+99,0066) − (+100) 
Por ejemplo, si 𝑥 = 1,001: 
3
1,0013 − 1
−
1
1,001 − 1
=
3
0,030301
−
1
0,001
= (+999,0006663) − (+1000) 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
(
3
𝑥3−1
−
1
𝑥−1
) = (+∞) − (+∞) finalmente está indeterminado 
 
Si hacemos lo mismo para el límite de la función con 𝑥 → 1− llegaríamos a un resultado 
similar: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
(
3
𝑥3 − 1
−
1
𝑥 − 1
) = 
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2 
 
Por ejemplo, si 𝑥 = 0,99: 
3
0,993 − 1
−
1
0,99 − 1
=
3
−0,029701
−
1
−0,01
= (−101,0067001) − (−100) 
Por ejemplo, si 𝑥 = 0,999: 
3
0,9993 − 1
−
1
0,999 − 1
=
3
−0,002997
−
1
−0,001
= (−1001,000667) − (−1000) 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
(
3
𝑥3−1
−
1
𝑥−1
) = (−∞) − (−∞) finalmente está indeterminado 
Como veíamos hoy en clases hacer esto muchas veces (no siempre) supone una pérdida de 
tiempo y no resuelve el límite. Es por esto que a veces uno evita esta verificación y para ir 
directamente al paso siguiente. 
Bien, estamos como al principio, sin resolver el límite aún. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
3
𝑥3 − 1
−
1
𝑥 − 1
) = 
Ahora sí, comencemos. En este caso se debe realizar la resta entre las expresiones algebraicas 
racionales, para eso se calcula el mínimo común múltiplo (común denominador) factorizando 
los denominadores. 
𝑥3 − 1 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥2 + 𝑥 + 1) aplicando es 6to caso de factoreo 
𝑥 − 1 = (𝑥 − 1) puesto que es irreducible 
común denominador = (𝑥 − 1). (𝑥2 + 𝑥 + 1) 
Usando ahora común denominador entre las fracciones 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
3
𝑥3 − 1
−
1
𝑥 − 1
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
[
3.1 − (𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
] = 
 común denominador 
 
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Ahora aplicamos la distributiva y operamos entre los términos semejantes 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
[
3 − 1 ⋅ (𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
−𝒙𝟐 − 𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 
 
Esto que sigue en azul es por el reemplazo en −𝑥2: 
Si tengo 2𝑥2 − 𝑥 + 2 y reemplazo en 𝑥 un 1 obtengo 2. 12 − 1 + 2 = 2 − 1 + 2 
Si tengo −𝑥2 − 𝑥 + 2 y reemplazo en 𝑥 un 1 obtengo −1. 12 − 1 + 2 = −1 − 1 + 2 = 0 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
−1. 𝑥2 − 𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
=
→ 0
→ 0
 
Al reemplazar la variable, la expresión presenta una indeterminación del tipo 
0
0
, 
se factoriza entonces el numerador a través de la fórmula: 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 = 𝑨. (𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
Entonces nuestro numerador quedará: 
−𝑥2 − 𝑥 + 2 = −1. (𝑥 − 1). (𝑥 + 2) 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
−𝑥2 − 𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
−(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
−(𝑥 + 2)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
=
−3
3
= −1 
 
___________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 8 d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥 − √𝑥2 + 2) = (→ +∞) − (→ +∞) 
 
En este caso se amplifica la expresión mediante el conjugado para modificar la 
indeterminación 
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4 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥 − √𝑥2 + 2) ⋅
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥)2 − (√𝑥2 + 2)
2
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
= 
El radicando 𝑥2 + 2 es un número positivo (suma de términos positivos 𝑥2 ≥ 0 y 2 > 0), 
y por lo tanto puedo simplificar (√𝑥2 + 2)
2
= 𝑥2 + 2, entonces: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥)2 − (√𝑥2 + 2)
2
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥2 − (𝑥2 + 2)
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
= 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥2 − 𝑥2 − 2
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
−2
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
 
