TEOREMA DE GREEN- EJERCICIOS RESUELTOS

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UNIVERSIDAD PERUANA 
LOS ANDES 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV 2 
EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de Green 
Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea 
∫ 𝑦3 𝑑𝑥 + (𝑥3 + 3𝑥𝑦2) 𝑑𝑦
𝐶
 
donde 𝐶 es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de 
𝑦 = 𝑥3 y desde (1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de 𝑦 = 𝑥, como se 
muestra en la figura 2. 
Solución 
Como 𝑀 = 𝑦3 y 𝑁 = 𝑥3 + 3𝑥𝑦2, se sigue que 
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
= 3𝑥2 + 3𝑦2 𝑦 
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
= 3𝑦2 
Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces 
∫ 𝑦3 𝑑𝑥 + (𝑥3 + 3𝑥𝑦2) 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ (
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
) 𝑑𝐴
𝑅
 
= ∫ ∫ [(3𝑥2 + 3𝑦2) − 3𝑦2]
𝑥
𝑥3
1
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
= ∫ ∫ 3𝑥2
𝑥
𝑥3
1
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
= ∫ 3𝑥2𝑦]𝑥3
𝑥
1
0
 𝑑𝑥 
= ∫ (3𝑥3 − 3𝑥5)
1
0
 𝑑𝑥 
= [
 3𝑥4 
4
−
 𝑥6 
2
]
0
1
 
=
 1 
4
 
Figura 2: 𝐶es simple y cerrada, y la región 𝑅 siempre se encuentra a la izquierda de 𝐶. 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV 3 
EJEMPLO 2 Aplicación del teorema de Green para calcular trabajo 
Estando sometida a la fuerza 
𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦3𝒊 + (𝑥3 + 3𝑥𝑦2)𝒋 
una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 mostrado en la figura 3. 
Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por 𝑭. Solución 
Por el ejemplo 1, se sabe, de acuerdo con el teorema de Green, que 
∫ 𝑦3 𝑑𝑥 + (𝑥3 + 3𝑥𝑦2) 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ 3𝑥2 𝑑𝐴
𝑅
 
En coordenadas polares, usando 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 y 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃, el trabajo 
realizado es 
𝑊 = ∬ 3𝑥2 𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 3(𝑟 cos 𝜃)2
3
0
2𝜋
0
 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
= 3 ∫ ∫ 𝑟3 cos2 𝜃
3
0
2𝜋
0
 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
= 3 ∫
 𝑟4 
 4 
cos2 𝜃]
0
32𝜋
0
𝑑𝜃 
= 3 ∫
 81 
 4 
cos2 𝜃
2𝜋
0
𝑑𝜃 
=
 243 
 8 
∫ (1 + cos 2𝜃)
2𝜋
0
𝑑𝜃 
=
 243 
 8 
[𝜃 +
 sen 2𝜃 
2
]
0
2𝜋
 
=
 243𝜋 
 8 
 
Figura 3 
Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos 
vectoriales conservativos (campos en los que (
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
=
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
), el valor de la 
integral de línea es 0. Éste es fácil de ver a partir de lo establecido en el teorema 
de Green: 
∫ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ (
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
) 𝑑𝐴
𝑅
= 0 
 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV 4 
EJEMPLO 3 Teorema de Green y campos vectoriales conservativos 
Evaluar la integral de línea 
∫ 𝑦3 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
 
donde 𝐶 es la trayectoria mostrada en la figura 4. 
Solución 
A partir de esta integral de línea, 𝑀 = 𝑦3 y 𝑁 = 3𝑥𝑦2. Así que, 
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
= 3𝑦2 
y 
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
= 3𝑦2. Esto implica que el campo vectorial 𝑭 = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 es 
conservativo, y como 𝐶 es cerrada, se concluye que 
∫ 𝑦3 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
= 0 
 
