Clase-4---Teorica (completo)

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Clase 4 – Teórica 
EJERCICIO 
Encontrar los puntos de discontuidad de 𝑓(𝑥) y clasificarlos 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
𝑥2 − 9
 
Calculemos primero el dominio: 
𝑥2 − 9 = 0 
𝑥2 = 9 
𝑥 = ±3 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {−3; 3} 
Entonces ahora deberemos estudiar la continuidad en esos puntos que no son del dominio. 
Deberemos tener presente siempre la definición de función continua en un punto pues se usa 
para resolver los ejercicios. 
 
En 𝒙 = 𝟑 
1°) 𝑓(3) =
3+3
32−9
=
6
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(3) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 3 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
 𝑥+3
 𝑥2−9 
= ∞ 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = 3 con salto infinito. 
 
En 𝒙 = −𝟑 
1°) 𝑓(−3) =
−3+3
(−3)2−9
=
0
0
∉ ℝ entonces ∄𝑓(3) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = −3 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 𝑥+3
 𝑥2−9 
=
→0
→0
 está indeterminado 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 𝑥+3
 𝑥2−9 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 𝑥+3
(𝑥−3)(𝑥+3) 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 
 1
(𝑥−3) 
= −
1
6
 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua EVITABLE en 𝑥 = −3 
 
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EJERCICIO 
Encontrar los puntos de discontuidad de 𝑓(𝑥) y clasificarlos. Redefinirla en caso de ser 
posible. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
 
Calculemos primero el dominio: 
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {−1; −2} 
Entonces ahora deberemos estudiar la continuidad en esos puntos que no son del dominio. 
 
En 𝒙 = −𝟏 
1°) 𝑓(−1) =
(−1)2−4
(−1)2+3(−1)+2
=
−3
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(−1) 
Luego 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = −1 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥2−4
𝑥2+3𝑥+2
=
→−3
→0
= ∞ 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = −1 con salto infinito 
 
En 𝒙 = −𝟐 
1°) 𝑓(−2) =
(−2)2−4
(−2)2+3(−2)+2
=
0
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(−2) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = −2 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥2+3𝑥+2
=
→0
→0
 está indeterminado 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥2+3𝑥+2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(𝑥−2)(𝑥+2)
(𝑥+1)(𝑥+2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥−2
𝑥+1
=
−4
−1
= 4 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua EVITABLE en 𝑥 = −2 
 
En los puntos donde la función es discontinua evitable es posible redefinirla para que 
sea continua. 
Redefinición 
𝑓∗(𝑥) = {
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −2 ∧ 𝑥 ≠ −1
 4 𝑠𝑖 𝑥 = −2
 
 
 
 
Si usted vuelve a estudiar la continuidad, ahora de 𝑓∗(𝑥), descubrirá que para 𝑥 = −1 
sigue siendo discontinua esencial, en cambio para 𝑥 = −2 ahora esta función es 
continua. 
 
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Estudiar la continuidad de la siguiente función 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 1 𝑥 < −1
−𝑥2 −1 ≤ 𝑥 < 2
1
𝑥 − 4
𝑥 > 2
 
 
 2𝑥 + 1 −𝑥2 
1
𝑥−4
 
 
 −1 2 
Estudiaremos la continuidad de esta función en los puntos que pudieran tener algún tipo de 
discontinuidad. 
Estos puntos son en donde cambian los tramos de la función y en donde se anula el 
denominador de uno de los tramos. Es decir, estudiaremos la continuidad en 𝑥 = −1 , 𝑥 = 2 
y 𝑥 = 4. 
 
En 𝒙 = −𝟏 
1°) 𝑓(−1) = −1. (−1)2 = −1 
2°) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
 𝑓(𝑥) = 
Para calcular este límite deberemos calcular los límites laterales ya que la función 
cambia sus tramos a izquierda y a derecha de 𝑥 = −1 
𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−
(2𝑥 + 1) = 2. (−1) + 1 = −1 
𝐿2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
(−𝑥2) = −(−1)2 = −1 
Como 𝐿1 = 𝐿2 entonces podemos decir que existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
 𝑓(𝑥) = −1 
3°) 𝑓(−1) = lim
𝑥→−1
 𝑓(𝑥) 
−1 = −1 
 
 
 
Como se cumplieron las 3 condiciones para que una función sea continua en un punto 
podemos afirmar que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = −1. 
 
