Clase-8-(con-aclaraciones)

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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°8: Teoremas sobre Funciones Derivables. 
 
1. Objetivo/s de la clase: 
Estudio de teoremas sobre funciones derivables y su aplicaciones. 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoremas sobre funciones 
derivables 
Teorema de 
L’Hôpital 
Teorema de 
Fermat 
Teorema de Rolle Teorema de 
Lagrange 
Interpretación geométrica y aplicación 
Teorema de 
Cauchy 
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3. TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES- TEOREMA DE L'HÔPITAL 
1) TEOREMA DE FERMAT: 
 
 
 
 
Interpretación geométrica: 
“En aquellos puntos de la función, donde hay un extremo relativo, la recta tangente a la 
función en ese punto, es horizontal” 
 
 
Nota: El recíproco del teorema de Fermat es FALSO. 
Es decir, no es verdadero para cualquier función. Si la derivada es nula en un punto 𝒙 = 𝒄 , 
es decir, 𝒇′(𝒄) = 𝟎 no implica que la función tiene un máximo o mínimo en ese punto . 
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 entonces su derivada es: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 si evaluamos en el punto 
𝑥 = 0 tenemos 𝑓´(0) = 3. 02 = 0 sin embargo en en ese punto no hay extremo, 
observemos el grafico 
 
Si 𝒚 = 𝒇(𝒙) , definida en (𝒂; 𝒃), es derivable en 𝒙 = 𝒄 ∈ (𝒂; 𝒃) y alcanza un máximo o 
 
mínimo local en 𝒙 = 𝒄 y existe la derivada 𝒇′(𝒄) entonces 𝒇′(𝒄) = 𝟎. 
 
(la derivada en ese punto se anula) 
 
Extremo relativo (o local) es un máximo o un mínimo local
Eso tachado está de más, fue dicho antes,
cuando dice: "...es derivable en x=c..."
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2) TEOREMA DE ROLLE 
Si una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y derivable en su 
interior (𝑎, 𝑏), y si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces existe al menos un número 𝑥 = 𝑐 en (𝑎, 𝑏) tal 
que 𝑓′(𝑐) = 0. 
Interpretación geométrica: 
“En el intervalo (𝑎, 𝑏) existe al menos un punto interior en el cual la recta tangente es paralela 
al eje de las 𝑥” 
 
Ejemplo: 
Envío el gráfico en un pdf
Aquí faltan marcar los puntos
(a;f(a)) y (b;f(b)) 
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Indicar si la siguiente función cumple las hipótesis del teorema de Rolle, de ser así hallar el 
valor de 𝑥 = 𝑐 donde se cumple la tesis. 
𝑓(𝑥) = {−𝑥
2 − 𝑥 𝑥 < 0 
𝑥2 − 𝑥 𝑥 ≥ 0 
en [−1; 1] 
Debemos verificar las hipótesis. 
H1) ¿ 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)? entonces 
𝑓(−1) = −(−1)2 − (−1) = 0 y 𝑓(1) = (+1)2 − (+1) = 0 
Luego son iguales se cumple. 
H2) ¿Es continua en el intervalo [−1; 1]? 
Cada tramo de la función es continua, porque son polinomios. 
Debemos revisar en 𝑥 = 0 
¿Existe la imagen de x=0? 𝑓(0) = (0)2 − (0) = 0 
lim
𝑥→0−
(−𝑥2 − 𝑥) = 𝑜 y lim
𝑥→0+
(𝑥2 − 𝑥) = 𝑜 
como los limites laterales son iguales existe el límite y vale 0. 
Entonces 𝑓(0) = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 0 la función es continua en 𝑥 = 0. 
Se cumple la hipótesis de continuidad en el intervalo. 
H3) ¿Es derivable en el intervalo (−1; 1) ? 
Cada tramo de la función es derivable , porque son polinomios. 
Debemos revisar en 𝑥 = 0 
Calculamos las derivadas laterales 
𝑓′(𝑎)−=𝑓′(0)− = lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0
= lim
𝑥→0−
−𝑥2−𝑥−0
𝑥−0
 
lim
𝑥→0−
−𝑥2−𝑥−0
𝑥−0
= lim
𝑥→0−
𝑥(−𝑥−1)
𝑥
= − 1 
𝑓′(𝑎)+=𝑓′(0)+ = lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0
= lim
𝑥→0+
𝑥2−𝑥−0
𝑥−0
= 
lim
𝑥→0+
𝑥2−𝑥−0
𝑥−0
= lim
𝑥→0−
𝑥(𝑥−1)
𝑥
= − 1 
 
