cálculo - Calculo Integral - espanhol_Maynard Kong

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Maynard Kong. En 1964 ingresó a la Facultad de Ciencias Físicas y 
Matemáticas de la Universidad Nacional de Ingeniería. Egresó en 
1968 y desde 1969 se ha desempeñado como profesor del Depar­
tamento de Ciencias de la Universidad Católica en cursos de Mate­
máticas de niveles y especialidades variados. Obtuvo el grado de 
doctor (PhD) en la Universidad de Chicago (Estados Unidos de 
América) en 1976. Fue profesor visitante en la Universidad de Stutt- 
gart (República Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo 
becario de la Fundación von Humboldt en un programa de posdoc­
torado, y posteriormente, también en Venezuela, durante 4 años.
Ha publicado importantes trabajos de investigación y varios textos 
de consulta universitaria, entre los que se pueden mencionar: Teo­
ría de conjuntos (coautor con César Carranza), Basic, Cálculo dife­
rencial, Lenguaje de programación Pascal, Lenguaje de programa­
ción C, y Lenguaje ensamblador Macro Assembler.
Ha participado en numerosos eventos de matemáticas, promoción de 
las Ciencias Básicas e Informática tanto en el país como en el ex­
tranjero.
C A L C U L O I N T E G R A L
M A Y N A R D K O N G
CALCULO 
INTEGRAL
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
FONDO EDITORIAL 2004
Primera edición, setiembre de 1989 
Segunda edición, marzo de 1993 
Tercera edición, diciembre de 1997 
Cuarta edición, marzo de 2004
Cubierta: Carlos González R.
Cálculo integral
Copyright © 2004 por Fondo Editorial de la Pontificia Universidad 
Católica del Perú. Plaza Francia 1164 Lima, Teléfonos: 330-7410 - 
330-7411.
Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o 
parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Derechos reservados
ISBN 9972-42-195-3
Depósito Legal: 1501052004-1751
Impreso en el Perú - Printed in Perú
C O N T E N I D O
CAPITULO 1 La integral indefinida
1 Teorema del valor m e d i o ......................... 3
2 Teorema de la función constante ................. 3
3 Teorema de las diferencias constantes ............ 5
4 La integral indefinida ......................... 5
4.1 Antiderivada de una función................. 5
4.2 La integral indefinida .................... 6
4.3 Propiedades básicas de la integración . . . 9
4.4 Integrales usuales ................... 12
4.5 Problemas resueltos ........... 16
4.6 Problemas propuestos...................... 47
VII
CONTENIDO
CAPITULO 2 Intagracldn par partas a integración por 
sustitucidh
1 Integración por p a r t e s .................. 53
2 Integración por sustitución o por cambio de variable 56
2.1 Teorema: fórmula del cambio de variable . . .
592.2 Sustituciones trigonométricas ..............
633 Problemas resueltos ...........................
3.1 Integración por p a r t e s ...................
3.2 Integración por sustitución................. 74
4 Problemas propuestos ........................... 83
CAPITULO 3 La intagral definida
1 Sumas.................................. 87
1.1 Definición ...................... 87
1.2 Propiedades de las sumas................... 88
1.3 Algunas s u m a s ........................... 89
1.4 Problemas resueltos................... . 90
2 La integral definida como un límite de sumas . . . 94
2.1 Suma de integral......................... 94
2.2 La integral definida...................... 96
2.2.1 Existencia y definición de la integral
definida para funciones continuas . . 96
2.2.2 Cálculo de la integral definida usando
sucesiones de sumas de integral . . . 97
2.2.3 Area entre dos curvas.............. 99
2.3 Propiedades de la integral definida . . . . 106
2.3.1 Teorema............................ 106
2.3.2 Teorema............................ 108
VIII
CONTENIDO
2.3.3 Teorema ........................ 109
2.3.4 La integral definida i f(x)dx con 
b > a .............a ............ n i
2.3.5 Teorema ........................ 1 1 1
2.4 Teorema fundamental del cálculo
4.1 Criterio de comparación ...................
4.2 Criterio de convergencia para funciones discon 
tinuas ................................
113
2.4.1 Teorema ........................ ^13
2.4.2 Teorema fundamental del cálculo integral n £
1182.4.3 Teorema ........................
2.5 Problemas resueltos...................... 119
2.6 Integración por partes de integrales definidas 128
2.7 Cálculo de integrales definidas por sustitución
o cambio de variables ................... j^g
2.8 Problemas resueltos...................... 131
2.9 El teorema del valor medio para integrales . . 137
2.10 Problemas resueltos...................... 139
2.11 Problemas propuestos ...................... 141
CAPITULO 4 Intagrsln impropia*
1 Definición............................... 145
2 Integral impropia cuando la función es discontinua . 146
3 Integral impropia cuando los límites de integración
son infinitos............................ l47
4 Algunos criterios para la convergencia de integrales
impropias . 149
149
150
4.3 Criterio de convergencia cuando un límite de
integración es infinito . . . . . . . . 151
IX
CONTENIDO
4.4 Algunos ejemplos de integrales impropias .
4.5 Problemas resueltos . .........................
CAPITULO 3 Métodos ds lntsgrscién
1 Integración de funciones racionales . ...........
1.1 Definición de función racional...........
1.2 Cálculo de integrales de la forma
f ¿SL±1 dx ...................................
~ ax2 + bx + c
1.3 Integración de una función racional general
1.3.1 Método de descomposición en fraccioues
parciales ........................
1.3.2 Método de Hermite .............
1.4 Problemas resueltos ...................
2 Integración de algunas funciones irracionales
2.1 Integrales de la forma I . naLt‘i. -— - dx
“ / ax2+ bx+ c
2.2 Integrales de la forma J — —
J (x-d) /ax2 +bx +<
2.3 Integrales de la forma I /ax2 +bx + c dxJ / ¡
Pn U)
— dx
/ ax2 +bx + c 
dx
(x-d)n /ax2 + b x + c
2.4 Integrales de la forma
2.5 Integrales de la forma J " -
2.6 Problemas resueltos ......................
2.7 Integrales de la forma
M - t e a - r • ( W ■ • • • >
155
152
169
169
169
181
182
177
182
195
195
196
197 
198
200
201
204
CONTENIDO
2.8 Problemas resueltos ......................... 205
2.9 Integrales de la forma JxPta+ bx^fdx . . . 208
2.10 Problemas resueltos ......................... 209
3 Integración de funciones trigonométricas ........... 213
3.1 Integrales de la forma ^ J*senIDx cosIlx dx . . . 213
3.2 Problemas resueltos......................... 218
3. 3 Integrales de la forma
sen mx sen nx dx
m
l S
;■
sen mx eos nx dx
| eos mx eos .nx dx ...................... 22 5
3.4 Problemas resueltos........................ 225
3.5 Integrales de la forma
j *|R(s en x, eos x)dx ...................... 228
3.6 Problemas resueltos........................ 230
3.7 Integrales de la forma
^ R(x, / ax2 + bx + c )dx 234
3.8 Problemas resueltos......................... 235
4 Integración de funciones hiperbólicas .............. 237
4.1 Definición de funciones hiperbólicas . . . . 237
4.2 Integrales u s u a l e s ......................... 239
4.3 Problemas resueltos ......................... 241
5 Fórmulas de reducción ........................... 246
5.1 Problemas resueltos......................... 247
XI
CONTENIDO
CAPITULO 6 Aplicación** gaoattricaa da la lntagral 
definida
1 Area de figuras en coordenadas rectangulares . . . 253
1.1 Definición.............................. 253
1.2 Area bajo una c u r v a ...................... 254
1.3 Definición.............................. 254
1.4 Propiedades de la función área ........... 255
1.5 Problemasresueltos ...................... 255
2 Area bajo una curva dada en forma paramétrica . . . 265
2.1 Teo r e m a ................................. 265
2.2 Problemas resueltos...................... 266
3 Area de figuras planas en coordenadas polares . . . 26g
3.1 Coordenadas polares ...................... 268
3.2 Cambio de coordenadas...................... 269
3.3 Area en coordenadas polares................. 269
3.4 Problemas resueltos ...................... 270
4 Longitud de arco de una curva p l a n a ............. 278
4.1 Definición.............................. 278
4.2 Cálculo de la longitud del arco de una curva plana 279
4.2.1 En coordenadas rectangulares . . . 279
4.2.2 Longitud del arco cuando la curva es dada
por ecuaciones paramétricas . . . . 282
4.2.3 Longitud del arco de curva en coordenadas 
polares........................... 283
4.3 Problemas resueltos...................... 285
XII
CONTENIDO
5 Volumen de s ó l i d o s ............................... 2 93
5.1 Definición del volumen de un sólido en térmi­
nos del área seccional 293
5.2 Volumen de un sólido de revolución . . . . 296
5.2.1 Método del disco circular . . . . 296
5.2.2 Nota ................ 297
5.2.3 Método del anillo circular . . . . 298
5.2.4 Método del tubo cilindrico . . . . 299
5.3 Volumen de un sólido de revolución en coorde­
nadas polares . 301
5.4 Problemas resueltos...................... 303
5.5 Problemas propuestos ...................... 3 1 1
6 Area de una superficie de revolución . . . . . 3^2
6.1 Area en coordenadas rectangulares . . . . 312
6.2 Area de una superficie de revolución cuando la
curva es dada en forma paramétrica . . . . 313
6.3 Area de una superficie de revolución en coorde^
nadas polares........................... 314
6.4 Problemas resueltos...................... 315
CAPITULO 7 Aplicación»» da la integral a probltaac 
de Física
1 Masa, momentos estáticos y de inercia, y centro de
m a s a ......................................... 325
1.1 Caso I : Sistemas de puntos materiales . . 325
1.2 Caso II: Curvas p l a n a s ................. 326
1.3 Caso III: Figuras planas................. 329
XIII
CONTENIDO
1.4 Caso IV : Superficie de revolución . . . . 333
1.5 Caso V : Sólidos......................... 333
1.6 Teoremas de Pappus......................... 336
1.7 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos . . 339
1.8 Problemas resueltos...................... 3 39
1.9 Problemas propuestos . 351
2 Problemas de f í s i c a ........................... 3 52
2.1 Camino recorrido por un puntos .......... 3 52
2.2 Trabajo realizado por una fuerza............ 353
2.3 Energía cinética......................... 3 53
2.4 Presión de un líquido...................... 354
2.5 Problemas resueltos ................. 355
INDICE ALFABETICO ................................ 367
XIV
En este texto se desarrollan los temas que tra­
dicionalmente comprende un curso de CALCULO INTEGRAL.
La exposición pretende ser completa tanto en la 
teoría como en la práctica. Además de los ejemplos 
que ilustran y aclaran los conceptos teóricos expues­
tos, se ofrece una colección amplia de ejercicios re 
sueltos y propuestos.
En los dos últimos capítulos se aplica la teoría 
de la integral de funciones reales en la resolución 
de problemas de GEOMETRIA y FISICA.
Enero de 1985
C « F > - 1
I N T E G R A L I N D E F I N I D A
Empezamos recordando los siguientes resultados de cálculo diferencial.
1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Sea f(x) una función diferenciable en un intervalo abierto que 
contiene a los puntos a y b. Entonces existe un número c 
entre a y b tal que
donde f'(c) es el valor de la derivada de f(x) en c.
TEOREMA DE LA FUNCION C0N8TANTE
Si f(x) 
a < x < b,
es una función definida en un intervalo 
entonces
abierto
f'(x) en a<x< b si y sólo si f(x) ] •
donde C es una constante.
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
Ejamplo 1 Si y' = 2 eos x, hallar la función y - y(x).
Solución Tenemos y' « 2 eos x
( y - 2 sen x )' « 0 [pues (sen x)'- eos x]
y poi el teorema de la función constante, y - 2 sen x - C ,
donde C es una constante.
Luego y = 2 sen x + C.
[
Ejampio 2 Hallar la función y » v(x) que satisface las siguientes 
condiciones
y" a 6x
y(0) » 3, y(l) ™ 6,
donde y" = A ¡jf' designa la segunda derivada de y respecto de x.
dx¿
Solución Tenemos y" = 6x
(y' - 3x2)' » 0 [pues (x2)' - 2x ]
y' - 3x2 “ A donde A es una constante,
(y - x3 - Ax)' - 0 [pues (x3)'« 3x2, (Ax)' - A]
y - x3 - Ax “ B donde B es una constante.
Luego y « x3 + Ax + B. (D
Vamos a determinar A y B usando las condiciones
y(0) - 3, 
y(l) » 6.
Sustituyendo x«0 y x = 1 en (1), obtenemos las ecuaciones
B - 3,
1 + A + B » 6. 
que resueltas dan B - 3 y A - 2.
Así, y » x3 + 2x + 3.
4
3 TEOREMA DE LA DIFERENCIA CONSTANTE
3 TEOREMA DE LA DIFERENCIA CONSTANTE
Si f(x) y g(x) son dos funciones diferenciadles en un íii 
tervalo abierto a < x < b, entonces
f'(x) - g'(x) en a < x < b si y sólo si f(x) “g(x> +C
donde C es una constante.
Supongamos que se cumple f1 (x) ■ g'(x) en a < x < b.
Luego (f(x) - g(x))' “ 0 , y por el teorema de la función
constante f(x) - g(x) ■ C , donde C es una constante,
esto es, f(x) » g(x) + C .
Reciprocamente, si se tiene f(x) » g(x) + C en a < x < b , 
entonces derivando respecto de x
4 LA INTEGRAL INDEFINIDA
4.1 Antldarivada da una función
Decimos que una función F(x) es una ■ t i l s r i de la fun 
ción f(x) en el intervalo I si se cumple
PRUEBA
f'(x)- g'(x) + 0 
f'(x)- g’(x) .
(la derivada déla constanteC es 0)
esto es
F'(x) - f (x) para todo x en I.
Ej ampio 1
(1) Las funciones F(x) » I x ' - x + 8 y G(x) - 3X1* - x - 2 son 
antiderivadas de la función f(x) ■ 12x5 - 1 , pues
y
F'(x) - 12 x3- 1 
G’(x) - 12 x3- 1 .
