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APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD 1 La figura que se muestra a continuación es de una rueda de carro hallada cerca de Susa, que es una ciudad de la antigua Persia (actualmente es el sudoeste de Irán), datada en el II Milenio a.C., pero los historiadores nos mencionan que las ruedas más antiguas que se conocen fueron construidas en la antigua Mesopotamia, entre el año 3'500 y el 3'000 a.C. La rueda es sin duda el invento más importante de todos los tiempos. La historia de la civilización ha girado en torno a la rueda y hemos viajado tan lejos como lo hemos hecho, gracias a ella. La agricultura, las guerras, los viajes, el comercio, todo ello sería imposible de lograr sin la rueda. ¿La circunferencia tiene que ver con la rueda? ¿El radio de la rueda es lo mismo que el radio de la circunferencia? ¿QUÉ HARÍAMOS SIN LA RUEDA? UNIDAD 3 Comunicación matemática • Definir correctamente la circunferencia. • Identificar los elementos y ángulos asociados a la circunferencia. • Interpretar las propiedades y teoremas relativos a la circunferencia. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Distinguir los diferentes teoremas de circunferencia y formular estrategias de resolución en los diferentes tipos de problemas. Geometría 4to - I Bim.indd 55 31/10/2014 11:13:35 a.m. 56 TRILCE Colegios 1 El número Pi El número Pi es digno de admiración tres coma uno cuatro uno, todas sus cifras siguientes también son iniciales, cinco nueve dos, porque nunca se termina. No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco, con un cálculo ocho nueve, con la imaginación siete nueve. O en broma tres dos tres, es decir, por comparación ocho cuatro seis con cualquier otra cosa dos seis cuatro tres en el mundo. La más larga serpiente después de varios metros se interrumpe. Igualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes fabulosas. El cortejo de cifras que forman el número Pi no se detiene en el margen de un folio, es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire, a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro, de las nubes, directamente al cielo a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo. ¡Oh, qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón! ¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio! Pero aquí dos tres quince trescientos noventa mi número de teléfono, la talla de tu camisa, año mil novecientos setenta y tres, sexto piso número de habitantes, sesenta y cinco céntimos la medida de la cadera, dos dedos, la charada y el código en el que mi ruiseñor vuela y canta y pide un comportamiento tranquilo, también transcurren la tierra y el cielo pero no el número Pi, éste no, él es todavía un buen cinco, no es un ocho cualesquiera, ni el último siete metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad para la permanencia. Wislawa Szymborska - Premio Nobel de Literatura 1996 Circunferencia En este capítulo aprenderemos: • A conocer la definición y los elementos geométricos asociados a la circunferencia. • A reconocer los teoremas relativos a la circunferencia y aplicarlos a la resolución de problemas matemáticos. http://ar.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/circunferencia-circulos/trazado-circunferencia-conocido-radio.html 1 Geometría 4to - I Bim.indd 56 31/10/2014 11:13:35 a.m. Conceptos básicos Saberes previos 57Unidad III Geometría • Equidistar implica igual distancia. Aquí "O" equidista de "A", "B" y "C" A C O B Aquí "O" equidista de AB y PQ A P O Q B Antes de entrar a la teoría, recordemos que: • Una línea recta es tangente a una curva plana, cuando siendo coplanares, tienen solamente un punto en común. Recta L , tangente en "A" A L Recta L , tangente en "B" B L Definición: Es un conjunto de puntos coplanares que equidistan de otro punto llamado centro. A la región interior se le denomina círculo. Elementos • Centro : O • Radio : OB=R • Diámetro : AB=2R • Cuerda : PC • Arco : BC=a° • Flecha o ságita : MN • Secante : L2 • Tangente : L1 • Punto de tangencia : T • Longitud de la circunferencia : 2pR A R R P N M III III C B L2 L1T O a° Geometría 4to - I Bim.indd 57 31/10/2014 11:13:35 a.m. 5958 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCircunferencia Propiedades III. A III III B CMO q° q° Si: OC AB ⇒ AM=MB AC=CB IV. A E B F a° a° Si: EF // AB ⇒ AE=FB I. radio tangente "T" y "P" son puntos de tangencia R P T R O II. Si "B" y "C" son puntos de tangencia AB=AC m BAO=m CAO a° a° B A C O V. Si: AB = CD ⇒ AB=CD A D B C a° a° → → • Teorema de Poncelet Solo triángulo rectángulo. Demostración: ⇒ AB + BC = AC + 2r a r + b r = c a + b = c + 2r ⇒ AB + BC = AC + 2r A r B