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Como las derivadas laterales son iguales, existe la derivada en 𝑥 = 0 y vale −1 
Se cumple la hipótesis de derivabilidad en el intervalo. 
Podemos expresar la derivada de la siguiente forma 
𝑓′(𝑥) = {
−2𝑥 − 1 𝑥 < 0 
2𝑥 − 1 𝑥 ≥ 0 
en [−1; 1] 
Buscamos ahora el punto 𝑥 = 𝑐 donde se cumple la tesis/ 𝑓´(𝑥) = 0 
Analizamos cada tramo. −2𝑥 − 1 = 0 o 2𝑥 − 1 = 0 
 
3) TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (LAGRANGE). 
 
 
 
Observación: 𝑓´(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
 que equivale a 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐) (𝑏 − 𝑎). 
Interpretación geométrica: 
“Hay, por lo menos, un punto interior al intervalo (𝑎, 𝑏) en el cual la recta tangente a la curva 
es paralela a la recta secante, porque en ese punto la función tiene la misma pendiente que la 
recta.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y derivable en 
su interior (𝑎, 𝑏), entonces existe al menos un número 𝑥 = 𝑐 en (𝑎, 𝑏) tal que: 
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
 
Ejercicio completado en pdf complementario
(
)
"...porque en ese punto LA RECTA TANGENTE a la función
tiene la misma pendiente que la recta SECANTE..."
(-1;1)
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Ejemplo: 
Verificar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 en el 
intervalo [1; 3]. En caso afirmativo, halla los puntos donde se cumple la tesis. 
La función f es polinómica, por lo tanto, es continua en [1; 3]. 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3 existe para todo x real, entonces 𝑓(𝑥) es derivable en [1; 3]. 
Entonces, se cumplen las condiciones del teorema del valor medio, 
Podemos asegurar que existe 𝑐 ∈ (1; 3) 
 𝑓′(𝑐) =
𝑓(3) − 𝑓(1)
3 − 1
 
Como 𝑓′(𝑐) = 2𝑐 + 3, 𝑓(3) = 9 + 9 = 18, 𝑓(1) = 1 + 3 = 4, reemplazando resulta: 
2𝑐 + 3 =
18−4
3−1
⇒ 2𝑐 + 3 = 7 ⇒ 
2𝑐 = 7 − 3 ⇒ 2𝑐 = 4 ⇒ 𝑐 = 2 
Luego el valor buscado, donde se cumple la tesis es: 𝑐 = 2 ∈ (1; 3). 
 
4) TEOREMA DE CAUCHY (TEOREMA DEL VALOR MEDIO 
GENERALIZADO) 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Verificar si el teorema de Cauchy es aplicable al par de funciones:𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 y 𝑔(𝑥) =
𝑥² − 4, en el intervalo [1, 4]. En caso afirmativo, halla los puntos donde se cumple la tesis. 
Las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son continuas en [1, 4] por ser funciones polinómicas. 
𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son diferenciables en [1, 4] por ser funciones polinómicas. 
𝑔’(𝑥) = 2𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ [1, 4]. 
Si dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son continuas en el intervalo cerrado [a, b] ; derivables en el 
intervalo (𝑎, 𝑏) y para todo 𝑥 del intervalo (a, b), 𝑔′(𝑥) ≠ 0, entonces existe un punto 𝑥 =
𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) donde se cumple que: 
𝑓´(𝑐)
𝑔´(𝑐)
=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
 
 
(1;3)
(1;4)
(1;4)
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𝑔(1) = −3; 𝑔(4) = 12 ⇒ 𝑔(1) ≠ 𝑔(4). 
Se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy, entonces: existe 𝑐 ∈ (1, 4) tal que 
𝑓(4) − 𝑓(1)
𝑔(4) − 𝑔(1)
=
𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐)
 
Siendo: 𝑓(3) = 28; 𝑓(1) = 2; 𝑓’(𝑐) = 3𝑐²; 𝑔’(𝑐) = 2𝑐; resulta: 
65−2
12−(−3)
=
3𝑐2
2𝑐
⇒
63
15
=
3
2
𝑐 ⇒ 𝑐 =
63
15
⋅
2
3
=
14
5
 
Luego el valor buscado , donde se cumple la tesis es: 𝑐 =
14
5
∈ (1; 4). 
 
