Cálculo de Aletas

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IV.1.- Al realizar un estudio de calefacción se llegó a la conclusión de que
era necesario utilizar aletas anulares de radio en la base rb = 30 cm y tem-
peratura en la base Tb=120°C, para mantener un fluido exterior a 20°C, de
forma que cada aleta disipe 225,2 Kcal/hora, con un rendimiento de aleta
del 40%. El material de las aletas tiene una conductividad térmica, k=50
Kcal/h.m°C
Determinar el radio exterior de la aleta y su espesor, sabiendo que el coefi-
ciente de película es hcF = 5,6 Kcal/h.m2°C
______________________________________________________________
RESOLUCION
Flujo de calor disipado por la aleta anular
Q = π (1 - αan2 ) k e Φb βan2 G2(αan.βan) = 
 αan = 
rb
re
 
βan = 
2 re2 hcF
k e
 Φb = Tb - TF = 120 - 20 = 100ºC 
 =
 
= π (1 - rb
2
re2
) k e Φb 
2 re2 hcF
k e
 G2(αan.βan) = π (re2 - rb2) Φb 2 hcF G2(αan.βan)
Despejando re ,
re2 = rb
2 + 
Q
2 π Φb hcF G2(αan.βan)
 = 0,32 + 
225,4 Kcal
hora
2 π x 100 x 5,6 x 0,4
 = 0,25 ; re = 0,5 m 
A partir de la ecuación: βan = 
2 re2 hcF
k e
 , se obtiene el espesor de la aleta:
e = 2 re
2 hcF
k βan
2
 = 
2 x 0,52 x 5,6
50 βan
2
 = 
0,056
βan
2
Como: µ = G2(αan.βan), es el rendimieto de la aleta anular, mediante la gráfica de G2 se obtiene:
αan = 
rb
re
 = 
0,30
0,50
 = 0,6
G2(αan.βan) = 0,4 (dato del enunciado)
 ⇒ βan = 5,4 ⇒ e = 
0,056
5,42
 = 0,00192 m
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IV.2.- Una varilla de aluminio de sección transversal rectangular de 2 mm de espesor y 80 mm de anchura,
(aleta de la culata de un motor, extremo libre aislado), tiene en su base de contacto con la culata una tempe-
ratura de 250°C.
Determinar
a) La temperatura en su extremo libre situado a 5 cm
de la base, si se supone que la temperatura TF del
medio ambiente es de 15°C.
b) La cantidad de calor disipada al exterior y la efi-
ciencia de la aleta
Otros datos,
 Coeficiente k de transmisión de calor por conducción= 200 Kcal/m h°C
 Coeficiente hc de transmisión de calor por convección= 40 Kcal/m2h°C
Aletas.IV.-88
RESOLUCION
a) Temperatura en su extremo libre situado a 5 cm de la base, si se supone que la temperatura TF del medio
ambiente es de 15°C.
Protuberancia paralelepipédica con su extremo libre térmicamente aislado ξ = 1
T(1) = TL = TF + 
Tb - TF
Ch Bi
 = Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
40 Kcal 
h.m2.ºC
 x {2 (80 + 2) x 10-3}m x 0,052 m2
200 Kcal 
h.m.ºC
 x (2 x 80) x 10-6 m
 = 0,5125 =
 
= 15 + 250 - 15
Ch 0,5125
 = 200ºC
b) Calor disipado al exterior
Q = k S Tb - TF
L
 Bi Th Bi = 
 
 = 200 Kcal
h.m.ºC
 x (2 x 80) x 10-6 m2 x 
 (250 - 15)ºC
0,05 m
 x 0,5125 Th 0,5125 = 66,14 Kcal
hora
Eficiencia de la aleta
µ = Th Bi
Bi
 = 
Th 0,5125
 0,5125
 = 0,858 (muy elevada)
*****************************************************************************************
IV.3.- Una protuberancia de acero inoxidable k=20 W/m.K tiene una sección recta circular con un diámetro
de 2 cm y una longitud de 10 cm. La protuberancia está unida a una pared que tiene una temperatura de
300°C. El fluido que la rodea tiene una temperatura ambiente de 50°C y el coeficiente de película es de 10
W/m2.°K.
El extremo de la protuberancia está aislado térmicamente.
Determinar
 
a) El calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberan-
cia
b) La temperatura en el extremo de la protuberancia
c) La transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área
de la pared cubierta por la protuberancia si ésta no se utilizase
d) La transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia con la misma geometría si el
acero inoxidable de ésta se sustituyese por un material ficticio de conductividad térmica infinita.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) Calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia con su extremo libre térmicamente aislado
Q = k S
L
 (Tb - TF) Bi Th Bi =
= 
S = π d
2
4
 = 
π x 0,022
4
 = π x 10-4 m2
 Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
10 x (π x 0,02) x 0,12
20 x π x 10-4
 = 1 
 = 20 x π x 10-4
0,1
 x (300 - 50) x 1 x Th 1 = 11,96 W
b) Temperatura en el extremo de la protuberancia ξ = 1
Aletas.IV.-89
Φ(ξ) = 
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi 
 