En la última expresión el denominador tiende a infinito, por lo tanto 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
−2
(𝑥 + √𝑥2 + 2)
= 0 
___________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 9 a) Indeterminaciones del tipo: → 1(→∞) 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 −
1
𝑥
)
𝑥
= (→ 𝟏)→∞ 
Hay que usar el límite fundamental: 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞
(𝟏 +
𝟏
𝒇(𝒙)
)
𝒇(𝒙)
= 𝒆 
𝒔𝒊 𝒇(𝒙) → +∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → +∞ 
entonces reasigno los signos 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
1
−𝑥
)
𝑥
= 
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5 
 
Ahora para la fórmula pienso 𝑢 = −𝑥, falta que el exponente sea también −𝑥, para esto se 
puede escribir 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
1
−𝑥
)
−𝑥⋅(−1)
 
Y agrupar utilizando la recíproca de la propiedad potencia de potencia 
Producto de potencias de igual base 𝟐𝟑. 𝟐𝟒 = 𝟐𝟑+𝟒 
Potencia de potencia (𝟐𝟓)
𝟑
= 𝟐𝟓.𝟑 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞
(𝟏 +
𝟏
𝒇(𝒙)
)
𝒇(𝒙)
= 𝒆 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[(1 +
1
−𝑥
)
−𝑥
]
(−1)
 
Por último, todo el corchete tiende a 𝑒 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[(1 +
1
−𝑥
)
−𝑥
]
(−1)
= 𝑒−1 
 
___________________________________________________________________________________________________ 
 
Ejercicio 9 c) 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
1 + 5𝑥
3 + 5𝑥
)
2𝑥−1
= (1)∞ 
Aquí vemos a qué tiende la base, es como los ejercicios 7 a, b, c, d: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 + 5𝑥
3 + 5𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 + 5𝑥
𝑥
3 + 5𝑥
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1
𝑥 +
5𝑥
𝑥
3
𝑥 +
5𝑥
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1
𝑥 + 5
3
𝑥 + 5
=
5
5
= 1 
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Se usa la misma estructura que en el ejercicio anterior, en este caso primero hay que escribir 
la base de la potencia como una suma, para eso se suma y se resta una unidad y se asocia 
convenientemente 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞
(𝟏 +
𝟏
𝒇(𝒙)
)
𝒇(𝒙)
= 𝒆 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(+𝟏 +
1 + 5𝑥
3 + 5𝑥
− 𝟏)
2𝑥−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[1 + (
1 + 5𝑥
3 + 5𝑥
− 1)]
2𝑥−1
= 
Ahora se resuelve el paréntesis 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[1 + (
𝟏 + 𝟓𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙
−
𝟏
𝟏
)]
2𝑥−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
{1 + [
(𝟏 + 𝟓𝒙) − 𝟏 ⋅ (𝟑 + 𝟓𝒙)
𝟑 + 𝟓𝒙
]}
2𝑥−1
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
{1 + [
𝟏 + 𝟓𝒙 − 𝟑 − 𝟓𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙
]}
2𝑥−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
−𝟐
𝟑 + 𝟓𝒙
)
2𝑥−1
 
Ahora es necesario que la fracción tenga numerador unitario, para eso puede escribirse 
−𝟐
𝟑 + 𝟓𝒙
=
𝟏
𝟑 + 𝟓𝒙
−𝟐
 
reemplazando 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
−𝟐
𝟑 + 𝟓𝒙
)
2𝑥−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
𝟏
𝟑 + 𝟓𝒙
−𝟐
)
2𝑥−1
= 
 
Ahora en la estructura considero que 𝑓(𝑥) =
3+5𝑥
−2
 y se necesita en el exponente, entonces se 
agrega multiplicando a su inverso y se asocia convenientemente 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
1
3 + 5𝑥
−2
)
3+5𝑥
−2
 ⋅ 
−2
3+5𝑥
 ⋅ (2𝑥−1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
3 + 5𝑥
−2
)
3+5𝑥
−2
 
]
 
 
 
