UD5_Potencias_Raíces_Logaritmos

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Matemáticas académicas. 
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TEMA 5. POTENCIAS Y RAÍCES. LOGARITMOS. 
 
5.1. Potencias. 
5.2. Radicales. 
5.3. Racionalización. 
5.4. Notación científica. 
5.5. Interés simple e interés compuesto. 
5.6. Logaritmos. 
5.7. Propiedades de los logaritmos. 
 
5. 1. Potencias. 
5.1.1. Propiedades de las potencias: 
 
 
 
5.1.2. Identidades notables. 
 
 
 
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5.2. Radicales. 
 
5.2.1 Radicales. 
 
Un radical es la raíz indicada de un número. 
 
 
 
√8 = 2 quiere decir que 2 = 8 
 
 
 
5.2.2. Propiedades de los radicales. 
 
 
RADICANDO ÍNDICE Nº RAÍCES 
REALES 
EJEMPLO 
𝑎 > 0 
PAR 2 √25 = ±5 ya que 5 = 25 y (−5) = 25 
IMPAR 1 √27 = 3 ya que 3 = 27 
𝑎 < 0 
PAR 0 √−25 no existe 
IMPAR 1 √−27 = −3 ya que (−3) = −27 
𝑎 = 0 
PAR 1 √0 = 0 
IMPAR 1 √0 = 0 
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5.2.3. Extraer e introducir factores en un radical. 
 
 
 
5.3. Racionalización de denominadores. 
 
Racionalizar es escribir una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador. 
 
 
 
 
 
5.4. Notación científica. 
 
 
 
 
 
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Ejemplos: 
 
1. Uso de notación científica: 
 
a) 15 000 000 000 b) 0,00034 c) 0,123 
 
2. Operaciones con notación científica: 
 
𝑎) 
4 ∙ (10 )
2 ∙ 10
 
𝑏) 
8 ∙ 10
3 ∙ 10
 
c) 3,3 ∙ 10 ∙ 4,5 ∙ 10 
 
 
5.5. Interés simple e interés compuesto. 
 
5.5.1 Aumentos o disminuciones porcentuales. 
 
 
 
 
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5.5.2. Interés simple. 
 
El interés simple, i, es el beneficio que origina una cantidad de dinero, denominada 
capital inicial, C0,en un tiempo, t, a un interés (rédito) del r%. 
 
Beneficio obtenido en un periodo = 𝑟% 𝑑𝑒 𝐶 
 
El interés es simple cuando los beneficios obtenidos se retiran al final de cada período 
de tiempo. 
 
Por tanto el capital final: 𝐶 = 𝐶 + 𝑖 
 
Los intereses se calculan: 
 
 
 
 
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5.5.3. Interés compuesto. 
 
 
 
 
Interés simple 
 
Capital inicial: 𝐶 = 1000€ 
Interés simple anual: r = 2% 
Tiempo: t = 3 años 
 
𝐶 = 𝐶 + 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
Los intereses totales se calculan al final de los 
3 años: 
 
𝑖 =
𝐶 ∙ 𝑟 ∙ 𝑡
100
=
1000 ∙ 2 ∙ 3
100
= 60 
 
𝐶 = 1000 + 60 = 1060€ 
 
Interés compuesto 
 
Capital inicial: 𝐶 = 1000€ 
Interés simple anual: r = 2% 
Tiempo: t = 3 años 
 
Los interese se recalculan cada año: 
 
Primer año: 
 𝐶 = 1000 + 2%𝑑𝑒 1000 = 1000 + 20 =
1020 
 
Segundo año: 
𝐶 = 1020 + 2%𝑑𝑒 1020 = 1020 + 20,4
= 1040,4 
 
Tercer año: 
𝐶 = 1040,4 + 2%𝑑𝑒 1040,4
= 1040,4 + 20,81
= 1061,21 
 
Usando la fórmula se calcula directamente: 
 
𝐶 = 𝐶 1 +
𝑟
100
 
 
𝐶 = 1000 1 +
2
100
= 1000(1 + 0,02)
= 1000 ∙ 1,02 = 1061,21 
 
 
 
 
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5. 6. Logaritmos. 
 