5) TEOREMA DE L'HÔPITAL 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
𝑙í𝑚
𝑥→1
𝑙𝑛 𝑥
2𝑥−2
=
→0
→0
 entonces podemos aplicar la regla de L'Hôpital 
𝑙í𝑚
𝑥→1
 
𝑙𝑛 𝑥
2𝑥−2
=
(𝐿)
𝑙í𝑚
𝑥→1
 
1
2
2
= 𝑙í𝑚
𝑥→1
 
1
2𝑥
=
1
2
 
 
 
Observación: cuando se aplica la regla de L’Hôpital de indicará: (L) sobre el igual. 
 
Generalización de la regla de L’Hôpital: 
El teorema también se puede aplicar cuando: 
Si dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son continuas en un entorno de 𝑎 , es decir ,en un intervalo 
alrededor del punto, salvo quizás en el punto 𝑎,y con derivadas continuas en dicho 
entorno, siendo 𝑔´(𝑥) ≠ 0 cerca de 𝑎 y además:lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 ylim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 luego 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
(→0)
(→0)
 y existe lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 entonces se cumple que:lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
x
f(4)=65
1/x
ohryn
Resaltado
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a) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
(→𝟎)
(→𝟎)
 entonces 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
= 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇´(𝒙)
𝒈´(𝒙)
 
Ejemplo: 
𝑙í𝑚
𝑥→+∞
 
𝑒𝑥
𝑙𝑛 𝑥
=
(→∞)
(→∞)
 podemos aplicar L’Hôpital 
𝑙í𝑚
𝑥→+∞
 
𝑒𝑥
𝑙𝑛 𝑥
=
(𝐋)
𝑙í𝑚
𝑥→+∞
 
𝑒𝑥
1
𝑥
= 𝑙í𝑚
𝑥→+∞
 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 = +∞ 
 
b) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
(→∞)
(→∞)
 entonces 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇´(𝒙)
𝒈´(𝒙)
 
Ejemplo: 
lim
𝑥→
𝜋
2
sec(𝑥) + 1 
𝑡𝑔(𝑥)
= 
(→ ∞)
(→ ∞)
 
lim
𝑥→
𝜋
2
sec(𝑥) + 1 
𝑡𝑔(𝑥)
=
(𝑳)
lim
𝑥→
𝜋
2
sec(𝑥) . 𝑡𝑔(𝑥) 
𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
= lim
𝑥→
𝜋
2
𝑡𝑔(𝑥)
sec (𝑥)
= lim
𝑥→
𝜋
2
cos(𝑥) . 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
= 1 
 
c) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
(→∞)
(→∞)
 entonces 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇´(𝒙)
𝒈´(𝒙)
 
Ejemplo: 
 
=
+
+
+→ 4x
6x3x
lim
2
x
(→∞)
(→∞)
 aplicamos L’Hôpital 
 lim
𝑥→+∞
3𝑥2+6𝑥 
𝑥+4
=
(𝐋)
lim
𝑥→+∞
6𝑥+6
1
= +∞ 
 
Aplicación de la regla de L’Hôpital a otras indeterminaciones 
a) Indeterminación del tipo: (→ 𝟎). (→ ∞) (producto de un infinitésimo por un infinito) 
Recordamos que un producto de funciones: 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥) se puede reescribir como: 
𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥) = 
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)
=
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
 esto permitirá “llevar” la indeterminación a una forma donde se 
pueda aplicar la regla. 
 El ejemplo es correcto, pero no es ejemplo para el punto a
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Ejemplo: 
𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑥² 𝑒
1
𝑥2 = (→ 0) ⋅ (→ ∞) ⇒ 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑥² 𝑒
1
𝑥2 = 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑒
1
𝑥2
1
𝑥2
=
(→∞)
(→∞)
 
Ahora si podemos aplicar L’Hôpital: 
𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑒
1
𝑥2
1
𝑥2
=
(𝐋)
𝑙í𝑚
𝑥→0
 𝑒
1
𝑥2(−
1
𝑥4
)
(−
1
𝑥4
)
= 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑒
1
𝑥2 = 𝑒(→∞) = ∞ 
 
b) Indeterminación del tipo : (→ +∞) + (→ −∞) (Suma de infinitos de distinto signo) 
Se transforma la diferencia [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] en un cociente o se aplica la siguiente 
transformación: 𝑓(𝑥) (1 −
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
) para poder aplicar la regla. 
Ejemplo: 
𝑙í𝑚
𝑥→1
(
1
𝑙𝑛 𝑥
−
𝑥
𝑙𝑛 𝑥
) = (→ +∞) + (→ −∞) Sacamos denominador común. 
𝑙í𝑚
𝑥→1
(
1
𝑙𝑛 𝑥
−
𝑥
𝑙𝑛 𝑥
) = 𝑙í𝑚
𝑥→1
1−𝑥
𝑙𝑛 𝑥
=
(→0)
(→0)
 ahora podemos aplicar L’Hôpital. 
𝑙í𝑚
𝑥→1
(
1
𝑙𝑛 𝑥
−
𝑥
𝑙𝑛 𝑥
) = 𝑙í𝑚
𝑥→1
1 − 𝑥
𝑙𝑛 𝑥
=
(𝐋)
𝑙í𝑚
𝑥→1
−1
1
𝑥
=
−1
1
= −1 
 