Φ(1) = Ch{ 1 (1 - 1)}
Ch 1
 = 1
1,543
 = 0,648 = TL - TF
Tb - TF
 = TL - 50
300 - 50
 ⇒ TL = 212ºC
c) Transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared cubierta por la protuberancia si ésta
no se utilizase
El coeficiente de transmisión de calor en la superficie de la pared, cuando la protuberancia está en su sitio, le
podemos suponer igual al de la protuberancia, por lo que,
Q = hcF S (Tb - TF) = hcF π R2 (Tb - TF) = 10 W
m2.ºC
 x (π x 10-4 m2) x (300 - 50)ºC = 0,785 W
La presencia de la protuberancia aumenta la disipación de calor procedente del área de la superficie cubierta
por la misma, siendo la mejora,
Mejora = 
11,96 - 0,785
0,785
 x 100 = 1423,5 %
d) Transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia con la misma geometría, si el acero
inoxidable de ésta se sustituye por un material ficticio de conductividad térmica infinita.
Para un material con k = ∞, Bi = 0, por lo que la protuberancia sería isoterma a Tb.
La transferencia de calor por unidad de longitud desde la protuberancia ideal es,
Qqideal = hcF A (Tb - TF) = 10 W
m2.ºC
 x (π d L) m2 (300 - 50)ºC =
 
= 10 W
m2.ºC
 x (π x 0,02 x 0,1)m2 x (300 - 50)ºC = 15,71 W
que es la cantidad de calos máxima posible que se podría disipar en la unidad de tiempo por la protuberancia
ideal.
La protuberancia de acero inoxidable disipa: 
15,71 - 11,96
15,71
 x100 = 24%
que es la cuarta parte de lo que disipa la protuberancia ideal
La eficiencia de la protuberancia es: µ = qrealqideal
 = 
11,96 x 100
15,71
 = 76,13%
*****************************************************************************************
IV.4.- Se desea construir un radiador de tubo con aletas y para ello se utiliza una tubería de cobre puro de
diámetro exterior 14 mm y diámetro interior 10 mm con aletas de aluminio puro de espesor 0,2 mm y radio
exterior 28 mm. Las aletas están separadas entre planos medios una distancia de 5 mm. El radiador tiene
que disipar una carga térmica de 750 Kcal/hora cuando trabaja con agua a presión a la temperatura de
120°C, encontrándose el aire del medio ambiente a 20°C.
El valor del coeficiente de película hce (aleta-aire) es 25 Kcal/h.m2°C, mientras que el valor del coeficiente
de película hci para el fluido que circula por el interior del tubo es de 1000 Kcal/h.m2.°C.
Se sabe que la conductividad térmica del cobre es kcobre=326 Kcal/h.m.°C y la del aluminio kaluminio= 197
Kcal/h.m.°C.
Determinar
a) La temperatura en la base de la aleta
b) El nº de aletas necesario y la longitud del radiador necesaria para conseguir la mencionada disipa-
ción de calor
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
Aletas.IV.-90
Q = 
Ti - Tpi
1
Ai hci
 = 
Tpi - Tb
ln rbri
2 π kCu a
 = Tb - TF
Raletas + Rtubo
 = Tb - TF
1
hce (µ Aaletas + Atubo)
a) Temperatura en la base de la aleta
Llamaremos N al nº total de aletas, y "a" a la longitud total del tubo + aletas
Area de intercambio térmico (aletas + tubo) = Area aletas + Area tubo sin aletas =
 = 2 π (re
2 - rb
2) N + 2 π rb (a - N e)
Calor disipado el exterior: 
 Q = (µ Aaletas + Atubo) hce (Tb - TF) = [µ 2 π (re2 - rb2) N + 2 π rb (a - N e)] hce (Tb - TF) 
A su vez entre el fluido interior a 120ºC y la base de la aleta se tiene,
Q = 
Ti - Tpi
1
Ai hci
 = 
Tpi - Tb
ln rbri
2 πkCu a
 = Ti - Tb
1
Ai hci
 + 
ln rbri
2 π kCu a
Ti - Tb = 
Q
Ai hci
 + Q 
ln rbri
2 π kCu a
 = 
Q
2 π a ri hci
 + Q 
ln rbri
2 π kCu a
 =
 
= 
Q
2 π a 
 ( 1
ri hci
 + 
ln rbri
kCu
 ) = 750
2 π a 
 ( 1
0,005 x 1000
 + 
ln 7
5
326
 ) = 24 a = 120 - Tb
Qaletas = 2 π (re2 - rb2) Φb N hce ηan = 2 π (re2 - rb2) Φb N hcF G2(αan βan) =
 
= 
 
αan = 
rb
re
 = 7
28
 = 0,25
βan = 
2 re2 hcF
kAl e
 = 
2 x 0,0282 x 25
197 x 0,2 x 10-3
 = 0,9974
 ⇒ G2(αan βan) = 0,74 
Tb = 120 - 24a ; Φb = Tb - TF = 120 - 
24
a - 20 = 100 - 
24
a
N x 0,005 = a ; N = 200 a
 =
= 2 π (0,0282 - 0,0072) (100 - 24a ) x 200 a x 25 x 0,74 = 1708,1 a - 410,1
Qtubo sin aletas = 2 π rb (a - N e) hce (Tb - TF) = 2 π rb (a - 200 a e) hce (Tb - TF) =
= 2 π x 0,007 x a {1 - (200 x 0,0002)} x 25 x (100 - 24a ) = 1,0555 a (100 - 
24
a ) 
Longitud “a” del radiador,
Q = 750 Kcal
hora
 = {1708,1 a - 410,1} + 1,0555 a (100 - 24a ) = 1834,25 a - 435,4 ⇒ a = 0,646 m 
Tb = 120 - 240,646
 = 82,84ºC
N = 200 x 0,646 = 129 aletas
*****************************************************************************************
IV.5.- Una aleta anular de perfil rectangular, de acero k = 44 Kcal/h.m.ºC y dimensiones e = 0,5 mm y L =
15 mm, se coloca en un tubo de 20 mm de diámetro exterior. La temperatura en la base de la aleta es Tb =
90ºC., la temperatura del fluido es TF = 20ºC y el coeficiente de película hcF = 100 Kcal/h.m2.ºC
Aletas.IV.-91
Determinar
a) La temperatura en el extremo de la aleta
b) La eficacia de la aleta
c) El calor transmitido al fluido desde la aleta
d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie
RESOLUCION
a) Temperatura en el extremo de la aleta:: Φe = 
 K1(n re) I0(n re) + K0(n re) I1(n re)
 K1(n re) I0(n rb) + K0(n rb) I1(n re)
 = 
= 
 n = 2 hcF
k e
 = 2 x 100
44 x 0,5 x 10-3
 = 95,34 
 re = (10 + 15) x 10-3 = 25 x 10-3 m ; 
n re = 95,34 x 25 x 10-3 = 2,3836
n rb = 95,34 x 10 x 10-3 = 0,9534
 