C b r A r r rr a r a a r b c B Cb r Geometría 4to - I Bim.indd 58 31/10/2014 11:13:36 a.m. 5958 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 1 Recordemos esta convención de nombres: • Teorema de Pitot Solo cuadrilátero circunscrito. E → excentro r → exradio Demostración: A I r B C A D B C ⇒ AB+CD=BC+AD ⇒ AB+CD=BC+AD m1=m2 c (a n)=b (d n) c a=b d a + b = c + d A D B C c a b d n m2 m1 n d-n a-n a-n d-n Circunferencia inscrita Circunferencia circunscrita Circunferencia ex-inscrita r →inradio I →incentro A O R B C R → circunradio O → circuncentro r B A C E Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares • Exteriores • Tangentes exteriores "T": Punto de tangencia entre las circunferencias OP=R+r O OP>R+r P r R O P r R T Geometría 4to - I Bim.indd 59 31/10/2014 11:13:36 a.m. 6160 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCircunferencia Síntesis teórica • Tangentes interiores • Secantes "T": Punto de tangencia OP=R r R r <OP<R+r O PT r R O P rR • Ortogonales • Concéntricas Corona o anillo circular OP=ceroOP2=R2+r2 O P r R O P r rR R OP<R r • Interiores O P r R CIRCUNFERENCIA Circunferencia y polígono • Teorema de Poncelet • Teorema de Pitot Propiedades • De tangentes • De perpendicularidad Circunferencia • Definición • Elementos Geometría 4to - I Bim.indd 60 31/10/2014 11:13:37 a.m. 6160 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 1 Conceptos básicos Aprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Grafique una circunferencia de 2 cm de radio y calcule su longitud. 2. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las tangentes AB y AC. Calcular el valor de "x", sabiendo que: AB=2x 1 y AC=8 x. 3. En cada gráfico se muestra a una circunferencia y una tangente. Calcule el valor de "b°" en cada gráfico ("M" punto de tangencia). a) 2b° M b) 3b° M 4. Grafique a una circunferencia de centro "O" y a un punto exterior "A". Desde "A" trace la tangente AB y la línea AO, de modo que midan 12 y 13 cm respectivamente. Calcular el radio de la circunferencia y la longitud de la misma. 5. En un triángulo rectángulo, grafique a la circunferencia inscrita. Si los catetos del triángulo miden 5y 12 cm, calcular el valor del inradio. 6. En un cuadrilátero se encuentra inscrita una circunferencia, donde dos lados opuestos miden 6 y (12 x) cm. Si los otros dos lados miden 13 y "y x" cm, calcular el valor de "y". 7. La figura muestra a la tangente AE y a los puntos de tangencia "B", "F" y "Q". Si AB y EF miden 7 cm y 12 cm, calcular el valor de "AE". B F QA E 8. La figura muestra al triángulo ABC y a la circunferencia inscrita. Si las tangentes AE; BF y CH miden 6; 4 y 8 cm respectivamente, calcular el perímetro de dicho triángulo. B F H CA E Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La medida de una vuelta en grados de una circunferencia es de 360°. • Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda. • Los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas, son siempre diferentes entre sí. 2. Completar: En todo triángulo rectángulo, la suma de los ................................................. es igual a la hipotenusa aumentada en dos veces el inradio. 3. Completar: Si: AB // CD ⇒ mAC= A B C D Geometría 4to - I Bim.indd 61 31/10/2014 11:13:38 a.m. 6362 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCircunferencia A B C Si: OC AB ⇒AM= M O Resolución de problemas 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 15 cm. Calcular el valor de su inradio. 5. Dado un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, dos de sus lados opuestos miden (6. .a) y (10+a) cm. Si los otros dos lados miden 7 y "x" cm, calcular el valor de "x". 6. Grafique a una circunferencia y al segmento AB tangente en el punto "Q", luego trace las tangentes AE y BF a dicha circunferencia. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AE=13'cm y BF=15 cm. 7. En un triángulo ABC, grafique a la circunferencia inscrita que determina el punto de tangencia "F" en AC. Calcule la longitud AF, sabiendo que: AB=9 cm; BC=11 cm y AC=14 cm. 8. En una circunferencia de centro "O" trace la cuerda AB y el radio OC perpendicular a dicha cuerda en "M". Si: AM=2x 1 y BM=9, cal- cular el valor de "x". 9. Se tiene un trapecio circunscrito a una circun- ferencia. Si los lados no paralelos miden 4 y 6 m, ¿cuál será la longitud de su mediana? 10. En el gráfico, se muestra al triángulo ABC y a la circunferencia exinscrita relativa al lado BC. Calcular la longitud de la tangente AQ, sabiendo que el perímetro del triángulo es de 18 cm. A C B Q 11. En el gráfico, se muestra al triángulo ABC y a la circunferencia exinscrita relativa al lado BC. Calcular la longitud de la tangente AR , sabiendo que: AB=13 cm; BC=11 cm y AC=16 cm. A C B R 12. Grafique una circunferencia de 10 cm de radio y trace una cuerda de 16 cm de longitud. Calcule la longitud de la flecha correspondiente a dicha cuerda. 13. Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia, sabiendo que la mediana del trapecio mide 14 cm. 14. Se tiene una circunferencia de centro "O". Desde un punto exterior "A" se traza la tangente AT, tal que m TAO=37°. Si: TA=24 cm, hallar la medida del radio de la circunferencia. 15. Se tiene una circunferencia de centro "O", cuyo radio mide 9 cm. Desde un punto exterior "A", se trazan las tangentes AT y AC. Si la m TAC=74°, calcular la medida de AT. 16. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo ABC de manera que es tangente en "T" al lado BC. Calcular el valor de "BT", si: AB=5; BC=6 y AC=7 cm. 17. En una circunferencia de centro "O" y cuyo radio mide 20 cm, se toma una cuerda AB de 32 cm de longitud. Calcular la medida de la flecha correspondiente a AB. 18. Se tiene un trapecio rectángulo, circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 12 cm. Si uno de sus lados no paralelos mide 30 cm, calcular la medida de la menor base. Geometría 4to - I Bim.indd 62 31/10/2014 11:13:38 a.m. 6362 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 1 Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana 19. La parte central de la plaza mayor de una ciudad es de forma circular y tiene un radio de 20 m. Se desea colocar una reja de modo que sus extremos encajen perfectamente en la circunferencia de la plaza y que diste 16 m de su centro. Calcular la longitud de esta reja. www.mazdas247.com 20. La figura muestra una de las llantas de un carro. Si el diámetro promedio de la llanta es de 14 pulgadas y se desea colocar un cintillo alrededor de la circunferencia de dicha llanta, ¿cuál es la longitud del cintillo a gastar, si se desea trabajar con las cuatro llantas? 1. En un triángulo rectángulo ABC se grafican dos circunferencias interiores al triángulo. La primera es tangente a AB en "P" y a la hipotenusa AC en "Q". La segunda circunferencia es tangente a BC en "R" y a CA en "S". Calcular la longitud del inradio del triángulo, sabiendo que: PB=SQ y RB=14 cm. 2. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de modo que: m ABC=m CDA=90°, CD=AB+BC y AD=18 cm. Calcular la diferencia de los inradios de los triángulos ABC y CAD. 3. Grafique a la circunferencia inscrita al triángulo ABC, que determina el punto de tangencia "P" en BC. La circunferencia exinscrita relativa a BC determina el punto de tangencia "Q" en BC. Calcular el valor de "PQ", sabiendo que AB y AC se diferencian en 16 cm. 4. En el gráfico "B"; "M" y "D" son puntos de tangencia. Calcular el valor de CO, sabiendo que: m A=74°; AB=16 cm y que "O" es centro. A B M C DO 5. La figura muestra a un rectángulo ABCO y a dos circunferencias tangentes exteriores entre sí, cuyos radios miden 16 y 10 cm. Si la circunferencia menor es tangente a tres lados, calcular el perímetro del rectángulo. A B Q CO Geometría 4to - I Bim.indd 63 31/10/2014 11:13:38 a.m. 6564 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCircunferencia Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 24 y 25 cm. Calcular el valor de su inradio. 2. En un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, dos de sus lados opuestos miden (9 a) y (12+a) cm. Si los otros dos lados miden 10 y "b" cm, calcular el valor de "b". 3. Grafique a una circunferencia y al segmento AB tangente en el punto "R". Luego trace las tan- gentes AE y BF a dicha circunferencia. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AE=15 cm y BF=18 cm. 4. Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia, sabiendo que la mediana del trapecio mide 18 cm. 5. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y el inradio suman 14,5 cm. Calcular el valor del perímetro de dicho triángulo. 6. Grafique a un trapecio circunscrito a una circunferencia. Si los lados no paralelos miden 7 y 9 m, ¿cuál será la longitud de su mediana? 7. La figura muestra al triángulo ABC y a la circunferencia exinscrita relativa al lado BC. Calcular la longitud de la tangente AQ, sabiendo que: AB=16 cm; BC=18 cm y AC=20 cm. A B QC 8. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de modo que: m ABC=m ACD=90°, AB=6 cm, BC=8 cm y CD=24 cm. Calcular la diferencia de los inradios de los triángulos ABC y ACD. 9. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a la cuerda AB, sabiendo que dicha cuerda mide 30 cm y queel diámetro de la circunferencia es de 34 cm. A B O 10. La longitud de una circunferencia es de 26p cm y en ella se traza una cuerda de 10 cm de longitud. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a dicha cuerda. 