Elementos_de_Topografia_II_Michel_Koolha

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Ing.Agr.Michel Koolhaas(M.Sc) 
Prof.Adjunto de Topografía 
 
Elementos de Topografía II 
 
4.Situación de un punto en el plano. Coordenadas polares. Coordenadas rectangulares. 
5.Coordenadas relativas y absolutas. 
6.Principios de la Taquimetría. 
 
 
4.Situación de un punto en el plano. 
 
Si tenemos un punto en el espacio y lo proyectamos sobre un plano horizontal, ver figura , 
su situación en éste plano la podemos determinar por los valores de x e y. 
Si ese punto se identifica como A , sus valores serán x A e yA , estos valores se llaman 
coordenadas cartesianas o rectangulares . 
 
 
 
 
 
 
Otra forma de identificar el punto A es a través de las coordenadas polares, o sea ángulo α y 
distancia d (radio polar). En la práctica topográfica, al realizar levantamiento de puntos del 
terreno, se toman sus coordenadas polares, o simplemente polares de los puntos del terreno, 
ángulos con respeto a un determinado origen y distancias. Posteriormente, en el gabinete o 
la oficina, se calculan o simplemente se verifican sus coordenadas cartesianas. 
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4.1 Coordenadas polares 
 
Si tenemos un punto O en el plano y una dirección de referencia Ox que pasa por él, 
cualquier otro punto A del plano quedará determinado por el ángulo que forma la dirección 
OA con la línea de referencia y la distancia d existente entre O y A. Estos dos valores , un 
angular y uno lineal, α y d respectivamente, constituyen las coordenadas polares de un 
punto y se miden directamente en el terreno. 
 
Al punto O en matemáticas se le llama polo, también centro de radiación, es el punto donde 
se ubica un instrumento, como el teodolito con un EDM o más modernamente una estación 
total, y el eje o dirección de referencia , eje polar. 
En el punto O se puede instalar también un nivel taquímetro para replantear tajamares de 
aguada. El eje O X será la orientación magnética o cualquier dirección arbitraria, por 
ejemplo hacia un molino, antena o un pararrayo. 
 
 
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4.2 Coordenadas rectangulares 
 
Si tenemos un sistema de dos ejes perpendiculares en un plano, cualquier punto A del 
mismo queda determinado por sus proyecciones xA e yA sobre los ejes, siendo xA la 
abcisa e yA la ordenada. 
 
Estos ejes pueden ser: uno, el determinado por una dirección conocida (Norte magnético o 
simplemente una dirección arbitraria) y el otro eje , perpendicular al anterior en el origen. El 
origen O divide ambos ejes en dos segmentos, en el de las x se considera positivo el 
segmento de la derecha y negativo el de la izquierda; en el de las y se toma como positivo el 
de la parte superior y negativo el de la inferior. 
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De ésta forma los ejes dividen el plano en cuatro regiones o cuadrantes, que en Topografía se 
numeran en la forma indicada en la figura siguiente . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Del triángulo OAA se deduce : 
 
yA = d . cn α 
 
xA = d . sin α 
 
 
 
 o en el sistema N – E 
 
N A = d . cn α 
 
E A = d . sin α 
 
 
 
Estas fórmulas nos sirven para calcular las coordenadas rectangulares de un punto del plano, 
en función de las polares correspondientes. 
Estas fórmulas, deducidas para un punto A situado en el primer cuadrante, son generales, 
siempre que se cuenten los ángulos a partir del semieje positivo de las y ( eje N-S ) y 
en el sentido de las agujas del reloj. En el trabajo de campo se levantan las polares de los 
puntos, para en el gabinete calcular las cartesianas, que a su vez nos permitirán el “picado” de 
los puntos. 
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Estas fórmulas nos permiten obtener no solamente los valores absolutos de las coordenadas 
rectangulares, sino también sus correspondientes signos, bastando, para ello, ver el que 
corresponde a los senos y cosenos de α en los diferentes cuadrantes. 
En el primer cuadrante el ángulo α varía de 0° a 90° (sexagesimal), siendo para estos 
valores, positivos, tanto el seno como el coseno, y resultando, por lo tanto, ambas 
coordenadas positivas. 
En el segundo cuadrante, α está comprendido entre 90° y 180° siendo positivos los senos y 
negativos los cosenos, por lo cual resultarán las abcisas positivas y negativas las ordenadas. 
En el tercer cuadrante, los valores de α oscilan entre 180° y 270° , para éstos valores 
angulares son negativos los senos y cosenos, por lo cual, siendo consecuentemente también 
sus coordenadas. 
Por último, en el cuarto cuadrante, los valores de α oscilan entre 270° y 360°, para éstos 
valores son negativos los senos y el coseno es positivo, siendo, por tanto, la abcisa negativa 
y la ordenada positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura anterior, se resume cuanto se ha expuesto y vemos el perfecto acuerdo entre los 
signos obtenidos para las coordenadas por medio de las fórmulas y el convenio establecido 
para el signo de los semiejes. 
 