 =
= 
 K1(2,3836) I0(2,3836) + K0(2,3836) I1(2,3836)
 K1(2,3836) I0(0,9534) + K0(0,9534) I1(2,3836)
 = 
K1(2,3836) = 0,05456 π 2 
 = 0,08570
K0(2,3836) = 0,04569 π 2 
 = 0,07177
K0(0,9534) = 0,4545
I0(0,9534) = 1,2429
I0(2,3836) = 3,0148
I1(2,3836) = 2,2666
 =
= 
 (0,0857 x 3,0148) + (2,2666 x 0,07177)
 (0,0857 x 1,2429) + (2,2666 x 0,4545)
 = 0,3704 = Text - 20
90 - 20
 ; Text = 45,9ºC 
Gráficamente
G1(γ β) = 
 K1(βan) I0(βan) + K0(βan) I1(βan)
 K1(βan) I0(γ βan) + K0(γ βan) I1(βan)
 = Φe
Φb
 = Te - TF
Tb - TF
 
Para 
 βan = n re = 2,3836 
γ = αan = 
rb
re
 = 0,4
 se tiene: G1(η. βan) = 0,37 ; Te = 20 + (0,37 x 70) = 45,9ºC
b) Eficiencia de la aleta
µ = 
k e βan
2
 G2(αan βan)
k e βan
2
 = G2(αan βan) = 
 βan = 2,3836 
αan = 0,4 
 = 0,51
Aletas.IV.-92
De otra forma : 
 L 2 hcF
k e
 = 0,015 2 x 100
44 x 0,5 x 10-3
 = 0,015 x 95,34 = 1,43 
re 
rb 
 = 25
10
 = 2,5
 ⇒ µ = 0,52
c) El calor transmitido al fluido desde la aleta
 Q = π (1 - αan2 ) k e Φb βan2 G2(αan.βan) =
 
= π (1 - 0,42) x 44 x 0,5 x 10-3 (90 - 20) x 2,38362 x 0,52 = 12 Kcal
hora
 
Comprobación,
Q = µ Qi = 0,52 hcF 2 A (Tb - TF) =
 
= 0,52 x 100 Kcal
h.m.ºC
 x 2 π (252 - 102) x 10-6 m2 x 70ºC = 12 Kcal
hora
d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie, es el flujo térmico, de valor,
Aletas.IV.-93
Q
 A 
 = 
Q
 2 π (252 - 102) x 10-6 m2
 = 
12 Kcal
hora
0,003298 m2
 = 3.568 Kcal
hora m2
*****************************************************************************************
IV.6.- Sobre un tubo de una determinada aleación, de 30 mm de diámetro exterior, se desea colocar aletas
longitudinales de perfil triangular. La base de estas aletas tiene un espesor de 1,5 mm siendo el espacio vacío
entre las bases de dos aletas consecutivas de aproximadamente 4 mm. El coeficiente de película para el tubo
y las aletas es de 25 W/m2°C y la conductividad térmica del material de 75 W/m°C.
Determinar
a) La altura óptima de la aleta
b) El calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del
tubo es de 100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta. Mejora obtenida.
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en su vértice.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) Altura óptima de la aleta (Se entiende que es la altura del perfil triangular)
bópt = 1,6718 (
Ω2 hcF
k
)1/3
Lópt = 1,196 (Ω khcF
)1/3 = 2 Ω
bóp
 = 1,196 (
b Lópt k
2 hcF
)1/3 = 1,196 ( b k
2 hcF
)1/3 Lópt
1/3
Lópt
2/3 = 1,196 ( b k
2 hcF
)1/3 = 1,196 (
0,0015 x 75
2 x 25
)1/3 = 0,1567 ; Lópt = 0,062 m
b) Calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo es
de 100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta. Mejora obtenida.
Aletas.IV.-94
Q1 aleta = - Φb k b 
βt
2 L
 G4(βt) = 
Φb = 100 - 25 = 75ºC
 βt = 8 f hcF L
2
k b
 = f = 1 = 8 
x 25 x 0,0622
75 x 0,0015
 = 2,614 
G4(βt) = G4(2,614) = 0,77
 =
 