(2) La función F(x) « eos 2 nx + C es una antiderivada de
f(x) « - 2 usen 2 irx . 5
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP í
Ejemplo 2 Hallar una antiderivada de la función y »
Solucidn Puesto que ( /1 + x3 )' =
/l + x3 )’ -
VÍ+x^
3x2
2 /l+ x3
x2 
/l +x3
2 / rla función F(x) = / 1 + x es una antiderivada de y.
4.2 La Integral Indefinida
Llamamos integral indefinida de una función f(x) a la antiderivada 
general de la función.
Emplearemos la notación /f(x)dx
para designar la integral indefinida de f(x).
Asi ^f(x)dx representa a todas las antiderivadas de la función f(x).
La integración indefinida es el proceso de hallar la integral indefinida 
de una función, esto es, de encontrar la antiderivada general de la fun­
ción .
Tenemos las siguientes indentidades
(4.2.1)
(4.2.2)
dxIf (x) dx « f (x)
if (x) dx - F(x) + C, si F' (x) - f (x)
donde C es una constante arbitraria.
6
4.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA
Prueba
<4*2.1) Por definición |f(x)dx es la antiderivada general de f(x).
FLuego -jjj- I f (x)dx = f(x).
<4.2.2) Debemos probar que F(x) + C es la antiderivada general de la 
función f(x).
Paso 1 F(x) +C es una ntiderinda de f(x). En efecto,
( F(x) + C y - F' (x) + 0 - f (x) .
Paso 2 Si G(x) es una a t iderivada de f(x) , estonces G(x) = F(x)+C,
para alguna constante C. En efecto, se tiene
G'(x) » f(x) ■ F'(x), 
y por lo tanto, por el teorema 3 de la diferencia constante 
G(x) - F(x) + C.
De los pasos 1 y 2 se sigue que F(x) +C es la antiderivada gene 
ral de f(x). Luego
|f(x)dx - F(x) + C, 
por definición de integral indefinida de f(x).
En términos de diferenciales, (4.2.2) puede escribirse
<4.2.3) J F'(x)dx = F(x) + C
ó
<4.2.4) JdF(x) = F(x) + C
ya que dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
Luego, la integral indefinida de la diferencial de una función es 
igual a la función más n a constante.
De esta manera,la integración indefinida puede ser considerada 
como la operación inversa de la operación que asigna a una función 
su diferencial.
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
Ejemplo 1 Si ni1 -1 , hallar la integral indefinida de la función
y = xn .
Solución Buscamos F(x) tal que F* (x) » xn.
- , . xn+^Por simple inspección, la función F(x) = - ■ , que esta definida pues
n + 1 4 0 por hipótesis, cumple F'(x) = xn.
Luego, aplicando la fórmula (4.2.2)
J F'(x)dx - F(x) + C
Ejemplo 2 Hallar ^ (12x2 - 4x + 1) dx .
Solución Buscamos una antiderivada F(x) de 12x2 - 4x + 1.
Por simnle inspección í(x) » 4x3- 2x2 + x cumple 
F' (x) * 12x2 - 4x + 1.
Entonces por la fórmula (4.2.2)
F (x)dx - F(x) + C ,
/ '
i(12x2 - 4x + 1)dx * 4x3 - 2x2 + x + C .
8
4.3 PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRACION
4.3 Propiedades Ba'sicas de la Integración
Si u ■ u(x) es una función diferenciable entonces
du(x) * 4r dx ■>dx
y por lo tanto
^f(u)du = ^ f(u)^j—-dx.
Observamos que en la integral del primer miembro, la función integrando 
f(u) aparece como una función de una variable dependiente u=u(x).
Teorema Se cumplen las siguientes propiedades
f fI Af (u)du = A I f (u)du, para toda constante A. 
^ [f(u) ± g(u) ] du = ^ f(u)du ± ^ g(u)du.<2)
(3 ) INTEGRACION CON EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL. 
dF(u(x)> - F(u(x)) + C./■
(4) REGLA DE LA CADENA PARA LA INTEGRACION.
Si I f(x)dx = F(x) + C entonces I f (u(x)) u'(x)dx = F(u(x)) + C.
Nota (1) Las propiedades (3) y (4) son en verdad equivalentes.
/(2) La fórmula I dF(u) = F(u) + C es muy útil y la usaremos 
frecuentemente en lo que sigue. Recordemos que dF(u) = (u) . du .
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
Prueba de (3) y (4)
(3) Tenemos
/dF (u(x)) = / dG(x) , donde i
= G (x) + C 
= F(u(x)) + C.
“ / '
<♦> Si f (x)dx = F(x) + C
dFentonces — - (x) = f(x)
dx
o dF . . , .
"d7 (u)= f(u) *
Luego dF(u) = 4 ~ (u) du = f (u)du ,du
y por lo tanto
i)^ f ( u ) d u = ^ dF(u)
= F(u) + C
Ejeeplo 1
Hallar , J f a
Solución Tenemos
/xdx 1 fl+(x2)2 “ 2 J ■■Ü
d (x2 ) 
l+(x2)2
du , . ?-■+ur • donde u = x‘
d(arc tan u)
= y are tan u + C
l 5« -j- are tan x + C .
10
(x) = F(u(x) ) , 
(por (4.2.4))
( por (4.2.1))
(por (3)) |
4.3 PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRACION
Ejaaplo 2
Hallar I óxV^dx.
/■
Soiucidn
J 16x2e x dx - - d(-x3)
“ - 2 ^ eU du, donde u - -x3 ,
- 2
-2eu + C - -2e- x3 + C.
Ejwaplo 3
/ •
Calcular I eos1* (x + y) cosxdx .
Solución
I eos1* (x + y ) eos x dx = I
■ X
usen* x
i
eos x d x
»sen x d (senx)
u* du t
* < í )
: + c sen5 : 5
(pues cos(x+
donde u
+ C
sen x,
11
ro|
 ^
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
4.4 Intsgralss Usualos
Tsorsaa Sea u = u(x) una función diferenciable. Se cumplen las 
siguientes fórmulas
(1 ) I u du = — ■jy- + C (n 1<-1 )
f n+1
J ^ " ’TTT +
<2) ln |u| + C
(3) aU du -_SL_ + CJ 
/ -
ui
ln a
(^ ) | eu du - eu + C
(3) I gen u du ■ - eos u + CfI sen u
f
J eos u du
f ,J sec* u
(6 ) eos u du ■ sen u + C
(7) / sec2 u du - tan u + C
(B) cosec2u du « -cot u + C// 
i
u du ■ ln
<9) I sec u tan u du « sec u + C
r
(1 0 ) I cosec u . cot u du ■ -cosec u + C
(11) I tan u du “ ln |sec u| + C
12
4.4 INTEGRALES USUALES
(13)
(16)
(17)
(18)
(1 2 ) J cot u du - ln (sen u| + C
f
(13) | sec u du « ln |sec u + tan u|
f
(14) I coaec u du - ln jcosec u - cot v
du
V T T T "5a ln u+a + C,
/■
du 1 . u . _7 T 7 " T arc tan I + c
du_ _ _ -» arc san •— + C 
á
du - ln |u + /u¿± a¿| + C
Las funciones hiperbólicas se definen mediante las
sen h x , eos nx
X . -Xe +e , tan h x
cot h x - eoB x , sec hx ■ ir— , cosech xsen h x ’ eos n x *
(19) J * sen h u /
du « eos h u + C
(2 0 ) eos h U du « sen h u + C
+ C
i| + c
( u2 > a2 ) 
(a > 0)
ecuaciones:
sen h x 
eos h x *
_ 1
sen h x
13
LA INTEGRAL INDEFINIDA
(21) í sec h2 u du “ tan hu + C/
(2 2 ) cosec h u du “ -cot hu + C///(23) sec h u tan h u du “ -sec h u + C(24) cosec h u cot h u du = -cosec h u + C
Ejampio 1 Probar las fórmulas (1), (2), y (3) .
Solución
un+l
(1) Puesto que n+14 0 , la función ■ n+ '^' está definida.
n+1 , n+1j .■ u \ d ,u •. . n ,d(— “ u du , y por lo tanto
n+1 n+1
u« du . I a ( S - r ) - A p p + c.
(2) Tenemos d( ln|u¡ ) • (ln |u| ) du
f = j d < ln|u
du (pues li
Luego d ( ln |u | ) ■ ln|u|+C
(3) Tenemos d (-^-) - _i_. d au - (aU)
“ ". " 1 au . Ina. du ■ au du .
luego J a u du = J d (.jfL) - -Si- + C .
CAP. 1
Se tiene
. du
14
4.4 INTEGRALES USUALES
Ejemplo 2 Hallar I / a + bx dx
Solución
/
^ / a + bx dx = -^-|/ a + bx . d(a + bx)
1 fv2 .
" " T J U du> donde u = a + bx
1 u'~% f „ „n+lk ^ + C (usando | +CC .n+; J ^ - s r
* con n =n=l/2)
2 3/
( a + b x ) 2 +C.
** Ax 6
Ejampio 3 Hallar I — j dx/
Solución | — --- — — dx = | (x - -j- + ^ ¡r) dx- / « • -
’2dx
2 —1
 4 ln ] x | + 6( + C
— - 4 In | x | 1~ + C .
15
LA INTEGRAL INDEFINIDA
4.S ProblwMf R n u d t o s
PROBLEMA 1 Probar que
r
(1) I sen u du = - eos u + C
(2 ) I sec2 u4u = tan u + C
/■/(3) cosec u . cotudu = - cosec u + C.
SOLUCION
(1) De d(cos u) = —f— (eos u) du = - sen udu du
C f|sen u du = I d(-cos utenemos I sen u du = J d(-cos u) = eos u + C.
( 2 ) Puesto que d(tan u) = ~y ~' (tan u) .du = sec2u dudu
tenemos I s ec2 u du = I d (tan u) = tan u + C.^sec2 u du = ^ d
(3) De d (cosec u) = ■$— (cosec u) du = - cosec u cot u du
QU
r r[ cosec u cot u du = Iresulta cosec u cot u du = d(-cosec u) = - cosec u
PROBLEMA 2 Probar las siguientes fórmulas
f
(1) I tan u du = ln |sec u| + C
7
(2) J cot u du = ln|sen u| + C
7
(3) I sec u du ' ln |sec u + tan u| + C
7
(4) I cosec u du *= ln I cosec u - cot u| + C
CAP. 1
+ C.
16
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
SOLUCION
(1 ) d (ln | sec u | ) = —— (ln | sec u | ). dudu
* ^ r r ~ t (sec u) du (pues ¿ toivi =
se c u . tan u , ,• du * tan u dusec u
r rI tan u du - 1Luego I tan u du - d(ln|sec u|) = ln |sec u| + C.
(2 ) d(ln | sen u | ) « ]n | sen u [ du
- £ r (sen u)du (pues ' v l = v >
eos u . , ,du = cot u dusen u
Luego I c o t u du = I d ln ¡sen u| = ]n |sen u| + C .
SCLl U
f rI c o t u du = ¡ó
(3> d (ln |sec u + tan u| ) = ln |sec u + tan u| du
(sec u + tan u) du 
sec u tanu + sec2u
d (sec u + tan u)du
■ dusec u + tan u 
= sec u du (cancelando el término secu+ tanu)
f rI sec u du = ILuego sec u du = d ln | sec u + tanu | = ln|secu + tan u | + C.
(4) d(ln |cosec u - cot u|)= ln |cosec u - cot u| du
d•r— (cosec u - cot u)ducosec u-cot u du
- cosec u cot u + cosec2 u , * » du » cosec u du .
r r
I cosec u du » I d ln
cosec u - cot u
Luego I cosec u du - Jd ln | cosec u - cot u|
ln |co§éc u - cot u | + C
17
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP* I
PROBLEMA
SOLUCION
“ > d ( l 7
Luego,
(2 ) d ( —a
Luego
<3) d (are
Luego
! Probar las siguientes fórmulas
1(1 )
( 2 )
(3)
f du 
í du
J u2 + a.‘
f duJ Aa2 - u2
 , u-a
t— ln — —2a u+a + C , (u2 > a2)
— * are tan — + C a a
= are sen — + C , a
( a > 0)
ln u-a I\ - i _±_ru+a |I - 2a du ^
=
1
2a
- A - (
1
u-a ) du
du
"a f —L . ^ u - a . l ]
u -
- - J - l n 1
a*
u -a
1 u 2- a2 ‘ J d \ 2a ^ u + a | J u+a
+ C.
are tan — ) a — -$•— (are tan -^ *)du a du a
i _u5+Ua2 ' /1 + ( — )2 a du
du
u2 + a2
d (— are tan — ) = — are tan — +C.
u . d , u . ,sen -T-) * ------- ( are sen — )dua du a
i
a . dudu
/l -(-£-? - u2
■ J itzT ' /'* I d (are sen — ) ■ are sen — + C .
18
4.5 problemas resueltos
f
(1) I sen hu du - eos hu + C
PROBLEMA 4 Probar que
(2 ) eos hu du = sen hu + C//
/ •
<3) J sec h?udu « tan hu + C(4) I cosec l^u du ■ - cot hu + C.
SOLUCION
(1 ) d(cos hu) = ( eos hu)du * ^ ( e J e ) du
eu - e"u= (---- j--- ) du = sen hu du .
Luego I sen hu du * Id (eos hu) « eos hu + C.^sen hu du » ^
, u _ -u
(2 ) d ( sen hu ) = —— ( sen hu)du = - j — ( 6 „ 6 )dudu du ¿
eU + e_U du - eos hu du .T
Luego I eos hu du ■ I d(sen hu) » sen hu + C.f fI eos hu du » Id
(3) y (4) se siguen de las siguientes identidades cuya verifica 
ción se deja al lector :
( tan hu ) » sec2 hudu
( cot hu ) » cosec h2 u .du
19
LA INTEGRAL INDEFINIDA
PROBLEMA 3 Encontrar las siguientes integrales
/ 8 "(1 ) | 8 a x'dx/(2) I (&x2 - 8x + 5)dx
/■(3) I x(x+l) (x+2) dx
/■
(4 ) I (x3 + a)2 dx
SOLUCION
(1) ^ 8 a2 x7 dx = 8a2 ^ x7 dx = 8 a2 ( -g~) + C
= a2x8 + C.