 
−2
 3+5𝑥
 ⋅ (2𝑥−1)
= 
Usando propiedades de límite se puede escribir 
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[
 
 
 
 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞
(𝟏 +
𝟏
𝟑 + 𝟓𝒙
−𝟐
)
𝟑+𝟓𝒙
−𝟐
]
 
 
 
 
𝒍𝒊𝒎
 𝒙→+∞
−𝟐(𝟐𝒙−𝟏)
𝟑+𝟓𝒙
 
Donde el corchete tiene a 𝒆 y el exponente es una indeterminación del tipo 
∞
∞
 que puede 
resolverse según el método visto anteriormente 
Exponente: 
𝒍𝒊𝒎
 𝒙→+∞
−𝟒𝒙 + 𝟐
𝟑 + 𝟓𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
 𝒙→+∞
−𝟒 +
𝟐
𝒙
𝟓 +
𝟑
𝒙
= −
𝟒
𝟓
 
𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
−4𝑥+2
3+5𝑥 = 𝑒−
4
5 
___________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 9 e) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 − 2𝑥)
3
𝑥 = 1∞ 
Hay que usar la estructura 
.𝒍𝒊𝒎
𝒖→𝟎
(𝟏 + 𝒖)
𝟏
𝒖 = 𝒆 
Reescribo los signos. Ahora la expresión −2𝑥 ocupa el lugar de 𝑢, y es necesario que 
aparezca en el exponente, de modo que amplifico utilizando la expresiónmultiplicando a su 
inverso, luego se asocia convenientemente 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[1 + (−2𝑥)]
1
−2𝑥
 ⋅ (−2𝑥)⋅
3
𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
{[1 + (−2𝑥)]
1
−2𝑥}
(−2𝑥)⋅
3
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
{[1 + (−2𝑥)]
1
−2𝑥}
−6
 
La expresión entre llaves tiende a 𝑒, por lo tanto (−2𝑥) ⋅
3
𝑥
= −2.3 = −6 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
{[1 + (−2𝑥)]
1
−2𝑥}
−6
= 𝑒−6 
___________________________________________________________________________________________________ 
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Ejercicio 9 f) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
2
𝑥 = 1∞ 
Se usa la misma estructura del ejercicio anterior, en este caso la expresión 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ocupa el 
lugar de 𝑢, que debe aparecer en el exponente, así que se amplifica multiplicando a su inverso 
y se asocia a conveniencia 
𝒍𝒊𝒎
𝒖→𝟎
(𝟏 + 𝒖)
𝟏
𝒖 = 𝒆 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥⋅
2
𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥]
𝑠𝑒𝑛 𝑥⋅
2
𝑥
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥]
2⋅𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 
Aplicamos propiedades de los límites 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
 
𝟐⋅𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟐 ∙ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟐. 𝟏 = 𝟐 
[𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
(𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝒙]
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
 
𝟐⋅𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= [𝒆]
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 
2⋅𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 = 𝑒2 
___________________________________________________________________________________________________ 
 
Ejercicio 9 i) 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[1 + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)]
7
𝑥 = 1∞
 
Un ejercicio muy similar al anterior, amplifico el exponente y asocio 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[1 + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)]
1
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)⋅
7
𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
{[1 + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)]
1
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)}
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)⋅
7
𝑥
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
{[1 + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)]
1
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)}
7⋅𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥
 
 
 
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Aplicamos álgebra de límites 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
7 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥
⋅ 5) 
{𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[1 + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)]
1
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)}
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
7⋅𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
7⋅𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥
⋅
5
5 = 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
35⋅𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥 = 𝑒35 
___________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 14 a) ASÍNTOTAS 
 
𝑓(𝑥) =
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
 
Hay que analizar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. 
Empezando por las asíntotas verticales, se necesitan las raíces del denominador, usando la 
fórmula resolvente de la ecuación cuadrática 
2𝑥2 + 2𝑥 − 4 = 0 
se obtienen 𝑥 = −2 ∧ 𝑥 = 1. 
Se debe ahora analizar los límites con tendencia en esos valores. 
Primero en 𝑥 = −2 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
=
−24 + 36 − 12
→ 0
=
→ 0
→ 0
 