11. Inscriba en una circunferencia al decágono regular ABCDEFG... y calcule la medida del arco BD. 12. Se tiene un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia de 6 cm de radio. Si uno de sus lados no paralelos mide 13 cm, hallar la medida de la base menor. 13. La figura nos muestra a una circunferencia exinscrita relativa al cateto BC. Si: AB=8 dm y AC=10 dm, calcular el valor de "R", si además "T" es punto de tangencia. A B R T C 14. La figura muestra a un sector circular de centro "O" y cuyo ángulo central mide 60°. Si: OA=OB=6, calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho sector. ("T" es punto de tangencia). B T A O Geometría 4to - I Bim.indd 64 31/10/2014 11:13:39 a.m. 6564 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 1 15. Dado el triángulo ABC, la circunferencia inscrita determina los puntos de tangencia "E" y "F" en los lados AB y BC respectivamente. Si las longitudes AE y FC miden 7 5 y 5 5 cm, calcular el valor de "AC". 16. La figura nos muestra a una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O". Si la medida del ángulo TAB es cuatro veces la medida del ángulo TCA, calcular la m ATC. CA B T O 17. En un triángulo rectángulo ABC, los catetos miden: AB=9 m y BC=12 m. La circunferencia exinscrita relativa al lado AB, es tangente a la prolongación de CB en el punto "P". Calcular el valor de "CP". 18. Si el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es de 72 cm, calcular la longitud de su mediana. 19. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita determina el punto de tangencia "E" en AC. Si: AB=10 3 dm, BC=12 3 dm y AC=24 3 dm, calcular el valor de "AE". 20. Calcular el perímetro del triángulo ABC, sabiendo que los radios de las circunferencias tangentes de centros "A", "B" y "C" miden 10; 4 y 1 cm respectivamente. A C B Geometría 4to - I Bim.indd 65 31/10/2014 11:13:39 a.m. 6766 TRILCE Colegios 2 En este capítulo estudiaremos las relaciones de las líneas asociadas a la circunferencia con los respectivos arcos que ellas determinan, debiendo tener presente que la equivalencia en grados de una circunferencia es de 360º. Desde que se inventó la rueda hasta la actualidad, el estudio de las relaciones angulares y los arcos es de utilidad, ya que gracias a ello se pueden mejorar algunos diseños. Debido a estas relaciones es que podemos saber si un polígono puede o no estar inscrito en una circunferencia. Por ejemplo, para saber si un cuadrilátero convexo puede ser inscrito en una circunferencia, bastará con medir dos de sus ángulos opuestos, si ellos sumaran 180º, afirmaremos categóricamente que aceptará una circunferencia circunscrita. Para inscribir un polígono regular también usamos este criterio como base, aunque lógicamente no es el único. El cuadrado por sí solo es de amplia aplicación y al estar acompañado por la respectiva circunferencia circunscrita, ha servido como herramienta de estudio y como medio para poder expresarse. Un excelente ejemplo de lo que les menciono es la circunferencia de Vitrubio, que es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci, realizado alrededor del año 1492 y que actualmente es un dibujo que aparece en el reverso de la moneda de euro de Italia. Ángulos en la circunferencia En este capítulo aprenderemos: • A identificar los ángulos asociados a la circunferencia y a reconocer sus propiedades. • A distinguir las condiciones de inscriptibilidad y aplicarlos en la resolución de problemas. q° a° x° y° 2 Geometría 4to - I Bim.indd 66 31/10/2014 11:13:40 a.m. 6766 TRILCE Colegios Unidad III Geometría Saberes previos • Los siguientes elementos asociados a la circunferencia: a) Cuerda B A b) Tangente L c) Secante L • Dos circunferencias a) Secantes b) Tangentes • Cuando se trazan varias líneas: c) Cuerdas secantes a) Cuerdas paralelas P Q A B Q P A B d) Líneas trazadas a una circunferencia desde un punto exterior E G QF P A A B b) Cuerdas perpendiculares E F A B AB // PQ Antes de entrar a la teoría, recordemos que: Geometría 4to - I Bim.indd 67 31/10/2014 11:13:40 a.m. 6968 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁngulos en la circunferencia Conceptos básicos • Ángulo central • Ángulo interior ¡Muy importante! • Ángulo exterior • Ángulo semi-inscrito • Ángulo inscrito mAB=a° a°=q°+w° 2 g°= a° q° 2 a°=a° b° 2 mAB=2q° mAC=2a° O A a° a° B 2q° A Bq° 2a° C A a° B C D A w°q° a° B C D A g°a° q° B a°+ b°=180° A q° a°b° B C a° b° P A a° B Geometría 4to - I Bim.indd 68 31/10/2014 11:13:40 a.m. 6968 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 2 a°+ b°=180° a°= q° Cuadrilátero inscrito Se dice que un cuadrilátero es inscrito, cuando por sus vértices se puede describir