(2) ^ ( &x2 - 8x + 5)dx = 6 ^ x 2dx - 8 ^ x dx + 5^ d x
v3 „2
6 (-j-) - 8(-|-) + 5x + C
2x3 - 4x2 + 5x + C.
J^xCx+l) (x+2) dx = ^ (x3 + 3X2 + 2x) dx
= ^ x 3 dx + 3 ^ x2 dx + 2 ^ x
-4- +x3 + x2 + C.
(4) ^ ( x3+ a)2 dx = ^ (x6 + 2ax3 + a2 ) dx
7 **X* , ax 2 j n-y— + —j— + azx + C.
20
CAP. 1
4.5 PAOBLEHAS RESUELTOS
PROBLEMA 6 Calcular las siguientes integrales indefinidas
(1)
(2)
/ -
/ -
dx
x
dx
V 7
(3) |p/p5T dx (p*-i)/ ';(4) /T (5x - 3)dx
BOLUCXON
JW-<i) l - l *”2dx - rrz+r +c " ~ ~km+ c-
<2> I " | x~ ^ dx " — V t ‘ + c - - j - x l3 + c-
(3)
rI p/px dx - P/p I x P dx
f ■- -(4) i /x ( 5x - 3)dx - I ( S x * - 3 x 12 )dx- w lA
4* + 1 ■i" -f 1
5 -4------- 3 + C
| + 1 i + l
2x5/2 - 2x3/2 + C .
21
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
PROBLEMA 7 Calcular las siguientes integrales indefinidas 
<1 > f ( n x P ~ dx/ « - > *
/
( ¿ + 1 )(;
/■
<2 > I dx
/ x 2
(3) I (a' 73 - x2/3 )3 dx
(4) < /x +1)(x -/jc + l)dx .
!■
SOLUCION
/
1-n /* l-n
(nx ) n dx - I (nx)n d(nx)
/
l-n
y " dy,
donde y - nx ,
—ir— + 1
• -l------ + C - vn + C - n/— i + C - y + C - /nx + C.
- 2z n + 1
/(x2 + d(x2 - 2) x _ rVx 7 J *{2) j .IX- i- - zj. 2 ■ dxJ (x10/3 - > - 2x-2^ ) dx
-j3j- x13/a - -y- x?/3 - 6x^3 + C 
^ (a2/3 - x2/3 )3 dx - J (a2 - la^ 3 x^ 3 + la^ 3 x^ 3(3) | (a 3 - x 3 )3 dx - | (a2 - 3a /3 x '3 + 3a /3 x ' 3 - x2 )dx
(4) (/x- + 1) (x - /F + l)dx - ^ ( x^ + 1) dx “ "J** ^2 + x + C
22
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
dx
PROBLEMA 8 Calcular las siguientes integrales
( 1 )
(3)
(3)
J l(,3,.+.lnx)i dx (2) J
f (4) C
/
5+ 3x
(x+l)dx 
x2 + 2x
a + bx2
SOLUCION
(1) I — "-—l-.— A|) ■ dx = | (3 + lnx)d(3 + lnx)1 ■ -iu du , donde u = 3 + lnx,
-£-+ c = (3+2tox)-2+ C .
( 2 ) Í 5 +*3x " 3 f 5 + 3x d(5 + 3x) “ 3 / du ’
» A r , r \ A o ii = S 4- ^vdonde u = 5 + 3x, 
■i- In I u I + C = -5- ln ¡ 5 + 3x I + C .
(3) / x3 1 f dCl + x14) 1 f duT77dx = ^J ~T77~ = J J — ’w íinnnp n sdonde u = 1 + x 1* ,
T “ |U' TV ‘ T1 ln|ul + C = -7-lnU + xu) + C.
(4) í (x+l)dx 1 í d (x2 + 2x) - -i- í
/ x2 + 2x 2 J' x2 + 2x ~ 2 J
donde u = x2 + 2x,
-4- ln | u| + C = -4- ln | x2 + 2x | + C .
(5) / x dx _ _1_ í d(a + bx2) _ 1 f dua + bx2 2b J a + bx2 ' f / u ’donde u = a + bx2
-jg- ln | u | + C = ln | a + bx2 | + C .
23
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
PROBLEMA 9 Calcular las siguientes integrales indefinidas
( 1)
(3)
f 2x + 3J 2x + 1
/ax + b px + q
dx
dx
( 2 )
(4)
//(a + — !i— )2 dx x - axH + x¿ + 1 x- 1 dx .
SOLUCION
<1> f 2x + 3 dx /(2x + l) +— r a y x + iS & iLJ 2xH
dx 
d(2x+l) x +
donde u = 2x + 1 , 
- x + ln | u | + C = x+ln|2x+l|+C.
(2 ) J (a+ = J [‘a2 + +x-a (x-a)': ] dx
= a2x + 2ab ln Ix- ■+ C
(3) Escribimos ax + b px + q
a
P
x + ■
x + P
= a + ( bp - aq \
p \ P2 /
* ( - kE7 23- ) * 1 - =
X + S .+ Í .J 1 
 E a P
X +
Luago /ax + b , a — dx = —px + q p
" -T* + ( —-J— —^) * ln | px + q | + C
(sumando la constante ) ln | p| a C)
(4) Expresando x1* + x2 + 1 como suma de potencias de x-1 
x4 + x2 + 1 = [(x-1) + l]4 + [(x-1 ) + 1] 2 + 1
= (x-1)1* + 4 (x-1) 3 + 7 (x-1)2 + 6(x-l) + 3 ./ - \A-1 ) T ^ V* 1 ) ~ ' \ í J T u V A l) T J .± ' ■ dx = £(x-l )3 +4 (x-1)2 + 7(x-l) + 6 + J d
= X^i^ + 4-(x-l)3 + -í-(x-l)2 + 6x+ 3 ln |x— 1
dx 
- 1| +
24
** 3
+ - y - + x 2 t 7 x + 3 ln [ x — 1 | + C
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 10 Calcular
<1 > I -- dx
(x+ir
*2 ) J / a - bx dx
(3) f — r -x ■■ dx
J f?TT
(4) J — dx .
B0LUC10N
<1 ) f — ~ dx - f W - } dx = - f <*+ 1 >"2 «i»J (x+1)2 J (x+1)2 J (x+1) J
- ln I x+1 I + 1 |; + C .1 1 x+1
^ / a - bx dx » — ^(a - 1<2) | /a - bx dx » - | (a - bx) ^2 d (a - bx) = - (a - bx) + C
(3) I — f- - -í- I (x2+l)_ '2 d(x2+ 1 ) = (x2 +l)1/2 + C .
(4)
. f e r • * P * , r , A
J - A t ^ JL - dx . J * - 1* dx + x d (ln x )
- a,'* +
r
I u du ,
- ax‘4 + - ü i + c2
- 2x^2 + • (Inx)2?
donde u = Inx,
25
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
PROBLEMA
SOLUCION
PROBLEMA
SOLUCION
PROBLEMA
SOLUCION
Hallar
11 dx
be*J a +
/eX dx _ 1 | d(a +a + be* b J a +1 f du
b J u ’
be*)
bex
x
donde u = a + be ,
-i— ln | u | + C = ^ ln | a + be* | + C .
12 Calcular / sen x1 - CO! dx eos x
/Jsen x dx _ I d (1 - eos x 1 - eos x J 1 - eos x
du 
U ’
donde u = \ -cosx, 
ln luí + C = ln (1 - eos x) + C .
13 Encontrar sec2 x dxb tan x
/sec2 x dx _ 1 I d(a + b tan x)a + b tan x b J a + b tan x
= ln |a+b tan x| + C
26
PROBLEMA
SOLUCION
PROBLEMA
BOLUCIQN
PROBLEMA
SOLUCION
PROBLEMAS resueltos
14 Hallar x3 + 3x/x3 + 3» x2+l *dx •
f - T f r * '
X2
-y— + ]n (x2 + 1) + C
13 Calcular j + 8erl .n). dx
J /ex - eos x
U + ?en x>-dx - Í
J Ve* - coa x J
/ * J / * \(e - eos x) * d(e - eos x)
2(ex - eos x) ^2 + C .
/- . i sec 2x tan 2x .16 Encontrar | 38ec 2x'- 2 "dx
/■
sec 2x tan 2x , 
"jTsec 'Sx'- 1 ' dx
1
TId(3 sec 2x - 2) (3 sec 2x - 2)
ln 13 sec 2x - 21 + C
27
LA INTEGRAL INDEFINIDA
PROBLEMA 17 Calcular las siguientes integrales
4 dx
~ 7 T
<4>
f ^ dX (5> f ^
(2 ) j 10x ax 16) J
/ - £ * I7> /
^ etan x sec2x ,JX (Q) ^ ,.x,
(3) | 5— dx 17) I x 2X dx
dx
3
SOLUCION
1 1 ^ j Í*u j j jj e dx = n e = n I e du, donde
u= ne + C = n e + C.
12 1 I >°x ■ t t Í t * '■/■
13) dx = 2 e*^ d(/x) = 2 ^ e11 du donde
= 2 e U + C * 2 e ’/ x + C .
(4) /tan x 2 j I tan x , . , f u ,e sec x dx » l e d (tan x) = I e du , ueU + C = etan X + C.
a e * d x - ( s e ) ‘ d x = ■■-* ‘ 7 . + C = ■- w 7 ' -■ + C .1 ln (ae) t> a + 1
r . fI a e dx * I
/ * • " * - ■ f r ^ ' - . v
= -8 J eu du , donde u
-8 eu + C = -8 e ^ + C.
28
car. 1
X
u = A ,
» tan x,
M*
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
(7> J x 2*2 dx - 4- J 2*2 d(x2) 
"7 ^ 2U du ,T 
2U 2x2 
T T 7TT + c “ T P T + c •
( 8 )
1 - X 3■ y e + C .
PROBLEMA 18 Calcular
•*> /42-3x dx
(2 ) J + d2* ) 2 dx
/ " ? T T te
80LUCION
<1) f 42-3x dx - - y f 42_3x d(2-3x)
- - i / . ■ * .
4U ¿,2~3x
TET + c " ' 1 ^ 4 + c-
(2 > y (e* + e ' ^ f dx - ^ <e2% + 2 + e“23íé) dx
^.e 2^ + 2x - f - ~ 2* + C
/ ‘ / J 4 £ r r í, 5> I — - I« w - n . h
donde u - x2 ,
dcnde u - 2-3x,
29
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
(1 ) I sen (a -l- bx) dx
PROBLEMA 19 C a lc u la r
f
| sen (a 
/(2) J cos2xdx
(3) ^ (eos ax + sen ax) 2 dx
80LUCI0N
(1 ) ^ sen ( a + bx) dx ■ -£■ ^ s e n (a + bx) d(a + bx)
■ -i I sen u du ,b J donde u » a + bx,
C0|_u. + c _ _ coa ,fe.+_bxl + Ct
b b
 i ■, ■ . . eos 2x . x sen 2x . _(2) I eos2 x d x » | 2 ' m 7T 4
(3)
f a „ r«-I eos x d x » I — —
r r
I (eos ax + sen ax) 2 dx ■ I [ cos2ax + 2 sen ax eos ax + sen2ax]dx 
J • /
(1 + sen 2ax) dx ■ x - c0^ ^ ax + C .
PROBLEMA 20 Encontrar
(1) i sec2 (3x + 2) dx/
/sen (1 X(2) I — ■jfeül., dx/(3) I x eos (2 - x2) dx
SOLUCION
(1) f sec2 (3x + 2) dx - I sec2(3x + 2) d(3x + 2)
30 /
sec2 (3x + 2)dx «i* I sec2(3x + 2) d(3x +
1 ? 2 A I sec u du , donde u » 3x + 2>
• tan u + C - -y tan (3x + 2) + C
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
(2 ) ^ 86n xtoX) ^ Sen d(lnx)
/<3> x cos(2 - xz)dx
I sen u du , donde u « Inx,
- eos u + C ■ - cós Inx + C.
1 1
n
|h ^ eos (2 - x2) d(2 - x2)
1
■ - 7 - 1 eos u du , donde u = 2 - x2,
-<Jn1H
W
sen u + C = - 4 sen (2 - x2) + C .
PROBLEMA 21 Calcular
(1) | 3 cos(5x - *j>) dxí(2) I cot2 axdx
r ________
(3) / / 1 + 3 cos2x . sen 2x d x
80LUCI0N
J 3 coa(5x --£) dx - 4 / c(1 ) I 3 cos(5x — 7-) dx » -5- I cos(5x - 4 d (5x - 4
4 sen (5x - y- ) + C. 5 4
(2 )
(3 )
^ ^ co t2a x d x = ^ (c o s e c 2 ax - 1) dx
i f 2 f= — | c o s e c z ax d (a x ) -
J
^ /í + 3cos2x . sen 2x dx = — J (1 + 3cos2x) ^ d (1 + 3cos2x)
Z 1 f \ I j COt 3X , rcosec* ax d(ax) - dx * - ■ 1 ■ 1 - x + C
(pues d(cos2x) = -2 sen x eos x dx = - sen 2x dx)
= - 4 (1 + 3 cos2x)3/^ + C .
31
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP.1
PROBLEMA 22 Hallar
ti) ^tan x dx <2 ) ^ x cot(x2 + 1 ) dx
<3) ^ sen5 4y eos 4x dx (♦) ^ tan3 . sec2 -y dx
SOLUCION
(1) [tan x dx = [ ¿ Z U L dx » - f J l £S J U ± J I eos X I eos X
ln |cos x| + C « ln |sec x| + C .
^ x cot(x2 + l)dx = ^ c o t í x 2 + 1) d(x2 +
•y* J*cot u du •
(2 ) | x cot (x + l)dx = I cot (x2 + 1) d(x2 + 1)
donJe u - x2 + 1,
— li |sen u| + C » ln |sen(x2 -r 1) | + C.
