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FAcI.¡LTAD DE sñJsEpitÉEís n"d¡eÁf,JleA
§apÁE?AtuiEl¡Tü É"CADGmrleo BE cl¡iuctÉ.s eÁsleas, HU+iiÁ¡\t§oAEf;s Y euRso§ co$rtPLEtuaÉr3?ARios
T"ERCERA PRAETAEA CALE FBEAÜA
eÁLeL,tG D1 F ERE0..I eB.qü" ( áM 81,4.63
p.A. 2{ii"7 - il
Fectia: 11-13.-2017
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S!¡\J ELEfl*Ei\3TOS DE COi'.1SLIt-f,É- {LIBF.O, CUADERhIÜ, APL}T.J {'ES, CELUI.A,R, CALTiJtASOfr.q, FTC}
ESCR1BIB CO}I LAP¡CERO AZI"iL CI ilIEGRO
sE esN§IDERARÁ Fd,qYCIR PUiliTAJE AL GRDE¡\.¡ Y tA SECU§§'"JüIA ET.I EL DESARRCILLü EEt PROStEñ-Ii.q
Dr.J RACIÓfl{ : 3.1CI mi i{ {JT05
1) Gra'fique §a siguie rrte fu¡-'re!én, ir¡elíeando sLts asíintCItas, máxlr"n s y
rnín!m:os reHativos, imtervaios de eneeir¡:iento y decreeirfilemto,
intervalos de cr:¡'¡eavldad, y ios puntos de inflexiér::
{6'pu,rrtos}
t":?f,Hl'ü"tfr*
tn'iCÁr'trcs uFlt
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Hal{ar !a pen,ollente de! ángulo que'forrna ia euerde aii..¡e p*sa por el {5 pu;:tc;;i
fceo de la paráb'*nu y' = 4?ie eon¡ e! eje de ésta, É?era que ia §ongltuel
ele la c¡..rerda sea 3 \reecs el lado n*eto
El vértiee de ña paráh:ola F es {:3,1i, su direetriz es paraletra a §e s'eeta {5 grui":tr;s}
t:r -F l,v * 6:0 yumodel sextrerr'¡osdes¡-¡§aeloneetoes{8,-l-}." *J
a) La eeuae¡én veetorla! de'F
b) !=as eoordenadas del foeo y eiel puritCI elc interseee¡ón deE c,ie feeal
eor¡ !a drreetriz cie P
e) Las ecuaelorres veetorial y eartesia¡^ra dei eje foeai y de la dñreetrcz
§tg !
di Las eoonder:adas de! otro extrerno de! tado reeto
Los puntosA= i6CI, 1"3) y E= (-4,6X) perteneecri a una panábotraPy {4pi:;,i:c*;}
sCIr¡ simétrleos respee'to a! eie focal. Desde a.ln pumtCI Q, que se
eneurentna scbr"e el eje foeal co¡r abseisa -20, se traza una reeta
tangente a P quc pasa por B. Flallar:
a) La eeuaeión vecto¡"iai de F Fü"¡'(ieopk{DoR,
b) Las eec.lae§o.nes de 8as reetñs tangentes trazadas desde Q nL?,.i?i,*',1Í,,
11 I
F C] OCOPIÉ1DOP*A.
ELViRA& LIZ
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FÁ"CU I-TAD DT ITJG EN¡IERIA MECA}iiCA.
A f.j?,-ü} 2ú1;r-Á F*ii{§Tl§&§-4-L!tl!é*rl'j+l§("is '{u¿r:tts L"{L@
{lercicia 1.- {ZP)
,,trl oén¡.e del ángulü n€dro de u¡l trlángulo reetár¡gulo es el e;rt;"e¡'no L del !a'da recio LR de la parábola
/ 
*, 
-.. -, -^^.,,"^r- ,,i.¿¿i¡¡,.1.,1 +r!4nqrrin oc nl r¡Árrira *-{s l: nprál-rnla iC¡¡ál es e{ t*rcen \¿értiee de! triánguio yy,z=gx" El segurndo vé¡tíce de! triánguio es e! véntice de la parábcla. lC¡.¡ál es el tÉi"c'ür' vértiee de! triánguio y
euánt* ryaie !a hlpetenusa si se sa!:e Ciu.e esta se encúielntna sobi"e el e¡e!z?