= - 75 x 75 x 0,0015 x 
 2,614 
2 x 0,062
 x 0,77 = -136,95 Wm (calor cedido)
Nº de aletas: π db = (1,5 + 4) N ; N = 30 π5,5
 = 17,13 ⇒ 17 aletas 
QN aletas = 17 x 136,95 Wmetro
 = 2328,15 W
metro
Calor disipado por el tubo limpio (sin aletas):
Qtubo limpio = 2 π rb a hcF (Tb - TF) = 2 π x 
0,03
2
 x 1 x 25 x 75 = 176,71 Wm
Fracción de calor disipado por el tubo, cuando lleva aletas,
Qtubo = a hcF (Tb - TF) (π db - N b) = 1 x 25 x 75 x (π x 0,03) - (17 x 0,0015) = 128,9 Wm 
Calor total disipado al exterior: Q = 128,9 + 2328,15 = 2457 Wm
Mejora = 
2457 - 176,7
176,7
 x 100 = 1290%
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta
Φ(c.d.g.)
Φb
 = 
T(c.d.g.) - TF
Tb - TF
 = 
I0(2 n x)
I0(2 n L)
 =
= 
 Centro de gravedad ⇒ x = 2 L
3
 = 2 
x 0,062
3
 m = 0,0413 m 
 n = 2 f hcF L
k b
 = 
2 x 1 x 25 x 0,062
75 x 0,0015
 = 5,25 
 2 n L = 2 x 5,25 0,062 = 2,6144 ; I0 (2 n L) = I0(2,6144) = 3,5968 
 2 n x = 2 x 5,25 0,0413 = 2,1338 ; I0 (2 n x) = I0(2,1338) = 2,5134 
 = 75 x 
2,5134
3,5968
 = 52,40
T(c.d.g.) = 25 + 52,40 = 77,40ºC
De otra forma
Φ(c.d.g.)
Φb
 = G3(βt.ηt) = 
 βt = 2,614 
 ηt = x L 
 = 2
 3 
 = 0,8185 
 βt.ηt = 2,614 x 0,8165 = 2,1343 
 = G3(2,1343) = 0,70
T(c.d.g.) = 25 + (75 x 0,7) = 77,5ºC
Temperatura en el vértice de la aleta
Φvértice
Φb
 = 
Tvértice - TF
Tb - TF
 = 
I0(2 n x)
I0(2 n L)
 = 
 Vértice ⇒ x = 0 ; I0(0) = 1 
 I0 (2 n L) = I0(2,6144) = 3,5968 
 = 1
3,5968
 = 0,278
Tvértice = TF + 0,278 (Tb - TF) = 25 + 0,278 x 75 = 45,86ºC
*****************************************************************************************
IV.7.- Un determinado fluido de propiedades, ρ = 0,75 gramos/cm3; cp = 0,35 Kcal/kgºC, se calienta desde
80ºC hasta 120ºC, a razón de 50.000 kg/hora. Para mejorar el proceso térmico se utilizan tubos de acero de
20 mm de diámetro exterior, de conductividad térmica k = 60 Kcal/h.m.ºC, con aletas longitudinales triangu-
Aletas.IV.-95
lares del mismo material que el tubo, de base 1,5 mm, siendo la distancia entre los centros de sus basesde 4
mm.
La temperatura media de la base de las aletas se estima en 150ºC en toda la longitud del tubo.
El coeficiente medio de película es, hCF = 500 Kcal/h.m2.ºC
Determinar,
a) La longitud óptima de las aletas (Se entiende que es la altura del perfil triangular)
b) El rendimiento de las aletas
c) La temperatura en el vértice de las aletas
d) El número de tubos, si se utilizan tubos de 3 metros de longitud
e) El número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas
transversales triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10
mm, sobre tubos de 3 metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a)
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) Longitud óptima de las aletas
bópt = 1,6718 (
Ω2 hcF
k
)1/3
Lópt = 1,196 (Ω khcF
)1/3 = 2 Ω
bóp
 = 1,196 (
b Lópt k
2 hcF
)1/3 = 1,196 ( b k
2 hcF
)1/3 Lópt
1/3
Lópt
2/3 = 1,196 ( b k
2 hcF
)1/3 = 1,196 (
0,0015 x 60
2 x 500
)1/3 = 0,0536 ; Lópt = 0,0124 m = 12,4 mm
b) Rendimiento de las aletas
Rendimiento de la aleta: µ = 
2 G4(βt)
βt
 = 
 n = 2 f hcF L
k b
 = 
2 x 1 x 500 x 12,41 x 10-3
60 x 1,5 x 10-3
 = 11,7426 
βt = 2 n L = 2 x 11,7426 x 12,41 x 10-3 = 2,616
G4(βt) = 
I1(βt)
Io(βt)
 = 
I1(2,616)
I0(2,616)
 = 
2,79905
3,60162
 = 0,775
 = 
 