c) Indeterminación del tipo : función potencial –exponencial, cuando: 
Base y exponente son infinitésimos: (→ 0)(→0) 
Base un infinito y exponente un infinitésimo: (→ ∞)(→0) 
Base que tiende a uno y exponente un infinito: (→ 1)(→∞) 
Estos tres casos se resuelven de a misma forma. Primero se los lleva a la forma (→ 𝟎). (→ ∞) 
y luego aplicando logaritmos se los lleva a la forma 
(→𝟎)
(→𝟎)
 o 
(→∞)
(→∞)
 para poder aplicar la regla. 
 
Ejemplo 1: 
𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑥𝑥 = (→ 0)(→0). 
Ejercicio resuelto en el pdf complementario
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Hacemos 𝐿 = 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑥𝑥 aplicando logaritmos en ambos términos. 
𝐿𝑛(𝐿) = 𝑙𝑛( 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑥𝑥) = 𝑙í𝑚
𝑥→0
(𝑙𝑛 𝑥𝑥) por propiedad de limites 
𝑙𝑛 𝐿 = 𝑙í𝑚
𝑥→0
 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 =(→0) · (→-) por propiedad de los logaritmos 
Si expresamos como cociente: 
𝑙𝑛 𝐿 = 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛 𝑥
1
𝑥
=
(→−∞)
(→∞)
 ahora podemos aplicar L’Hôpital 
𝑙𝑛 𝐿 =
(𝐿)
𝑙í𝑚
𝑥→0
1
𝑥
−
1
𝑥2
 = 𝑙í𝑚
𝑥→0
(−𝑥) = 0 simplificando 
por lo tanto ln(𝐿) = 0 → 𝐿 = 𝑒0 = 1 
Es decir: 𝑙í𝑚
𝑥→0
𝑥𝑥=1 
 
Ejemplo 2: 
lim
𝑥→0
(
3
𝑥
)
𝑥
= (→ ∞)(→0) 
Si 𝐿 = lim
𝑥→0
(
3
𝑥
)
𝑥
 aplicando logaritmos en ambos términos. 
ln (𝐿) = ln [lim
𝑥→0
(
3
𝑥
)
𝑥
] 
ln (𝐿) = lim
𝑥→0
[ln (
3
𝑥
)
𝑥
] por propiedad de limites 
ln (𝐿) = lim
𝑥→0
[𝑥 ln (
3
𝑥
)] = (→ 0)(→ ∞) por propiedad de los logaritmos 
Si expresamos como cociente 
ln(𝐿) = lim
𝑥→0
[
𝑙𝑛(
3
𝑥
)
1
𝑥
] = 
(→∞)
(→∞)
 ahora podemos aplicar L’Hôpital 
ln(𝐿) = lim
𝑥→0
[
𝑙𝑛(
3
𝑥
)
1
𝑥
] =
(𝐿)
lim
𝑥→0
[
1
(
3
𝑥
)
(−
3
𝑥2
)
−
1
𝑥2
] simplificando nos queda 
ln(𝐿) = lim
𝑥→0
𝑥 = 0 por lo tanto ln(𝐿) = 0 → 𝐿 = 𝑒0 = 1 
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Es decir: lim
𝑥→0
(
3
𝑥
)
𝑥
= 1 
 
Ejemplo 3: 
lim
𝑥→∞
(1 +
3
𝑥
)
𝑥
= (→ 1)(→∞) 
Si 𝐿 = lim
𝑥→∞
(1 +
3
𝑥
)
𝑥
 aplicando logaritmos en ambos términos. 
ln (𝐿) = ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
3
𝑥
)
𝑥
] 
ln (𝐿) = lim
𝑥→∞
[ln (1 +
3
𝑥
)
𝑥
] por propiedad de limites 
ln (𝐿) = lim
𝑥→∞
[𝑥 ln (1 +
3
𝑥
)] = (→ ∞)(→ 0) por propiedad de los logaritmos 
Si expresamos como cociente 
ln(𝐿) = lim
𝑥→∞
[
𝑙𝑛(1+
3
𝑥
)
1
𝑥
] = 
(→∞)
(→∞)
 ahora podemos aplicar L’Hôpital 
ln(𝐿) = lim
𝑥→∞
[
𝑙𝑛(1+
3
𝑥
)
1
𝑥
] =
(𝐿)
lim
𝑥→∞
[
1
(1+
3
𝑥
)
(−
3
𝑥2
)
−
1
𝑥2
] simplificando nos queda 
ln(𝐿) = lim
𝑥→∞
[
3
(1+
3
𝑥
)
] = 3 por lo tanto ln(𝐿) = 3 → 𝐿 = 𝑒3 
Es decir: lim
𝑥→∞
(1 +
3
𝑥
)
𝑥
= 𝑒3 
 
