CLASE-6---Ejercicios-Obligatorios1

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
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1 
 
CLASE N°6 - Ejercicios obligatorios - TRABAJO PRÁCTICO N°4: DERIVADAS 
 
EJECICIO 4 Derivar las siguientes funciones aplicando la “regla de la cadena” 
EJECICIO 4a 
𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝐥𝐧 (𝟑𝒙) 
𝑦′ = −𝑠𝑒𝑛(5𝑥). 5 + 
1
3𝑥
. 3 
Reduciendo se obtiene: 
𝑦´ = −5𝑠𝑒𝑛(5𝑥) +
1
𝑥
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJECICIO 4d 
𝒚 = 𝒍𝒏 (
𝒙𝟐
√𝒙
) 
Operemos en el argumento del logaritmo 
𝒙𝟐
√𝒙
=
𝒙𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
= 𝒙𝟐−
𝟏
𝟐 = 𝒙
𝟑
𝟐 
 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥
3
2) 
𝑦′ =
1
𝑥
3
2 
 ∙ 
3
2
 ∙ 𝑥
1
2 =
3
2
∙
 𝑥
1
2 
𝑥
3
2
=
3
2
∙ 𝑥
1
2
 − 
3
2 =
3
2
∙ 𝑥−1 =
3
2𝑥
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 4e 
𝒚 = 𝒆𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙) ∙ 𝐜𝐨𝐭 (𝟓𝒙) 
𝑦′ = (𝒆𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙))
′
∙ cot(5𝑥) + 𝑒cos(3𝑥) ∙ (𝐜𝐨𝐭(𝟓𝒙))′ 
𝑦′ = 𝒆𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙) ∙ [−𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)] ∙ 𝟑 ∙ cot(5𝑥) + 𝑒cos (3𝑥) ∙
−𝟏
[𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)]𝟐
∙ 𝟓 
𝑦′ = −3 ∙ 𝒆𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙) ∙ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) ∙ cot(5𝑥) + 𝒆𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙) ∙
−5
𝑠𝑒𝑛2(5𝑥)
 
Sacando factor común 𝑒cos (3𝑥) 
𝑦´ = 𝑒cos (3𝑥) ∙ [−3𝑠𝑒𝑛(3𝑥). cot(5𝑥) −
5
𝑠𝑒𝑛2(5𝑥)
] 
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2 
 
EJERCICIO 4f 
𝒚 = 𝒙 ∙ √𝟗 − 𝒙𝟐 + 𝟗 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝒙
𝟑
) 
 
Para derivar esta función debemos primero derivar la suma: 
𝑦′ = (𝑥 ∙ √9 − 𝑥2 )
′
 + (9 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
3
))
′
 
Ahora derivamos cada término: 
𝑦′ = (𝒙 ∙ √𝟗 − 𝒙𝟐 )
′
 + (𝟗 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝒙
𝟑
))
′
 
Para hacerlo paso a paso y más simple los podemos hacer por separado. 
• Derivando el primer término se obtiene: 
(𝒙 ∙ √𝟗 − 𝒙𝟐)
′
= 1 ∙ √9 − 𝑥2 + 𝑥 ∙ 
1
2 ∙ √9 − 𝑥2
∙ (−2𝑥) 
• Derivando el segundo término se obtiene: 
(𝟗 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝒙
𝟑
))
′
= 9 ∙
1
√1 − (
𝑥
3
)
2
∙
1
3
 
Juntando todo y volviendo al ejercicio tenemos: 
𝑦′ = √9 − 𝑥2 + 𝑥 ∙ 
1
2 ∙ √9 − 𝑥2
∙ (−2𝑥) + 
9
√1 − (
𝑥
3
)
2
∙
1
3
 
𝑦′ = √9 − 𝑥2 − 
𝑥2
√9 − 𝑥2
+
3
√1 − (
𝑥
3
)
2
 
 
Operando aparte, en el denominador del tercer término, obtenemos: 
√𝟏 − (
𝒙
𝟑
)
𝟐
= √𝟏 −
𝒙𝟐
𝟗
= √
𝟗 − 𝒙𝟐
𝟗
=
√𝟗 − 𝒙𝟐
√𝟗
=
√𝟗 − 𝒙𝟐
𝟑
=
𝟏
𝟑
∙ √𝟗 − 𝒙𝟐 
𝑦′ = √9 − 𝑥2 − 
𝑥2
√9 − 𝑥2
+
3
1
3
. √9 − 𝑥2
 
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3 
 
𝑦′ = √9 − 𝑥2 − 
𝑥2
√9 − 𝑥2
+
9
√9 − 𝑥2
 
Sumando las fracciones (denominador común) 
=
(√9 − 𝑥2)
2
− 𝑥2 + 9
√9 − 𝑥2
=
 9 − 𝑥2 − 𝑥2 + 9 
√9 − 𝑥2
=
 18 − 2𝑥2 
√9 − 𝑥2
= 
 