En 𝒙 = 𝟐 
1°) ∄𝑓(2) pues la función no está definida para 𝑥 = 2 
Luego 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 2 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = 
Para calcular este límite deberemos calcular los límites laterales ya que la función 
cambia sus tramos a izquierda y a derecha de 𝑥 = 2 
𝐿1 = lim
𝑥→2−
 (−𝑥2) = −4 
𝐿2 = lim
𝑥→2+
(
1
𝑥 − 4
) = −
1
2 
 
𝐿1 ≠ 𝐿2 entonces ∄ lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) 
Luego 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = 2 con salto finito 
 
En 𝒙 = 𝟒 
1°) 𝑓(4) =
1
𝟎
∉ ℝ entonces ∄𝑓(4) 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 4 
Para clasificar la discontinuidad hay que calcular el límite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
 
1
𝑥−4
= ∞ 
Entonces 𝑓(𝑥) es discontinua ESENCIAL en 𝑥 = 4 con salto infinito. 
 
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Definición de función continua por derecha en 𝒙 = 𝒄 
𝑓(𝑥) es continua por derecha en 𝑥 = 𝑐 si y sólo si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
 
Definición de función continua por izquierda en 𝒙 = 𝒄 
𝑓(𝑥) es continua por izquierda en 𝑥 = 𝑐 si y sólo si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
 
 
 
 
Definición de función continua en un intervalo cerrado [𝒂; 𝒃] 
𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎; 𝑏] si y sólo si 
1°) 𝑓(𝑥) es continua en todo punto del intervalo abierto (𝑎; 𝑏) 
2°) 𝑓(𝑥) es continua por izquierda en 𝑎 
3°) 𝑓(𝑥) es continua por derecha en 𝑏 
 
Los teoremas sobre funciones continuas en un intervalo cerrado [𝒂; 𝒃] que veremos en 
esta cursada son cuatro: 
• Teorema de Weierstrass (se lee “vaierstras”) 
• Teorema de Bolzano 
• Teorema del Valor Intermedio 
• Teorema de las Dos Funciones 
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TEOREMA DE WEIERSTRASS 
 
Si 𝒇(𝒙) es continua en el intervalo [𝒂; 𝒃] entonces 𝒇(𝒙) tiene un máximo y mínimo 
absoluto en [𝒂; 𝒃]. Es decir, existen puntos 𝒄 y 𝒅 en [𝒂; 𝒃] tales que 𝒇(𝒄) ≤ 𝒇(𝒙) ≤
𝒇(𝒅) ∀𝒙 ∈ [𝒂; 𝒃] 
Mostraremos en distintos gráficos dichos máximos y mínimos absolutos. En los 
mismos se muestran diversas situaciones que pueden ocurrir. 
Para simplificar el gráfico utilizaremos las abreviaturas M y m para máximos y 
mínimos absolutos respectivamente. 
 
 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
TEOREMA DE BOLZANO 
 
Si 𝒇(𝒙) es continua en el intervalo [𝒂; 𝒃] y 𝒇(𝒂) ∙ 𝒇(𝒙) < 𝟎 entonces ∃𝒄 ∈
(𝒂; 𝒃) / 𝒇(𝒄) = 𝟎 
 
También puede ocurrir que en el intervalo [𝑎; 𝑏] la función 𝑓(𝑥) tenga más de una raíz, 
como lo muestra el siguiente gráfico: 
 
Lo que nos asegura del teorema de Bolzano es que si ocurre la hipótesis entonces existe al 
menos una raíz de 𝑓(𝑥) dentro del intervalo en cuestión. 
 
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EJERCICIO 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3. Hallar la raíz de 𝑓(𝑥) que se encuentra en el intervalo [1; 2] con una 
precisión de un decimal aplicando el teorema de Bolzano. 
 
 
 
 
Primero comprobemos que se cumpla la hipótesis del 
teorema. 
𝑓(𝑥) es una función continua en el intervalo [1; 2] por 
ser una función polinómica. 
Además ocurre que 𝑓(1) ∙ 𝑓(2) < 0 puesto que 
𝑓(1) = 12 − 3 = −2 
𝑓(2) = 22 − 3 = +1 
 
Luego ∃𝑐 ∈ (1; 2) / 𝑓(𝑐) = 0 
O sea que existe un valor 𝑐 que anula la función en 
(1; 2), dicho de otra forma la función tiene una raíz en el intervalo (1; 2). 
También se puede decir que la gráfica de la función corta al eje 𝑥 en el intervalo (1; 2). 
 
