PPT MCM MCD

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¡BIENVENIDOS!
Hoy revisaremos el 
siguiente tema: 
MCD - MCM
 DEFINICIONES
 MÉTODOS DE CÁLCULO
 PROPIEDADES
CONTENIDO DE LA CLASE
Mínimo común múltiplo 
Máximo común divisor
DEFINICIONES
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D.)
• El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de los divisores
comunes de dichos números.
Ejemplo
Halle el máximo común divisor de 9 y 18.
Divisores de 18: D18 = {1 ; 2; 3; 6; 9; 18}
Divisores de 9: D9 = {1; 3; 9}
Divisores comunes de 9 y 18 = {1; 3; 9}
M. C. D. 9; 18 = 9El mayor de los divisores es 9, por lo tanto:
• El máximo común divisor de a, b, c y d se denota por MCD(a; b; c; d).
Notación:
DEFINICIONES
• El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos
comunes positivos de dichos números.
Ejemplo
Halle el mínimo común múltiplo de 2 y 3.
Múltiplos de 3: 3 = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18… }
Múltiplos de 2: 2 = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;… }
Múltiplos comunes positivos de 2 y 3 = {
M. C.M. 2; 3 = 6El menor de los múltiplos es 6, por lo tanto:
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M. C. M.)
• El mínimo común múltiplo de a, b, c y d se denota por MCM(a; b; c; d). 
Notación:
6; 12; 18;… }
MÉTODOS DE CÁLCULO
El MCD está dado por el producto de los factores primos comunes elevados al menor
exponente.
POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Ejemplo:
Halle el MCD de 120; 180 y 2100.
180 = 22 ∙ 32 ∙ 5
120 = 23 ∙ 3 ∙ 5
2100 = 22 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 7
Entonces: MCD 120; 180; 2100 = 22 ∙ 31 ∙ 51
MCD 120; 180; 2100 = 60
MÉTODOS DE CÁLCULO
El MCM está dado por el producto de todos los factores primos comunes y no comunes
elevados al mayor exponente.
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Ejemplo:
Halle el MCM de 120; 180 y 2100.
180 = 22 ∙ 32 ∙ 5
120 = 23 ∙ 3 ∙ 5
2100 = 22 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 7
Entonces: MCM 120; 180; 2100 = 23 ∙ 32 ∙ 52 ∙ 7
MCM 120; 180; 2100 = 12 600
Determina el MCM y el MCD en el siguiente caso:
A = 2 × 34 × 7 × 11
B = 24 × 32 × 54 × 72
C = 23 × 33 × 53 × 73 ×13
El MCM está dado por el producto de todos los factores 
primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
24× 34× 54× 73× 11× 13
El MCD está dado por el producto de los factores primos 
comunes elevados al menor exponente.
2 × 32× 7
Solución:
MCM(A; B; C) =
MCD(A; B; C) =
1.
MÉTODOS DE CÁLCULO
DESCOMPOSICIONES SIMULTÁNEAS
Ejemplo: Halle el MCD de 12; 54 y 90.
MCD 12; 54; 90 = 6
12 54 90 2
6 27 45 3
2 9 15
MCD 12; 54; 90 = 2 ∙ 3
Primos entre sí
• Se dividen todos los números por el
menor factor primo común a todos
ellos.
• Se continúa dividiendo hasta que
todos los cocientes obtenidos sean
primos entre sí.
• El MCD es el producto de todos los
factores comunes obtenidos.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR:
MÉTODOS DE CÁLCULO
DESCOMPOSICIONES SIMULTÁNEAS
Ejemplo: Halle el MCM de 12; 54 y 90.
MCM 12; 54; 90 = 540
12 54 90 2
6 27 45 2
3 27 45 3
1 9 15 3
1 3 5 3
1 1 5 5
11 1
MCM 12; 54; 90 = 22 ∙ 33 ∙ 5
• Se dividen todos los números por el
menor factor primo que divida, por
lo menos, a uno de ellos.