= 
2 x 0,775
2,616
 = 0,594 = 59,4%
que es un resultado lógico puesto que está construida con dimensiones óptimas y en estas condiciones el rendi-
miento óptimo sabemos es del orden del 60%
c) Temperatura en el vértice de las aletas
Φvértice
Φb
 = 
Tvértice - TF
Tb - TF
 = 
I0(2 n x)
I0(2 n L)
 = 
 Vértice ⇒ x = 0 ; I0(0) = 1 
 I0 (2 n L) = I0(2,616) = 3,6016 
 = 1
3,6016
 = 0,2776
TF = 80 + 1202
 = 100ºC
Tvértice = TF + 0,2776 (Tb - TF) = 100 + 0,2776 x (150 - 100) = 113,88ºC
d) Número de tubos, si se utilizan tubos de 3 metros de longitud
Calor evacuado por una aleta longitudinal por metro lineal de tubería,
q1 aleta = µ hcF A (Tb - TF) = A = 2 x 0,0124 m x 1 m = 0,0248 m2 =
= 0,594 x 500 x 0,0248 x (150 - 100) = 368,95 Kcal
h m
En 3 m de tubo el calor disipado por una aleta longitudinal es: q3m aletas = 368,95 Kcalh m
 x 3 m = 1107 Kcal
hora
Nº de aletas longitudinales: π de
(1,5 + 2,5) x 10-3
 = 
π x 0,02
0,004
 = 15,7 ⇒ 16 aletas
Aletas.IV.-96
Calor evacuado por las aletas en cada tubo de 3 m de longitud: q3m aletas x n = 1107 x 16 = 17712 Kcalhora
Calor evacuado por el tubo de 3 m sin aletas: [π de - (16 x 0,0015)] x 3 m x hcF x (150 - 100) = 2912,4 Kcalhora
Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 2912,4 + 17712 = 20624,4 Kcal
hora
Calor total a disipar = m cp (T1 - T2) = 50000 
Kg
hora
 x 0,35 Kcal
Kg ºC
 x (120 - 80)ºC = 700.000 Kcal
hora
 
Número de tubos de 3 metros de longitud = 700.000
20624,4
 = 33,9 ⇒ 34 tubos 
 
e) Número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales
triangulares, por otras aletas transversales triangulares de rendi-
miento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10
mm, sobre tubos de 3 metros de longitud, manteniendo la longitud
óptima del apartado (a)
de = db + 2 Lópt = 20 + (2 x 12,4) = 44,8 mm
A = 2 (π de
2 
4
 - 
π db
2 
4
) = π
 2 
 (de2 - db
2) =
= π
 2 
 (44,82 - 202) x 10-6 m2 = 0,00252 m2
A = 2 (π de
2 
4
 - 
π db
2 
4
) = π
 2 
 (de2 - db
2) = π
 2 
 (44,82 - 202) x 10-6 m2 = 0,00252 m2
q1 aleta = µ hcF A (Tb - TF) = 0,6 x 500 x 0,00252 x (150 - 100) = 37,86 Kcalhora
Nº de aletas en cada tubo de 3 m de longitud = 3
0,01
 = 300 
Calor evacuado por las aletas en cada tubo: 300 x 37,86 = 11358 Kcal
hora
Calor evacuado por el tubo por la parte que no lleva aletas:
= (π db x 0,0085 x 300) x hcF x (150 - 100) = 
db = 0,02 m
 hcF = 500 Kcalh.m
 
 = 4005 Kcal
hora
Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 4005 + 11358 = 15363 Kcal
hora
Número de tubos de 3 metros de longitud = 700.000
15363
 = 45,56 ⇒ 46 tubos 
*****************************************************************************************
IV.8.- Una aguja de 25 cm de longitud y 3 cm de diámetro sobresale de un objeto. La temperatura en la base
Tb=150°C, mientras que el medio exterior se encuentra a T∞=30°C. Suponiendo un coeficiente de película
constante hC∞=10 Kcal/h.m2°C, calcular para los siguientes casos,
a) Varilla de Cu, k = 332 Kcal/h.m°C
b) Varilla de acero de 0,5%C, k = 46 Kcal/h.m°C
c) Vidrio, k = 0,94 Kcal/h.m°C
lo siguiente,
1) Temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre la base y el extremo,
suponiendo despreciable el flujo de calor en el extremo
Aletas.IV.-97
 
2) Calcular el flujo calorífico por hora cedido por la varilla en los
siguientes casos,
2a) Con flujo de calor en el extremo (Coeficiente de película en el
extremo 10 Kcal/h.m2.°C
2b) Despreciando el flujo de calor en el extremo
2c) Considerando aletas muy largas
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
1) Temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre la base y el extremo, supo-
niendo despreciable el flujo de calor en el extremo.
Para el supuesto de flujo de calor despreciable en el extremo, la distribución de temperaturas es,
Tξ - T∞
Tb - T∞
 = 
Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
 
ξ = x
 L 
 ; p = perímetro = 2 π r ; S = sección transversal = π r2 
Bi = hC L
* 
k
 = 
hC p L2
k S
 = 
10 x 2 π r x 0,252
k x π r2
 = = 
10 x 2 x 0,252
k r
 = 
83,33
k
Bi = 
 Cu → k = 332 Kcal
h.m.ºC
 ; Bi = 0,25 
Acero 0,5% C → k = 46 Kcal
h.m.ºC
 ; Bi = 1,81 
 Vidrio → k = 0,94 Kcal
h.m.ºC
 ; Bi = 88,65 
 