una circunferencia. Para que esto suceda, es necesario y suficiente que cumpla con una de las dos condiciones siguientes: Cuadriláteros inscriptibles Un cuadrilátero será inscriptible cuando cumple cualquiera de los tres casos siguientes: Caso 1: Dos ángulos opuestos suman 180°. a° b° a° b° a°+ b°=180°Si: ⇒ Caso 2: Un ángulo interior es igual al opuesto exterior. a°= q° a°a° q°q° Si: ⇒ Caso 3: Un lado y una diagonal forman un ángulo igual al que forma el lado opuesto con la otra diagonal. a° q° a°= q°Si: ⇒ a° q° a° b° a° q° Tener presente que: En la práctica se suele confundir al cuadrilátero inscrito e inscriptible como si fuera la misma definición. Geometría 4to - I Bim.indd 69 31/10/2014 11:13:41 a.m. 7170 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁngulos en la circunferencia Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Síntesis teórica ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Cuadrilátero inscriptible • Definición • Gráficos Cuadrilátero inscrito • Definición • Gráficos Ángulos en la circunferencia • Central, inscrito, semi- inscrito e interior. • Exterior y formado por tangentes 1. Calcular el valor de "x°", en cada gráfico: a) x°40° b) x° 64° c) 36° 40° x° 2. Grafique a una circunferencia de centro "O" y trace los radios OA y OB , de modo que el arco AB mida 58°. En el arco mayor AB marque "F" y calcule la m AFB. 3. Grafique a una circunferencia de diámetro AB y en uno de los arcos marque "F". Calcule la m AFB. 4. Grafique a una circunferencia de diámetro AB y en uno de los arcos marque "F" de modo que la medida del arco FB sea de 130°. Calcule la m ABF. 5. Grafique a una circunferencia y un punto exterior "A", desde el cual se trazan las secantes ABC y APQ. Calcular la m CAQ, sabiendo que los arcos QC y BP miden 58° y 22° respectivamente. 6. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se trazan la tangente AB y la secante AEF a dicha circunferencia. Sila medida de los arcos FB y BE miden 120° y 44°, calcular la medida del ángulo BAE. "O" es centro O Geometría 4to - I Bim.indd 70 31/10/2014 11:13:42 a.m. 7170 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 2 Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La medida en grados de una circunferencia es igual a la medida de cuatro ángulos rectos. • En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de dos ángulos interiores opuestos es de 180°. • La medida del ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende expresada en grados. 2. Completar: a°+q°= q° a° x°=________ x° q° a° 3. Completar convenientemente la siguiente expresión: Al unir un punto cualquiera de una circunferencia con los ............................... de un diámetro, siempre se determina un ángulo .. ............................................... Resolución de problemas 4. En una circunferencia, trace dos cuerdas secantes AB y EF, secantes en "H" de modo que "E" pertenezca al arco AB. Si los arcos EB y AF miden (60°+b°) y (80° b°) respectivamente, calcular la medida del ángulo AHF. 5. En una circunferencia, trace dos cuerdas secantes AB y EF secantes en "H", de modo que "E" pertenezca al arco AB y "Q" pertenezca al arco FB . Si los ángulos FQA y EQB miden 40° y 70° respectivamente, calcular la m EHB. 6. Desde un punto exterior "P" a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB. En el arco mayor AB se marca "F", de modo que los ángulos BPA y BFA se encuentren en la relación de 2 a 3 respectivamente. Calcular la m BPA. 7. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB , en la prolongación de AB marque "E" y en la semicircunferencia marque "F", de modo que la m FAB sea 24°. Calcule la m AFE, si la m AEF es 40°. 7. Calcular el valor de "x°", en cada gráfico: a) 40° 110° x° b) 130° x° c) 70° x° 8. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, uno de sus ángulos interiores mide (120° x°) y el ángulo opuesto mide "4x°". Calcular la medida del mayor de estos dos ángulos. Geometría 4to - I Bim.indd 71 31/10/2014 11:13:42 a.m. 7372 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁngulos en la circunferencia 8. Grafique una circunferencia de diámetro AB y en la prolongación de AB marque "P", desde el cual se traza la secante PQR, de modo que la medida del arco QR sea 80°. Calcular la medida del ángulo que forman las cuerdas AQ y BR. 9. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, las medidas de dos ángulos opuestos se en- cuentran en la relación de 2 a 3. Calcular la diferencia de las medidas de dichos ángulos. 10. La figura muestra a dos circunferencias secantes en "A" y "B", siendo "O" el centro de la mayor. Calcular la m AFB, sabiendo que la medida del arco AQB es 114°. A B O Q F 11. Grafique a un cuadrante AOB, donde "O" es su centro y "F" es un punto de su arco. Calcular la m AFB. 12. La figura muestra a un cuadrante. Calcular el valor de "x°". 