Matemática_4_N_-_Jueves_28_de_mayo

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Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho 
humano a lo largo de la vida.
N i v e l
CUARTOEducación Media para Personas Jóvenes y Adultas
Matemática
y sus Tecnologías
ÁReA
FEchA : Jueves, 28 de mayo de 2020.
DisciPLinA : Matemática.
EJE TEMATicO : Sucesiones.
cAPAciDADEs : - Utilizar notación y vocabulario matemático adecuados al contexto que lo
 requiera.
 - Resolver situaciones problemáticas que requieran del empleo de progresiones
 aritméticas y geométricas.
 - Interpretar términos de progresiones aritméticas y geométricas.
TEMA : Progresiones aritméticas.
inDicADOREs : - Comprender el concepto de progresión aritmética. 
 - Interpretar términos de progresiones aritméticas. 
	 	 -	 Clasificar	una	progresión	aritmética.
 - Aplicar concepto de progresión aritmética en la resolución de problemas.
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PROGREsiOnEs ARiTMÉTicAs
Pasamos a estudiar una clase especial de sucesiones mediante este problema.
Se acerca la fecha de inauguración de una Olimpiada Nacional de Atletismo en Paraguay, en la que com-
petirán varios atletas.
Pablo, es un atleta que ha decidido participar en dicha Olimpiada Nacional, para lo que decide entrenarse 
para la competencia: el primer día corre 3 kilómetros y cada día aumenta su recorrido diario en 2 kilóme-
tros. Teniendo en cuenta que quiere recorrer hasta llegar a 23 kilómetros diarios, ¿cuántos días de entrena-
miento necesita?
Al cabo de 1 semana, ¿cuántos kilómetros diarios será capaz de recorrer?
Misión: Garantizar a todas las personas una educación de calidad como bien público y derecho 
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Analicemos la situación presentada…
Pablo inicia su corrida con 3 kilómetros, pero en el segundo 
día aumenta en 2 kilómetros más; es decir
3 + 2 = 5 kilómetros, para el siguiente día 2 más, por lo que 
llegará a 7 kilómetros y así sucesivamente hasta llegar al de-
seado que es de 23 kilómetros. 
Llevemos esta situación a una tabla, la cual nos ayuda a en-
contrar las respuestas a las preguntas formuladas en el proble-
ma.
Observamos los valores que acabamos de obtener, estos for-
man la sucesión 3,5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 en la que 
cada término se obtiene sumando una cantidad constante al 
anterior; este tipo de sucesión se llama PROGRESIÓN ARIT-
MÉTICA. La constante que sumamos a cada término para obtener el siguiente, se llama diferencia común 
de la progresión que se representa por la letra d, en nuestro ejemplo la diferencia común es 2.
El símbolo de la progresión aritmética es (÷), se representa de la siguiente
forma: ÷ a1, a2, a3, a4,………, aa-1, an,
Donde:
 a1 = es el primer término.
 an = es el último término o término general.
 n = es el número de términos, que se encuentra como subíndice.
 d = es la diferencia común.
Ahora podemos responder a las preguntas de la situación planteada, conociendo la progresión aritmética, 
por lo cual Pablo necesita 11 días de entrenamiento (según la tabla) que equivale al número de términos 
de la progresión aritmética, es decir n = 11, y al cabo de 1 semana (7 días) alcanzará a recorrer 15 kilóme-
tros, corresponde al término a7. (MEC,DGEPPJA, 2019, págs. 55,56).
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En conclusión:
Progresión aritmética (PA) es una sucesión de números reales tal que cada término, excepto el primero, se 
obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada “diferencia”.
Ejemplos:
1. La sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20… es una progresión aritmética de diferencia común 3, pues cada 
término se obtiene sumando la constante 3 a la anterior. 
 En efecto: 
 El primer término es: 2 
 El segundo término a2 es: 2 + 3 = 5 
 El tercer término a3 es: 5 + 3 = 8 
 El cuarto término a4 es: 8 + 3 = 11 
 El quinto término a5 es: 11 + 3 = 14
 El sexto término a6 es: 14 + 3 = 17
 El séptimo término a7 es: 17 + 3 = 20
 En este ejemplo se observa que la diferencia es d = 3, que se obtiene 
restando de cada término su término inmediato anterior. 