/sen5 4x eos 4x dx « -7* I (Y- v j “ s
(3) I sen5 4x eos 4x dx « -7“ f (sen 4x) 5 d(sen Ax)
, donde u - sen 4x,
_UÍ + c = sen6. + cT T C 23 + c-
(4) ^ tan3 •— sec2 ~ dx » 3 ^ (tanrj*)3 d(tan— >)
3 | u3du , donde u - tan — ,
+ C - tan1' — ■+ C .
32
4 .5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 23 H a lla r ( 1 ) | - ~ U ¡ £ d x
!■
... l sen 2x , f cot^ x .(2) i ■x-r "*<' ' “ * (3) I - dxJ 3 + eos 2x J sen x
fx
80LUCI0N
( 1 ) ^ ^^ tan d(*^ c) » 2 ^ tan ud u , donde u ■ /x.
2 ln |sec u| + C » 2 ln |sec /x| + C .
( 2 ) /
sen 2x 1 I d(3 + eos 2x) 1 , i „ . « i . ^dx « - -y / — i—■— — —j—<— = - —. li 3 + eos 2x + C. 3 + eos 2x 2 1 3 + eos 2x 2 1 '
( 3 ) í ™o t x dx » J cot^ x cosec2 x dx - - í (cot x)^ *3 d(cot x) f s en x | I¥ ¥ ¥
■ - ¿ ( c o t x ) ^ + c « - ¿ c o t ^ x + C .
PROBLEMA 24 Calcular (1)
<2> ^ sec y- tan Tpdx <3) ^ (tan 4x - cot 4x) dx
I r ,
dx
SOLUCION
( 1)
/■j" , 1 ' « I ■!' • dx ( multiplicando numerador y deno1 + eos x 1 1 - eos X K J -5«/ minador por 1 - cosx)
“ J s^en?°x " J cosec2 x áx - ^ *(sen x) 2 d (sen x)
« - cot x + (sen x) 1 + C « - cot x + cosec x + C.
| sec u .
” 2 | sec u . tan u du = 2 sec u + C « 2 secrp+C.
33
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
(3) /(tan 4x - cot 4x)dx - - j - 
1
^ tan 4x d (4x) - — • ^ cot 4x d(4x)
ln | sec 4x | - -jr ln | sen 4x | + C
1 ln cosec 8x + C
(pues sec 4x . cosec 4x»2 cosec 8x ).
PROBLEMA 23 Hallar
• ax . ax ,(1 ) | cosec . cot dx
( 2 ) IX _ X ,e cot e dx / •/(3) (sec x - 1 ) dx
SOLUCION 
(1> / ax „ ax . b I ax _ ax , , axcosec -jj- . cot — dx « — I cosec -jj- . cot d (-^ -í* cosec u . cot u du., donde u »
b . ^ b ex . f— cosec u + C « - — c o s e c - r - + C . a a b
( 2 )
(3)
f x x fI e cot e dx = I 
J '(sec x - l)2 dx = ^
cot e d(e ) « ln sen e + C .
(sec x - l)2 dx = (sec2 x - 2 sec x + 1 ) dx
tan x - 2 ln |9ec x + tan x| + x + C .
PROBLEMA 26 Hallar
SOLUCION fi». *
/(sec 3x - cosec*r) dx.
cosec rr) dx sec 3xd(3x)~ 3^ cosecyd(~)
-t ln | sec 3x + tan 3x| - 3 ln jcosec—--cot^l + C.
34
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 27 Hallar 
(1) J J (7¿ ¡!. . - d I
<3. ... /
SOLUCION
( 1)
 -------------
■ I cosec 2x d(2x) » ln ¡cosec 2x - cot 2x| + C.
(2 ) I (— * - l)2 dx ■ i (cosec ax - l) 2 dxJ 3en ax J
fm I l cosec2 ax - 2 cosec ax + l] dx
. f . f• — I cosec2 ax d(ax) - -* / cosec ax d(ax)
8 J
m - S- - — ln |co3ec ax - cot ax| + x + C. 
a a ^
(3 ) ^ x sec2 x2 dx » ^ [sec x2l d(x2) ■ -y-tan x2 + C .
,«en x coajt,. dx . j. [ ata 2 lí . dx
C4> J Scosfx - sen x
(eos 2 x )^ d (c o s 2x)
y-(¿os 2x)^ 2 + C .
35
la integral indefinida CAP. 1
PROBLEMA 28 Probar que 
du//u2 ± a5 ln |u + /u1 ± a* I + C .
SOLUCION
d ln |u + + a1 1 ■ -r- ln |u + /u2 ±du 1 a I du
1 +
u + /u2 ± aT
du -du./u* ± a3
Luego
f / A “ a2 ' ‘ f d lu±,/uí± flJi3 ± a3 I ■ ln I u ± Ai2 ± a3 I + C
PROBLEMA 29 Calcular las siguientes integrales
(1)
(3)
/ l é ^ y 2/■
f dx
(2 ) /4dx4xz - 9
SOLUCION 
(1)
- //42 _ y2
/ 4dx 0 I d (2 x ) 0 | du4x2 - 9 " 2 J (2x)2 - 3i “ J u3 - a 3 *u-a
u+a
1 ! I2x- 3 
+ C " T 121 I7 T 3
donde
+ C .
(3)
<4>
f t r r r • / » = + 4 ( ^ 5 " ■ * ” '*" " í " * c ■
¡ T r é r - f ;8j _'2i - ln |s + /s2 - 4| + C.
36
u“2x, 
a* 3
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 30 Hallar
(1 )
(3)
 ¿2 (2 ) /
3x2 - 12 J
f — - •*> í —J 2 + 9 t 2 J 1 + 1
/16 - 9x2
SOLUCION
( 1 ) f dx _ 1 f dx
J 3x2- 12 J x2- 22
1
T ' 2 ( 2 ) ln 1 "x^ " 1 + C
i •ln 1 x~2 14- f
12 1 x+2 1
r ^.
 I dx 1 1 d(3x) 1 3x . „(2) — , — = -s- I — -~A ■■■■*--- -s- are sen — r- + C .
J /16 - 9x2 J /42 - (3x)2
/ dt _ _1_. I d(3l2 + 9t2 3 J (3t)2+,3, | ai--- = | „ _L----i- are tan-^r</T )2 3 /2 / r* 3t , _— ■ are tan r- + C .
6 /r
(4) /ex dx _ J d(ex) _ J du1 + e2x J ( ex )2 + l2 " J u2+ aa2 vdonde u = e ' ,are tan u + C = are tan ex+C.
PROBLEMA 31 Calcular (1) / dx/2ax - x2
(2 )
2ax
SOLUCION
(1> f dx _ r
J / 2ax - x2 J d(x-a)/a2 - (x-a)2
x—a
■ are sen — — + C .
+ C
a - 1,
37
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 3
(2) f — fc— r
V 1 + X + X 2 J ( X + -y ) + -
(completando cuadrados 
en el denominador)
1 x + 2 . _ "Ti are. tan — ^ ■■ + C
(3) /____dx___ _ J d (x + a)/x2+ 2ax /(x+a)2 - a
2 2x + 1 . „——— are tan , + C/T / f
(completando cuadrados 
eu el denominador)
= ln | (x+a) + / (x+a)2 - a2 |+ C 
= ln | x + a + / x 2 + 2ax I + C .
PROBLEMA 32 Cale
Í
ular I = I ■ dx
(a+b) - (a-b)x2
(0 < b < a).
SOLUCION i =/ dx2 2 2 p - q donde p2 - a+b, q2= a-b , pues a-b > 0 ,
1 í d(qx) = 1 ln qx -p
q J (qx) 2 - p2 2pq qx +p
+ C
1 . I ^a -b x + / a+b | . „ i ln I ■' 1 ■ ■■ ■ ■■■ — I + C
2 /a2 - b2 * /a-b x - /a+b ■
PROBLEMA 33 Calcular I = I * 7 5* * dxf x2 - 5xJ x2 +
SOLUCION I = | vx- t m, - -r 2 , dx/(x2 + 4) - 5x + x 2 + 4
f d x - 5 i x - + 2 í — J * .
,/ X 2 + 4 J X 2 + 4
5 xx - ln (x2 + 4) + are tan + C .
38
4.3 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 34 Calcular 
SOLUCION /
(2x + 5) . 
x 2 + 2x +
dx
5
/2(x+l) + 3 dx _ F d [ (x+1)2 + 4] + j 3d (x+1)(x+1 ) 2 + 4 J (x+1 ) 2 + 4 J (x+1 ) 2 + <
ln | (x+1)2 + 4 | + — are tan (“j“ ) + C 
ln (x2 + 2x + 5) + arc tan (-—y— ) + C .
PROBLEMA 33 Hallar I = | — --- dx .
.6■/tí
SOLUCION
I j 3 \ i
■arc tan (x ) + C .1 f d(x3)3 J 1 + (x3)2
PROBLEMA 36 Hallar 1 = /■
3x + 8
9x - 3x -
dx .
SOLUCION Completando cuadrados 9x2 - 3x - 1 = (3x— |-)2- -j-
donde
Luego
u = 3x - T ■
2u + 1 dx = du
Sustituyendo en la integral daaa
I = 1 f 2u+17 1 f d(u2_ 4 } 17 Í- J ~ J u2' . i " +~ J •
ln 2 JLu 4
17 ln
/ r
1 I 9 17r ln 9x2 - 3x - 1 + ------ ln
6 I I 6 /5
6x - 1 - /5 
6x - 1 + /5
du
+ c
+ c .
39
LA INTEGRAL INE2FINIDA CAP. I
PROBLEMA 37 Hallar ' v" dx/ q - x) d> /x2 + 4x +3
SOLUCION
Completando cuadrados x ^ + 4 x + 3 = (x + 2)* - 1 = u - 1,
donde u = x + 2. Luego
x = u - 2 
y dx = du .
Sustituyendo en la integral dada
f y - x?dx ■ = f y - u)du 3 f du - 4 - f :^ -D J/2 d(uz-DJ /x2 + 4x + 3 J /u2 - 1 J /u2 - 1 «/
= 3 ün |u + /u2 - l| - (u2 - l)^2 + C
= 3 ]n |x + 2 + /x2 + 4x + 31 - /x2 + 4x + 3x + C .
PROBLEMA 38 Encontrar I = | ax T b-- dx .
.2/ax + b a2x2 +
SOLUCION
1 J d (a2x2 + b2) + _b_ I d (ax)
J a2x2 + b2 a J (ax) 2 + lb2
" W - ~ Jll (d A t u ; T dlL Ldi 1 V, "Ll a a b= *4“ ln (a 2x 2 + b 2) + —• are tan ( ~ “) + C .
PROBLEMA 39 Hallar I = rc ^ dx
1 - x2
SOLUCION /I = I (are sen x)^ d(arc sen x)
2
= yr (are sen x) + C .
40 J
4.3 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 40 Calcular I - f * ~ 2* dx .
J 1 + 4x2
SOLUCION
_1_ f d (1 + 4x2) __1. í
8 J 1 + 4x2 2 J (are tan 2x) ^ d(arc tan 2x)
■g- ln (1 + 4x2) - (are tan 2x) ^ + C.
PROBLEMA 41 Hallar I - 
8QLUCI0N
 dx
/(I + x2) ln (x + /l + x2)
I ^|*|ln (x + / l+ x 2 )j d|\n(x + / l+ x2 ) J 
2 J ln (x + / l + x2 ) + C .
PROBLEMA 42 Hallar I - | ^ dx .
SOLUCION
f x3- 1 
J x“ - 4x + 1
= J- Í - ^ 1 1 ? I I
4 J x- - 4x + 1 4 I x - 4x + 1 + C .
PROBLEMA 43 Hallar
f
I , . x dxJ ( 2 x 2 + 1 2x2 + 1
SOLUCION
Tenemos I _2_ \ dx _ 1_ f d(2x2 + 1 )2 J x 2 + 4 - 4 J ( 2 X 2 + l ) 2
1 --*---- are tan ?---- - + C
4(2x2 + 1)
1vT" are tan x /2~ t 1 + C .
4(2x2 +1) 41
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
PROBLEMA 4 4 Calcular I - I dx .
SOLUCION
I
- f — ¿
J x2 +
r 2. dx _ r d x . 2 r _ * .
J x2 + 2 ^ */ x2 +;
x - 2 arc tan — + C
/I /F
x - /T are tan 1 ^ + C .
PROBLEMA 45 Hallar I - I — — X ■ dx
SOLUCION
/
/x3dx I"7^7 " " J ‘
- • 2 ' ~ 2 I * 2 ~ a2 I + C
j . _ , — a^ a- „ _ , ..,<x3, - a2x) ,+ a2x. dx
PROBLEMA 46 Calcular I — 1 _... dx
SOLUCION
f s i -J V^TT
J (x3 +l )_l/3 d(x3 + 1 ) - - | - ( x 3 + 1 ) 2/3 +
rI sen x - 
J sen x +
PROBLEMA 47 Hallar I = . sen x - coa x Jx _ i cog x
SOLUCION
/ d(sen x + eos x) , 1 . 1 . „ 7— r— = - ln sen x + eos x + C ,(sen x + eos x)42
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 48
Encontrar I - I "• ■■ ■L“'i * i 1 . dxf earCtanX 4- x In( 1 + x2) + 1 
J 1 + x2
SOLUCION
^ earctanx ¿|(arc ten x) + _1_^-|n ^(i + x2)j +^
+ -j- £ln (1 + x2) j + are tan x + C .
dx
1+x2
are tan xe
PROBLEMA 49 Calcular I - i arc sen x-^-S-dx .J / l - x2
^ arc sen x d(arc sen x) - ^BOLUC ION I « | arc sen x d(arc sen x) - ~ J ~ f (l-x2) d(l-x2)
g6" 2 X - (1 - x2)V* + C .
PROBLEMA SO Hallar I - I - - - ■ -x — dx .