T(ξ) = T∞ + (Tb - T∞) 
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
 = Tb - T∞ = 150 - 30 = 120ºC = 30 + 120 
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Para el Cu se tiene, Bi = 0,25, se tiene,
ξ1 = 1 5 
 ; T1 = 30 + 120 
Ch{ 0,25 (1 - 1
 5 
)}
Ch 0,25
 = 145,05ºC ; 
ξ2 = 2 5 
 ; T2 = 141,24ºC
ξ3 = 3 5 
 ; T3 = 138,45ºC
ξ4 = 4 5 
 ; T4 = 136,95ºC
ξ5 = 1 ; T5 = 136,42ºC 
Para el Acero 0,5% C; Bi = 1,81, se tiene,
ξ1 = 1 5 
 ; T1 = 30 + 120 
Ch{ 1,81 (1 - 1
 5 
)}
Ch 1,81
 = 125,84ºC ; 
ξ2 = 2 5 
 ; T2 = 108,66ºC
ξ3 = 3 5 
 ; T3 = 96,94ºC 
ξ4 = 4 5 
 ; T4 = 90,42ºC 
ξ5 = 1 ; T5 = 88,3ºC 
Para el Vidrio; Bi = 88,65, se tiene,
ξ1 = 1 5 
 ; T1 = 30 + 120 
Ch{ 88,65 (1 - 1
 5 
)}
Ch 88,65
 = 48,25ºC ; 
ξ2 = 2 5 
 ; T2 = 32,77ºC 
ξ3 = 3 5 
 ; T3 = 30,42ºC 
ξ4 = 4 5 
 ; T4 = 30,066ºC 
ξ5 = 1 ; T5 = 30.02ºC 
2) Flujo calorífico por hora cedido por la varilla en los siguientes casos,
Aletas.IV.-98
2a) Con flujo de calor en el extremo (Coeficiente de película en el extremo 10 Kcal/h.m2.°C
q = 
 k S (Tb - TF) Bi 
L
 
Sh Bi + S
p L
 Bi Ch Bi
S
p L
 Bi Sh Bi + Ch Bi
 = 
 S
p L
 = π r2
2 π r L
 = r
2 L
 = 
0,015
2 x 0,25
 = 0,03 
 S
 L 
 = π r2
L
 = 
π 0,0152
0,25
 = 2,827 x 10-3 
S
 L 
 (Tb - T∞) = 0,34
 =
 
= 0,34 k Bi 
Sh Bi + 0,03 Bi Ch Bi
0,03 Bi Sh Bi + Ch Bi
Para el Cu
q = 0,34 x 332 Kcal
hmºC
 0,25 
Sh 0,25 + 0,03 0,25 Ch 0,25
0,03 0,25 Sh 0,25 + Ch 0,25
 = 26,84 Kcal
hmºC
Para el acero
q = 0,34 x 46 Kcal
hmºC
 1,81 
Sh 1,81 + 0,03 1,81 Ch 1,81
0,03 1,81 Sh 1,81 + Ch 1,81
 = 18,56 Kcal
hmºC
Parael vidrio
q = 0,34 x 0,94 Kcal
hmºC
 88,65 
Sh 88,65 + 0,03 88,65 Ch 88,65
0,03 88,65 Sh 88,65 + Ch 88,65
 = 3,009 Kcal
hmºC
2b) Despreciando el flujo de calor en el extremo
q = k S Tb - TF 
L
 Bi Th Bi = 0,34 k Bi Th Bi
Para el Cu
q = 0,34 x 332 Kcal 
hmºC
 0,25 Th 0,25 = 26,028 Kcal
hora
Para el acero
q = 0,34 x 46 Kcal 
hmºC
 1,81 Th 1,81 = 18,33 Kcal
hora
Para el vidrio
q = 0,34 x 0,94 Kcal 
hmºC
 88,65 Th 88,65 = 3,003 Kcal
hora
2c) Considerando aletas muy largas
q = k S Tb - TF 
L
 Bi = 0,34 k Bi 
Para el Cu
q = 0,34 x 332 Kcal
hmºC
 0,25 = 56,32 Kcal
hora
Para el acero
q = 0,34 x 46 Kcal
hmºC
 1,81 = 21 Kcal
hora
Para el vidrio
q = 0,34 x 0,94 Kcal
hmºC
 88,65 = 3,003 Kcal
hora
A la vista de los resultados, y por lo que respecta a los calores desprendidos, se observa que cuando las conduc-
tividades son bajas, el hecho de considerar aletas muy largas es perfectamente válido.
En casi todos los casos se puede considerar el flujo de calor en el extremo despreciable.
Aletas.IV.-99
*****************************************************************************************
IV.9.- Se desea incrementar el paso de calor desde una pared plana al medio ambiente que la rodea, insta-
lando para ello aletas de diferentes tipos sobre dicha superficie, de tal forma que sobresalgan de la superficie
de la pared una longitud de 20 cm, siendo el material utilizado un conductor de k=40 Kcal/h.m°C y supo-
niendo en cualquier caso un coeficiente de transmisión de calor sólido-fluido de 17 Kcal/h.m2.°C.
Bajo estas condiciones se desea saber,
a) La configuración que será la más eficaz de entre las siguientes,
a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad
a.2) Aleta triangular de similar base de apoyo a la anterior
b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad
térmica, para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta
rectangular.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad
ALETA RECTA AISLADA TERMICAMENTE EN SU EXTREMO LIBRE
µ = Th Bi
Bi
 = 
Th 2,754
2,754
 = 0,56
en la que se han tenido en cuenta las siguientes consideraciones,
Bi = 
p hcF L2
k S
 = 
 p = 2 (e + a) = 2 (0,0125 + 1) = 2,025 m
S = e a = 0,0125 x 1 = 0,0125 m2
 = 
2,025 x 17 x 0,202
40 x 0,0125
 = 2,754
ALETA RECTA CON CONVECCION EN SU EXTREMO LIBRE
µ = 
 k S (Tb - TF) Bi 
L
 
 Sh Bi + S Bi 
p L
 Ch Bi 
Ch Bi + S Bi 
p L
 Sh Bi
hcF A (Tb - TF)
 = A = 2 L a = 1
Bi
 
 Sh Bi + S Bi 
p L
 Ch Bi 
Ch Bi + S Bi 
p L
 Sh Bi
 =
= S Bi 
p L
 = 
0,0125 x 2,754
2,025 x 0,2
 = 0,05122 = 1
2,754
 