=
 2. (9 − 𝑥2) 
√9 − 𝑥2
=
 2. (9 − 𝑥2) 
(9 − 𝑥2)
1
2
= 2 ∙ (9 − 𝑥2)
1
2 
Finalmente queda: 
𝑦´ = 2. √9 − 𝑥2 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 4i 
𝒚 = (𝒄𝒐𝒔 𝒙)√𝒙 
En este caso es conveniente aplicar logaritmo miembro a miembro para bajar el exponente. 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛[(𝑐𝑜𝑠𝑥)√𝑥] 
𝑙𝑛(𝑦) = √𝑥 ∙ 𝑙𝑛(cos 𝑥) 
Ahora sí, derivando miembro a miembro y aplicando regla de la cadena, obtenemos: 
1
𝑦
∙ 𝑦′ =
1
2√𝑥
∙ 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥) + √𝑥 ∙
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
∙ (− 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 
1
𝑦
∙ 𝑦′ =
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2√𝑥
− √𝑥 ∙
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
1
𝑦
∙ 𝑦′ =
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2√𝑥
− √𝑥 ∙
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
 
1
𝑦
∙ 𝑦′ =
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2√𝑥
− √𝑥. 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
𝑦′ = [
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2√𝑥
− √𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑥] ∙ 𝑦 
Reemplazando con 𝑦 por (cos 𝑥)√𝑥 
𝑦´ = [
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2√𝑥
− √𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑥] ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝑥)√𝑥 
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4 
 
EJERCICIO 4l 
𝒚 = √
𝟏 + 𝒙
𝟏 − 𝒙
 
En este caso, se deriva la raíz y por regla de la cadena, derivada de un cociente. 
𝑦′ =
1
2√
1+𝑥
1−𝑥
 ∙ 
1 ∙ (1 − 𝑥) − (1 + 𝑥) ∙ (−1)
(1 − 𝑥)2
 
Ahora reducimos 
𝑦´ =
1
2
√1+𝑥
√1−𝑥
 ∙ 
(1 − 𝑥) − (1 + 𝑥) ∙ (−1)
(1 − 𝑥)2
=
1
2
 ÷ 
√1 + 𝑥
√1 − 𝑥
 ∙ 
(1 − 𝑥) + (1 + 𝑥)
(1 − 𝑥)2
= 
 
𝑦′ =
1
2
∙ 
√1 − 𝑥
√1 + 𝑥
 ∙ 
1 − 𝑥 + 1 + 𝑥
(1 − 𝑥)2
=
1
2
∙
√1 − 𝑥
√1 + 𝑥
 ∙ 
2
(1 − 𝑥)2
= 
 
𝑦′ =
(1 − 𝑥)
1
2
(1 + 𝑥)
1
2
 ∙ 
1
(1 − 𝑥)2
=
(1 − 𝑥)− 
3
2
(1 + 𝑥)
1
2
= (𝟏 − 𝒙)− 
𝟑
𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒙)− 
𝟏
𝟐 = 
𝒚′ = (𝟏 − 𝒙)− 
𝟑
𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒙)− 
𝟏
𝟐 
(así también podría quedar la respuesta) 
𝑦′ =
1
(1 − 𝑥) 
3
2 ∙ (1 + 𝑥) 
1
2
=
1
(1 − 𝑥)1 ∙ (1 − 𝑥) 
1
2 ∙ (1 + 𝑥) 
1
2
= 
 
𝑦′ =
1
(1 − 𝑥)1 ∙ [(1 − 𝑥)(1 + 𝑥)] 
1
2
=
1
(1 − 𝑥) ∙ [1 − 𝑥2] 
1
2
= 
𝒚′ =
𝟏
(𝟏 − 𝒙) ∙ √𝟏 − 𝒙𝟐
 
(ésta es la respuesta que da la guía) 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 4m 
𝒚 = 𝒍𝒏 (
𝟏 + 𝒙
𝟏 − 𝒙
) 
 
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5 
 
𝑦′ =
1
 
1+𝑥
1−𝑥
 
∙
1 ∙ (1 − 𝑥) − (1 + 𝑥) ∙ (−1)
(1 − 𝑥)2
 
𝑦′ =
1 − 𝑥
1 + 𝑥
 ∙ 
2
(1 − 𝑥)2
 
𝑦′ =
1
1 + 𝑥
 ∙ 
2
1 − 𝑥
 
 
Por producto de binomios conjugados (1 + 𝑥) ∙ (1 − 𝑥) = 12 − 𝑥2 
𝑦′ =
2
1 − 𝑥2
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICO 8 Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas: 
EJERCICIO 8a 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟏) 
Utilizamos la tabla de derivadas , entonces: 
Si 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (𝒖) → 𝒚′= 
𝟏
√𝟏−𝒖𝟐
 ∙ 𝒖′ 
𝑦′ =
1
√1 − (𝑥2 − 1)2
 ∙ 2𝑥 
 