• Se continúa dividiendo hasta que
todos los cocientes sean iguales a
uno.
• El MCM es el producto de todos los
factores obtenidos.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO:
Determina el MCD y el MCM en el siguiente caso:
1365 – 1190 – 5005.
Solución:
2.
MCD 1365; 1190; 5005 = 35
1365 1190 5005 5
273 238 1001 7
39 34 143 MCD 1365; 1190; 5005 = 5 × 7
Primos entre sí
Determina el MCM y el MCD en el siguiente caso:
1365 – 1190 – 5005.
Solución:
2.
MCM 1365; 1190; 5005 = 510 510
1365 1190 5005 2
1365 595 5005 3
455 595 5005 5
91 119 1001 7
13 17 143 11
13 17 13 13
1711 17
11 1
MCM 1365; 1190; 5005 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 ×17
Propiedades
PROPIEDADES
El MCD de dos números divisibles entre sí
es el menor de ellos.
PROPIEDAD 1
 A es múltiplo de B.
→ MCD A; B = B
El MCM de dos números divisibles entre
sí es el mayor de ellos.
 A es múltiplo de B.
→ MCM A; B = A
Todo divisor común de dos o más
números es divisor de su MCD.
PROPIEDAD 2
 N es divisor de A.
→ N es divisor del MCD A; B .
 N es divisor de B.
Todo múltiplo común de dos o más
números es múltiplo de su MCM.
 M es múltiplo de A.
→ M es múltiplo del MCM A; B .
 M es múltiplo de B.
PROPIEDADES
El MCD de dos números primos relativos
es la unidad.
PROPIEDAD 3
 A y B son primos relativos.
MCD A; B = 1
El MCM de dos primos relativos es igual al
producto de dichos números.
 A y B son primos relativos.
MCM A; B = AB
MCD (Ak; Bk) = k ∙ MCD (A; B)
PROPIEDAD 4
MCM (Ak; Bk) = k ∙ MCM (A; B)
PROPIEDADES
Los cocientes de dividir dos números
entre su MCD son primos entre sí.
PROPIEDAD 5
Ejemplo
MCD 18; 24 = 6
18
MCD 18; 24
=
3 y 4 son primos entre sí.
Los cocientes de dividir el MCM de dos
números entre los mismos son primos entre sí.
Ejemplo
18
6
= 3
24
MCD 18; 24
=
24
6
= 4
MCM 30; 42 = 210
MCM 30; 42
30
=
7 y 5 son primos entre sí.
210
30
= 7
MCM 30; 42
42
=
210
42
= 5
PROPIEDADES
Para dos números positivos A y B,
Ejemplo
Sean los números 12 y 18,
 MCD(12; 18) = 6
MCD 12; 18 × MCM 12; 18 = 216 = 12 × 18
 MCM 12; 18 = 36
Se cumple:
MCD A; B × MCM A;B = A × B
PROPIEDAD 6
Ejemplos
Solución:
1.
MCD Ak; Bk = k ∙ MCD A; B
MCM (Ak; Bk) = k ∙ MCM (A; B)
Calcula AB si se conoce lo siguiente:
MCD(34A; 51B) = 85
MCM(16A; 24B) = 192
 MCD 34A; 51B =
5 × 24 = 6 × A × B
MCD 2A; 3B = 5
 MCM 16A; 24B =
MCM 2A; 3B = 24
17 × MCD 2A; 3B = 85
8 × MCM 2A; 3B = 192
A × B = 20
MCD 2A; 3B × MCM 2A; 3B = 2A × 3B
Solución:
2.
180 y 252 tienen 9 divisores comunes.
Todo divisor común de 
dos o más números es 
divisor de su MCD.
¿Cuántos divisores comunes tienen 180 y 252?