4x° 5x° 13. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Las medidas de los ángulos DBC y CAD miden 46° y "30°+x°" respectivamente. Calcular el valor de "xº". 14. Sea ABCD un trapezoide tal que: m CAD=3b°; m BAD=m BCD=90° y m BDC=2b°. Cal- cular la medida del ángulo CBD. 15. En la figura mostrada, "P" y "Q" son puntos de tangencia. La medida del ángulo ABC es de 12° y la medida del arco RP es de 40°. Calcular la medida del arco SQ. B P R S Q A C 16. En una misma circunferencia se inscriben los triángulos ABC y ECF ("E" pertenece al arco AB y "F" pertenece al arco BC). Si los ángulos ACE y BCF miden 17° y 23° en ese orden, calcular la medida del mayor ángulo que forman las cuerdas AB y EF. 17. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se traza la secante diametral ABC y la secante AEF, de modo que los arcos FC y EF midan 100° y 60° en ese orden. Calcular la medida del ángulo FAC. 18. Desde un punto exterior "P" a una circunferencia se trazan la tangente PT y la secante PAB. Si el arco ATB mide 200° y la m TPB es 40°, calcular la m TBP. Aplicación cotidiana 19. Si colocáramos tres palitos de fósforo de modo que sean los lados de un triángulo y graficáramos una circunferencia de modo que uno de los palitos sea una cuerda y los otros dos palitos sean tangentes, ¿cuánto mediría en grados el arco menor que se determinaría en la circunferencia? A D O BC 20. Una piscina tiene forma circular de centro "O" y diámetro AB. Rodrigo y Alonso nadan en línea recta desde "C" hacia "A" y "D" respectivamente. Andrea y Antonella se encuentran en "O", ambas nadan en línea recta hacia "D" y "B" respectivamente. Sabiendo que la medida del arco AD es de 74° y la medida del arco BC es de 100°, calcular: • El ángulo que forman los recorridos de Rodrigo y Alonso. • El ángulo que forman los recorridos de Andrea y Antonella. • El valor del ángulo CBD. Geometría 4to - I Bim.indd 72 31/10/2014 11:13:43 a.m. 7372 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad III 2 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 1. Grafique dos circunferencias congruentes y secantes en "A" y en "B". "Q" es un punto de una de las circunferencias tal que las prolongaciones de QA y QB interceptan a la segunda circunferencia en "E" y "F" respectivamente. Calcular la relación de las medidas de los arcos AB y EF. 2. Del gráfico, "A" y "B" son puntos de tangencia y m APB=50°. Calcular el valor de "x°". P B O A x° q° q° 3. Se trazan dos circunferencias secantes en "A" y "B", la tangente común más lejana a "A" es CD ("C" y "D" son los puntos de tangencia). En el arco AC se ubica un punto "M", tal que la prolongación de MA intercepta a AD en "N". Calcular la medida del arco AN, si la medida del arco AM es 120° y MN es tangente a la circunferencia que contiene a "C"; "A" y "D". 4. Por el vértice "B" de un triángulo ABC se traza la recta tangente a la circunferencia circunscrita. Si la distancia del incentro a dicha recta es igual a 12 cm y el inradio mide 2 cm, calcular la longitud de la altura relativa al lado AC. 5. En el gráfico: mMN=mNP; mAM=mNB=40º. Calcular "xº" ("P" punto de tangencia). P B R R M N A x° 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • En la circunferencia, la medida de su ángulo central es igual a la semidiferencia de los arcos que subtienden. • En todo cuadrilátero inscrito en una circun- ferencia, la suma de dos ángulos interiores opuestos es de 180°. • La medida del ángulo central es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende expresada en grados. 2. Sea ABCD un trapezoide tal que: m BDC=2b°; m BAD=m BCD=90° y m CAD=50°.Cal- cular el suplemento de "b°". 3. En una circunferencia, trace dos cuerdas se- cantes AB y EF secantes en "H", de modo que "E" pertenezca al arco AB y "Q" pertenezca al arco FB. Si los ángulos FQA y EQB miden 44° y 72° respectivamente, calcular la m EHB. 4. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB. En la prolongación de AB, marque "E" y en la semicircunferenciamarque "F", de modo que la m FAB sea 32°. Calcular la m AFE, si la m FEA sea 28°. 5. Grafique una circunferencia de diámetro AB y en la prolongación de AB marque "P", desde el cual se traza la secante PQR, de modo que la medi- da del arco QR sea 72°. Calcular la medida del mayor ángulo que forman las cuerdas AQ y BR. Geometría 4to - I Bim.indd 73 31/10/2014 11:13:43 a.m. 7574 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁngulos en la circunferencia 6. La figura muestra a dos circunferencias secantes en "A" y "B", siendo "O" el centro de la mayor. Calcular la medida del arco AQB, sabiendo que la medida del ángulo AFB es 44°. A B O Q F 7. En una circunferencia, inscriba al triángulo equi- látero ABC y al cuadrado APQR. Después de graficar, calcule la m PAB. 8. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se le trazan las secantes ABC y AEF. Luego se marca "S" en el arco EF. Calcule la m BAE, sabiendo que los ángulos BSE y CSF miden 16° y 28° respectivamente. 9. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se traza la secante diametral ABC y la secante AEF de modo que los arcos FC y EF midan 110° y 50° en ese orden. Calcular la medida del ángulo FAC. 10. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se traza la secante diametral ABC y la secante AEF de modo que AE sea congruente al radio y el arco FC mida 120°. Calcular la medida del ángulo FAC. 11. Grafique a dos circunferencias diferentes y se- cantes en "A" y en "B". La secante que pasa por "A" corta a las circunferencias en "E" y "F" respectivamente. Si los arcos AE y AF mi- den 82° y 66° respectivamente, calcular la m EBF. 12. En el gráfico, el ángulo "A" mide 47°. Calcular la m EFH. H E A B F 13. Se traza una recta L tangente a una semicir- cunferencia de diámetro AB, en el punto "T" y luego se traza la cuerda AP paralela a L. Si la m PAB=52°, calcular la medida del menor ángulo que forman la recta L y la cuerda TB. 14. Sea AB el diámetro de una circunferencia de centro "O". Trace el radio OF perpendicular a BA y luego la cuerda BQ ("Q" pertenece al arco AF). Si: m QFO=3m QBA, calcular la m QBA. 15. Dado el cuadrilátero ABCD, calcular la medida del ángulo que forman sus diagonales. D B A C 6° 27° 6° 57° x° 16. Se tiene dos circunferencias secantes en los pun- tos "E" y "F". Por "E" y "F", se traza las rectas L1 y L2 secantes a las circunferencias. L1 intercepta a la primera en el punto "P" y a la segunda en el punto "Q". L2 intercepta a la primera en el punto "R" y a la segunda en el punto "T". Si : m RPQ=100°, hal lar la m PQT. 17. En el gráfico, MC es el doble de BA. Calcular la m ACB. C B M 2w° w° A 18. En el gráfico, BP es altura. Calcular el valor de "q°". A C B P Q 2q° q° q° 2q° Geometría 4to - I Bim.indd 74 31/10/2014 11:13:44 a.m. Razonamiento Matemático 75 3 7574 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), justifique y/o ejemplifique su respuesta. • En un polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior son iguales. • En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, los lados opuestos son iguales entre sí. • La bisectriz de un triángulo es perpendicular al lado opuesto. 2. En un polígono convexo, la suma de su número de diagonales y el número de vértices es 45. Calcular la suma de las medidas de sus ángulos interiores. 3. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 30 y 34 cm. Calcular la longitud de su inradio. 4. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF. Si las cuerdas EC y BF se cortan en "H", calcular la suma de los ángulos BAE y CHF, sabiendo que el arco FC mide 88°. 5. Dos circunferencias diferentes son secantes en "A" y en "B". Una secante que pasa por "A", corta a la primera circunferencia en "P" y a la segunda en "Q". Otra secante que pasa por "B", corta a la primera en "E" y a la segunda en "F". Si la m EPQ es de 78°, calcular la m AQF. 6. En un polígono convexo, la suma de sus ángulos interiores con la suma de sus ángulos exteriores es igual a veinte veces el valor de un ángulo recto. Calcular su número de dia- gonales. 7. Grafique al triángulo ABC y a una circunferencia interior que es tangente a BA en su punto medio y que es tangente a AC en "F". Si las longitudes de AB y AC miden 8 y 11 cm respectivamente, calcular el valor de FC. 8. Grafique el pentágono regular ABCDE e inte- riormente al triángulo equilátero BQC. Luego de realizado el gráfico, indique: • El tipo de triángulo que es QCD. • La medida del ángulo CDQ. 9. Dado un triángulo ABC, grafique a la circun- ferencia exinscrita relativa a BC que determina los puntos de tangencia "Q" y "S" en las pro- longaciones de AB y AC respectivamente. Si las longitudes de CS y BQ miden 7 y 5 cm respectivamente, calcular la diferencia de las longitudes de AB y AC. 10. Grafique al triángulo ABC, de modo que el ángulo "B" mida 80° y ubique "M", punto medio de BC. Trace la mediatriz de BC que corta a AC en "P" y la bisectriz del ángulo "B" que corta a dicho lado en "I", de forma tal que "I" pertenece al segmento AP. Calcule la suma de las medidas de los ángulos BIP y MPI. 11. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Calcule el perímetro del triángulo que se deter- mina al unir "H" con los puntos medios de AB y BC, sabiendo que: AB=18 cm, BC=20 cm y AC=26 cm. 12. En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana, se en- cuentran en la relación de 9 a 13. Calcular la relación de sus bases. 13. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la bisectriz interior AF. La mediatriz de la hipo- tenusa AC, corta a BC en "E" y a la prolongación de AF en "Q". Calcular: EF / QE. 14. Grafique al triángulo acutángulo ABC en el que se trazan las alturas AH y CJ. Se unen "H" y "J" con "M", punto medio de AC. Si el menor án- gulo que forman las bisectrices del ángulo ABC y del ángulo HMJ mide "x°" y el ángulo JCA mide "yº", calcular la medida del ángulo HAC. Repaso Unidad III Geometría 4to - I Bim.indd 75 31/10/2014 11:13:45 a.m. 7776 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaRepaso Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 15. En un triángulo ABC, las bisectrices AF y BE se in- terceptan en "P". Se sabe que: m FAC=m ACB, BC=14 dm y AP=4 dm. Calcular el valor de AB. 16. Grafique al triángulo ABC y marque los puntos medios "E" y "F" de AB y BC en ese orden. Grafique al cuadrado EFGH ("G" y "H" sobre AC) y calcule: HF / AC. 17. Grafique al triángulo rectángulo EFG de modo que: m E=58°, m G=32° y EG=10 dm. Trace la ceviana FH de modo que: m EFH=6°. Calcular "HF". 18. Sea ABC un triángulo en el cual se traza la mediana BF, cumpliéndose que: m ABF=aº, m FBC=2q° y BC=2FB. Calcular: a°+q°. 19. La figura muestra a un trapecio y a un triángulo rectángulo de hipotenusa CD. Calcular la longitud AD, si: CD=10 y BC=3. B A C D = = 20. En un trapecio ABCD, se trazan las bisectrices interiores de los ángulos BCD y ADC, las cuales se interceptan en "P". Si: AB=10 y la distancia del punto "P" a CD es 3, calcular la medida del ángulo BAD. 1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 24 y 25 cm. Calcular la longitudde su inradio. 2. En un polígono convexo, la suma de su número de diagonales y el número de vértices es 190. Calcular el número de vértices. 3. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH. Calcule el perímetro del triángulo que se determina al unir "H" con los puntos medios de AB y BC, sabiendo que: AB=22 cm, BC=26 cm y AC=30 cm. 4. En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana, se encuentran en la relación de 7 a 12. Calcular la relación de sus bases. 5. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF. Si las cuerdas EC y BF se cortan en "H", calcular la suma de los ángulos BAE y CHF, sabiendo que el arco FC mide 100°. 6. Grafique a dos circunferencias diferentes y secantes en "A" y en "B". Una secante que pasa por "A", corta a la primera circunferencia en "P" y a la segunda en "Q". Otra secante que pasa por "B", corta a la primera en "E" y a la segunda en "F". Si la m EPQ es de 76°, calcular la m AQF. 7. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la altura BH, luego, la bisectriz BF del ángulo HBC. Si: AB=BF, calcular la m BAC. 8. Sea ABC un triángulo donde: AB<BC y m A=30°. Trace la ceviana BD, de modo que: BD=DC y AD=BC. Calcular la m DBC. 9. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y t r ace l a cev i ana AF de modo que : m' 'FAC'='2m' 'BAF. En AC se marca "Q" de modo que: m AFQ=m ACB. Si: FB=8 dm, calcular "QF". 10. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se traza la ceviana BF. Si se sabe que: AB=FC, m A=2a° y m FBC=3a°, calcular "aº". 11. En el gráfico mostrado, calcular el valor de AP, si: BQ=8m. O Q 53° BA P r Geometría 4to - I Bim.indd 76 31/10/2014 11:13:46 a.m. 7776 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 3 Unidad III 12. En un triángulo PQR, PQ=8m; QR=9m y PR=11m. La circunferencia inscrita determina sobre PR el punto de tangencia "T". Calcular el valor de RT. 13. En la figura, las cuerdas son perpendiculares. Calcular el valor de "x°". 156° x° 14. En una semicircunferencia, se trazan las cuerdas AB y CD que se interceptan en "P", de tal manera que la medida del arco AD es igual al triple de la medida del arco BC y m BPD=130°. Calcular la medida del arco BC. 15. La figura muestra a un radio perpendicular a una cuerda y una tangente trazada por un extremo de dicha cuerda. Calcular el valor de "a°". a° 48° 16. En el gráfico, calcular "x°". x° O 17. Hallar: m BEA, si ABCD es un cuadrado y BF=3AF. E B C DA F 18. Hallar "AN". A PH N M b a 19. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH, en el cual: AB=2 m; BC= 2m y CD=3 m. Cal- cular la longitud de la diagonal AD. 20. En un polígono equiángulo ABCDEF..., las bi- sectrices de los ángulos ABC y DEF son per- pendiculares. Calcular el número de diagonales de dicho polígono. Geometría 4to - I Bim.indd 77 31/10/2014 11:13:46 a.m.
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