80LUCI0N
//2 - sen1* x
+ / 
+ / •
d(sen2 x)
/ 2 - (sen2 x) 2
( pues d (sen2 x) = 2 sen x eos x dx )
du
/ r ^ j *
donde u = sen2 x ,
1 u , „~s— arc sen + C
2 n
1 , sen2 x x „
-r— arc sen v ‘ 1 — ■ 11 ) + C .
2 / r
43
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
PROBLEMA S I Hallar I = / dxx(4 - ln2 x)
SOLUCION Sea u = ln x . Luego se tiene x = e11, dx = e11 du. 
Sustituyendo en la integral dada
I » / eu du _ j dueu (A - u2) J u2 -
■ ln u-2 r ■4-ln ln x + 2
u+2
T L i Ul ln x - 2 + C .
PROBLEMA 52 Hallar
SOLUCION i = Ií
Í dx
J 1 + eos2 x
sec x dx 
sec2 x + 1
d(tan x) 
(tan x)2 + 2
/ - tan¿ x + 2 dx
JL _ arc tan(_tan—i . ) + c 
<n / j
PROBLEMA 53 Hallar I /ln(x + / 1 +/ x2 + 1 ) dx
SOLUCION i j * / ln (x + /x2 + 1 ) d ln (x + *4c2+l ) j 
— y* £ ln (x + /x2 + 1 ) j 2^ + C .
44
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 34 Calcular
(1) ^ (2 sen h 5x - 3 eos h 5x)dx
(2 ) I sen h2 x dx .
SOLUCION
2 3(1) | (2 sen h 5x - 3 eos h 5x)dx = — eos h 5x — sen h 5x + C ./■/(2 ) sen h x dx ■ I e * - e - x 2 ( ó )2 dx( pues sen h x =
(e2x - 2 + e“2x )dx = -g- e2x - yx - j e 2X + C
1 , e2x - e-2x x
~ r ( ---------í t — > - - § - + C
-j- sen h 2 x j — + C .
PROBLEMA 33 Calcular ■ / cosec hx dx.
SOLUCION I / • dx /2e dx
= 2
= ln
f d(ex ) 2 ln ex - 1i (ex ) 2 - 1 2 111 ex + 1
ex¿ - e ' X/2 + c
+ C
& + e-X¿
= ln tan h ~ T + c
45
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP. 1
PROBLEMA
SOLUCION
PROBLEMA
SOLUCION
PROBLEMA
SOLUCION
.tan hx
56 Hallar I “ / 1 dx
' / íeos h2x
I I 3tan hx sec h2x dx = f 3tan hx d(tan hx) 
J J (pues d(tan h(pues d(tan hx) ■ sec h2xdx)
-tan hx
V + c •
57 Calcular I « tan2ax dx/■
r r
I tan2ax dx » I (tan2ax dx » I (seczax - l)dx » - x + C.
/ •
k b .... ■. i tan 3x - cot 3x ,58 Hallar I = |-----— £ ------dx .
I = ^ sec 3x dx - ^ dx
= -— ln | sec 3x + tan 3x | + — T~ +3 1 ' 3 sen 3x
3x
1
C
46
4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1 Hallar las siguientes integrales
(1 ) í x (2 + x2)2 dx
r
(2 ) I x(a - bx2) dx
r
(3) I y(3y + 2)dy
4.6 P r o b l M M Propuestos
Rpts.
X6
J T + x1* + 2x2 + C
Rpts.
ax2
2
bx1*
- ~ T + C
Rpts. y3 + y2 + C
PROBLEMA 2 Encontrar las siguientes integrales
(1) 72x2 + 3 dx Rpts. y* (2x2 + 3) ^ + C
(2) |.AX.2.dX RptSa 4 . / 1 F T 7 + C
•/ ^ T s 3
(3) J f á y j f i t f ' d x Rpts. 2ax’/2 - 2 / a x + - j % 2 + C
í ' . 2/x^+l 4/x2in+2n+l(X ~ X / dx RPta- - 4 ^ T T ~"'2m+2n+í ~•6 2^ + i -
PROBLEMA 3 Calcular las siguientes integrales indefinidas
(1) I — Rpts. -y/x3+ 3x + C[ (x2 + 1 )dx
J / x3 + 3x
f c
J (a +
(2) |--- 2— — ---- Rpts. - -+ c
bx3 )2 3b(a+bx3)
(3) I — . Rpts.- — ---- + C
by) 2b(a + by>-
(4) j * * " 1 ^a + b*n dx- Rpts. c
47
LA INTEGRAL INDEFINIDA CAP.1
PROBLEMA 4 C a lc u la r
/ •(1) I ex V a - bex dx Rpt*. - ■^(a-bex )^2 + C
<2> Í t T T " P t c . f - ^ - y l n O ^ S H C/3X + 5e* dxA - ex
a
-bx
(3) I .. Rpt«. -2(l-ex )1/2 +C
(4) I ---2_J!--dx Rpt*. -¿-ln | i - e-bx |+C .
J 1 - e b
PROBLEMA S Calcular las siguientes integrales
/ •
/tan x , 2 . __ „ .3/2(1) I __ ¡,¿ ^ dx Rpt*. -^ (tan x) + C
(2) I 1 sen x dx Rpt*. ln|x + cos x | + CS -m 
/■
(3) I asenx eos x dx Rpt*. ■■?a8nX. + C.
1 Ina
PROBLEMA 6
( 1 ) Rpt*. arc tan "~j~ + Cf ¿25--------
J x2 - 4x + 13
/6x dx
J t T T Rpt* - Ú I S r f | + c
(4) í — — — Rpt*.
^ /a2 + b2x* x i /I— , 2 2 i-r— ln|bx+/a + b jc j + C
(2 ) i J-V-i - Rpt*. 3 arc sen x2 + C
(3)
48
4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
( 1)
( 2 )
PROBLEMA 8 
PROBLEMA 9
PROBLEMA 7 Probar que:
jY í 5 dxI3x* - 23x + 1 /5x2 + 1 ln 13x2 - 2 1 + 52/5 ln
A x + A
A * - ñ
+ C.
1 dx » -r A x 2 + 1 + JL ln I x /T + A x 2+ 1 | + C . 
5 /5
Hallar f <8x ~ ■
J /l2x - 4x2 - 5
Rpta. -2 / \ 2x - 4x2 - 5 + are sen ( ) + C.
Calcular /(6-x)dxAx2 - 1 2x + 7
Rpta. ln 12x - 3 + A x 2 - 12x +7 |- -j-Axá- 12x + 7 +C.
49
CAP. 2
I N T E G R A C I O N P O R P A R T E B E 
I N T E G R A C I O N P O R B U 8 T I T U C I O N
1 . IN T E B R A C IO N POR P A R TE S
TEOREMA
Sean u » u(x) y v = v(x) dos funciones difsrenciables. 
Entonces pe cumple
^udv ■ uv - vdu
PRUEBA
La diferencial del producto de funciones u.v. es 
d(uv) = udv + vdu .
Luego udv « d(uv) - vdu , e integrando
Judv “ ^d(uv)-^vdu « uv+C-^vdu ( pues J^”d(uv) =uv+C)
■ uv - jvdu ( la constante C es sumada a la constante
rde la integral indefinida Jvdu, dando lugar a otra constante ) . 
Así, hemos probado que J "udv « uv -J v du . I
53
INTEGRACION POR PARTES
E j a m p io 1 Hallar | x ln x dx
Solución Sean u * ln x y dv = x dx .
Luego du = ~ ~ ~ , v dv • J x dx =
Aplicando / udv ■ uv - /vdu , resulta
/ x ln xdx - (ln x)( — j — ) - / — j- ( — — ) dx
2 2 
X , X . „ln x - — i— + C .
Ej ampio 2 Integrando por partes calcular / x eos nx dx y verificar 
la respuesta mediante diferenciación
Solución Sean u = x, dv = eos nx dx.
/d v - / «Luego du = dx y V = J dv *= 1 eos nx dx « '^X
Tenemos entonces
sen nx/ f , f , x sen nx \x eos nx dx • I udv ■ uv - I vdu ■ - I dx
x sen nx eos nx + ^
Vari -f i cae ion
d / x sen nx eos nx . „ . sen nx . nx eos nx n sen nx— — (— — — + , + C ) = ■ + — — — - — »--
dx n n2 n n n2
= x eos nx » función integrando.
INTEGRACION POR PARTES CAP.2
/ •
Ejemplo 3
' */Encontrar I e eos ttx dx y v e r i f i c a r la respuesta mediante d ifere ii
c ia c ió n de la so lu c ió n ha llada .
Solución
eX¿*I = I e ' eos tt x dx = e 4 ------------- - I — ------sen ir x dx ( 1 )/ x/u , x/u sen ir x |e eos tt x dx = e ------ - I
( tomando
/ Wu , Vu eos ti x , | e ^esen ux dx = - e — ■+ I —J ^
4tt
tt/
( tomando u = e , dv = eos tt x dx)
ti 4ar
Sustituyendo (2) en (1)
( tomando u = e 4 , dv = sen ttx dx) 
e eos ttx [ I 2^ )
I = e
x/
x/l, sen it x 1 , e 4 eos ttx I/ C V* O o II A i \ * # ■ T( ----------- + -7^ - ) , y despejando I
x/
j. _ 4 e (4tt sen ttx + eos ex) +
Verificación
X/ X/
di _ e 4 (4tt sen ux + eos ux) + 4 e (4 tt2 eos tt x - tt sen ux ) 
dx
- . ._»2
' + *
16 Tí2 + 1 16 TT2 + 1
e eos ttx dx .
55
INTEGRACION POR PARTES
Ejemplo 4 Hallar I » J'sec3 x dx
Solución I = J sec3x dx * sec x . tan x - / *
( tomando u «sec x y dv « sec2 x dx, 
v « tan x )
/sec x .tan x - I sec x (sec x - l)dx ,
21 - sec x . tan x + sec x dx
I = — 1 sec x . tan x + ^ ln | sec x + tan x | + C .
2. INTEGRACION POR SUSTITUCION O POR CAMBIO DE VARIABLE
2.1 Teorema. Fórmula del cambio de variable
Si x = <(>(t) es una función diferenciable, entonces
J f (x)dx = J :f (0(t)) <j>' (t) dt
Nota
1. La igualdad a que se alude en esta fórmula se verifica en los 
puntos x,t tales que x = <(i(t) . Explícitamente, si
F(x) = J " f (x)dx y G(t) = fí^ít))^'(t)dt
entonces F(x) = G(t) siempre que x = <|)(t) .
2. Para calcular J " f(x)dx, cuando se efectúa el cambio de varia 
ble x = <J>(t) , se procede de la siguiente manera:
a) se encuentra la integral G(t) = J " f (d>(t))<t>’ (t)dt ;
b) se expresa t = tj/(x) como una función de x, y se reenqda
za <¡j( x ) en la integral encontrada en a) ;
S* /c) finalmente, f(x)dx = C(t|;(x)) .
INTEGRACION POR PARTES ... CAP.2
Pruaba dal Taorama
Sea F(x) ■ I f(x)dx y definamos G(t) - F(<})(t) ) . (i)
Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función 
f (f(t)) 4>' (t), esto es, que se cumple
dG (t) - ‘2 )dt
o equivalentemente G(t) ■ ■ f(<J>(t))4>' (t)dt (3)
En efecto.se tiene FW(t)) * (x=$(t))
■ 41 * 4* ( regla de la cadena)dx dt
r* d F" f (x) . 4>1 (t) pues = f (x) ya que
F(x) = J ' f(x)dx, y =4>'(t)
« f (<t> <t)) . d>'<t) , lo cual demuestra (2) 
Para concluir, si x = <t>(t) tenemos/f(x)dx - F(x) = F (<)> (t))
G(t) (por (1))
= | f (<fr <t))<t>* (t)dt (por (3)).
 ^ I
Ejampio 1 Hallar 1 =* ^ x / x - 2 dx.
Solución Sea t = /x - 2 . Luego x = t2+2 y dx = 2t dt.
EntoncesfI > | (t2+2)t(2t dt) = I (2t“ + 4t2 )dt - |t5 + |t3 + C ,
y sustituyendo t
1 - | (x-2)5/2 + ^ (x-2)^ + C .
57
2.1 FORMULA DEL CAMBIO DE VARIABLE
Ejemplo 2
Hallar I = I 1 . "X ' efectuando la sustitución x « —
J x J X2- 4 1
Solución
Tenemos
Caso 1. x > 2 Tenemos x = —— , dx « - “ jp • Luego
dt
- J — 7 = ^ - 1 -JL / 1 -
t ’ / t2
dt
/l - 4t2 
(de x > 2 se tiene t >0 y - 4 » -i-/l -4t2 )
Por lo tanto, I = - -w— I — ■ = — i— arc COs (2t) + C
/ l — (21 )2 2
1 2 -y- arc eos (■ ■ ) + C si x > 2 .
( se usó - I ' • = arc cos(u) + C )
Caso 2. x < —2 Tenemos -x < 2 y haciendo el cambio de variable 
y = -x se tiene
= f . = í . ________
J (-y) /(-y)2- 4 j y / y2 - 4
dy «■,------ con y > 2,
1 2■y-arc eos (-y ■ ) + C ( por el caso (1) )
1 2-s— arc eos (- — ) + C.2 x
En resumen
I = <
1 2T — arc eos ( "■ ■) + C si x > 22 x
1 2-s— arc cos(- — ) + C si x < -22 x
o en forma abreviada
1 2 ->
I = 2' ' arc eos ( ■" "T^ i ■■ ) + C si > 2
58
INTEGRACION POR PARTES . CAP.2
2.2 SumtltucionM Trigonométrica»
A menudo es posible realizar el cálculo de una integral efectuando una 
sustitución trigonométrica lo que da lugar a ura integral que contie^ 
ne funciones trigonomátricas.
1. La intagral contiana al radical Va* - x* , a > 0.
Entonces se hace la sustitución x ■ a eos t y /a2 - x2 “ a sent.