MCD 180; 252 = 36
= 22× 32
= 9
Número de divisores de 36:
= 2 + 1 2 + 1
Si N = 𝑎𝑝𝑏𝑞𝑐𝑟 es la
descomposición canónica de N:
Num div = 𝑝 + 1 𝑞 + 1 𝑟 + 1
En un almacén tres grupos de 140; 168 y 224 lapiceros. Cada grupo debe colocarse en cajas
que contengan la misma cantidad de lapiceros sin que sobre ninguno.
a. ¿Cuántos lapiceros debe contener cada caja si debe ser la mayor cantidad posible?
140 168 224 2
70 84 112 2
35 42 56 7
5 6 8
Primos entre sí
Nmax = 28 lapiceros por caja
Nmax = MCD(140; 168; 224)
140 
lapiceros N N N
N es divisor de 140.
168 
lapiceros
N es divisor de 168.
N N N
224 
lapiceros
N es divisor de 224.
N N N
…
…
…
Solución:
3.
b. ¿Cuántas cajas serán necesarias?
140 
lapiceros N N N
N es divisor de 140.
168 
lapiceros
N es divisor de 168.
N N N
224 
lapiceros
N es divisor de 224.
N N N
…
…
…
→ 1er grupo:
140 lapiceros
28
= 5 cajas
En cada caja hay 28 lapiceros.
→ 2do grupo:
168 lapiceros
28
= 6 cajas
→ 3er grupo:
224 lapiceros
28
= 8 cajas
Se necesitan 19 cajas.
En un almacén tres grupos de 140; 168 y 224 lapiceros. Cada grupo debe colocarse en cajas
que contengan la misma cantidad de lapiceros sin que sobre ninguno.
Solución:
3.
Solución:
4.
El lado mide 18 m y se obtienen 130 lotes.
Un terreno rectangular tiene por dimensiones 180 m y 234 m, y se desea dividirlo en lotes
cuadrados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada lote y cuántos lotes se obtendrán:
a. si la longitud del lado es la mayor posible?
234 m
180 m
L
L
L = MCD(180; 234)
…
…
L L L
L
L
180 234 18
10 13
= 18 m
• L es divisor de 234.
• L es divisor de 180.
130 lotes
10 lotes
1
3
 l
o
te
s
Solución:
4. Un terreno rectangular tiene por dimensiones 180 m y 234 m, y se desea dividirlo en lotes
cuadrados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada lote y cuántos lotes se obtendrán:
b. si la longitud del lado está entre 8 m y 12 m?
8 < L < 12
180
9
×
234
9
Cantidad de lotes =
= 20 × 26 = 520
MCD(180; 234) = 18 
L es un divisor de 18
L = 9 m
El lado mide 9 m y se obtienen 520 lotes.
234 m
180 m
L
L
…
…
L L L
L
L
20 lotes
2
6
 l
o
te
s
Solución:
5 . Leopoldo ha decidido visitar a sus padres después de algunos años de residencia en los Estados
Unidos. Sus padres están en el Perú al igual que sus treshermanos, los cuales visitan a sus padres
con cierta frecuencia. Si el 2 de septiembre Leopoldo se enteró que ese día sus hermanos habían
coincidido en la casa de sus padres y al charlar con ellos supo que ellos los visitan cada 6; 9 y 12
días, respectivamente. ¿En qué fecha debe retornar al Perú si su intención es reunirse con sus
padres y hermanos?
→ Va a visitar cada 6 días: 6; 12; 18;…
→ Va a visitar cada 9 días : 9; 18; 27;…
→ Va a visitar cada 12 días: 12; 24; 36;…
Vuelven a visitarlos juntos en t días. → 𝑡 = 
 6
 9
 12
t = MCM 6; 9; 12 = 36 días
Se encontraron el 2 de septiembre.
Volverán a encontrarse: 2 de septiembre + 36 días
Solución:
5 . Leopoldo ha decidido visitar a sus padres después de algunos años de residencia en los Estados
Unidos. Sus padres están en el Perú al igual que sus tres hermanos, los cuales visitan a sus padres
con cierta frecuencia. Si el 2 de septiembre Leopoldo se enteró que ese día sus hermanos habían
coincidido en la casa de sus padres y al charlar con ellos supo que ellos los visitan cada 6; 9 y 12
días, respectivamente. ¿En qué fecha debe retornar al Perú si su intención es reunirse con sus
padres y hermanos?