Ahora ya que sabemos que seguro existe una raíz de 𝑓(𝑥) procederemos a buscarla. 
Proponemos un valor cualquiera entre 1 y 2, podemos tomar el del medio o cualquier otro con 
tal que esté en el intervalo (1; 2). 
Sea este primer valor 𝑝1 = 1,5. 
Hallemos su imagen para ver si es raíz o no. 
𝑓(1,5) = 1,52 − 3 = −0,75 1 1,52 
Vemos que este resultado dista mucho de ser cero, por lo que 𝑝1 = 1,5 no es la raíz que 
estamos buscando. 
Lo que debemos hacer ahora es repetir el procedimiento del principio, pero esta vez achicando, 
el intervalo al [1,5; 2] puesto que si se observa bien ocurre que 
𝑓(1,5) = 1,52 − 3 = −0,75 
𝑓(2) = 22 − 3 = +1 
Es decir, que estamos volviendo a aplicar el teorema de Bolzano nuevamente pero ahora con 
un intervalo más chico. Hemos descartado 𝑓(1) y lo hemos reemplazado por 𝑓(1,5). En ambos 
casos sus imágenes son negativas, la diferencia es que 1,5 está más próxima a 2. 
Se elige al azar un valor cualquiera. 
Sea 𝑝2 = 1,7. 1,5 1,7 2 
 
 
 
Hallemos su imagen 
𝑓(1,7) = 1,72 − 3 = −0,11 
 
¿Cómo sabemos si este valor 𝑝2 = 1,7 ya es una raíz o no? 
Su imagen ahora ya no está tan lejos de ser cero. 
 
Si volvemos a aplicar el teorema de Bolzano nos daríamos cuenta que como la imagen de 
 𝑝2 = 1,7 es negativa la raíz estaría entre 1,7 y 2. 
Es decir: 
𝑓(1,7) = 1,72 − 3 = −0,11 
𝑓(2) = 22 − 3 = +1 
 
Por lo tanto, bastará buscar las imágenes para 1,8 y 1,9 y ver cuál de todas es la raíz que 
estamos buscando. 
𝑓(1,8) = 1,82 − 3 = 0,24 
𝑓(1,9) = 1,92 − 3 = 0,61 
 
Si quisiéramos más decimales nos daríamos cuenta de que la raíz está entre 1,7 y 1,8 puesto 
que: 
𝑓(1,7) = 1,72 − 3 = −0,11 
𝑓(1,8) = 1,82 − 3 = 0,24 
Es decir 𝑓(1,7) ∙ 𝑓(1,8) < 0. 
 
Como el ejercicio sólo nos pide con una aproximación de un solo decimal hemos terminado, 
sólo hay que elegir la mejor raíz aproximada entre 1,7 y 1,8. En este caso será 1,7 ya que su 
imagen está más cerca de cero que la imagen de 1,8. 
 
Respuesta: La raíz hallada es 𝑐 = 1,7 
 
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TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO 
 
Si 𝒇(𝒙) es continua en el intervalo [𝒂; 𝒃] y se verifica que 
 𝒇(𝒂) < 𝒌 < 𝒇(𝒃) ∨ 𝒇(𝒂) > 𝒌 > 𝒇(𝒃) 
entonces ∃𝒄 ∈ (𝒂; 𝒃) / 𝒇(𝒄) = 𝒌 
 
 
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TEOREMA DE LAS DOS FUNCIONES 
 
Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son continuas en el intervalo [𝒂; 𝒃] y se verifica que 
 [ 𝒇(𝒂) > 𝒈(𝒂) ∧ 𝒇(𝒃) < 𝒈(𝒃) ] ∨ [ 𝒇(𝒂) < 𝒈(𝒂) ∧ 𝒇(𝒃) > 𝒈(𝒃) ] 
entonces ∃𝒄 ∈ (𝒂; 𝒃) / 𝒇(𝒄) = 𝒈(𝒄) 
 
 
 
 
Aclaración muy importante: 
Este archivo NO reemplaza al pdf de la Clase 4 subido a Contenidos. 
Este archivo sólo amplía, pero no sustituye. 
Sólo agrego algunas cosas que me parecen pertinentes. 
Así que recuerden que allí, en el pdf de la Clase 4 hay algunos temas/ejercicios más que aquí 
no detallé.