4. Bibliografía: 
[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – Thomson 
Editions 
[2]RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 
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5. Actividades pedagógicas 
Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del TP: Teoremas sobre funciones derivables. 
Regla de L’Hôpital 
 
De los cuales son ejercicios obligatorios: 
 1) 4) 7) 11) 16) 18) L´HÔPITAL 22) a,b,d,g,k,m,n,o,t. 
Trabajo Practico: 
1) Comprobar que la función 𝑓(𝑥) = sen x cumple las condiciones del teorema de Rolle en 
el intervalo [0; 𝜋]. ¿Dónde se verifica la conclusión? 
2) Comprobar que la función 𝑓(𝑥) = cos x cumple las condiciones del teorema de Rolle en 
el intervalo [−
𝜋
2
;
3𝜋
2
]. ¿Dónde se verifica la conclusión? 
3) Comprobar que la función f(x ) ( )25xx3 −= cumple con las condiciones del teorema 
de Rolle en el intervalo [ 0 ; 5 ]. ¿Dónde se verifica la conclusión? 
4) Comprobar que la función 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 2 si − 0,5 ≤ 𝑥 < 1
5 − (𝑥 − 2)2 si 1 ≤ 𝑥 ≤ 4
 cumple las condiciones 
del teorema de Rolle. ¿Dónde se verifica la conclusión? 
5) Calcular b para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 3 cumpla las condiciones del teorema 
de Rolle en el intervalo [0; 𝑏]. ¿Dónde se verifica la conclusión? 
6) Calcular m, n y p para que la función 𝑓(𝑥) = {
−𝑥2 + 𝑝𝑥 si − 1 ≤ 𝑥 < 3
𝑚𝑥 + 𝑛 si 3 ≤ 𝑥 ≤ 5
 cumpla las 
condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1; 5]. ¿Dónde se verifica la 
conclusión? Representar gráficamente la función. 
7) La función 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 5| verifica que 𝑓(1) = 4 = 𝑓(3), sin embargo, su derivada no 
se anula en ningún punto entre 1 y 3, ¿cómo es posible esto?Justificar. 
8) Calcular a, b y m para que la función 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑥 si 𝑥 < 1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 si 𝑥 ≥ 1
 cumpla las 
condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0; 𝑚]. 
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9) Calcular a, b y k para que la función 𝑓(𝑥) = {
 5𝑥 − 1 si 𝑥 < 1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 3 si 𝑥 ≥ 1
 cumpla las 
condicionesdel teorema de Rolle en el intervalo [0; 𝑘]. 
10) Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) =
𝑥3
3
 en el 
intervalo [−2; 2]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su 
conclusión y realizar la gráfica correspondiente en el intervalo dado. 
11) Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
𝑥−3
 en el 
intervalo [−1; 4]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su 
conclusión y realizar la gráfica correspondiente en el intervalo dado. 
12) Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 en el 
intervalo [−2; 1]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su 
conclusión y realizar la gráfica correspondiente en el intervalo dado. 
13) Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 en el 
intervalo [−1; 2]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su 
conclusión y realizar la gráfica correspondiente en el intervalo dado. 
14) Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥
 en el 
intervalo [−1;
1
2
]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su 
conclusión y realizar la gráfica correspondiente en el intervalo dado. 
15) Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 en el 
intervalo [−3; 3]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su 
conclusión y realizar la gráfica correspondiente en el intervalo dado. 
16) Calcular a y b para que la función 𝑓(𝑥) = {𝑥
2 + 2𝑥 + 𝑎 si 𝑥 ≤ 0
−𝑥2 + 𝑏𝑥 si 𝑥 > 0
 cumpla las 
condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [−3; 2]. ¿Dónde se verifica la 
conclusión? Realizar el grafico correspondiente. 
17) Dado 𝑃(𝑥) = −𝑥4 + 3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 2, justificar si existe al menos un punto 𝑘 ∈ (1; 3) 
tal que 𝑃𝐼(𝑘) = 6. 
18) Hallar, si es posible, el valor de c donde se cumple la conclusión del teorema de Cauchy, 
siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 y el intervalo [1; 4]. 
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2400 - Matemática I 
 