2. La intagral contiana al radical “ * > a > O.
Entonces se hace la sustitución x « a sec t y /x? - a2 “ a tant.
3. La intagral contiana al radical V** ♦ *J » a > 0.
Entonces se hace la sustitución x« a t an t y a sec t
Nota
Sobra la sustitución trigonométrica para al caso y / * 1 - ¿
Cuando se hace una sustitución trigonométrica del tipo 2, se procede de 
la siguiente manera:
(i) se encuentra la integral cuando x>a ;
<2 > se encuentra la integral cuando x < -a , para lo cual se 
hace el cambio de variable y » -x, y así el cálculo de 
la integral se reduce al caso anterior;
<3> la integral resultante se compone entonces de dos integra 
les, una para el intervalo x>a y otra para el inter­
valo x< -a. (Ver ej . 2 ). No obstante, a veces estas
dos integrales pueden resultar iguales y dar una sola ex­
presión para la integral buscada. (Ver ej. 3) .
59
2.2 SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS
EjMplO 1 Mediante sustituciones trigonométricas hallar
dx
t e
Solución
Sea x “ S T eos t • Luego /3 - x2 » / í sen t, dx - - / T sen t dt
I - f L Ú . . . . ™ * S i ’ Sí 8en * dt) ■ -3/3 [ eos3 t dt
J /3* sen t J
- -3 /T (1 - sen2 t) eos t dt
f f» -3 /3~ I eos t dt + 3 /3 I sen2 t d(sen t)
= -3 /T sen t - /3 sen3 t + C ,
y sustituyendo sen t - 4
/ T
-3 A - x2 + -~( 3 - x 2 )3/= + C ,
-2 A - x2 - -y- / 3 - x2 + C
(pues (3-x2)3/z - (3 - x2) /3-x2 ).
Ejemplo 2 Calcular I = l - r - F — - . a > 0 -/3 /x2 - a2x v x - a 
Solución
Caso 1. x > a. Sea x • a sec t. (1 )
Luego dx = a sec t tan t dt .
Se tiene entonces
/a sec t tan t dt 1 I 2 . - , — — I eos ta sec3 t a tan t a J dt+ eos 2t . t sen 2t . „ 5 ) dt = + — + C
2 2a3 4a3
- V + se^ ; C -^st + C . (2)
2a3 2a3.
60
INTEGRACION POR PARTES CAP.2
Ahora debemos despejar t de la ecuación (1) y reemplazaren (2). 
De (1) se tiene 
y sustituyendo en (2)
x a /x¿ - a*
De (1) se tiene t - are sec*^ -, coe t - — , sen t x
I - r are sec-^- + x ~ a , si x > a . 
2a3 a 2 a2x2
Caso 2> x < -a. Entonces -x>a, y haciendo el cambio de varia
ble y » -x se cunple y > a, y
í ^ - f -
J (-y)3 / (-y)2 - a2 J
J X _
y y y ”
■■■y are sec ^ (por el caso (1 ), ya que y > a)
2a a 2a2 y2
1 / x » /x2 - a2 . ,— - are sec (- — ) + - , ■ ■ ■ si x<-a
2a3 a 2a2 x2
/■
Ejampio 3 Probar la fórmula | — = ]n|x + /x2 - a2 | + C.
/x2 - a2
Solución 
Caso 1. x > a.
Luego /x2 - a2 •
’ / 7 5 %
« k» |sec t + tan t | + C
» ln | x + J x2 - a2 | + Cj donde Cj = C - lna .
Sea x » a sec t.
a tan t, dx = a sect tant dt,
/a sec t tan t dr I, — — . ■ .. ■ * i sec ta tan t J dt
61
2.2 SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS
Caso 2. x < -a. Entonces -x > a y haciendo el cambio de variable
y = -x, se tiene y>a y
/■
dx /dyr~í— r/y - a 
- ln | -x + /x2 - a2 | + C 
1
= - ln |y + /y2 - a2 | + C
( por el caso (1 ))
ln
ln
-x + /x2 - a2 
x + /x2 - a2
+ C
+ C , (racionalizando)
ln | x + /x2 - a2 | + Cj , 3i x <-a ,
donde Ci » C - ln a
Resumiendo, en ambos casos se tiene
- = ln I x + /x2 - a2 I + C ./ -
Jx
/■Ejampio 4 Hallar I / x2 + a2 dx. 
Solución
Sea x = a tan t. Luego se tiene /x2 + e^ ~ ■ asee t,
dx « a sec2 t dt .
j / T T ? " dx=a2 J s e ^ t d t - a2 [ ■« £ ■ + ^ U e c ^ ± tan„d j
vver ej. 4, pág.51)
y reemplazando tan t y sec t
/x2 + a2 ln I x + /x2 + a2 I . „
2 2 + C ‘
62
3. PROBLEMAS RESUELTOS
3.1 Integración por partos
r
PROBLEMA 1 Integrando por partes calcular I *■ I arctanxdx.
INTEGRACION POR PARTES ... CAP.2
SOLUCION Sean u-are tan x y dv - dx, v = x. Se tiene
I « x arc tan x /xdx 1 / d (1 + x2 )1 ■ x arc tan x — r- I —1 +x2 2 J 1 + x21 2 ■ x are tan x - -y ln (1 + x ) + C.
PROBLEMA 2 Hallar 
SOLUCION
I - ^ x e‘x dx - x(-e-x) - j (-e-x)dx (tomando u=x,
dv = e"x dxd
- 2 Ü - + c.
i *PROBLEMA 3- Hallar I - I ln x dx .
SOLUCION
r
I « x lux - I • (tomando u=lnx y dv= dx, v=x)
x ln x - Inx+C - (x-l)ln x + C.
63
3 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 4 Calcular I - f (x2 + 2x + 3) eos 2x dx.
J
SOLUCION Tenemos
f
T . 2 l-> i sen 2x f (2x + 2)sen 2x ,I = 1.x + 2x + 3) jj I ¡y dx
(tomando u =x2+2x+3 y dv= eos 2x dx, v**-—!y—-Oí
Calculamos la última integral
J(x+ 1 )sen 2x dx - (x+1 ) (' cos2 2x) J <~cos2 2x> dx
(tomando u = x+1 y dv=sen2xdx, v — C° ^ 1)
. . (x+1 ? eos 2x + 1_ J cos 2x dx
(x+1 ) eos 2x . 1 „= - "-*■:.. + -7- sen 2x + c.2 4
(x2 + 2x + 3)sen 2x (x+l)cos 2x sen 2x . „
Luego I = ~ 2------ ~~ + 2 ' “ + ^
(2x2 + 4x + 5)sen 2x (x+l)coo 2x . „
------------------5-------------- + 2 + C<
PROBLEMA 5 Calcular 
SOLUCION
I = ^ l n (x + /l + x2 ) dx .
+ /l + x2 ) - J -I = x l n ( x + / l + x 2 ) - I — ■ '■1 dx
(tomando u= ]n(x+ / 1+x2 ) y dv= dx, entonces v»x,
/l+x2 . dx „du ---- ■--- dx - _ )
x + /l+ x2 /l+x2
Luego I « x ln (x + /l + x2 ) - /l + x2 + C .
64
INTEGRACION POR PARTES CAP. 2
PROBLEMA 6
Calcular I ■ I (x2 - 2x + 5)e-x dx.
/■
SOLUCION
+ 5)(-e x ) - j ( -e x )I - (x2 - 2x + 5)(-e x ) - j (-e x ) (2y - 2)dx
( tomando u = x2 -2x+5 y dv = edx, v =-e x )
Calculamos la segunda integral
J e x (2x - 2)dx = (2x-2) (-e x ) - ^ (-e x ) 2 dx
(tomando u = 2x-2 y dv=eXdx)
= - 2x e“x + C 
Luego I = -(x2 + 5)ex + C .
PROBLEMA 7 Encontrar I
J (x2 + a2 )
SOLUCION
- — * f - . .2 (x2 + a2) J 2 (x2 + a2)
2x dx
2 , x dx - 1= « , —
(x2 + a2) 2 (x + a )
(tomando u = x2 y dv =— —— —y
— ----- + j ln (x2 + a2 ) + C.
2 (x2 + a2 )
65
3 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 81 " ^Hallar I - / eax eos bx dx
SOLUCION
C_ e sen bx a I ax , ,
I = k ~ TT i 0 sen
(tomando u * eax y dv = sen bx dx , v ■
Pero
I ax , eax(-cos bx) a | ax ,le sen bx dx = ■■ 1 "■ - — le (- eos bx)dx
(tomando u= e335 y dv*senbxdx; v*=- 
eax eos bx + j
b b
ax , 2e sen bx . a ax . a .Luego I = k + -£5 e eos bx - -p* I
ax
de donde I = • ( b sen bx + a eos bx) + C.
i = J * x3 A +PROBLEMA 9 Hallar I = x3 /I + 2x2 dx .
SOLUCION Tomamos u = x2 y dv » x Á + 2x2 dx
v =-|- (1 + 2X2 ) ’72 .
, . ¿ s i * ¡ £ ¿ k_ L x4x
x2 (1+2x2)^ _ (l + 2x2)5/2
6 30
(3x2 - l)(l + 2¿ft
30 + C-
senbx N 
b ’
eos bx N 
b '
66
INTEGRACION POR PARTES CAP.2
x2 dx
PROBLEMA 10
Encontrar I / - (x eos x - sen x) 2
SOLUCION Observemos que
d (x eos x - sen x) = (cosx - x sen x - eos x )dx = -x senx dx
v v s 6n x
Luego tomando u ■ 1 , dv « dx ,
sen x íx cosx - senx) 2
* tenemosx eos x - sen x
1 “ í ,—5“ • 7— ~J senx (x co sen x dx os x - sen x) ^
 . ^(?en x - x eos x) dxsenx x eos x - sen x I T s ■ u ■"; (x cosx - senx) sen^x
x
" / ■ v - cot x + Csen x (x eos x - sen x)
/
iPROBLEMA 11 Hallar I = sen¿ x dx.
SOLUCION De sen2 x = —— ?x. tenemos
I = -y- ^ (x2 - x2 eos 2x)dx = y* ^ x2 eos 2x dx.
Calculamos la segunda integral
/o x2 sen 2x fx* eos 2x dx » -------- - I xX 2 sen 2x2X 2 sen 2x
2
X 2 sen 2x
x sen 2x dx
f- x eos 2x I eos 2x , 1 2 + J - T — dx J
2 2 4
sen 2x + ^
a x3sen 2x x eos 2x sen 2x . „ Luego I - -g------------------z--- + — g-- + C
x3 (2x2 - 1 ) sen 2x x eos 2x „
6 8 “ 4 • L ‘
67
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMP 12 Encontrar I = x ex sen x dx
SOLUCION
I = - x ex eos x + | (eA + x e* )cos x dx
(tomando u = x eX y dv = sen x dx; v
f
I / x . xi (e + x e
I
f- x e eos x + [ (e + x e ) sen x - I ( 2e + xe ) sen x dx ]
%/
(tomando u = e + x e , dv = eos x dx ),
f x
e (sen x + x sen x - x eos x) - 2 J e sen x dx - I
Luego I = yeX (sen x + x sen x - x eos x ) - | eX sen x dx ( 1
Ahora calculamos la segunda integral
/
dx
r x C
I e sen x dx = - e eos x + J e eos x
rx , f x I >= - e eos x + l e sen x - l e
fI X 1 xde donde I e sen x dx = j e (sen x - eos x) + C,
y sustituyendo en (1 ) resulta
I = y eX (x sen x - x eos x + eos x) + C.
PROBLEMA 13 dallar I - f f~i
r
I x + sen x 
J 1 + eos x
SOLUCION
„ X X2 sen-r- cos-r
I = | --------dx= 2 */ -
1 f 2 x a + f t Xx- J x s e c ¿ y - dx + I tan y
J . J .
X I X , , I X■ y - I tan y dx + I tan y
2 eos rr
dx
= x tan -£■ - | tan -íj-dx + | tan -ít-dx = x tan y- + C
-eos jó
)
68
INTEGRACION POR PARTES CAP. 2
■ b
PROBLEMA 14 Calcular I = !■* cos— dx .
SOLUCION
dxI = - c1 sen xsen x ) sen x
(tomando u = x y dx - ■-■os x v = - --—— )2 sen x
- x cosec x + ln cosec x - cot x + C.
muta 1 - cos x sen x xNUIh cosec x - cot x = — = r— — — — - tan -=* .sen x 1 + cos x 2
PROBLEMA 13 Encont rar 1 = I ln2 x dx .
SOLUCION Tenemos u = ln2x , dv = dx , v =
Se tiene 1= x ln2x - I 2 lnx. ¿ x dx = x In^ - 2 1 Inx dx
t>ero por el problema (3) I * x dx = (x - 1) lnx + C. 
Luego I = x ln2 x - 2 ( x - l ) l n x + C .
PROBLEMA 16 Calcular I = sen (Inx)dx.
SOLUCION
/ eos (ÍI xI = x sen (lnx) - I üüíÍ£Ji2. x dx (tomando u = sen (lnx), dv = dx )
y calculando la segunda integral
sen (ln x)xí fI cos(lnx)dx = x cos(lnx) + I ■ dx x
(tomando u = cos (lnx), dv = dx) 
Luego I = x sen (lnx) - x cos (lnx) - I ,
de donde X = I sen (h x) - cos (lnx)] + C .
69
3 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 17
Encontrar I = I x3 e*^ 3 dx
SOLUCION
I - x 3 (-3ÍX¿ ) - I (-3lx/3 ) (3x2)dx) - J (-3 Í5* )(
9 x2eX/^ dx
J ^ x ^ e ^ d x = x2 (-3eX^3) - ^ (-3e^3) (2x)dx = -3x2 eX^ + 6 xe*^ *d
(tomando u « x3 y dv « ex^ dx, v =-3e*^)
= - 3x3 ex^ + 9 I x2eX/^ dx
= -3x2eX/,3+ 6[x(-3eX/3 ) - ^ (~3e X/^ )dx]
= -3x2e x/3 - 18xe X/3 - 54 ex/3 + C .
