Clase-4---Teorica-(Parte-1)

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Clase 4 – Teórica 
1ª parte 
 
EJERCICIO 
Encontrar los puntos de discontuidad de 𝑓(𝑥) y clasificarlos 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
𝑥2 − 9
 
Calculemos primero el dominio: 
𝑥2 − 9 = 0 
𝑥2 = 9 
𝑥 = ±3 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {−3; 3} 
Entonces ahora deberemos estudiar la continuidad en esos puntos que no son del dominio. 
Deberemos tener presente siempre la definición de función continua en un punto pues se usa para resolver 
los ejercicios. 
 
En 𝒙 = 𝟑 
1°) 𝑓(3) =
3+3
32−9
=
6
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(3) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 3 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
 
 𝑥+3
 𝑥2−9 
= ∞ 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = 3 con salto infinito. 
 
En 𝒙 = −𝟑 
1°) 𝑓(−3) =
−3+3
(−3)2−9
=
0
0
∉ ℝ entonces ∄𝑓(3) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = −3 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 𝑥+3
 𝑥2−9 
=
→0
→0
 está indeterminado 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 𝑥+3
 𝑥2−9 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 𝑥+3
(𝑥−3)(𝑥+3) 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 1
(𝑥−3) 
= −
1
6
 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua EVITABLE en 𝑥 = −3 
 
 
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EJERCICIO 
Encontrar los puntos de discontuidad de 𝑓(𝑥) y clasificarlos. Redefinirla en caso de ser posible. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
 
Calculemos primero el dominio: 
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {−1; −2} 
Entonces ahora deberemos estudiar la continuidad en esos puntos que no son del dominio. 
 
En 𝒙 = −𝟏 
1°) 𝑓(−1) =
(−1)2−4
(−1)2+3(−1)+2
=
−3
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(−1) 
Luego 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = −1 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥2−4
𝑥2+3𝑥+2
=
→−3
→0
= ∞ 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = −1 con salto infinito 
 
En 𝒙 = −𝟐 
1°) 𝑓(−2) =
(−2)2−4
(−2)2+3(−2)+2
=
0
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(−2) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = −2 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥2+3𝑥+2
=
→0
→0
 está indeterminado 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥2+3𝑥+2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(𝑥−2)(𝑥+2)
(𝑥+1)(𝑥+2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥−2
𝑥+1
=
−4
−1
= 4 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua EVITABLE en 𝑥 = −2 
 
En los puntos donde la función es discontinua evitable es posible redefinirla para que sea continua. 
Redefinición 
𝑓∗(𝑥) = {
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −2 ∧ 𝑥 ≠ −1
 4 𝑠𝑖 𝑥 = −2
 
Si usted vuelve a estudiar la continuidad, ahora de 𝑓∗(𝑥), descubrirá que para 𝑥 = −1 sigue siendo 
discontinua esencial, en cambio para 𝑥 = −2 ahora esta función es continua. 
 
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Estudiar la continuidad de la siguiente función 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 1 𝑥 < −1
−𝑥2 −1 ≤ 𝑥 < 2
1
𝑥 − 4
𝑥 > 2
 
 
 2𝑥 + 1 −𝑥2 
1
𝑥−4
 
 
 −1 2 
Estudiaremos la continuidad de esta función en los puntos que pudieran tener algún tipo de discontinuidad. 
Estos puntos son en donde cambian los tramos de la función y en donde se anula el denominador de uno de 
los tramos. Es decir, estudiaremos la continuidad en 𝑥 = −1 , 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4. 
 
En 𝒙 = −𝟏 
1°) 𝑓(−1) = −1. (−1)2 = −1 
2°) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
 𝑓(𝑥) = 
Para calcular este límite deberemos calcular los límites laterales ya que la función cambia sus tramos 
a izquierda y a derecha de 𝑥 = −1 
𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−
(2𝑥 + 1) = 2. (−1) + 1 = −1 
𝐿2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
(−𝑥2) = −(−1)2 = −1 
𝐿1 = 𝐿2 entonces existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
 𝑓(𝑥) = − 1 
3°) 𝑓(−1) = lim
𝑥→−1
 𝑓(𝑥) 
−1 = −1 
Como se cumplieron las 3 condiciones para que una función sea continua en un punto podemos 
afirmar que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = −1. 
 
En 𝒙 = 𝟐 
1°) ∄𝑓(2) pues la función no está definida para 𝑥 = 2 
Luego 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 2 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = 
Para calcular este límite deberemos calcular los límites laterales ya que la función cambia sus tramos 
a izquierda y a derecha de 𝑥 = 2 
𝐿1 = lim
𝑥→2−
 (−𝑥2) = −4 
 
 
 
𝐿2 = lim
𝑥→2+
(
1
𝑥 − 4
) = −
1
2
 
 
𝐿1 ≠ 𝐿2 entonces ∄ lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) 
Luego 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = 2 con salto finito 
 
En 𝒙 = 𝟒 
1°) 𝑓(4) =
1
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(4) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 4 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
 
1
𝑥−4
= ∞ 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = 4 con salto infinito