14 
 
19) Hallar, si es posible, el valor de c donde se cumple la conclusión del teorema de Cauchy, 
siendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 3, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 6 y el intervalo [0; 1]. 
20) Hallar, si es posible, el valor de c donde se cumple la conclusión del teorema de Cauchy, 
siendo 𝑓(𝑥) = sen x, 𝑔(𝑥) = cos x y el intervalo [
𝜋
6
;
𝜋
3
]. 
21) Discutir si es posible encontrar valor alguno de c para que se cumpla la conclusión del 
teorema de Cauchy, siendo 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 y el intervalo [0; 3]. 
22) En los siguientes ejercicios hallar los límites indicados aplicando, si corresponde, la regla 
de L’Hôpital. 
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2−6𝑥+8
 
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥3−2𝑥2−𝑥+2
𝑥3−7𝑥+6
 
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑎𝑥−𝑏𝑥
𝑥
 
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑙𝑛(1+𝑥)
√𝑥5
4 
e) lim
𝑥→0
x cos x−sen x
𝑥3
 
f) lim
𝑥→
𝜋+
2
tan x
tan(5x)
 
g) lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥5
 
h) 1n con
x
a
sen xlim n
x






+→
 
i) lim
x→1+
( 1-x) tan (
πx
2
) 
j) lim
𝑥→0
(
1
𝑥
− 𝑐𝑜𝑡 𝑥) 
k) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
𝑥
𝑥−1
−
1
𝑙𝑛 x
) 
l) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(
1
𝑥−3
−
5
𝑥2−𝑥−6
) 
m) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑥2)
1
𝑥 
n) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥
1
1−𝑥 
o) lim
𝑥→0+
( sen x)𝑥 
p) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
(1 − 𝑥)
𝑐𝑜𝑠(
𝜋𝑥
2
)
 
q) lim
𝑥→+∞
(1 −
1
𝑥
)
𝑥
 
r) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝜋
2
−
(𝑡𝑎𝑛 𝑥)cos x 
s) lim
𝑥→0+
(
1
𝑥
)
tan x
 
t) lim
𝑥→+∞
𝑥
1
𝑥 
 
 
 u) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
(𝑥 − 1)𝑥−1
v) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑒𝑥+3𝑥3
4𝑒𝑥+𝑥2
 w) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑙𝑛(𝑥2+1)
𝑙𝑛(√𝑥+1)
 
 
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15 
 
RESPUESTAS 
 
1) 
𝜋
2
 
2) 0 y 𝜋 
3) 
5
7
 
4) 2 
5) 𝑏 = 2 ; 𝑐 =
2√3
3
 
6) 𝑝 =
10
3
 ; 𝑚 = −
8
3
 ; 𝑛 = 9 ; 𝑐 =
5
3
 
7) Pues no existe la derivada en 𝑥 =
√5 ∈ (1; 3) 
8) a= 2 b = - 5 m = 2 
9) a= - 2 b = 9 k = 4,26 
10) 𝑐 = ±
2√3
3
 
11) No se aplica pues no es continua en 
𝑥 = 3 ∈ (−1; 4) 
12) No se aplica pues no es derivable en 
𝑥 = 0 ∈ (−2; 1) 
13) 𝑐 =
1
2
 
14) No se aplica pues no es continua en 
𝑥 = 0 ∈ (−1;
1
2
) 
15) 𝑐 = ±√3 
16) 𝑎 = 0 ; 𝑏 = 2 ; 𝑐 = ±1,3 
17) Sí 
18) 2,5 
19) 0,5 
20) 
𝜋
4
 
21) para discutir en clase
22) 
a) 
1
2
 
b) 
1
2
 
c) ln a - ln b 
d) +∞ 
e) −
1
3
 
f) 5 
g) +∞ 
h) +∞ 
i) 
2
𝜋
 
j) 0 
k) 
1
2
 
l) 
1
5
 
m) 1 
n) 
1
𝑒
 
o) 1 
p) 1 
q) 
1
𝑒
 
r) 1 
s) 1 
t) 1 
u) 1 
 
v) 
1
4
(𝑥 → +∞) 
−∞ (𝑥 → −∞) 
w)4 
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16 
 