Luego I = - 3e [x3 + 9x2 + 54x + 162] + C .
PROBLEMA 18 Hallar I = | -r-C Jgt dx ./
SOLUCION Hagamos el cambio de variable Jx = t, x = t2 y dx = 2t dx. 
Luego I = I -dJc. FP.- t. (2t dt) = 2 I arc cot t dtI = ^ j ¡ £ £ _ £ £ t _ t_ (2t dt) = 2^^rc cot 
= 2 [ t arc cot t - ^ ty) t dt]
(tomando u = arccot t, dv • dt)
= 2[tarccott+-^-ln(l + t2) ] + C
= 2 ’/ x arc cot /x +]n(l + x ) + C
70
INTEGRACION POR PARTES . .
r
Encontrar I « I sec5x dx.
PROBLEMA 19
SOLUCION
Tomamos u ■* sec3x y dv = sec2x dx, v = tanx
= sec3x tanx - 3 / tan2x sec3x dx
Y= sec3x tan x - 3 j (sec2x - l)sec3x dx
= sec3x tanx - 3 1 + 3 I sec3x dx ,/S<
y despejando I
I * y sec3x . tanx + y I sec3x dx.
Pero | sec 3x dx = y sec x . tan x + y ln ]sec x + tan x] + C
(ver e j . 4,
y por lo tanto
1 3I = y sec x . tan x.(2 sec2x + 3) + y ln | sec x + tan x | +
PROBLEMA 20 Calcular I = are senx dx.
SOLUCION
- íI = x are sen x - I — — —— — dx/ r ~
/ (tomando u (1 - x2)'/z d (1 -(tomando u = are sen x , dv ■= x aresenx + 4 I ( l - x 2) ,zd(l-x2)
x aresenx + (1 - x ) + C .
CAP.2
pág 51) 
C .
= dx )
71
3 PROBLEMAS RESUELTOS
/ ■PROBLEMA 21 Calcular I - / x are sen x dx .
SOLUCION Hagamos el cambio de variable t - are sen x. Luego
x = sen t, dx = eos t dx y
^ t sen t eos t dt ■ j ^ t sen 2t
<_£°?_2t) . J (_
dt
(tomando u ■ t, dv * sen 2t dt , v
t eos 2t , sen 2t , „
= % + — s — + C
t ^\ . sen t eos t , „= - 7- ( 1 - 2 sen^t) + + C4
(1 - 2x?) , x n----? . are sen x +^- /I - x* + C .
PROBLEMA 22 Calcular I = x sec2y dxI - J x
■ /
SOLUCION
I = x tan x - I tanx dx (tomando u x , dv« sec2x dx, v
= x tan x - ln sec x + C .
- dx.PROBLEMA 23 Hallar I 
SOLUCION Hagamos la sustitución t - /x, x-t2, dx=2t dt.
Luego I = 2 ^ te* dt = 2 [te*" - f e * dt]
= e(t- l)eC + C ” 2(«'x- l)e^* + C
tomando u- t, dv ■ ef dt ,
72
cot 2tN 
2 ’
* tan x )
INTEGRACION POR PARTES CAP. 2
PROBLEMA 24 Calcular I - I x2sen hx dx. 
SOLUCION
- /
(tomando u=x2, dv=senhx dx ,
= x2 eos hx - 2 [ x sen hx - J sen hx dx]
(tomando u • x , dv = eos hx dx, v 
« x2 eos hx - 2x sen hx + 2 eos hx + C
= (x2 + 2) eos hx - 2x sen hx + C .
PROBLEMA 23 Hallar I f 1 *~X■ I x ln -t— —J 1 + x dx
SOLUCION
I =/Tenemos x ln (1 - x)d
2
x ln (1 + x)dx
■ln (1
ln
" J
■' ~ í ^ } - I r
1 - x _1_ I x2 dx _1_ | x2 i 
l+x 2 J 1 -x 2 I 1 +
ln (l + x) - / * ■
dx
x
Pero/x2 dx f - ( 1 - X2) + 1 . C /. . , , / dx- r n r = J — — --------<** = - J a + x)dx + J —= - x — y -ln (1 - x) + Cj
/x2dx ¡ -(1 -x2) + 1 , I , , , . f dx— = J --- ^ - - J 0 -x)dx + J —= - x + -y + ln (1 + x) + C2 .
y por lo tanto, I = ln ■? ~ X - x + C . l+x
v = eos hx)
= sen hx)
dx 
l + x
73
3 PROBLEMAS RESUELTOS
■ h
t i a i. v, s en 
PROBLEMA 26 Hallar I = I — ■ dx .
■ X
SOLUCION Hagamos la sustitución t = are sen /x.
Luego sen t = /x, A - x = cos t , x = sen? t, dx = 2 sen t cos t d 
Se tiene entonces
/2t sen t cos t dt , I - 2 If- t cot t + I cos t
t sen t dt
= 2 [ - t cot t + J cos t dt] ■ - 2t cos t + 2 sen t + 
Finalmente, I = -2 are seníi . A - x + 2 >^x + C .
3.2 Integración por sustitución
T = í _xd2_
v /x + 1
PROBLEMA 1 Hallar 
SOLUCION Hagamos t = /x+l . Luego x = t2- 1 y dx=2t
dt
= t3- 2t + C
= -y (x+lV2 - 2(x+l)1/z+ C.
PROBLEMA 2 Calcula f dx.
J 1 + iA
SOLUCION Hagamos t = 1 + /x . Luego x = (t-1)^ y dx = 2 (
I = ^ ■-2 (iA ..11c]. 1í. = 2 / d t - 2/ - y - = 2t - 2 ln t + C 
= 2(1+ /x ) - 2 ln (1+ Aó + C
= 2 / ü - 2 1 n ( l + - d
dt
t- l)dt.
74
INTEGRACION POR PARTES CAP.2
PROBLEMA 3 Calcular 1 - í 008 x dx - haciendo t “ sen x.
J Si + setí x
SOLUCION Tenemos dt - eos x dx.
Luego /■
dt
/TTP'
- 3n 11 + /tz + 1 I + C 
= ln jsenx + Si + sen2x ( + C .
f e2X
J /ex + 1PROBLEMA 4 Hallar I = I dx .
SOLUCION Hagamos y « i/e51 + 1 .
Luego ex = y2 - 1, x * ln (y2 - 1), dx = -¿2-¡8X .
y2 - 1
Tenemos entonces
I = f 1)2 2y. dy = 2 f (y2 - 1 ) dy
J y (y2 - 1 ) J
= y3 - 2y + C = yy(y 2 - 3) + C
= ^ ex + 1'.(ex - 2) + C .
PROBLEMA 3 Calcular I
■ hj i +.
SOLUCION sea t = 1 + /x. Luego x = (t — 1)2 y dx = 2(t-l)dt. 
Entonces
-n.ll . 2(t - l)dt = 2 í (t2 - 3t + 4 - — ) dtA ■+ Lll . 2 (t - l)dt = 2 J
•|-t3 - 3t2 + 8t - 4 Iht + C
4- (1 + ¿ Ó 3 ~ 3(1 + S^ )2 + 8 (1 + - 4 ln ( 1 + Sü) + C
= -y1 S p - x + 4 Sx - 4 ln (1 + Sx) + Ci
75
3 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 6 Hallar
/■
dx
/ ( x -a ) (x -b )
SOLUCION Completando cuadrados
(x-a) (x-b) = x2 - (a+b)x + ab = (x - a^ f - (a^ )2 + ab
- (x - ( ^ ) 2 « t2 - A2 ,
donde t = x - y - y A => —y , dt = dx. Entonces
í '■ = ln 11 + / t 2 - A2 | + C
J /t2 - A2
]n | x - ^ + / (x-a) (x-b) | + C ,
PROBLENA 7 Calcular I = I / 25 - 9x2 dx
SOLUCION Hagamos 3x = 5 eos e, /25 - 9X2 - 5 sent
dx *= - sen t dt. Luego
25 f , . 25 í 1 - eos 2tI y I sen¿ t dt I ---- j--- dt
25 25 25 25-g- c + -y sen 2t + C g- t + -g- sen t eos t + C
■y are eos -y + 4j- / 2 5 - 9x2 + C .
/ are tan x 1 + x2PROBLEMA 8 Hallar la siguiente integral I ^ ---;— dx
SOLUCION Sea t = are tan x.
Luego x = tan t, 1 + x2 = sec2 t y dx “ sec2 t dt .
Se tiene entonces
/are tan x , I1 + x2 X = J f 1 7t dt = y + C » y(arc tan xr + C
76
INTEGRACION POR PARTES CAP.2
PROBLEMA 9 Hallar I - sec x dx.í
SOLUCION
I sec x(sec x + tan x)I » I ----- * . _ ...dxI sec x + tan x
Sea u » sec x + tan x . Luego du » sec x(tanx+ sec x)dx y por ln tanto
+ C ■ Ir. |sec x + tan x ] + C.
/ *
PROBLEMA 10 Hallar I - I sec5 x tan5 x dx.
SOLUCION
f
I * I sec4 x tari4 x sec x tan x dx
. j . , c-
Sea u ■ sec Luego du= sec x tanx dx y se tiene
J *u** (u2 - l)2 du = ^ (u8 - 2u6 + u1* )du = y - y'u7 + y + C
5 , sec1* x 2 ■) . 1 . . -sec x (--- -^- - y sec x + y ) + C.
PROBLEMA 11 Calcular I f dxJ x >A - ln2
SOLUCION Sea t = ln x . Luego dt = -y- y
/ -
, ln x . arc sen ( — —^ ) + C.
77
PROBLEMAS RESUELTOS
SOLUCION
PROBLEMA 12 Encontrar I » f “J a2 sen2 x + b2 eos2 x
/ sec2 x dx 1 + ( -^ tan x )2
Sea t ■ r- tan x. Luego dt ■ sec2 x dx y se tiene
D D
i f 7 dt _i_ f dt _i_
b2 J 1 +12 " abj 1 + t2 " ab arc n
1 el— r- arc tan ( -r* tan x ) + C.ab b
dx
PROBLEMA 13 Hallar I J [ i+[ l + / 1+X ]X/2 
SOLUCION Sea t = 1 + /ThT .
Luego x = (t-1)2 - 1 y dx = 2(t-l)dt.
Se tiene entonces
= *yt3/2 - 4t1/2 + C = ^ t ,z (t“3) 4 c
= ( 1 + / 1+x ) 2^ . ( / 1+x — 2 ) + C.
/PROBLEMA 14 Calcular I = dx .
SOLUCION Sea t = x , dt = 2xdx . Luego
• + /
dt ■ <*■ are sen t + C = 4-arc sen x2 + C
/ r ^ 2 T
INTEGRACION POR PARTES CAP. 2
PROBLEMA 13 Calcular I
SOLUCION
J tt dxeos 8x
/ 2 eoí ' - 4 -f,■ T /
sec 4x d(4x)
= — tan 4x + C.
PROBLEMA 1 6 Hallar dx
/ l+2x
SOLUCION Sea t = 3+/l+2x .
Luego 2x = (t-3)2 - 1 y dx = (t-3)dt. 
Se tiene entonces
- . H
= /l + 2x - 3 ln (3 + /I + 2x ) + C, .
/PROBLEMA 17 Hallar I = i x5/r + x3 dx.
SOLUCION Sea t = /l + x3 , x3 = t2 - 1 y 3x2 dx = 2t dt 
Luego
x3/l + x3 . x 'I = ^ x3/l + x3 . x “ dx
■ i j ( t2 - i ) t 2dt --§-J (t* - t2)dt
= — t 5 - — t 3 + c15 t 9 t + L
= (1 + x 3) S/2 - - j (1 + x3)3/z + C.
79
3 PROBLEMAS RESUELTOS
SOLUCION
I =
PROBLEMA
PROBLEMA
SOLUCION
PASO 1
PASO 2
I
PROBLEMA
SOLUCION
1 = 2
18 Calcular í _____ dxJ (a2 + x2)'
Sea x = a tan t, dx = a sec2 t dt. Luego
J_ f _ j Ll . = _ L f
a2 J sec t a2 J
seneos t dt = - + C
X + C .
a2
19 Calcular I | /x - 1 dx= J v X + \ x2 •
Hagamos t = —• . Entonces x = y dt = - . Luego
dt
Hagamos t = eos u. Entonces dt = - sen u du.
I A - t . I /I - eos u- I J ttt dt = I sen u duI v l + t J V 1 + eos u
r rI „ u u U J o í 2 U,
I tan ' sen ~2 ' cos ~2 ~ I Sen T
(1 - cos u) du = u - sen u + C = arc cos t - 1-12 +C
_1__ / x2 - 1
V x2
/
arc cos — - ./----;--- + C.
20 Calcular I = | — — —
. 72 .. %/ t . - X
Luego dx = 2t dt y
f —-------- = 2 Í ( l - t ^ + C- dt = 2 f t 2dt + 2J t 2 ( l - t 2) J t2 ( l - t 2) ^ J I"*
„ . _ i . „ 1 , I 1+t I . „ 2 . , | 1 + i^ c21 + 2 . ln -7— - + C = - ■ + ln-------
2 1 1_t 1 I 1 - /x
+ C .
80
INTEGRACION POR PARTES CAP.2
PROBLEMA 21 Hallar / dx•/ V T + i80LUCI0N sea t « •/ Vx* + 1 . Luego x ■ (t2 - 1) 
dx » 4(t2- l)t dt, y por tanto
2 y/4 I (t2 -l)dx - 4t + C = + 1)3/2 " + 1 )1/2 + c-
/ x dx[ 1 + x2 + (1 + x2)PROBLEMA 22 Encontrar I ----- --------- ----— ;-rJ [ 1 + x2 + (1 + x2) /2 1 Vz
SOLUCION
Sea t =* 1 + x2. Luego dt = 2x dx y
I i- f d<t ____2 J t * ( l + t*) V2
l/o
Haciendo ahora t =u y dt = 2 u du se tiene
1 I 2 u du I du^ J u(l + u) I/2 J (1 +u ) 1
2(l + t1/z)^2+ C = 2-/1 + Vi + xz + C
I * * T I - - - V - I U ^ = 2(l + u) '/2 + C
PROBLEMA 23 Calcular I = /dxVx(l - x)
SOLUCION
Completando cuadrados x(l -x) = x - x2 = -y - (x~4*)2
Hagamos t • x - "j- . Luego dt « dx y
I “ I ■ arc sen (.-y— ) + C
1 J T ^ 24
arc sen (2t) + C » arc sen (2x - 1) + C.