Ejei'cicio Z.-{2P}
ri agua qr-!e fiuyÉ de u¡¡ gi:ifc heriz*ntan qua esiá a 25 rn dei piso deseru'ce ui*$a e urua parabólica eon vérlllce
en ef grii:o. Sí a 2S ¡n del pisr:, etr fir-ljo riei agiia ss l';a al.*jedo LÜ rii de Ia reeta ','ertieat qüe 
pÉ-<a per eí grifo'
áa giué eiísiancía de esta reeta verlíean t--cai"e eX agua al s¡-¡elo?
ffercicia 3.-(2Pi
nal,,ar tcdos los puntos cte la parábsla y2=,?.px'cales qire eí pre cle la perpe¡i,eiieular trezada defl 
punto a la
directriz, el foeo y ei punie c^nismo s:an r¡értiees de u¡'¡ tr!ángillc equliiátero?
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- J^ 1ylFiclt\ü b.-t¿pi
leala p",rábc{a Y2= 4;i + 5" Flaiiai Ia ec':acién d* la ¡"ecte qlre rpasa grcr el purilll {1",-3i cie la paráneia 
y Eij;
no;^r¡i¡r* ele tanger-"'t* eie la pal"ábcla eri el putrione corta a esla en nlngún p,:nto' {Dicha ¡'eeta recrbe ei
U=UUi :"
Ej-=r;ieio l.-Upj )uo
sealaeircunferenciadefirridapo;"t:(x-3i2+(v-E}'="0"yianeciacefinidaporLl:){-y=1Ü'Ee'r'erimineia
ecuación de [a e,-¡rva que contienen a ios cent¡'os de todas las cireu¡rferencias quÉ no e"ociean a C 
y que son
tai:gentes a la Cilei.¡¡lfe¡'encia C y tange:^ote a ia re;ta Lr'
L,jeic¡cio E.- i/pl
tr-laliar la: asíntc.r:s, lnte;'rraics de creei;-nien'io y ciecnseimlanio,'ext¡'e;:nos relativos, intervalos cle
ecne avidacl ii pu*tos de inflexlón.
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) ¿¿ lw ÉA +t - X'-¿'{5a
c. J \L) - 'l I*_z
izx i:-:' sÍ x €< *cc'*x
f ---rjx+t '
b. f {x} - tnlx + 2l',' *
Esboza¡- eSgrafica de la fr.lneiÓn.
r Fl -v ? -L.., \/-u'\Lt;vv/
FOiOCOPi'qÜÜ¡:r-A
ELVIRA 8. Li¿
i,tECAiiICA U¡]I
máxinic cie u¡^¡ cilindrc re.¿ie de bese ei¡'cular qL¡e se pueda csloca¡'etreirtro de una
LJn sec'lor de ángulo eentra! 0 esta recor'eado de ur¡ eireulo cle radlo B, ai eniroliarse efl seeto¡ se 8enÉra 
Llna
LJeICICI'-: Y.-[¿p]
Dete¡'¡'nine el volu¡-nen
esfera de radío R.
Eje:'cicio 1CI.-{2p}
superficíe cónica.
i Cr-ral del:e sel" ei ángule 0 para que eír,,clt¡¡':'len del conc obte¡iído sea el 
rrsa)/o¡"paslble?
F0TOCOPlAbat'ip.
ELVIRA 3' LI¿
f,¡ÉcA¡llcA u¡!1
El Frofeser
sobre Í;s recias: .-\4\r, ,!.r
,"9i3-!,¡;ü,,
t rÉ'C¡'" 
"
+y*-?.=ú
y,;;*i. 
nrr¿ü"1. i,i2= ){* i y i: re cta v =il1xa--?. ¿i¡r q*é p;nie d:: !a pai'ál:cla, la ciisten;ia = la r";;la e'/ 
rnínii-,r.a?
UNIVER.SÍ üAB FJÉ+Ci Ür'§"eX- DE fl ruG Eh: 3 ERíA
FACULTAIJ BE trN GEft'BNig T¡MCÁ¡'¡AC,q
PE PARTI§BIE NT"G AC.A-ET,¡TMC O B f,, C {E HC H^E.S gÁS gCE S,
ffi tB'gÉ,&@,{BESYC'UH.§ASC$Bi{§l,E}¿ffi ñITAEJOS
P.,\:20'1S-1
íECIL&: A2lA6116
l-os profeseres d,el tursc
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fu4tsagÉaE=*:- Driraión: I hsra 5ü rninutcs.
