CAI Sesion 14 - Diseño de columnas

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CONCRETO ARMADO I 
DISEÑO DE COLUMNAS
2022-1
Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas. Pu = 100 tonf, Mux=22.5 
tonf-m y Muy=15.5 tonf-m. Considerar concreto f'c=280kgf/cm2 y acero de fy=4200kgf/cm2 
Utilizar el método de Bresler.
1. Datos:
≔Pu 100 tonnef ≔Mux ⋅22.5 tonnef m ≔Muy ⋅15.5 tonnef m
≔f'c 280 ――
kgf
cm 2
≔fy 4200 ――
kgf
cm 2
2. Dimensionamiento
La columna se predimensionará considerando una cuantía dentro del intervalo minimo y maximo
≤≤%1 ρ %6 —> se adopta ≔ρ %2
El area bruta de concreto de la columna debe ser: ≥Ag ――――――
Pu
⋅0.45 ⎛⎝ +f'c ⋅fy ρ⎞⎠
≔Ag =――――――
Pu
⋅0.45 ⎛⎝ +f'c ⋅fy ρ⎞⎠
610.501 cm 2
La relación anterior da buenos resultados cuando es utilizada en columnas sometidas a flexión en una 
dirección. En este caso, la columna resiste momentos considerables en dos direcciones (X y Y). Por 
ello, las dimensiones de la columna se tomarán mayores que las estimadas.
Se prueba una sección de: ≔b 30 cm ≔h 40 cm
El diseño por el método de Bresler consiste en determinar el refuerzo de la columna en las dos 
direcciones independientemente y finalmente verificar que la carga axial que puede resistir la 
columna sometida a flexión biaxial sea mayor que la aplicada.
Dirección x-x:
Sección: ≔b 30 cm ≔h 40 cm ≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.7 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.458
≔Rn =――――
Mux
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.258
Del diagrama de interacción (DI) C-22, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección 
analizada es , lo que equivale a un área de acero de . Esta ≔ρ %3.5 ≔As =⋅⋅ρ b h 42 cm 2
puede ser provista por 4 varillas #6 y 6 varillas #8. La sección es muy pequeña para esta 
cantidad de refuerzo, por lo que se incrementará la sección a:
Sección: ≔b 35 cm ≔h 45 cm ≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.733 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.349
≔Rn =――――
Mux
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.174
Del DI C-22, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es , ≔ρ %1.3
equivalente a un área de acero . Los cuales pueden ser provistos ≔As =⋅⋅ρ b h 20.475 cm 2
por 4 varillas #8
Mtro. Ing. Marco Muñiz P.
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Del DI C-22, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es , ≔ρ %1.3
equivalente a un área de acero . Los cuales pueden ser provistos ≔As =⋅⋅ρ b h 20.475 cm 2
por 4 varillas #8
Dirección y-y:
Sección: ≔b 45 cm ≔h 35 cm ≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.657 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.349
≔Rn =――――
Muy
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.154
Del C-22, se obtiene , que equivale a que puede ser provisto ≔ρ %1.0 ≔As =⋅⋅ρ b h 15.75 cm 2
por 2 #8 + 2 #6. Este refuerzo es adicional al calculado para la dirección X-X
El paso final del método consiste en estimar la resistencia de la columna a la compresión axial y 
verificar que ésta sea superior a la carga aplicada.
La cuantía total de la columna, considerando el refuerzo requerido en la dirección x-x e y-y es:
≔As =⋅(( +⋅6 5.1 ⋅2 2.85)) cm 2 36.3 cm 2
≔ρ =――
As
⋅b h
0.023
Para aplicar la ecuación (10-35) es necesario determinar la resistencia a la compresión axial de la
columna si ésta se encuentra sometida únicamente a flexión en una dirección. Haciendo uso de los 
diagramas de interacción correspondientes, se obtiene los siguientes resultados:
Dirección x-x:
Sección: ≔b 35 cm ≔h 45 cm ≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.733 ≔ϕ 0.65
≔Rn =――――
Mux
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.174
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≔Rn =――――
Mux
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.174
=ρ 0.023
Del C-6, se obtiene ≔Kn 0.48
como: ＝Kn ――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
—> ≔Pux =⋅Kn ⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h⎞⎠ 137592 kgf
Dirección y-y:
Sección: ≔b 45 cm ≔h 35 cm ≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.657 ≔ϕ 0.65
≔Rn =――――
Muy
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.154
=ρ 0.023
Del C-6, se obtiene ≔Kn 0.66