 
Figura 4 
EJEMPLO 4 Aplicación del teorema de Green para una curva suave a trozos 
(o por partes) 
Evaluar 
∫ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑥 + (𝑒𝑦 − 𝑥2) 𝑑𝑦
𝐶
 
donde 𝐶 es la trayectoria que encierra la región anular mostrada en la figura 5. 
Solución 
En coordenadas polares, 𝑅 está dada por 1 ≤ 𝑟 ≤ 3 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Y, 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV 5 
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
= −2𝑥 − 2𝑦 = −2(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
Así, por el teorema de Green, 
∫ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑥 + (𝑒𝑦 − 𝑥2) 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ −2(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
 
= ∫ ∫ −2𝑟(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 
3
1
𝑑𝜃
𝜋
0
 
= ∫ −2(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
 𝑟3 
 3 
 
𝜋
0
]
1
3
𝑑𝜃 
= ∫ (−
 52 
3
) (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
𝜋
0
𝑑𝜃 
= (−
 52 
3
) (𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃)]
0
𝜋
 
= −
 104 
3
 
Figura 5: 𝐶 es suave a trozos 
En los ejemplos 1, 2 y 4, el teorema de Green se utilizó para evaluar 
integrales de línea como integrales dobles. También se puede utilizar el teorema 
para evaluar integrales dobles como integrales de línea. Una aplicación útil se da 
cuando 
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
= 1. 
∫ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ (
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
) 𝑑𝐴
𝑅
 
∫ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ 1 𝑑𝐴
𝑅
 
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
= 1 
∫ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦
𝐶
= Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑅 
Entre las muchas opciones para 𝑀 y 𝑁 que satisfacen la condición establecida, la 
opción de 𝑀 = −
𝑦
 2 
 y 𝑁 =
𝑥
 2 
 da la siguiente integral de línea para el área de la 
región 𝑅. 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV 6 
EJEMPLO 5 Hallar el área mediante una integral de línea 
Usar una integral de línea para hallar el área de la elipse 
 𝑥2 
 𝑎2 
+
 𝑦2 
 𝑏2 
= 1 
Solución 
Utilizando la figura 6, a la trayectoria elíptica se le puede inducir una 
orientación en sentido contrario a las manecillas del reloj haciendo 
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 y 𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
Por tanto, el área es 
𝐴 =
1
 2 
∫ 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥
𝐶
=
1
 2 
∫ [(𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑡)(𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑡 )𝑑𝑡 − (𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡)(−𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑑𝑡]
2𝜋
0
 
𝐴 =
 𝑎𝑏 
 2 
∫ (𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡)𝑑𝑡
2𝜋
0
 
𝐴 =
 𝑎𝑏 
 2 
𝑡]
0
2𝜋
 
𝐴 = 𝜋 𝑎𝑏 
 
 
Figura 6 
El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no 
son simplemente conexas. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente. 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV 7 
EJEMPLO 6 El teorema de Green extendido a una región con un orificio 
Sea 𝑅 la región interior a la elipse 
 𝑥2 
 9 
+
 𝑦2 
 4 
= 1 
y exterior al círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
Evaluar la integral de línea 
∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑦
𝐶
 
donde 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 es la frontera de 𝑅, como se muestra en la figura 7. 
Solución 
Para empezar, se pueden introducir los segmentos de recta 𝐶3 y 𝐶4 como se 
muestra en la figura 7. Nótese que como las curvas 𝐶3 y 𝐶4 tienen 
orientaciones opuestas, las integrales de línea sobre ellas se cancelan entre 
sí. Además, se puede aplicar el teorema de Green a la región 𝑅 utilizando la 
frontera 𝐶1 + 𝐶4 + 𝐶2 + 𝐶3 para obtener 
∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ (
 𝜕𝑁 
 𝜕𝑥 
−
 𝜕𝑀 
 𝜕𝑦 
) 𝑑𝐴
𝑅
 
= ∬(2𝑥 + 2 − 2𝑥) 𝑑𝐴
𝑅
 
= 2 ∬ 𝑑𝐴
𝑅
 
= 2(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅) 
= 2(𝜋𝑎𝑏 − 𝜋𝑟2) 
= 2[𝜋(3)(2) − 𝜋(1)2] 
= 10𝜋 
Figura 7