81
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 2 4 Aplicando sustitución trigonométrica encontrar las si­
guientes integrales
r (2> f
J / 1 - x* J
dx
x / x2 - 1
SOLUCION
Hagamos x = eos t , 1 - x2 « sen t y dx = -sentdt. Luego
/x2 dx | cos2t sen t dt _ j 2 1 dt - I *+ COS/r= ^ 2 J t cos -y 2t sen 2t . „ t sen t cos t . „- - y ; + C - - y r¿ + C
1 x A - xJ . „
= - yare cos x - .... ^ + c •
dt
(2) Caso 1. x > 1 . Hagamos x= sec t , /X2- 1 = tan t
dx* sec t tan t dt. Luego
f & -- = f . sec t tan t dt. _ d t m t +
J x / ^ T J sec C tan 1 J C
= are sec. x + C, cuando x > 1.
Caso 2 . x <“1 • Hagamos t = -x. Luego t> 1 y 
f dx I dt/ = are sec t +C (por él caso 1).x /x2 - 1 J t /t¿ - 1
= are sec (-x) + C , cuando x<-l.
82
INTEGRACION POR PARTES . CAP.2
4 P r o b l M M PropuMtoi
/PROBLEMA 1 Calcular x sen x eos x dx.
Rpt*. -*F ° 8 2x. + _2£2i* + c.
PROBLEMA 2 Hallar J 3xcos x dx.
Rpt*. 3. .(sen. x + ln 3. eos x ) + 
1 + (ln 3)2
PROBLEMA 3 Hallar
/ 3 + x
Sug*r*nci* Hágase t - y j
. A arc tan ~ ^ (3+x) (1-x) +C.Rpt*
PROBLEMA 4 Integrando por sustitución calcular
/■x2 (x+3)n dx.
Sug*r*ncia Hágase t = x+3, x = t-3 y dx = dt.
Rnt. Í2S+311- 6(x+3) 13 3(x+3) 12Rpt*. - 13 + 4 + C
83
4 PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA S
PROBLEMA 6
Sugarancia
/Calcular | dx.V cos x
Rpta. 2 — (cos2 x _ 5)+ c.
„ , í V/xí+ 1 .Calcular I — — dx.J *
Considérese x = tan t,
dx = sec2 t dt.
rrrr ^ I Vx^TTRpta. -/x2 + 1 + ln
84
C A P
1 SUMAS
1.1 Definición Designamos la suma de los números reales
Xj , . . . , x , empleando la notación
n
2 xi = x > +
+ Xn
i*l
EJEMPLOS
5
(1) ^ i2 = l 3 + 23 + 33 + 43 + 53
i=l
j- 1
87
1 DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
(3)
(4)
^ eos ( -y- ) = cos(^ ) + cos(^-) + eos ( -y)
e- 1 
n
^ (-1) 1 = - 1 + 1 + ... + (-l)n
i - 1
En general, la suma indicada desde el término x hasta 
término xq , m < n , se designa con
II
2 * .
X + X , , + ... + Xm irrt-1 n
Ejampios
9
(1) 2 i = 5 + 6 + 7+8+9 ( = 35)
i = 5
1
(2) ^ (5k_3) = t5(_2) " 3)1 + I 5(-1 )-3] + [5(0) — 3]
k = -2 ( = - 22 )
100
(3) ^ j2 i= (51)2 +(52)2 + ... + (99)2 + (lOO)2 .
j =51 ( = 295,425 )
1.2 Propladadas ds las Sumas
Tsorsma Se cumple
(1 ) ^ c = cri , donde c es una constante.
t • * . ■
1 = 1 i - 1
n n n
2 (xi ±yi ) - 2 xi 1 2 yi •
( 2 )
(3)
= 1 i - 1 i=l
el
t- [5 (1) — 3]
88
LA INTEGRAL DEFINIDA CAP. 3
(4) Propiedad telescópica
( S )
Prueba de (4)
n
n
2 <xí + i - xi > “ xn+l “ X1
i » 1
n m n
2 2 * . - 2 *
i * 1 i- 1 i = m+1
si m < n.
2 ^ l + r V = (x2 - xl)+(x3-x2>+(x4-x3)+"-+(xn+i-xn) 
i=l
= -Xl + (X2 - X 2 ) + (X3 -X3 ) + . . . + (xn -xn)+xn+1
1.3 Algunas Sumas
(1.3.1)
(1.3.3)
n (n+1 )
i= 1 
n
(1.3.2) ^ i2 - - ^ - ■ ^ (2n+1^
1 — 1
(1.3.3) 2 i3 = -E¿í|±12l
i* 1 
n
2 iP = 7 ? r nP+1 + V p + V i nP-1+" - + Ain+ Ao ’(1.3.4)
i= 0
donde p es un número entero no negativo y Ac, Aj,...,A ,
son constantes. 
n
sen ix
i= 1 2 sen
L T “ , [ C08f ->n — L eos (n + ^ *)x
89
1.4 PROBLEMAS RESUELTOS
n
PROBLEMA 1 Probar que 2 1 "
i- 1
n
SOLUCION Sea S - i. Tenemos
i- 1
S » 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
S m n + (n—1) + (n-2) + . .. + 2 + 1
y sumando miembro a miembro
2S «* (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1)
1 .4 Problema* Resuelto*
n sumandos
2S - n (n+1) n
Luego S ■ ^ | i
i- 1
n(n+l)
PROBLEMA 2 Probar que ^ i! - nCn+l^n+l),
i- 1
n
SOLUCION sea S - ^ i2.
i- 1
Para i “ 1, 2, ..., n, tenemos
(i+1)3 - i3 - 3i2 + 3i + 1, 
y sumando miembro a miembro
n
1
i = 1 " i- 1 i - 1 i - 1
2 [ « « ) ■ - 1>] - s ¿ i , + 3 2 * * 2
(n+1)3 - 1 - 3S + 3 + n
(el primer miembro por la propiedad telescópica de la 
n
i « üí¡jj£l2. > por el problema 1 ).
Despejando S
S * -g- ^2 (n+1 )3 - 3n(n+l) - 2(n+l)"j - .^2 (n+1)2 -
. "+L (2n2 +n) . n(n+lM2n+,l)„ _
8 urna;
3n - 2
90
LA INTEGRAL DEFINIDA CAP.4
PROBLEMA 3
Por inducción sobre p probar que se cumple 
n
2 iP “ “ r f r nP+1 + V P + ••• + V + ^ •
i ” 1
en donde A„ , ... , A son constantes, u p
SOLUCION n
Sea Sp “ ^ ip . Debemos probar que es un polinomio en
i * 1
n cuyo término de mayor grado es p^ i" n^^
Sumando miembro a miembro las identidades
(i+l)P+1 - i1* 1 “ (p+1) iP + iP *+...+ (p+l)i + 1
C i - 1 , 2 n )
y aplicando la propiedad telescópica a la suma del primer miembro se ob­
tiene
(n+1) 1* 1 - 1 - (p+l)Sp Sp_ 1 + ...+ (p+l)S1 + SQ (1)
Si p « 0 tenemos (n+1) - 1 ■ Sq , de donde Sq ■ n y se cumple
la fórmula indicada.
Supongamos ahora que Sq , ... , Sp_j son polinomios en n de gr¿
do < p . Entonces Q *= ^^ Sp ^ + ... + (p+l)S^ + Sq tiene
grado < p y (1 ) se expresa así:
(n+l)p"*^ - 1 = (p+l)9p + Q (2)
Por otro lado tenemos que
(n+1 ) 1^ 1 - 1 = n1*** •+■ (p+^ i>p np + " ' + (p+i)n o nP+1 + r , (3)
en donde R es un polinomio de grado p .
Reemplazando (3) en (2) y despejando Sp resulta
SP “ I T T nP+1 + ~ £ r (R-^ “ “F T nP+1 + T * 8iend0 T un polí-
ndtaio de grado < p.
Así, para Sp también se cumple la formula y concluye la prueba.
1.4 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 4
Probar que ^ ' sen ix - • I" eos 4p - cos(n + ^ * )x l .
i - 1 2 sen y L J
SOLUCION
Usamos la identidad sen a. sen b « y jcos(a-b) - coe(a+b)J con a-ix,
b = y , y obtenemos para i " 1 , 2, n.2 
sen ix . sen -j « -j-£co8(i-y)x - eos (i+-j-)x j - ~'7‘ y^i+l “ yi^ * don<*e
y^ = eos (i - *^) x.
Sumando miembro a miembro resulta
n n
2 sen ix • senT ■ * T ^ (yi+i - yi> 
i= 1 i- 1
» - -J*(yn+1 - Yj ) (propiedad telescópica)
■ r|,£cosrp- cos(n+-j) xj , y por lo tanto
feos - eos (n + -j- ) x2 sen
100
PROBLEMA 3 Hallar V (2i + 5).
SOLUCION
n n
Tenemos ^ (2i + 5) = 2 2 * + 5 2 1 ” 2 -£Í|±Ü + 5n
i = 1 i =* 1 i - 1
« n(n+6).
Luego, para n- 100 se obtiene 100(100+6) - 10,600.
92
LA INTEGRAL DEFINIDA CAP.3
PROBLEMA 6
Hallar lim
i*. ^ 2 *•1 - 1
Tenemos lim T^* i ■ lim — ¡r 1 ” lim " ■ k ™
n-*« L j n -+■ oo ni, J n ->■ °°
SOLUCION
1 + —
i- 1
n
— y ip -p+l Z jPROBLEMA 7 Hallar lim _P+i __
i- 1
SOLUCION
• 2 * ■ 7 7 T n P + 1 + APnPPor el problema 3, y ^ i ■ TTIT* n + + ... + A
i- 1
y por tanto,
lim
n ->■ “ nr ' * — ' n -*■«
i» 1
PROBLEMA 8 Calcular
n
^ i3 usando el método de los coeficientes indeterminados, 
i- 0
SOLUCION Por el problema 3,
n
^| i3 - -^n1* + An3 + Bn2 + Cn +D. 
i- 0
Dando valores n » 0, 1, 2 y 3, se obtienen las ecuaciones
0 - D , l - - ^ - + A + B + C + D ,
1 C O]
9 " X + 8A+ 4B + 2C + D» 36 “ T* + 27A + 9B + 3C + D.
de donde D« 0 y resolviendo las ecuaciones restantes
A + B + C - — , 4 A + 2 B + C « - ^ - , 9 A + 3 B + C = “ - ,
1 1 se obtiene A ■ y , B ” y y C - 0 .
\ ' .a n1* . n3 . n2 n2 , o . „ . n2(n+ l) 2
Luego y 1 ’ T T “ “ — <n + 2n + D 4--- •
i -"o 93
2.1 SUMAS DE INTEGRAL
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO UN LIMITE D E SUMAS
2.1 Suma* d« Intagral 
Da-f i n i c i órv
Sea f(x) una función definida en un intervalo cerrado [a,b] . 
Una aoaa integral (o suaa de Klenaan) de f(x) en [ a,b], es una 
8urna de la forma
donde (1 )
(2 ) Ax.i
x0 < Xi <
X.1 H-l
(3 ) C. es un número tal que x. , < E. < x. ( i « 1,i H i- l i i * ,n) >
Ejaaplo Sean f(x) - - (x-2) + 4
a - 1 , 
Xo » 1 ,
5,-2,
5 ,
2 , x,
2.5, e.
A . 
5 .
x, - 5 ,
Calcular la suma integral S de f(x) asociada a estos datos e inter­
pretar geométricamente la suma S.
Solución
94
X
LA INTEGRAL DEFINIDA CAP.3
Tenemos
i *i h Axí - Xi-Xi^ f(C¿) f « ±) Ax¿
0 1
1 2 2 1 4 4
2 4 2.5 2 3.75 7.50
3 5 5 1 -5 -5
Luego S - > f(5-)Ax.= 4 +7.50 - 5 = 6.50 .
£-J 1 1
i- 1
Interpretación geométrica de la suma 8
En la figura f(£j)Axj = 4 = Area del rectángulo R¡
f(£2)Ax2 = ^ -5 “ Area del rectángulo R2
f(£3)Ax3 = -5 = - Area del rectángulo R3
Por lo tanto, S = Area Rj + Area R2 - Area R3 ,
y geométricamente, S es igual al área algebraica de la región compuesta
por Rj Rj y Rs, si se conviene en asignar el signo + o el signo -
al área de un rectángulo según éste se encuentre arriba o abajo del eje
X, respectivamente.
Interpretación geométrica de la suma de integral
La interpretación de la suma de integral que hemos dado en el ejem­
plo precedente admite una generalización inmediata cuando se trata de una 
función cualquiera. En efecto, consideremos la suma de integral.
n
s - 2 f(?i)Axi ' 
i=l
Sea R. el rectángulo determinado por f(£.) y de baso el inter­
valo [x. , , x.] . Entonces el área de R. es í-l i i
A _ f f(5i} Axi Si
Í Axi si
f(q) > o 
f(C,) < o ,
n n
y por lo tanto, S = ^ | f ( ) Ax.. = ^ | (í A^ ) , 
i=l i=l
donde para cada i se debe elegir el signo + o el signo - según que 
R^ se encuentre arriba o por debajo del eje X, respectivamente.
Así, geométricamente S es el área algebraica de la región compues­
ta por los reetámgslos R^,
2.2 LA INTEGRAL DEFINIDA
2 .2 La Intagral Definida
2.2.1 Exintancla y Definición da la Integral Definida para 
Funciona» Continuas
Teoreaa: Existencia
Sea f(x) una función continua