𝑦′ =
2𝑥
√1 − (𝑥2 − 1)2
 =
2𝑥
√1 − (𝑥4 − 2𝑥2 + 1)
=
2𝑥
√1 − 𝑥4 + 2𝑥2 − 1
=
2𝑥
√−𝑥4 + 2𝑥2
 
 
=
2𝑥
√𝑥2(−𝑥2 + 2)
=
2𝑥
√𝑥2√(−𝑥2 + 2)
=
2𝑥
|𝑥|√−𝑥2 + 2
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 8c 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟏
𝒙
) 
Utilizamos la tabla de derivadas, entonces: 
 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (𝒖) → 𝒚´= 
𝟏
𝟏+𝒖𝟐
 𝒖′ 
En nuestro ejemplo: 
𝑦′ = 
1
1 + (
1
𝑥
)
2 ∙ (−
1
𝑥2
)
 
 
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6 
 
𝑦′ =
1
1 + (
1
𝑥
)
2 ∙ (−
1
𝑥2
) =
1
1 +
1
𝑥2
 ∙ (−
1
𝑥2
) = 
1
𝑥2+1
𝑥2
 ∙ (−
1
𝑥2
) =
𝑥2
𝑥2 + 1
 ∙ (−
1
𝑥2
) 
Luego: 
𝑦′ = −
1
𝑥2 + 1
 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 9 Calcular las derivadas de las siguientes funciones implícitas: 
EJERCICIO 9a 
√𝒙 + √𝒚 = 𝟐 
1
2√𝑥
 + 
1
2√𝑦
∙ 𝑦′ = 0 
1
2√𝑦
∙ 𝑦′ = −
1
2√𝑥
 
 𝑦′ = −
1
2√𝑥
∙ 2√𝑦 
 𝑦′ = −
√𝑦
√𝑥
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 9c 
2𝑥3 − 3𝑥4𝑦2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦3 = 0 
2𝑥3 − 3𝑥4𝑦2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦3 = 0 
derivar teniendo en cuenta que en el segundo y tercer término hay que aplicar la derivada de un 
producto, mientras que en el tercero sólo regla de la cadena. 
2.3𝑥2 − (3.4𝑥3𝑦2 + 3𝑥4. 2𝑦1. 𝑦′) + 4𝑦 + 4𝑥. 𝑦′ + 3𝑦2. 𝑦′ = 0 
6𝑥2 − (12𝑥3𝑦2 + 6𝑥4. 𝑦1. 𝑦′) + 4𝑦 + 4𝑥. 𝑦′ + 3𝑦2. 𝑦′ = 0 
6𝑥2 − 12𝑥3𝑦2 − 6𝑥4. 𝑦. 𝑦′ + 4𝑦 + 4𝑥. 𝑦′ + 3𝑦2. 𝑦′ = 0 
Despejamos, dejando cada término con 𝒚′ en el primer miembro 
− 6𝑥4. 𝑦. 𝒚′ + 4𝑥. 𝒚′ + 3𝑦2. 𝒚′ = −6𝑥2 + 12𝑥3𝑦2 − 4𝑦 
sacamos factor común 
𝒚′. (− 6𝑥4𝑦 + 4𝑥 + 3𝑦2) = −6𝑥2 + 12𝑥3𝑦2 − 4𝑦 
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𝑦′ =
−6𝑥2 + 12𝑥3𝑦2 − 4𝑦
− 6𝑥4𝑦 + 4𝑥 + 3𝑦2
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________________EJERCICIO 12a 
Calcular derivadas sucesivas de 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙 
 
Aplicando la derivada de un producto de funciones 
𝑓′(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
Derivando nuevamente cada término de forma independiente 
𝑓′′(𝑥) = [0. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥] + [2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑥. (− 𝑠𝑒𝑛 𝑥)] 
𝑓′′(𝑥) = 2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑓′′(𝑥) = 2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑓′′(𝑥) = 4. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
Derivando por tercera vez 
𝑓′′′(𝑥) = [ 0. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + (−4. 𝑠𝑒𝑛 𝑥)] − [2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (−2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥)] 
𝑓′′′(𝑥) = −4. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − [2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥] 
𝑓′′′(𝑥) = −4. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑓′′′(𝑥) = −6. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