El logaritmo en base a de un número p es el exponente m al que hay que elevar la base 
para obtener el número p 
 
log 𝑝 = 𝑚 ⟺ 𝑎 = 𝑝 
 
La base cumple: 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 
 
 
Ejemplo 1. 
log 8 = 𝑝 ⟹ 2 = 8 si dos potencias tienen igual base significa que los exponentes 
son iguales ⟹ 2 = 8 = 2 ⟹ 𝑝 = 3 
 
Ejemplo 2. Usando la definición y utilizando la igualdad entre potencias calcular los 
siguientes logaritmos: 
a) log 128 = 𝑥 ⟹ 2 = 128 = 2 ⟹ 𝑥 = 7 ⟹ log 128 = 7 
 
(descomponiendo en factores de base 2 el número 128 obtenemos la potencia de 
base 2) 
 
b) log 81 = 𝑥 ⟹ 3 = 81 = 3 ⟹ 𝑥 = 4 ⟹ log 81 = 4 
c) log 125 = 𝑥 ⟹ 5 = 125 = 5 ⟹ 𝑥 = 3 ⟹ log 125 = 3 
 
El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y no se escribe la base 
log 𝑝 = 𝑚 ⟺ 10 = 𝑝 
 
 
 log 100000 = 𝑥 ⟹ 10 = 100000 = 10 ⟹ 𝑥 = 5 ⟹ log 100000 = 5 
 
log 0,001 = 𝑥 ⟹ 10 = 0,001 = 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡í𝑓𝑖𝑐𝑎 = 10 
⟹ 𝑥 = −3 ⟹ log 0,001 = −3 
 
 En la calculadora log es el logaritmo decimal. 
 
El logaritmo en base e se llama logaritmo neperiano y se escribe 
ln 𝑝 = 𝑚 ⟺ 𝑒 = 𝑝 
 
El número e es un número irracional e = 2,718281828… 
En la calculadora ln es el logaritmo neperiano. 
 
No existe el logaritmo de cero ni de números negativos (en cualquier base). 
 
 log −4 = 𝑥 ⟹ 2 ≠ −4 
 
 log 0 = 𝑥 ⟹ 3 ≠ 0 
 
 
 
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Ejemplo 3. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la definición: 
 
a) log 27 d) log 
b) log 625 e) log 
c) log 343 f) log 
 
Solución: 
 
 
 
 
Ejemplo 3. Calcula “x” utilizando la definición de logaritmo: 
 
a) log 𝑥 = 2 c) log 𝑥 = −2 e) log 𝑥 = 3 g) log 𝑥 = 0,4 
b) log 𝑥 = −1 d) log 𝑥 = 0 f) log 𝑥 = 1,5 h) log 𝑥 = −1 
 
Solución: 
 
 
Ejemplo 4. Calcula la base de los siguientes logaritmos: 
 
a) log 64 = 6 d) log = −3 
b) log 125 = 3 e) log = −2 
c) log 729 = 3 f) log = 2 
 
Solución: 
 
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5. 7. Propiedades de los logaritmos. 
 
Solo existen los logaritmos de los números positivos (y ≠ 0) 
 
1) log 1 = 0 ⟹ 𝑎 = 1 
 
2) log 𝑎 = 1 ⟹ 𝑎 = 𝑎 
 log 2 = 1 ; log 10 = 1 ; ln 𝑒 = 1 
 
3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos: 
 log (𝐴 ∙ 𝐵) = log 𝐴 + log 𝐵 
 
4) El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos: 
 log (𝐴/𝐵) = log 𝐴 − log 𝐵 
 
5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base: 
 log 𝐴 = n ∙ log 𝐴 
 
 
6) Uso de la calculadora (cambio de base). 
 
log 𝐴 = 𝑥 ⟹ 𝑥 =
log 𝐴
log 𝑎
 
 
Ejemplo 1. 
 log 5 = 𝑥 ⟹ 3 = 5 y no lo podemos calcular usando la definición, pero si con 
el cambio de base y la calculadora: 
 
log 5 = 𝑥 ⟹ 𝑥 =
log 5
log 3
= 1,46497 … ≅ 1,46 
 
 
Ejemplo 2. También usamos este método cuando la incógnita está en el exponente: 
 
4 = 5 
Tomamos logaritmos en ambos miembros de la ecuación: 
 
log 4 = log 5 
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Usando las propiedades de los logaritmos y despejando x: 
 
𝑥 ∙ log 4 = log 5 ⟹ 𝑥 =
log 5
log 4
≅ 1,16