6. Material complementario de la clase: 
Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y 
enriquecerte mucho más: 
1) EJERCICIO RESUELTO: 
Calcular m, n y p para que la función: 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑚 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 3
𝑛 𝑥 + 𝑝  𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0, 8]. ¿Dónde se verifica su 
conclusión? Graficar la función. 
Solución: 
H1) Para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en [0, 8], debe serlo en todos los puntos de 
ese intervalo, en particular en 𝑥 = 3. 
Para ello, los límites laterales deben ser iguales. Resulta: 
𝑙í𝑚
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 𝑙í𝑚
𝑥→3−
(𝑥² + 𝑚𝑥) = 9 + 3𝑚 
𝑙í𝑚
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 𝑙í𝑚
𝑥→3+
(𝑛𝑥 + 𝑝) = 3𝑛 + 𝑝 = 𝑓(3) 
Como deben ser iguales, es 9 + 3𝑚 = 3𝑛 + 𝑝 (𝑎) 
H2) La derivabilidad en (0, 8) implica la existencia de la derivada en todos los puntos 
de ese intervalo, en particular en 𝑥 = 3. 
La derivada por izquierda es:𝑓′(3)− = (2𝑥 + 𝑚)(3) = 6 + 𝑚. 
La derivada por derecha es: 𝑓′(3)+ = (𝑛)(3) = 𝑛. 
Como deben ser iguales, resulta: 6 + 𝑚 = 𝑛, es decir: 𝑚 = 𝑛 − 6 (∗). 
H3) La tercera condición que impone el teorema de Rolle, es que la función 𝑓(𝑥) debe 
tener el mismo valor en ambos extremos del intervalo, en nuestro caso, debe ser: 
𝑓(0) = 𝑓(8). 
Como: {
𝑓(0) = 02 + 𝑚 ⋅ 0 = 0
𝑓(8) = 8 𝑛 + 𝑝
 
Igualando: 0 = 8𝑛 + 𝑝, o sea: 𝑝 = −8𝑛 (∗∗) 
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17 
 
Reemplazando (∗) y (∗∗) en (𝑎) resulta: 
9 + 3(𝑛 − 6) = 3𝑛 − 8𝑛 
 9 + 3𝑛 − 18 = 3𝑛 − 8𝑛 
9 − 18 = 3𝑛 − 8𝑛 − 3𝑛 
−9 = −8𝑛 
De donde: 𝑛 =
9
8
. Reemplazando en (∗) y (∗∗) resulta: 𝑚 =
9
8
− 6 = −
39
8
 y 𝑝 = −
9
8
 ·
 8 = − 9. 
Por tanto, la función es:𝑓(𝑥) = {
𝑥2 −
39
8
 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 3
9
8
 𝑥 − 9  𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
La función derivada resulta:𝑓′(𝑥) = {
2 𝑥 −
39
8
 𝑠𝑖 𝑥 < 3
9
8
  𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
Solamente puede anularse en el primer tramo. Si hacemos 𝑓′(𝑥) = 0, obtenemos: 2𝑥 −
39
8
= 0, de donde 𝑥 =
39
16
. 
Es decir, el punto 𝑥 =
39
16
es donde se cumple la conclusión del teorema de Rolle. 
 
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18 
 
2) Ejercicio resuelto 
𝑙í𝑚
𝑥→
(2 − 𝑥)𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥/2) = (→ 1)(→∞) Hacemos 𝐿 = lim
𝑥→2
(2 − 𝑥)𝑡𝑔(
𝜋𝑥
2
)
 
Tomando logaritmos en ambos términos resulta: 
ln(𝐿) = 𝐿𝑛 [lim
𝑥→2
(2 − 𝑥)𝑡𝑔(
𝜋𝑥
2
)] aplicando propiedad de los limites 
ln(𝐿) = 𝐿𝑛 [lim
𝑥→2
(2 − 𝑥)𝑡𝑔(
𝜋𝑥
2
)] = lim
𝑥→2
[𝐿𝑛(2 − 𝑥)𝑡𝑔(
𝜋𝑥
2
)] 
Aplicando propiedad de logaritmos 
ln(𝐿) = lim
𝑥→2
[𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
2
) 𝐿𝑛(2 − 𝑥) ] = (→ ∞)(→ 0) si lo transformamos en cociente 
ln(𝐿) = lim
𝑥→2
[
𝐿𝑛(2−𝑥)
𝑡𝑔(
𝜋𝑥
2
)
]=
(→𝟎)
(→𝟎)
 ahora podemos aplicar L´Hopital 
ln(𝐿) = lim
𝑥→2
[
𝐿𝑛(2 − 𝑥)
𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
2
)
] =
(𝐿)
lim
𝑥→2
[
1
2−𝑥
(−1)
𝑠𝑒𝑐2 (
𝜋𝑥
2
)
𝜋
2
.
] = lim
𝑥→2
[
1
𝑠𝑒𝑐2 (
𝜋𝑥
2
)
𝜋
2
. (2 − 𝑥)
] =
2
𝜋
 
ln(𝐿) =
2
𝜋
 entonces 𝐿 = 𝑒
2
𝜋 
Por lo tanto: 𝑙í𝑚
𝑥→
(2 − 𝑥)𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥/2) = 𝑒
2
𝜋 
 