2. La sucesión 4, 2, 0, -2, -4, -6,…. es también una progresión aritmética 
de diferencia común -2, pues cada término se obtiene sumando al ante-
rior la constante – 2.
 En donde:
 El primer término es: 4
 El segundo término a2 es: 4 + (-2) = 4 – 2 = 2
 El tercer término a3 es: 2 + (-2) = 2 – 2 = 0
 El cuarto término a4 es: 0 + (-2) = 0 – 2 = -2
 El quinto término a5 es: (-2) + (-2) = -2 – 2 = -4
 El sexto término a6 es: (-4) + (-2) = -4 – 2 = -6
La diferencia de: 
2, 5, 8, 11, 14, ….
Se halla haciendo:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3 etc.
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Para asegurarse que una 
sucesión es una progre-
sión aritmética se ha de 
comprobar que la dife-
rencia entre cada término 
y su anterior es siempre 
la misma. Además, esta 
comprobación elemental 
determina el valor de la 
diferencia común de la 
progresión.
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 3 5 9
 2 2 2
 3 1
 2 2
-1 = 9 3
 2 2
-3 =
3. La sucesión de 5, 5, 5, … es una progresión aritmética de diferencia 0 (cero).
4. 1, 2, , 3, … no es una progresión aritmética, porque no tiene una diferencia común, ya que:
 pero (MEC,DGEPPJA, 2019, págs. 55-57).
Clasificación de una progresión aritmética
 Consideramos las progresiones aritméticas, 
a) (10, 14, 18, 22, 26…) 
 Determinamos: r = 14-10 y comprobamos que r = 4, resulta mayor a 0.
 En este caso la progresión aritmética es creciente.
b) (20,10, 0,-10…) 
	 Verificamos	que	r	=	10-20,	y	comprobamos	que	r	=	-10,	resulta	menor	a	0.
 En este caso la progresión aritmética es decreciente.
c) (3,3,3,3,….) 
 Hallamos que r = 3-3 y comprobamos que r = 0, resulta igual a 0.
 En este caso la progresión aritmética es constante o estacionaria.
concluimos:
 - Si la razón es positiva, r>0, la progresión aritmética es creciente.
 - Si la razón es negativa, r<0, la progresión aritmética es decreciente.
 - Si la razón es nula, r=0, la progresión aritmética es constante (Atlas Representaciones S.A., 2007,
 pág. 30).
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AcTiViDADEs 
1. Encuentro la diferencia de estas progresiones aritméticas e indico si son crecientes o 
 decrecientes: 
 a) -7,-3,1, 5,9,13,17
 b) 8, 5, 2, -1, -4, -7
 c)
 (MEC,DGEPPJA, 2019, pág. 62)
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Trabajo solo
 15 13
 2 2
8, , 7, ,6
2. Resuelvo
 a) Los puntajes obtenidos por un equipo de fútbol, que gana todos sus partidos aumentan progre-
sivamente,	verifico	si	estos	puntajes	forman	una	progresión	aritmética	3,	6,	9,	12,	15,	18,	21.	
Justifico	mi	respuesta.
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- Elaborado por: Prof. Carmen Venialgo, CEMpPJA N° 159 “Fulvio Ramón Cubilla”.- corrección: Daisy Mayeregger - María Gloria Estigarribia, técnicas de la DEByMPJA - DGEPPJA.
- normalización de Texto: Gustavo Céspedes, técnico de la DEByMPJA - DGEPPJA.
- Diseño gráfico: Luis Ojeda, técnico DEByMPJA - DGEPPJA.
 b) La edad de 8 estudiantes de diferentes cursos elegidos para una competencia de ciclismo, fue-
ron 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 19. Compruebo si esta sucesión forma una progresión aritmética 
(MEC,DGEPPJA, 2019, pág. 57).
Fuentes consultadas
- Atlas Representaciones S.A. (2007). Ñepytyvõ Rekávo, Matemática y sus Tecnologías,Tercer Curso,Plan Común Reforma Educativa 
Nacional (Vol. 3°). (A. R. S.A., Ed.) Asunción, Paraguay: Atlas Representaciones.
- MEC,DGEPPJA. (2019). Módulo del Estudiante. Matemática y sus tecnologías 4°Nivel. Educación Media para Personas Jóvenes y 
Adultas (Vol. 4° Edición). Asunción, Paraguay: SERVIPRESS S.R.L.