Es una indeterminación del tipo 
(→0)
(→0)
 así que se factorizan numerador y denominador 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(𝑥 + 2) ⋅ (3𝑥2 + 3𝑥 − 6)
2(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(3𝑥2 + 3𝑥 − 6)
2(𝑥 − 1)
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
3𝑥2 + 3𝑥 − 6
2(𝑥 − 1)
=
3(−2)2 + 3(−2) − 6
2((−2) − 1)
=
12 − 6 − 6
2(−3)
=
0
−6
 
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= 0 
Puesto que el límite es finito 𝑥 = −2 no es asíntota vertical 
Ahora en 𝑥 = 1 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
=
0
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(𝑥 − 1)(3𝑥2 + 12𝑥 + 12)
2(𝑥 + 2). (𝑥 − 1)
= 
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(3𝑥2 + 12𝑥 + 12)
2(𝑥 + 2)
=
3 + 12 + 12
2.3
=
27
6
=
9
2
 
Puesto que el límite es finito 𝑥 = 1 no es asíntota vertical 
Ahora para las asíntotas horizontales se analizan los límites tendientes a los infinitos 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
= 
Como la función es racional el límite tendiendo a −∞ se resuelve exactamente igual y da el 
mismo resultado. 
Es una indeterminación del tipo 
(→∞)
(→∞)
 con 𝑥3 como infinito de mayor orden 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
𝑥3
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
𝑥3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
 
3𝑥3
𝑥3
+
9𝑥2
𝑥3
−
12
𝑥3
 
 
2𝑥2
𝑥3
+
2𝑥
𝑥3
−
4
𝑥3
 
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
3 +
9
𝑥 −
12
𝑥3
 
2
𝑥 +
2
𝑥2
−
4
𝑥3
 
=
→ 3
→ 0
= ∞ 
El límite es infinito y la función entonces no tiene asíntotas horizontales. 
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Por último, las asíntotas oblicuas, que deben tener la forma 𝑦 = 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑏, para eso se 
utilizaprimero la fórmula de la pendiente 𝑚. 
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
⋅
1
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥
= 
Nuevamente una indeterminación del tipo 
(→∞)
(→∞)
 con 𝑥3 como infinito de mayor orden 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
𝑥3
 
 
2𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥
𝑥3
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
3𝑥3
𝑥3
+
9𝑥2
𝑥3
−
12
𝑥3
 
 
2𝑥3
𝑥3
+
2𝑥2
𝑥3
−
4𝑥
𝑥3
 
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 3 +
9
𝑥 −
12
𝑥3
 
 2 +
2
𝑥 −
4
𝑥2
 
=
3
2
 
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚 =
3
2
 
Como la recta tiene pendiente finita no nula la función tiene asíntota oblicua, se calcula 
entonces 𝑏 usando la fórmula 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
−
3
2
. 𝑥) = 
3
2
. 𝑥 =
3. 𝑥
2
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12
2𝑥2 + 2𝑥 − 4
 − 
3𝑥
2
) = 
2𝑥2 + 2𝑥 − 4 = 2(𝑥2 + 𝑥 − 2) 
Que es una indeterminación del tipo ∞ −∞, se calcula entonces el denominador común y se 
opera la expresión algebraica 
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𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(3𝑥3 + 9𝑥2 − 12) − 3𝑥. (𝑥2 + 𝑥 − 2)
2. (𝑥2 + 𝑥 − 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12 − 3𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥
2(𝑥2 + 𝑥 − 2)
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥3 + 9𝑥2 − 12 − 3𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥
2(𝑥2 + 𝑥 − 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
6𝑥2 + 6𝑥 − 12
2(𝑥2 + 𝑥 − 2)
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2 ⋅ (3𝑥2 + 3𝑥 − 6)
2(𝑥2 + 𝑥 − 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥2 + 3𝑥 − 6
𝑥2 + 𝑥 − 2
= 
Una indeterminación del tipo 
(→∞)
(→∞)
 con 𝑥2 como infinito de mayor orden 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥2 + 3𝑥 − 6
𝑥2
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
3𝑥2
𝑥2
+
3𝑥
𝑥2
−
6
𝑥2
𝑥2
𝑥2
+
𝑥
𝑥2
−
2
𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3 +
3
𝑥 −
6
𝑥2
1 +
1
𝑥 −
2
𝑥2
= 3 
Para terminar, como resultaron 𝑚 =
3
2
 ∧ 𝑏 = 3 la función tiene por asíntota oblicua a 
𝑦 =
3
2
𝑥 + 3 
___________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 14 c) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2+4𝑥−6
3𝑥3+12𝑥2−3𝑥−12
 