- §in clernentos e{e eor¡sr.¡lta ni eale*ia'dera
- Frohíbíeio el uso de eeluia'r'es y otrr:s mcelios de eslni.¡nieaeíé:'i e.{urante la pi'lleba"
- Las respuestas debcn ser e.or¿eisas y eon }ctra legli;ie, cs*nili¡r'eon ietpieeno azari e; rte.gi"CI'
1) Etejetoeatdeunaparábotaes L¡:(+;+) +{tZ;Z}lI *il } t5pirnios}
ta reeta dire$triz pasa pür el punte {2',2'¡ lLril c}Í:!'srno dei lado re t§ es {a;:¡l.nctcnni;:e:
a) ta eeulaeíén vc€f*iialele la paráberla b) l-a eeuaei*n eie fa regta ta;lgente l-t en les
cxirer*ss del la.Jo F€rzrrlu it' c)l-a ceuieeián de [-t e¡i cl sistcma Xol.
.l-.1 - -:: ^ ^;^r ^r.. \JV - ^ i-.i"ie¡;..r!Á^ ¿{-rl r¡e.¡Z) tr¡ slsierna ;q r se ob,iiene 5;cr la nclceién alei eje XY en ia elireeeié:t eiel ';eelor {E;6)en senti¿i*
a¡:tihorado. Ei sjsier,l¿¡ ),"Yrl es el slste¡na },.IY'r r¡ue ha q¡ira,5e X6" er¡ sentldo aniihs¡"á¡io.
--'*".j^-r^-.j-reluatié;liielarer:ii4yj-3¡r-2-3 e.l el slg,l.:ñla)(','¡'e:reisis<e;'riaK'")'/'.¿ lsl¡elu. l{leÍj iÉ¡ §.71r{l3.,irrll rJq ra rÚL':q TJ "'U, * - -' r - -- - 
{ r,pUi"fi_fS)
3) Una ciÍpse E tiene uR siárlies: Vr{?;S),elioee dei etr,: vártiee en Fz ={1;3} y ttna ei+ sut'-;
-ii¡":- *iri,:.¡É :^. ¡l ilci {r-§$:i.i-i-*!1+ í." ecu:i;;i.in vg;iCI¡i¡rl r'le la '*lif:s-=, ijg ie'tile rjirerjriz-L,¡2, el i;c¿'Ull !,V.¡ rv*ú ir*b-§
F,, y elrrén:c: Vr. É;,¿) i n: Pur'ios)
¿i) fj¡-afi"que ia siguienie fur¡eié¡r, lndlcancj* sus asint*'tes, rnÉD{lí-ños y tt:ii":irnes rel*tivr:.i, int+rvalc:s
erecirnier¡to lcieereeir¡iento e lnter';ele,c ,*Jc eone-avi¡jades. ( § i:umos)
(*,
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prii**ero en el punto €i"i qse el primero hahía estads a ia§ B,ÜÜ a.rn. Fieill*ss
t{r?lo es-iá r¡as-is;"}.do la el;stan'*ia *nii'e los }:alcos e las iÜ.üÜ el.rn'
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I¡ara las siguientcs ¡"r;nciene* r'EÉiie=c §i"i GFÁFiCif.
Fara eiie rie-i*rminc:
' L,ls extrcrüüs r*lai,ii¡cs y los inierv*l,:s de üÍ'eúiti11*l'lio y d'ee;i*eirni+ntc¡.
+ n--os puntüs cle in:-5exién y la esril:avidad.
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eiiámetro iguai a la ba:se del reciángr-13c. La parciÓn reeiá¡l$Uiár ha d* ser de
erislai tran*parente y {a Ba¡'i* elreular h* de ser de crisiales eic er:lo¡"Que adnliicri
sélo la miiaei d,e h"re pei"n:ete'o cuficl¡^a:do e¡ue el ci'i§ial transparent*'
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PRA-BLEHA:Á.- {¡} Ptos.}
Los extresi'],os A y I Ce rir:a eseelc¡*a se cncLieRtr"an res;oee.tivarnentc sobre ur¡¿i
pared ír¡s[inada y sohre un pisCI ho¡-izo¡rta], esnfolrtrle se ml¡"lestra eg-r la frgulna. Sí
cfieha esmiera rir¡ede 2r&9 n:ctros y ei extrerno B se acerú€ ai Bunts *, a razan
de '16 eer:tíi'net¡"os psr segundm. ¿A quré u¿elmeidad sut'CIc e! extre¡me él auar¡de
éste dista 6 r¡retros del Punto 0?
g_BaELEt,iae"=
Rea{iee cl gráfieo ctre ias síguientcs funeior¡es:
€!]
g'¡ ! y - {L+ eosx)sercx {.}lx <2s
{4 pt*s.}
{4 ptos"}
Faq a ello detersni¡'¡e:
* [-os extremos relativos y §os intervaÍos de erecin¡i,csrto y decrer:lrnles'¡ts"
o tos puntos e?e infiexián y la eoncavldael.
e Ervallse f(x) en eada ur:o de ios puntCIs anterio¡'es.
a Las así¡rtotas siexlsten.