Volverán a encontrarse el 8 de octubre.
Volverán a encontrarse: 2 de septiembre + 36 días
Septiembre Octubre
28 días 8 días
36 días
2 30 8
Solución:
6 . Un terreno tiene forma triangular y sus lados miden 144 m, 180 m y 240 m. En el contorno de
dicho terreno se ha plantado árboles igualmente espaciados. Si en cada vértice hay un árbol,
¿cuántos árboles se necesita como mínimo para cercar el terreno?
L = espacio entre árboles
 L es divisor de 144.
Solución:
6 . Un terreno tiene forma triangular y sus lados miden 144 m, 180 m y 240 m. En el contorno de
dicho terreno se ha plantado árboles igualmente espaciados. Si en cada vértice hay un árbol,
¿cuántos árboles se necesita como mínimo para cercar el terreno?
 L es divisor de 180.
 L es divisor de 144.
L L L…
L = espacio entre árboles
Solución:
6 . Un terreno tiene forma triangular y sus lados miden 144 m, 180 m y 240 m. En el contorno de
dicho terreno se ha plantado árboles igualmente espaciados. Si en cada vértice hay un árbol,
¿cuántos árboles se necesita como mínimo para cercar el terreno?
L = MCD 144; 180; 240 = 12 m
 L es divisor de 180.
 L es divisor de 144.
 L es divisor de 240.
L = espacio entre árboles
Solución:
6 . Un terreno tiene forma triangular y sus lados miden 144 m, 180 m y 240 m. En el contorno de
dicho terreno se ha plantado árboles igualmente espaciados. Si en cada vértice hay un árbol,
¿cuántos árboles se necesita como mínimo para cercar el terreno?
L = espacio entre árboles
L = 12 m
L L
2 espacios
1 árbol
L L L
3 espacios
2 árboles
De forma general:
Cantidad de árboles = Cantidad de espacios − 1
Contaremos los árboles que NO están en los extremos. 
Solución:
6 . Un terreno tiene forma triangular y sus lados miden 144 m, 180 m y 240 m. En el contorno de
dicho terreno se ha plantado árboles igualmente espaciados. Si en cada vértice hay un árbol,
¿cuántos árboles se necesita como mínimo para cercar el terreno?
240 m
12 m
= 20 espacios
144 m
12m
= 12 espacios
180 m
12 m
= 15 espacios
Cantidad de árboles = 19 + 11 + 14 + 3
→ Hay 11 árboles.
→ Hay 14 árboles.
12 12 24…
→ Hay 19 árboles.
L = espacio entre árboles
L = 12 m
Hay 3 árboles en los vértices. 
Hay 47 árboles en el terreno.
Solución:
7 . Un terreno rectangular de 264 m de largo y 168 m de ancho se divide en parcelas cuadradas
iguales de área máxima sin que sobre terreno. Si en cada esquina de las parcelas se planta un árbol
y cada uno de ellos cuesta $ 28, ¿cuánto se gasta en total en plantar los árboles?
264 168 24
11 7
168 m
264 m
L
L
…
…
L L L
L
L
L = MCD(264; 180)= 24 m
• L es divisor de 264.
• L es divisor de 168.
L L
2 espacios
3 árboles
L L L
3 espacios
4 árboles
De forma general:
Cantidad de árboles = Cantidad de espacios + 1
Contaremos los árboles que están en los extremos. 
168 m
264 m
L
L
…
…
L L L
L
L
Solución:
7 . Un terreno rectangular de 264 m de largo y 168 m de ancho se divide en parcelas cuadradas
iguales de área máxima sin que sobre terreno. Si en cada esquina de las parcelas se planta un árbol
y cada uno de ellos cuesta $ 28, ¿cuánto se gasta en total en plantar los árboles?