como: ＝Kn ――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
—> ≔Puy =⋅Kn ⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h⎞⎠ 189189 kgf
resistencia a la compresion de la columna 
≔ϕP0 =⋅ϕ ⎛⎝ +⋅⋅0.85 f'c ⎛⎝ -⋅b h As⎞⎠ ⋅fy As⎞⎠ 337135.89 kgf
Resistencia a la compresión de la columna sometida a flexión biaxial
≔ϕPnx =Pux 137592 kgf ≔ϕPny =Puy 189189 kgf =ϕP0 337135.89 kgf
＝――
1
ϕPi
-+――
1
ϕPnx
――
1
ϕPny
――
1
ϕP0
—> ≔ϕPi =―――――――
1
-+――
1
ϕPnx
――
1
ϕPny
――
1
ϕP0
104303.337 kgf
como: =ϕPi 104303.337 kgf > =Pu 100000 kgf —> Ok
Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas. Pu = 160 tonf, Mux=30 
tonf-m y Muy=20 tonf-m. Considerar concreto f'c=280kgf/cm2 y acero de fy=4200kgf/cm2 
Utilizar el método de Contorno de carga
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Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas. Pu = 160 tonf, Mux=30 
tonf-m y Muy=20 tonf-m. Considerar concreto f'c=280kgf/cm2 y acero de fy=4200kgf/cm2 
Utilizar el método de Contorno de carga
1. Datos:
≔Pu 160 tonnef ≔Mux ⋅30 tonnef m ≔Muy ⋅20 tonnef m
≔f'c 280 ――
kgf
cm 2
≔fy 4200 ――
kgf
cm 2
2. Dimensionamiento
La columna se predimensionará considerando una cuantía dentro del intervalo minimo y maximo
≤≤%1 ρ %6 —> se adopta ≔ρ %2
El area bruta de concreto de la columna debe ser: ≥Ag ――――――
Pu
⋅0.45 ⎛⎝ +f'c ⋅fy ρ⎞⎠
≔Ag =――――――
Pu
⋅0.45 ⎛⎝ +f'c ⋅fy ρ⎞⎠
976.801 cm 2
Si la sección estuviera sometida a flexión uniaxial, se podría considerar una sección de 35x35 cm. o una 
de 25x40. Sin embargo, en este caso, el cálculo se iniciará con una sección de mayor área 35x50 cm.
El diseño por el método del contorno de carga consiste en estimar un momento equivalente que 
pretende tomar en cuenta el efecto de los momentos en las dos direcciones. Dependiendo de la 
relación entre Muy/Mux b/h
Para determinar el momento equivalente es necesario conocer los siguientes parámetros:
Sección: ≔b 35 cm ≔h 50 cm
=――
Muy
Mux
0.667 =―
b
h
0.7
Como =――
Muy
Mux
0.667 < =―
b
h
0.7 —> ＝Mox +Mux ⋅⋅Muy
⎛
⎜
⎝
―
h
b
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
――
-1 β
β
⎞
⎟
⎠
El valor de oscila entre 0.55 y 0.90 pero se le suele tomar igual a 0.65 para iniciar el diseñoβ
≔β 0.65 —> ≔Mox =+Mux ⋅⋅Muy
⎛
⎜
⎝
―
h
b
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
――
-1 β
β
⎞
⎟
⎠
45384.615 ⋅kgf m
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.76 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.558
≔Rn =――――
Mox
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.285
≔ρ %3.5Del C-23, se obtiene 
Mtro. Ing. Marco Muñiz P.
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Del C-23, se obtiene ≔ρ %3.5
Como: ＝ρ ――
As
⋅b h
—> ≔As =⋅⋅ρ b h 61.25 cm 2
≔cm2 cm 2 ≔qm ――
kgf
m
≔
db
Asb
qsb
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Rebar: 8 (1) =Asb 5.1 cm 2
=db 2.54 cm
≔nbs =trunc
⎛
⎜
⎝
――
As
Asb
⎞
⎟
⎠
12 —> ≔Asp =⋅nbs Asb 61.2 cm 2
12#8 no caben paralelamente al lado menor de la columna, por ellos se incrementa la 
seccion
Sección: ≔b 40 cm ≔h 60 cm
=――
Muy
Mux
0.667 =―
b
h
0.667
Como =――
Muy
Mux
0.667 = =―
b
h
0.667 —> ＝Mox +Mux ⋅⋅Muy
⎛
⎜
⎝
―
h
b
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
――
-1 β
β
⎞
⎟
⎠
≔Mox =+Mux ⋅⋅Muy
⎛
⎜
⎝
―
h
b
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
――
-1 β
β
⎞
⎟
⎠
46153.846 ⋅m kgf
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.8 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
≔Rn =――――
Mox
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
0.176
Del C-23, se obtiene ≔ρ %1.15
Como: ＝ρ ――
As
⋅b h
—> ≔As =⋅⋅ρ b h 27.6 cm 2
≔cm2 cm 2 ≔qm ――
kgf
m
≔
db
Asb
qsb
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Rebar: 8 (1) =Asb 5.1 cm 2
=db 2.54 cm
≔nbs =ceil
⎛
⎜
⎝
――
As
Asb
⎞
⎟
⎠
6 —> (6#8) ≔Asp =⋅nbs Asb 30.6 cm 2
(6#8)
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(6#8)
En la dirección y-y son necesarias :
≔As2 =⋅As
⎛
⎜
⎝
―
h
b
⎞
⎟
⎠
41.4 cm 2 —> (6#8 + 4#6) =⋅(( +⋅6 5.1 ⋅4 2.84)) cm 2 41.96 cm 2—>
(6#8 + 4#6)
Por lo tanto, el refuerzo longitudinal de la columna sera:
≔As =⋅(( +⋅8 5.1 ⋅4 2.84)) cm 2 52.16 cm 2
≔ρ =――
As
⋅b h
0.022
Considerando la carga axial que resiste la columna y la cuantía provista es posible determinar la 
resistencia a la flexión de la pieza si está sometida únicamente a flexión uniaxial.