Calculamos primero las raíces del denominador para determinar las “candidatas” a asíntotas 
verticales. 
3𝑥3 + 12𝑥2 − 3𝑥 − 12 = 0 
 
Reemplazo por 1;−1; 2; −2; 3;−3 (se puede usar el lema de Gauss, pero esto también 
sirve) para hallar alguna raíz. Cuando la encontremos utilizaremos Ruffini para hallar el resto 
de las raíces. 
3. 23 + 12. 22 − 3.2 − 12 = 24 + 48 − 6 − 12 = 54 2 no es raíz 
3. 13 + 12. 12 − 3.1 − 12 = 3 + 12 − 3 − 12 = 0 1 es raíz, luego utilizo Ruffini 
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13 
 
Entonces 𝑥 = 1 es raíz 
3𝑥3 + 12𝑥2 − 3𝑥 − 12 = (𝑥 − 1). (3𝑥2 + 15𝑥 + 12) 
Factoreamos la cuadrática 3𝑥2 + 15𝑥 + 12 
Con la fórmula 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝐴. (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
3𝑥2 + 15𝑥 + 12 = 3(𝑥 + 1)(𝑥 + 4) 
Finalmente el denominador queda factoreado así: 
3𝑥3 + 12𝑥2 − 3𝑥 − 12 = 3. (𝑥 − 1). (𝑥 + 1). (𝑥 + 4) 
Para las asíntotas verticales analizo las raíces del denominador, puede usarse también el 
lema de Gauss o casos de factoreo, resultan 𝑥 = −4 ∧ 𝑥 = −1 ∧ 𝑥 = 1. 
Ahora sí calculemos los límites… 
• 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4
2𝑥2+4𝑥−6
3𝑥3+12𝑥2−3𝑥−12
= ∞ 
Puesto que el límite es infinito entonces 𝒙 = −𝟒 es asíntota vertical 
• 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2𝑥2+4𝑥−6
3𝑥3+12𝑥2−3𝑥−12
= ∞ 
Puesto que el límite es infinito 𝒙 = 𝟏 es asíntota vertical 
• 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2𝑥2+4𝑥−6
3𝑥3+12𝑥2−3𝑥−12
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2(𝑥+3) (𝑥−1)
3(𝑥+4)(𝑥+1) (𝑥−1)
=
𝟒
𝟏𝟓
 
Puesto que el límite es finito 𝒙 = 𝟏 no es asíntota vertical 
Ahora para las asíntotas horizontalesse analizan los límites tendientes a los infinitos 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2𝑥2 + 4𝑥 − 6
3𝑥3 + 12𝑥2 − 3𝑥 − 12
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2𝑥2 + 4𝑥 − 6
𝑥3
3𝑥3 + 12𝑥2 − 3𝑥 − 12
𝑥3
 
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14 
 
⇒ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2𝑥2 + 4𝑥 − 6
𝑥3
3𝑥3 + 12𝑥2 − 3𝑥 − 12
𝑥3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2
𝑥 +
4
𝑥2
−
6
𝑥3
3 +
12
𝑥 −
3
𝑥2
−
12
𝑥3
= 0 
El límite tendiendo a −∞ se resuelve exactamente igual y da el mismo resultado, por lo 
tantolos límites son finitos y la función tiene asíntota horizontal en 𝑦 = 0 
Por último, la función no puede tener en simultaneo asíntotas horizontales y oblicuas, por lo 
tanto, no tiene asíntotas oblicuas. 
___________________________________________________________________________________________________ 
 