 
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Ejemplo.- 
 
 
Siendo las polares de un punto A levantado desde una estación total, d = 285,78 m y 
Azimut α = 132° 28 ; calcular sus coordenada rectangulares 
 
xA = d . sen 132° 28 = 285,78 ( + 0,7376703) = 210, 81 
 
yA = d . cn 132° 28 = 285,78 ( - 0,6751612) = - 192,95 
 
 
 
 
 
5. Coordenadas relativas y absolutas. 
 
Normalmente en un levantamiento topográfico, no se puede realizar el mismo de todos los 
puntos desde una sola estación, sino que el levantamiento de un punto como el C habrá que 
realizarlo desde otro B cuyas coordenadas hayan sido previamente calculadas. Por tanto 
para cubrir adecuadamente una determinada área, es necesario tomar las polares del terreno 
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desde una serie de estaciones, enlazadas convenientemente, de forma de tener las 
coordenadas absolutas. 
 
En efecto, si se quieren referir las coordenadas de todos los puntos al sistema de ejes Ax y 
Ay, las fórmulas de las coordenadas parciales, nos dan inmediatamente las coordenadas de 
B referidas a dichos ejes. 
Pero para hallar las de C hay que operar del siguiente modo : se supone trazado por B un 
sistema de ejes paralelo al general que pasa por A , y se calculan con su signo mediante las 
fórmulas conocidas, las coordenadas denominadas parciales o relativas de C respecto a 
B, y se representan por x CB e y CB .- 
 
Las coordenadas totales de C respecto a A, denominadas también coordenadas absolutas, se 
obtienen sumando algebraicamente a las absolutas de B las relativas de C respecto a 
B, y se representan por xC e yC .- 
 
 
Para evitar el inconveniente que supone el que haya coordenadas absolutasnegativas, en 
lugar de dar cero a las coordenadas del origen A, se la dan una coordenadas arbitrarias 
positivas y lo suficientemente grandes para que todos los puntos resulten con las suyas 
positivas. Esta es una afirmación, que actualmente con el dibujo CAD y los recolectores de 
datos electrónicos, no resulta muy valedera. Sin embargo, con el “ picado” o ubicación 
de los puntos relevados, en un plano a escala, el trabajo manual de dibujo resultaba más 
dificultoso con números negativos, por ello la regla conveniente a observar. 
 
Si al hacer estación en B. Se hubiese colocado el aparato con el eje 0°-180° de su círculo 
azimutal, exactamente paralelo a AY, evidentemente se habría hallado una orientación : 
 
O BA = OAB + 180° 
 
 
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Al hacer un cambio de estación con el instrumento, un goniómetro ( generalmente un 
teodolito o una estación total), el aparato se habrá de colocar con la línea 0°-180° de su 
círculo azimutal exactamente paralelo al eje AY. 
Es de destacar que la fórmula general de propagación de la meridiana original, establece 
 
Az hacia atrás = Az hacia adelante +/− 180 
 
Según , si el valor del Az hacia adelante es menor o mayor a 180° respectivamente. 
 
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6. Principio de la Taquimetría 
 
Es sabido que la Topografía tiene por objeto representar una parte de la superficie terrestre, 
es decir, una parte tal del globo, en la cual no es necesario tener en cuenta la esfericidad 
terrestre para hacer los cálculos con la debida exactitud. 
Para representar los puntos del terreno, se sigue el método de proyección topográfica o 
proyección horizontal, que consiste en representar los puntos de la superficie del terreno por 
medio de su proyección horizontal y por un número o cota, que se pone a un lado de cada 
punto, para indicar la distancia vertical a la cual se encuentra del plano de proyección 
horizontal. Por tanto, se deduce de lo precedente, que para poder representar el terreno, es 
necesario dividir las operaciones topográficas en dos grupos : uno que tiene por objeto 
determinar las posiciones que guardan entre sí las proyecciones horizontales de los puntos 
más notables del terreno que se trata de representar, y el otro que tiene por objetivo hallar la 
distancia de cada punto al plano horizontal que se toma como plano de comparación. La 
primera se llama planimetría y la segunda parte altimetría o nivelación, siendo éstas 
operaciones independientes. 
 