1
l.---_-.--.-
y -\l 6x' * x'
ü-idIVEB.§lD¡!.I) Fi.ACíüN¡\L DE FlCEiqI§.AlA
F.{CUT,TAD DE ING§TfiERíA I.,MCÁNJCA
}EP,4F{?¡IBíEI'{IO D€ C'JEC:Cí¡IS EÁ§ÍCA§ V T]X]}fI,I\EDÁSE*S
P-4.:20tr4-i
&4ltté12.fr1,4
lv;BI4á
EEGBLEFSé é"= {4 pt*s"}
Determime e!vCIiucm*n r¡"ráxi¡no de ur¡ eilia"¡dro redCI de baee eire¡¡lar que se puede
csloear dentno de uma esfere dc radio R- FoTocoprA,oBA'IELVIRA & Ll¿+'
rn¡E 
car'¡ lcÁtl t¡ 9-
FRüEéEEh?A-4"- {4 ptos.}
iJs¡ seetor de ángur§o centraB ts está recoffiado de uR eBreulo de radlo R' at
enrollarse el sector sc genera una superfEcie eéniea
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CALCULO M§FEffiiEhSGI#1L FJSB {46
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{l pto} Consicjere la ecuccióo,ko?=:, lueg.o poclemos alirmar que Io
cónícc generado, luego de groflca¡lo en el plcno eaitesie nc pCIsee para
tr:des lcs r¡olores positivos de o, un foco, ubiccdo eri (- 'fi,;rJ
Si k=0 define une curycr C, ySi k=]0 define ctra curvc C2, Uno de los punios
que resulto de Io inierseccién de crmsGS euiycs. necesoricmente se u'oicq en
l-uego se puecje ciirrncir que nc e;<iste ningún vclor ele l<, cle tcrl rncneíct que
io ecuqción represente a Ic ecueción cl* unq elipse,
{lpioJ Seo F(§; -9) un punictt
puede firrñqr Que lo ecucción
ei nunto P. es Li: I - I =¿-5 i
de Ia hipérboio il: -{+f =1 , luego se
cle lc recta tcingente o ,i'n,o¿roolo-H, *.
Pgphlerr:a 2" {5 ,oumt,os¡ Si L es unq recicr'tcngente o lci eircunferencict
C:x2 + 2x*yz * 6y- 15 = 0 en el punio F¡ = (2;-1) y coincicle con el eje mayor cie unq
elipse E, dicha elipse tiene exceniricicic¡d e = 0,5. Se scbe que lcr elipse posc por el
centro de lq circunierencicr, odemós ei punfo Pp coineide ccn su ioc,: (o lodo derecho,
en [o grofics del plono ccriesicno)
ELV¡i{A & Ltz ir
iüEcAN¡C,\ tt¡Ji
Frsble."ma 3, {,4 p':unios}
Los vértiees de ia hipérbola H, deiinide por, y?-x' -¡ 6x = 10, coineide ecn los foeos de una elipse
E, y los foeos de la hipérbeia t{, eoineiden eon les vértiees de clicha elipse E. Determine la
eeuaeián de ia rccta tangente a dieha eliBse en un pui-¡tei P(xn;yn) perteneeient€ a la eiipse.
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Fr'ob Cqma ,4, {4 pulrtcs}Sea la eireunferenoia deflnida por C:(z - 3)2 + {y * 8)' = 25, y la reeta
definida por L,:x * y - L0 Determine la eeuaeión de la ou¡..¡a que eonlieRen a los ee¡rtros de todas
iascireunferenciasquenorodeeñ€Cyquesoñiañgentesalaci;'eunferen*iaCytangentealareeta
L1.
..FrpleSema 5, {3 peim'tos}
fl area de un puente es serni-elíptieo, eon
eje mayür ho¡izontal. La base elei arCIo
mide 30rn, y la parte más aita dei areo
alcanza 10m. Sebre la pista, GCi'RCI se
mr.Jecire en ia figura, Encuent¡"e la altui"a
del ai"co e 6m del eentro de la base.
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