Cálculo Variacional - 2

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64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
CÁLCULO VARIACIONALCÁLCULO VARIACIONAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingenieríauba – facultad de ingeniería
CÁLCULO VARIACIONAL
Mínima Energía Potencial
Total
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [1]
w
x
P
p(x)
L
EI k
ENERGÍA POTENCIAL TOTALENERGÍA POTENCIAL TOTAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
w
x
P
p(x)
L
EI k
        LPwdxxwxpLwk
2
1dx
dx
)x(wdEI
2
1I
L
2
L
2
2
2


 
La expresión de la Energía Potencial Total del sistema de la figura es:
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [2]
          0LwPdxxwxpLwLkwdx
dx
)x(wd
dx
)x(wdEII
LL
2
2
2
2


  
   2
2
dx
xwdEIxM 
ENERGÍA POTENCIAL TOTALENERGÍA POTENCIAL TOTAL
   2
2
dx
xwd
xw 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
            0LwPdxxwxpLwLkwdx)x(wxM
LL
  
w(x)w(x)
ENERGÍA POTENCIAL TOTAL MÍNIMAENERGÍA POTENCIAL TOTAL MÍNIMA

64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [3]
              
L
L
0
L
0
L
dxxwxMxwxMxwxMdx)x(wxM 
ENERGÍA POTENCIAL TOTALENERGÍA POTENCIAL TOTAL
            0LwPdxxwxpLwLkwdx)x(wxM
LL
  
w
x
P
p(x)
L
EI k
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
           
          0LwPdxxwxpLwLkw
dxxwxMLwLMLwLM
L
L





 
w
x
P
p(x)
L
EI k
     
      00w0M00w
00w0M00w




64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [4]
          
 
 
    0LwLkwLVP
LwLMdxxwxpxM
LM
L



 




 
ENERGÍA POTENCIAL TOTALENERGÍA POTENCIAL TOTAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
   
     
          




LkwPLV0LwLkwLVP
0LM0LwLM
0xpxM


 Ecuación Diferencial de la Viga
Condiciones
de Borde
Estáticas
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TEOREMAS ENERGÉTICOS
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
VIRTUALES6
4.
14
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS
VIRTUALES
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [6]
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESTEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
EA
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
EA
      0WUHLudxxhxuW
dVU
T
L
T
V
T











64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [7]
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESTEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
EIzz
p(x)
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
EIzz
p(x)
    0WUdxxpxwW
dVU
L
T
V
T











64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [8]
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESTEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
       


2
h
2
h b
T
LV
T dxdydzxwzExwzdVU





       


2
h
2
h b
2T
L
dzzdydxxwExwU 
Hipótesis de Bernoulli-Navier
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
       


2
h
2
h b
2T
L
dzzdydxxwExwU 
  

  
 
    dxxMxwdxxw
12
bhExwU
T
L
xM
I
3T
L
zz
 



64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [9]
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESTEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
    
L
T dxxpxwW 
 

 0W-Uo0WU 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
 

 0W-Uo0WU 
          0dxxpxwdxxMxw T
L
T
L
  
w(x)w(x)
VARIACIÓN DE (UVARIACIÓN DE (U--W)=0W)=0

64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [10]
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESTEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
              
     0dxxpxw
dxxMxwxMxwxMxw
T
L
T
L
L
0
TL
0
T





 
          0dxxpxwdxxMxw T
L
T
L
  
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
              
     0dxxpxw
dxxMxwxMxwxMxw
T
L
T
L
L
0
TL
0
T





 
EIzz
p(x)
         
          0dxxpxwdxxMxw
0M0wLMLw
T
L
T
L
TT


 
 
     
      0LwLM0Lw
00w0M00w




64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [11]
TEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESTEOREMA DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
         
        0dxxpxMxw
0M0wLMLw
T
L
TT


 
 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
   
      
       





0LM0LMLw
00M00M0w
0xpxM
T
T


 Ecuación Diferencial de la Viga
Condiciones de Borde Estáticas
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TEOREMA DE LOS
DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
EJEMPLO
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [13]
EJEMPLOEJEMPLO
p(x)
L
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
L
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
 
 
    Wdxxwp(x)dxxwxMU
LL xwIE-
  


64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [14]
EJEMPLOEJEMPLO


 x
L
sena)x(w1

p(x) 00
L
sena)0(w 1 

 
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
L
00
L
sena)0(w 1 

 
0L
L
sena)L(w 1 

 




 x
L
sen
L
a)x(w
2
1

64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [15]
EJEMPLOEJEMPLO


 
L
x1
L
x
a)x(w 1
p(x) 0
L
01
L
0
a)0(w 1 

  
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
L
0
L
01
L
0
a)0(w 1 

  
0
L
L1
L
L
a)L(w 1 

  
21 L
2
a)x(w  
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [16]
EJEMPLOEJEMPLO
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
 





 




L
21
2
1
L
dx
L
2
a-x
L
sen
L
a-EIdxwwEI 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
 





 




L
21
2
1
L
dx
L
2
a-x
L
sen
L
a-EIdxwwEI 
 


L
1
L
dx
L
x
-1
L
x
ap(x)dxwp(x) 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [17]
EJEMPLOEJEMPLO











 




L
L
 dx
L
x
-
L
xp δ
dx
L
-δδx
L
π
sen
L
π
-aEI
1
2
1
21
2
1 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería











 