 Sh 2,754 + (0,05122 x Ch 2,754 
Ch 2,754 + 0,05122 x Sh 2,754
 = 0,547
ALETA TRIANGULAR
µ = 1
 n L 
 
I1(2 n L)
I0(2 n L)
 = 
 2 G4 (βt)
βt
 
b = 0,0125 m 
f = 1 + (ebase
2 L
)2 = 1 + (
0,0125
2 x 0,2
)2 = 1,00048 (conducción monodimensional)
n = 2 f hcF L
k b
 = 
 2 x 1,00048 x 17 x 0,2
40 x 0,0125
 = 3,6887
µ = 1
 n L 
 
I1(2 n L)
I0(2 n L)
 = 
 2 n L = 2 x 3,6878 0,2 = 3,2993 
n L = 3,6878 0,2 = 1,64924
I1(2 n L) = I1(3,29848) = 5,195
I0(2 n L) = I0(3,29848) = 6,258
 = 1
1,64924
 
5,195
6,258
 = 0,5033
Se observa que el rendimiento de las aletas rectangulares es superior al de la aleta triangular.
b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad tér-
Aletas.IV.-100
mica, para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rec-
tangular.
Hay que determinar la conductividad térmica del material
0,58 = 1
 n L 
 
I1(2 n L)
I0(2 n L)
 = n L = N = 1
 N 
 
I1(2 N)
I0(2 N)
 , que es la ecuación a resolver
N 0,58 N
1 0,58 2,2796 1,5906 0,6967 0,58 < 0,6967
1,5 0,87 4,8808 3,9534 0,8099 0,87 > 0,8099
1,4 0,812 4,1573 3,3011 0,7941 0,812 > 0,794
1,3 0,754 3,5533 2,7554 0,7754 0,754 < 0,7754
1,35 0,783 3,8553 3,0282 0,7854 0,783 < 0,785
I1(2 N)
I0(2 N)I1(2 N)I0(2 N)
Un valor muy aceptable es, N = 1,35, luego,
n = 2 hcF L
k b
 = N
L
 ; N = 2 hcF
k b
 L ; k = 2 hcF L
2
b N2
 = 
 2 x 17 x 0,22
0,0125 x 1,352
 = 59,7 Kcal
h m ªC
*****************************************************************************************
IV.10.- A un tubo de 40 mm de diámetro exterior se le adosan aletas anulares de aluminio k=197 Kcal/h
m°C, de 0,5 mm de espesor y 100 mm de radio exterior separadas entre si una distancia de 5 mm.
La presencia de un fluido exterior implica la existencia de un coeficiente de película de 60 Kcal/h.m2°C.
 
En estas condiciones,
a) Determinar el aumento en % del calor disipa-
do, por el hecho de colocar las aletas
b) Si existe una diferencia de temperaturas de
50°C entre la superficie del tubo y el medio exte-
rior, determinar el calor disipado por cada metro
de longitud de tubería con aletas.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) Aumento en % del calor disipa por el hecho de colocar las aletas
Calor disipado por una aleta,
q1 aleta = π (1 - αan2 ) k e Φb βan
2
 G2(αan.βan) =
= 
 αan = 
rb
re
 = 
0,02
0,1
 = 0,2 
βan = 
2 re2 hc ext
k e
 = 
2 x 0,12 x 60
197 x 0,0005
 = 3,4903
 ⇒ G2(αan.βan) = 0,18 =
 = π (1 - 0,2
2) x 197 x 0,0005 Φb x 3,49032 x 0,18 = 0,6513 Φb
Calor disipado a lo largo de la fracción de tubo sin aletas correspondiente a la longitud a = 0,0055 m
qa = 0,0055 = (π db a) hc ext Φb = (π x 0,04 x 0,0055) x 60 Φb = 0,04147 Φb
Calor disipado a lo largo de la fracción de tubo sin aletas correspondiente a la longitud 0,0050 m, (sin la aleta)
qtubo = (π db x 0,0050) hc ext Φb = (π x 0,04 x 0,0050) x 60 Φb = 0,0377 Φb
Calor disipado por una aleta más el tubo correspondiente,
qtubo + q1 aleta = 0,0377 Φb + 0,6513 Φb = 0,689 Φb
Mejora = 
0,689 - 0,04147
0,04147
 = 15,60 ⇒ 1560% 
Aletas.IV.-101
b) Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superficie del tubo y el medio exterior, determi-
nar el calor disipado por cada metro de longitud de tubería con aletas.
Nº de aletas por 1 m de longitud de tubería : 1
a = 0,0055
 = 182
Qreal = 0,689 x 50 x 182 = 6270 Kcalh m
De otra forma,
Rendimiento de la aleta anular : µ = G2(αan βan) = 0,18
qaleta real = µ qaleta ideal = µ hc ext A (Tb - Text) = 
 A = 2 π (re2 - rb2) = 
 = 2 π (0,12 - 0,022) = 0,0603 m2 
 =
 