Solución:
7 . Un terreno rectangular de 264 m de largo y 168 m de ancho se divide en parcelas cuadradas
iguales de área máxima sin que sobre terreno. Si en cada esquina de las parcelas se planta un árbol
y cada uno de ellos cuesta $ 28, ¿cuánto se gasta en total en plantar los árboles?
264 168 24
11 7
árboles = 11 + 1 7 + 1
= 12 × 8 = 96
Gasté = 96 × $ 28
= $ 2688
168 m
264 m
L
L
…
…
L L L
L
L
L = MCD(264; 180)= 24 m
• L es divisor de 264.
• L es divisor de 168.
12 árboles
8
 á
rb
o
le
s
Solución:
Todo múltiplo común de dos o más 
números es múltiplo de su MCM.
L = MCM(8; 12; 20)
L = 120
L = 360 cm
 L = 12
 L = 8
 L = 20
Además: 320 cm < L < 380 cm
Un albañil dispone de ladrillos iguales que tienen forma de paralelepípedo rectangular cuyas
dimensiones son 8 cm, 12 cm y 20 cm. Con estos ladrillos, construye un cubo compacto cuya arista
mide entre 3,2 m y 3,8 m. ¿Cuántos ladrillos utilizó para construir dicho cubo?
8.
12
20 12
8
12 12
12
20
20
20 8
8
8
8
Se construye un
cubo de lado L.
L
L
L
LL
18
Se debe emplear 24 300 ladrillos.
12 12
12
20
24
20 8
8
8
8
Se construye un
cubo de lado L.
L
L
L
LL
 Largo:
360 cm
20 cm
= 18 ladrillos
 Ancho:
360 cm
12 cm
= 30 ladrillos
 Alto:
360 cm
8 cm
= 45 ladrillos
Cantidad de ladrillos = 18 × 30 × 45
18 ladrillos 30 ladrillos
45
ladrillos
L = 360 cm
Solución:
Un albañil dispone de ladrillos iguales que tienen forma de paralelepípedo rectangular cuyas
dimensiones son 8 cm, 12 cm y 20 cm. Con estos ladrillos, construye un cubo compacto cuya arista
mide entre 3,2 m y 3,8 m. ¿Cuántos ladrillos utilizó para construir dicho cubo?
8.
20 12
8
Un comerciante de frutas desea almacenar un lote de piñas en cajas de manera que cada caja
contenga exactamente la misma cantidad de estas frutas. Entonces descubre que, si colocara 12
piñas en cada caja, le sobrarían 5. Por otro lado, si cada caja contuviera 15 piñas, sobrarían 8.
Calcula la cantidad de piñas que contiene el lote si se sabe que son más de 500 y menos de 580.
N = 12 + 5
N = 15 + 8
N = 12 − 7
N = 15 − 7
N = MCM(12; 15) − 7
N = 60 − 7
Restos iguales
N de 12 en 12 sobran 5.
N de 15 en 15 sobran 8.
Por defecto: Por exceso:
N piñas
Además: 500 ≤ N ≤ 580
N = 60 9 − 7 = 533 piñas
Todo múltiplo común de dos o más números 
es múltiplo de su MCM.
Solución:
9 .
Solución:
10 .
Solo III es verdadera.
Si A y B son números naturales y positivos, indique cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas:
I. Si A y B son números primos y diferentes entonces MCM(A; B) es impar.
II. Si A – B > 2, entonces MCD(A; B) > 1
III. Si MCD (A; B) = d, entonces A + B es múltiplo de d.
I. Contraejemplo:
A = 2; B = 3 → MCM(2; 3) = 6
FALSO
II. Contraejemplo:
A = 11; B = 7; A – B = 4 > 2 → MCD(11; 7) = 1
FALSO
III. Si MCD (A; B) = d → A+ B = dp + dq
VERDAD
→ A = dp
B = dq
p y q: P.E.S
= d= d(p + q)