des olimpiadas 2020-65

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Para responder a la primera pregunta tendremos que cuenta que para dividir 
potencias de igual base ésta se deja igual y se restan los exponentes junto que si 22008 
está dividiendo a varios sumandos divide a cada uno de ellos. 
Así, la operación: 
(22016 − 22015 + 22014 − 22013 + 22012 − 22011 + 22010 − 22009) ∶ 22008 
queda de la forma: 
28 − 27 + 26 − 25 + 24 − 23 + 22 − 2 
Estas potencias ya son más fáciles de operar. Si opero directamente quedaría: 
256 – 128 + 64 – 32 + 16 – 8 + 4 – 2 = 170 
Observar que esta operación también la podría haber calculado sacando factores 
comunes de la forma: 
27(2 − 1) + 25(2 − 1) + 23(2 − 1) + 2(2 − 1) = 
27 + 25 + 23 + 2 = 2 · (26 + 24 + 22 + 1) 
= 2 · (64 + 16 + 4 + 1) = 2 · 85 = 170 
 
La segunda pregunta es más complicada y para resolverlo utilizaremos la identidad 
notable que dice que: 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
Para aplicarla reordenaré la operación: 
12 − 22 + 32 − 42 + 52 − 62 + 72 − ⋯ − 582 + 592 
del siguiente modo: 
12 + 32 − 22 + 52 − 42 + 72 − 62 − ⋯ + 592 − 582 = 
= 1 + (3 + 2)(3 − 2) + (5 + 4)(5 − 4) + ⋯ + (59 + 58)(59 − 58) = 
= 1 + (2 + 3) · (1) + (4 + 5) · (1) + (6 + 7) · (1) + ⋯ + (58 + 59) · (1) = 
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯ + 58 + 59 = 1770 
Tal y como dice el enunciado. 
RESOLUCIÓN