Ahora bien, la Taquimetría es una técnica que permite resolver la planimetría y altimetría con 
una sola operación, y que con la aparición de los instrumentos electrónicos de mensura de 
distancia, a partir de la década de los 80, la transforma en una técnica además muy precisa 
para la representación del terreno con sus irregularidades y diferentes accidentes naturales o 
artificiales. Es decir, la taquimetría siempre fue la técnica de preferencia para la 
representación del terreno, pero con la medida de distancias por estadimetría (lecturas en la 
mira x constante) existía una limitante de precisión(1/500 a 1/1000). Con el desarrollo 
tecnológico y la aparición en el mercado de instrumentos electrónicos (EDM) , la restricción 
de precisión pasó a ser de poca relevancia, especialmente en el área de riego y drenaje. 
Actualmente con una estación total, con lecturas angulares de 5”, se tienen precisiones en el 
límite de la división entre Topografía y Geodesia, hasta tal punto, que a nivel de mensuras 
para riego y drenaje, prácticamente no tienen más sentido los ajustes de los relevamientos. 
 
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Si tenemos el teodolito o una estación total sobre un punto estación M y un porta prisma en 
O. Si S representa la distancia inclinada ED ; H, la distancia horizontal EG = MN; y V , la 
distancia vertical o desnivel DG = ON, entonces 
 
 
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H = S cn α 
 
V = S sin α 
 
 
Cota O = CM + h instrumento + V - h prisma 
 
En resumen las fórmulas taquimétricas, para el trabajo con distanciómetro o con estación 
total, sin corregir por curvatura , son las siguientes 
 
1 ) Ci = C A + h A + V - Psm 
Donde 
Ci cota del punto relevado desde la estación A 
C A cota de la estación A 
h A altura del instrumento en la estación A 
V es el producto S x cos Cen (distancia inclinada x cos del Angulo cenital )con el 
signo correspondiente 
Psm altura del prisma . 
 
 
2) Xi = S x sin ( Cen ) x sin Azimut + X A 
 
 Yi = S x sin ( Cen ) x cos Azimut + Y A 
 
 
 
En las fórmulas establecidas en el numeral 2), se asume una propagación de meridiana 
en todos los cambios de estación. Por tanto, al hacer propagación de la meridiana original 
de referencia, todos los ángulos a derechas son azimutes.- 
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6.1 Plano acotado. 
 
Plano acotado es un plano de puntos ubicados a escala sobre un plano, con un número 
ordinal, una descripción y una cota. 
 
La obtención de un plano acotado es el paso previo a obtener un plano de curvas de nivel. 
El conjunto de puntos que definen un plano acotado, es el resultado generalmente de un 
relevamiento taquimétrico, en el cual obtenemos un número de orden , una serie de 
coordenadas x, y, z, ( N, E, z ) y descripción del punto. Con los elementos descritos, 
podemos “ picar ” o representar gráficamente los puntos que definen el plano acotado. 
Posteriormente, el proceso de interpolación lineal entre los sucesivos puntos determinará la 
unión de puntos de igual cota para obtener las curvas de nivel. El proceso de interpolación 
puede ser manual, semi automático ( TopoCAD-TopoStudio) o automático ( Surfer o LI 
Contour ) 
 
 
 
6.2 Curvas de Nivel. 
 
La forma más común para representar el relieve de un área, es el de curvas de nivel. 
Qué son curvas de nivel? Las curvas de nivel, son líneas curvas que pasan a través de puntos 
del terreno de igual altura o de igual cota. Recordemos que la cota de un punto es la distancia 
vertical entre la superficie de nivel que pasa por dicho punto y la superficie de referencia. 
Estrictamente, se define una curva de nivel como la intersección de una superficie de nivel 
con la superficie del terreno. 
Por tanto, el sistema de curvas de nivel, permite al usuario de las cartas topográficas, 
identificar fácilmente el modelo del terreno, proporcionando además una información 
definida y precisa acerca de los distintos sectores del terreno. 
 
 
La pendiente media del terreno entre dos puntos se define como la ∆cotas / ∆ distancia en 
m/m o si se multiplica por cien en % 
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S (m/m) = ∆cotas / ∆ distancia S ( %) = (∆cotas / ∆ distancia) x 100 
 
 
Por lo tanto, entendido el punto anterior, es claro que, cuanto más cerca están las curvas de 
nivel, ello indicará una pendiente del terreno más fuerte, así comoun mayor espaciamiento 
entre las mismas, indicará una pendiente más débil o suave. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Características principales de las curvas de nivel: 
 
 Todos los puntos ubicados sobre una misma curva, tienen la misma altura o cota ( ej. 
A ) 
 
 Toda curva de nivel cierra sobre si misma, ya sea dentro o fuera de los límites de la 
carta topográfica que se confecciona ( ej. B ) 
 
 Una curva de nivel que cierra dentro de los límites del plano topográfico indica una 
altura o una depresión. ( ej. C ) 
 
 Se reconocen las vaguadas o “ talwegs ” porque la concavidad apunta hacia cotas 
inferiores ( ej. D ) 
 
 Se reconocen las divisorias de aguas, porque la concavidad de las curvas apunta 
hacia cotas superiores ( ej. E ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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