Ejercicio 14 d) 𝑓(𝑥) =
𝑥3+2𝑥2+5𝑥+20
𝑥2−4
 
Para las asíntotas verticales, las raíces del denominador son 𝑥 = −2 ∧ 𝑥 = 2. 
• 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥3+2𝑥2+5𝑥+20
𝑥2−4
= ∞ 
Puesto que el límite es infinito entonces 𝒙 = −𝟐 es asíntota vertical 
• 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥3+2𝑥2+5𝑥+20
𝑥2−4
= ∞ 
El límite es infinito entonces también 𝒙 = 𝟐 es asíntota vertical 
Ahora para las asíntotas horizontales 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 20
𝑥2 − 4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3
𝑥3
+
2𝑥2
𝑥3
+
5𝑥
𝑥3
+
20
𝑥3
𝑥2
𝑥3
−
4
𝑥3
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3
𝑥3
+
2𝑥2
𝑥3
+
5𝑥
𝑥3
+
20
𝑥3
𝑥2
𝑥3
−
4
𝑥3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 +
2
𝑥 +
5
𝑥2
+
20
𝑥3
1
𝑥
−
4
𝑥3
= ∞ 
El límite tendiendo a −∞ se resuelve exactamente igual y da el mismo resultado, por lo 
tanto,los límites son infinitos y la función no tiene asíntotas horizontales. 
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15 
 
Por último, las asíntotas oblicuas 
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 20
𝑥2 − 4
⋅
1
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 20
𝑥3 − 4𝑥
= 1 
Se calcula entonces 𝑏 puesto que tiene pendiente finita no nula 
𝑏 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 20
𝑥2 − 4
− 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 20) − 𝑥 ⋅ (𝑥2 − 4)
𝑥2 − 4
= 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 20 − 𝑥3 + 4𝑥
𝑥2 − 4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2𝑥2 + 9𝑥 + 20
𝑥2 − 4
= 2 
Para terminar 𝑚 = 1 ∧ 𝑏 = 2 entonces la función tiene por asíntota oblicua a 𝑦 = 𝑥 + 2 
¡Fin! 
 
EXTRAS 
7b original 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥5+8𝑥3
2𝑥5+1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥5+8𝑥3
𝑥5
2𝑥5+1
𝑥5
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1+
8
𝑥2
2+
1
𝑥5
=
1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1𝑥5+8𝑥3
2𝑥5+1
=
1
2
 
7b1(modificado) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥7+8𝑥3
2𝑥5+1
= ∞ 
7b2(modificado) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥2+8𝑥3
4𝑥4−9
= 0 
Cuestiones que recordar. 
Esto es para que se acostumbren a ver la misma expresión de diferentes formas 
𝑠𝑒𝑛(5𝑥) ⋅
7
𝑥
= 7 ⋅
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥
= 7𝑠𝑒𝑛(5𝑥).
1
𝑥
=
7. 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥
 
Y esto que viene a continuación es respecto a una raíz y de porqué aparece el signo 
cambiado cuando está con la x. 
En 𝑥 − 3 el que hace cero es 𝑥 = 3 
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16 
 
Si el que hace cero a una exprexión es 𝑥 = 5 ¿cuál sería la expresión? Rta.: 𝑥 − 5 
Si el que hace cero a una exprexión es 𝑥 = −1 ¿cuál sería la expresión? Rta.: 𝑥 + 1 
Si el que hace cero a una exprexión es 𝑥 = 2 ¿cuál sería la expresión? Rta.: 𝑥 − 2 
Si el que hace cero a una exprexión es 𝑥 = −3 ¿cuál sería la expresión? Rta.: 𝑥 + 3 
Ahora sí, ¡fin!