No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en 
internet,utilizar diferentes aplicaciones en el celular y la calculadora. 
En particular te recomendamos los siguientes link. 
➢ Teorema de Fermat 
− https://www.youtube.com/watch?v=fWIMDQY-mVM 
− https://www.youtube.com/watch?v=6Qo6Sz8HXuI 
 
➢ Teorema de Rolle 
− https://www.youtube.com/watch?v=ZOQ8Pcsf8N0 
https://www.youtube.com/watch?v=fWIMDQY-mVM
https://www.youtube.com/watch?v=6Qo6Sz8HXuI
https://www.youtube.com/watch?v=ZOQ8Pcsf8N0
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
19 
 
− https://www.youtube.com/watch?v=B0P4kBiw9HU 
− https://www.youtube.com/watch?v=DfUCnsjivA4 
− https://www.youtube.com/watch?v=uFWzHoR7zdA&list=PLnrKbp5zH3V4ZYfiw
VHVmkKuSMI91jh0Z&index=47 
 
➢ Teorema de Lagrange (del Valor Medio) 
− https://www.youtube.com/watch?v=stPkYdu13js 
− https://www.youtube.com/watch?v=q6jhJEX9lug 
− https://www.youtube.com/watch?v=K458Okiml0k 
− https://www.youtube.com/watch?v=UoXGfaUC7aU 
− https://www.youtube.com/watch?v=udA00RN_jgY 
 
➢ Teorema de Cauchy (del Valor Medio Generalizado) 
− https://www.youtube.com/watch?v=yorqExMN8oI 
− https://www.youtube.com/watch?v=q4daaMpmS00 
− https://www.youtube.com/watch?v=tpnecqymAHY 
− https://www.youtube.com/watch?v=q4daaMpmS00&t=401s 
 
➢ Regla de L’Hôpital. 
− https://www.youtube.com/watch?v=z4KWf62_KdY 
− https://www.youtube.com/watch?v=4LlKgqB2SGk 
− https://www.youtube.com/watch?v=87r1x3YlPas 
− https://www.youtube.com/watch?v=XeVv_qmoM_k 
− https://www.youtube.com/watch?v=okwVQwaAq4Q&list=PLnrKbp5zH3V4ZYfiw
VHVmkKuSMI91jh0Z&index=38&t=0s 
https://www.youtube.com/watch?v=B0P4kBiw9HU
https://www.youtube.com/watch?v=DfUCnsjivA4
https://www.youtube.com/watch?v=uFWzHoR7zdA&list=PLnrKbp5zH3V4ZYfiwVHVmkKuSMI91jh0Z&index=47
https://www.youtube.com/watch?v=uFWzHoR7zdA&list=PLnrKbp5zH3V4ZYfiwVHVmkKuSMI91jh0Z&index=47
https://www.youtube.com/watch?v=stPkYdu13js
https://www.youtube.com/watch?v=q6jhJEX9lug
https://www.youtube.com/watch?v=K458Okiml0k
https://www.youtube.com/watch?v=UoXGfaUC7aU
https://www.youtube.com/watch?v=udA00RN_jgY
https://www.youtube.com/watch?v=yorqExMN8oI
https://www.youtube.com/watch?v=q4daaMpmS00
https://www.youtube.com/watch?v=tpnecqymAHY
https://www.youtube.com/watch?v=q4daaMpmS00&t=401s
https://www.youtube.com/watch?v=z4KWf62_KdY
https://www.youtube.com/watch?v=4LlKgqB2SGk
https://www.youtube.com/watch?v=87r1x3YlPas
https://www.youtube.com/watch?v=XeVv_qmoM_k
https://www.youtube.com/watch?v=okwVQwaAq4Q&list=PLnrKbp5zH3V4ZYfiwVHVmkKuSMI91jh0Z&index=38&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=okwVQwaAq4Q&list=PLnrKbp5zH3V4ZYfiwVHVmkKuSMI91jh0Z&index=38&t=0s