Resistencia a la fexión en x-x ≔b 40 cm ≔h 60 cm =ρ 0.022
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.8 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Del diagrama C.7 se obtiene: ≔Rn 0.19
Ademas: ＝Rn ――――
Mox
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
—> ≔Mox ⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠
≔Mox =⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠ 49795.2 ⋅kgf m
≔b 60 cm ≔h 40 cm =ρ 0.022Resistenciaa la fexión en y-y
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Resistencia a la fexión en y-y ≔b 60 cm ≔h 40 cm =ρ 0.022
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.7 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Del diagrama C.6 se obtiene: ≔Rn 0.18
Ademas: ＝Rn ――――
Moy
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
—> ≔Moy ⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠
≔Moy =⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠ 31449.6 ⋅kgf m
Verificacion de la resistencia de la columna
Determinacion del parametro β
=――
Mux
Mox
0.602
=――
Muy
Moy
0.636
≔β 0.62
≔α =―――
log ((β))
log ((0.5))
0.69
=+
⎛
⎜
⎝
――
Mux
Mox
⎞
⎟
⎠
α ⎛
⎜
⎝
――
Muy
Moy
⎞
⎟
⎠
α
1.437 > 1.00 —> La columna no resiste, incrementar refuerzo
Reemplazamos las varillas #6 por varillas #8 y adicionamos 2 varillas #8, se tiene:
(14#8)
≔As =⋅(( ⋅14 5.1)) cm 2 71.4 cm 2
≔ρ =――
As
⋅b h
0.03
Resistencia a la fexión en x-x ≔b 40 cm ≔h 60 cm =ρ 0.03
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.8 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Mtro. Ing. Marco Muñiz P.
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2022-1
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Del diagrama C.7 se obtiene: ≔Rn 0.22
Ademas: ＝Rn ――――
Mox
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
—> ≔Mox ⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠
≔Mox =⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠ 57657.6 ⋅kgf m
Resistencia a la fexión en y-y ≔b 60 cm ≔h 40 cm =ρ 0.03
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.7 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Del diagrama C.6 se obtiene: ≔Rn 0.205
Ademas: ＝Rn ――――
Moy
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
—> ≔Moy ⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠
≔Moy =⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠ 35817.6 ⋅kgf m
Verificacion de la resistencia de la columna
Determinacion del parametro β
=――
Mux
Mox
0.52 =――
Muy
Moy
0.558 ≔β 0.535 ≔α =―――
log ((β))
log ((0.5))
0.902
=+
⎛
⎜
⎝
――
Mux
Mox
⎞
⎟
⎠
α ⎛
⎜
⎝
――
Muy
Moy
⎞
⎟
⎠
α
1.146 > 1.00 —> La columna no resiste, incrementar refuerzo
Adicionamos 2 varillas #8 en los lados menores:
(16#8)
≔As =⋅(( ⋅16 5.1)) cm 2 81.6 cm 2
≔ρ =――
As
⋅b h
0.034
Resistencia a la fexión en x-x ≔b 40 cm ≔h 60 cm =ρ 0.034
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.8 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Mtro. Ing. Marco Muñiz P.
CONCRETO ARMADO I 
DISEÑO DE COLUMNAS
2022-1
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Del diagrama C.7 se obtiene: ≔Rn 0.24
Ademas: ＝Rn ――――
Mox
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
—> ≔Mox ⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠
≔Mox =⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠ 62899.2 ⋅kgf m
Resistencia a la fexión en y-y ≔b 60 cm ≔h 40 cm =ρ 0.034
≔γ =――――
-h ⋅2 6 cm
h
0.7 ≔ϕ 0.65
≔Kn =――――
Pu
⋅⋅⋅ϕ f'c b h
0.366
Del diagrama C.6 se obtiene: ≔Rn 0.22
Ademas: ＝Rn ――――
Moy
⋅⋅⋅ϕ f'c b h2
—> ≔Moy ⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠
≔Moy =⋅Rn
⎛⎝ ⋅⋅⋅ϕ f'c b h2 ⎞⎠ 38438.4 ⋅kgf m
Verificacion de la resistencia de la columna
Determinacion del parametro β
=――
Mux
Mox
0.477 =――
Muy
Moy
0.52 ≔β 0.50 ≔α =―――
log ((β))
log ((0.5))
1
=+
⎛
⎜
⎝
――
Mux
Mox
⎞
⎟
⎠
α ⎛
⎜
⎝
――
Muy
Moy
⎞
⎟
⎠
α
0.997 < 1.00 —> La columna resiste las cargas
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