L
L
 dx
L
x
-
L
xp δ
dx
L
-δδx
L
π
sen
L
π
-aEI
1
2
1
21
2
1 
1131 6
4 δaLpδa
L
π
aEI 
πEI
pL
a
24
4
1 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [18]
EJEMPLOEJEMPLO
  

 x
L
π
sen
πEI
pL
xw
24
4
   

 xwIE-xM
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
  

 x
L
π
sen
pL
xM
24
2
   

 xwIE-xM
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [19]
EJEMPLOEJEMPLO
EI,
pL
πEI
pLπ
sen
πEI
pLL
w
475242242
444





FLECHA EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V.
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
EI,
pL
EI
pLL
w
876384
5
2
44



FLECHA EN EL CENTRO DE LA VIGA SEGÚN ECUACIÓN DIFERENCIAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [20]
EJEMPLOEJEMPLO
MOMENTO EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V.
6472242
22
,
pLπ
sen
pLLM 



 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
82
2pLLM 


MOMENTO EN EL CENTRO DE LA VIGA SEGÚN ECUACIÓN DIFERENCIAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [21]
EJEMPLOEJEMPLO


 x
L
sena)x(w 1

p(x) 00
L
sena)0(w 1 

 
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
L
00
L
sena)0(w 1 

 
0L
L
sena)L(w 1 

 




 x
L
sen
L
a)x(w
2
1

64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [22]
EJEMPLOEJEMPLO


 x
L
sena)x(w 1


p(x) 00
L
sena)0(w 1 

 
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
L
00
L
sena)0(w 1 

 
0L
L
sena)L(w 1 

 




 x
L
sen
L
a)x(w
2
1


64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [23]
EJEMPLOEJEMPLO
 
LL
dxwp(x)dxwwEI 
    


 




L
1
22
1
L
dxa-x
L
sen
L
a-EIdxwwEI 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
    


 




L
1
22
1
L
dxa-x
L
sen
L
a-EIdxwwEI 
 


L
1
L
dxx
L
ensap(x)dxwp(x) 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [24]
EJEMPLOEJEMPLO









 




L
1
L
1
22
1
dxx
L
ensap(x)
dxax
L
sen
L
aEI



 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería









 




L
1
L
1
22
1
dxx
L
ensap(x)
dxax
L
sen
L
aEI



 
113
4
1
2
2
δa
π
Lpδa
L
π
aEI 
EIπ
Lp
a 5
4
1
4
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [25]
EJEMPLOEJEMPLO
  

 x
L
π
sen
EIπ
pL
xw 5
44
   

 xwIE-xM
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
  

 x
L
π
sen
π
pL
xM 3
24
   

 xwIE-xM
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [26]
EJEMPLOEJEMPLO
EI,
pL
EIπ
pLπ
sen
EIπ
pLL
w
576
4
2
4
2
4
5
4
5
4





FLECHA EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V.
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
EI,
pL
EI
pLL
w
876384
5
2
44



FLECHA EN EL CENTRO DE LA VIGA SEGÚN ECUACIÓN DIFERENCIAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [27]
EJEMPLOEJEMPLO
MOMENTO EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V.
7572
4
2
2
3
2
,
pLπ
sen
π
pLLM 




64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
82
2pLLM 


MOMENTO EN EL CENTRO DE LA VIGA SEGÚN ECUACIÓN DIFERENCIAL
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [28]
EJEMPLOEJEMPLO
EI,
pL
πEI
pLπ
sen
πEI
pLL
w
475242242
444





FLECHA EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V. (Aproximación 1)
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
elem
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
EI,
pL
EIπ
pLπ
sen
EIπ
pLL
w
576
4
2
4
2
4
5
4
5
4





FLECHA EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V. (Aproximación 2)
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [29]
EJEMPLOEJEMPLO
MOMENTO EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V. (Aproximación 1)
7,642242
22 pL
sen
LpLM 



 
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
MOMENTO EN EL CENTRO DE LA VIGA POR EL T.D.V. (Aproximación 2)
7,752
4
2
2
3
2 pL
sen
pLLM 



 

64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [30]
EJEMPLOEJEMPLO



  2
252 1
19212 

IE
LpI
dxx
L
sen
EI
pLpdxx
L
sen
EI
LpEII
LL
 



 

 


24242
1 4
22
ENERGÍA POTENCIAL TOTAL (Aproximación 1)
64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería



  2
252 1
19212 

IE
LpI
  dxx
L
sen
EI
pL
xpdxx
L
sen
EI
pLEII
LL
 



 

 


 5
42
3
2 44
2
1
ENERGÍA POTENCIAL TOTAL (Aproximación 2)
IE
I 6
52L4p
-


64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s [31]
EJEMPLOEJEMPLO
IE
Lp
,
π
π
IE
Lp 523
2
252
10159741
19212



 
IE
Lp
,
IEπ
Lp 523
6
52
10160644 

64
.1
4
-m
ét
od
o 
de
 lo
s 
el
em
en
to
s 
fi
ni
to
s
TRABAJO PRÁCTICO N° 1uba – facultad de ingeniería
  

 x
L
π
sen
EIπ
pL
xw 5
44
  

 x
L
π
sen
π
pL
xM 3
24

LA SEGUNDA FUNCIÓN ES LA MEJOR APROXIMACIÓNLA SEGUNDA FUNCIÓN ES LA MEJOR APROXIMACIÓN