= 0,18 x 60 Kcal
h.m2.ºC
 x 0,0603 m2 x 50ºC = 32,56 Kcal
hora
qtubo = (π db x 0,0050) hc ext Φb = (π x 0,04 x 0,0050) x 60 x 50 = 1,8848 Kcalhora
Qtubo + aletas = (1,8848 + 32,57) x 182 = 6270,7 Kcalh.m
*****************************************************************************************
IV.11.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente
a 85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 460 Kcal/h.m para mantener la temperatura
ambiente en +24°C.
Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido k= 50 Kcal/h.m°C, del calibre 60/66 y de aletas
anulares del mismo material y de radio exterior
66 mm, con un espesor de 3 mm y considerando
que los coeficientes de película son 1000 y 8
Kcal/h.m2°C, determinar el número de aletas
necesario para disipar el calor indicado.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
Veamossi son necesarias las aletas,
q
a = 1 metro
 = 
2 π (TF - Text)
1
ri hcF
 + 
ln rbri
k
 + 1
rb hc ext
 = 
2 π (85 - 24)
1
0,06 x 1000
 + 
ln 33
30
50
 + 1
0,033 x 8
 = 100,25 Kcal
h m
 < 460 Kcal
h m
luego SI son necesarias, ya que el tubo limpio no puede aportar las calorías necesarias
Cálculo de Tb,
Q = 
TF - TpF
1
2 π a ri hcF
 = 
TpF - Tb
ln rbri
2 π k a
 = TF - Tb
1
2 π a ri hcF
 + 
ln rbri
2 π k a
TF - Tb = 
Q
2 π a
 ( 1
 ri hcF
 + 
ln rbri
k
 ) = 
460 Kcal
h.m
2 π x 1
 ( 1
0,03 x 1000
 + 
ln 33
30
50
 ) = 2,58
Tb = TF - 2,58 = 85 - 2,58 = 82,42ºC
Calor disipado por una aleta,
q1 aleta = π (1 - αan2 ) k e Φb βan
2
 G2(αan.βan) =
Aletas.IV.-102
 
= 
 αan = 
rb
re
 = 
0,033
0,066
 = 0,5 
βan = 
2 re2 hc ext
k e
 = 
2 x 0,0662 x 8
50 x 0,03
 = 0,682
 ⇒ G2(αan.βan) = 0,95 =
 
= π (1 - 0,52) x 50 x 0,003 x (82,42 - 24) x 0,6822 x 0,95 = 9,11 Kcal
hora
ó también,
q1 aleta = µ hc ext A (Tb - Text) = G2(αan βan) hc ext 2 π 4 
 (de2 - db
2) (Tb - Text) =
 
= 0,95 x 8 x 2 π
4
 (0,1322 - 0,0662) x (82,42 - 24) = 9,11 Kcal
hora
Calor total disipado,
Q = qaletas + qtubo entre aletas 
Para a = 1 m habrá N aletas de espesor “e” que ocupan (N e) metros, por lo que quedan (1 - N e) metros de tubo
sin aletas
Calor disipado por la tubería entre aletas: (
q
 a )tub (1 - N e)
Calor disipado por las aletas: q1 aleta N
Calor total a disipar por el tubo más las aletas: Q = (
q
 a = 1 metro 
)total = 460 Kcalh.m
 =
= (
q
 a )tub (1 - N e) + q1 aleta N = 100,25 (1 - N 
x 0,003) + 9,11 N ⇒ N = 40,83 ≅ 41 aletas
Separación entre aletas: 
1 - (41 x 0,03)
41
 = 0,0219 m
*****************************************************************************************
IV.12.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente
a 85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 5000 Kcal/hora para mantener la temperatura
ambiente en +24°C.
Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido k=
50 Kcal/h.m°C, del calibre 60/66 y de aletas anulares del
mismo material, separadas 20 mm, y de radio exterior 66
mm, con un espesor de 3 mm y sabiendo que los coefi-
cientes de película son 1000 y 8 Kcal/h.mºC,
determinar el número de aletas necesario para disipar el calor indicado.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
Q = 
TF - TpF
1
2 π a ri hcF
 = 
TpF - Tb
ln rbri
2 π k a
 = TF - Tb
1
2 π a ri hcF
 + 
ln rbri
2 π k a
TF - Tb = 
Q
2 π a
 ( 1
 ri hcF
 + 
ln rbri
k
 ) = 
5000 Kcal
hora
2 π a
 ( 1
0,03 x 1000
 + 
ln 33
30
50
 ) = 
28,042
a
Tb = TF - 
28,042
a
Φb = Tb - Text = TF - 
28,042
a - Text = 85 - 
28,042
a - 24 = 61 - 
28,042
a
Calor total disipado,
Q = qN aletas + qtubo entre aletas 
Aletas.IV.-103
qN aletas = π (1 - αan2 ) k e Φb βan
2
 G2(αan.βan) N
 
 αan = 
rb
re
 = 
0,033
0,066
 = 0,5 
βan = 
2 re2 hc ext
k e
 = 
2 x 0,0662 x 8
50 x 0,03
 = 0,682
 ⇒ G2(αan.βan) = 0,95 
Calor disipado por el tubo entre aletas: (2 π rb a - N e 2 π rb) hc ext Φb = 2 π rb a (1 - N ea ) hc ext Φb
Q = π (1 - αan2 ) k e Φb βan
2 G2(αan.βan) N + 2 π rb a (1 - N ea ) hc ext Φb = Φb = 61 - 
28,042
a =
= [ π (1 - 0,52) x 50 x 0,003 x (61 - 28,042a ) x 0,682
2 x 0,95 N] +
+ [2 π x 0,033 a (1 - N 
x 0,003
a ) 
x 8 x (61 - 
28,042
a ) ] = 
= 
 N (0,020 + 0,003) = a 
N = a
0,023
 = 43,48 a
 = [ π (1 - 0,52) x 50 x 0,003 x (61 - 28,042a ) x 0,682
2 x 0,95 N] +
+ [2 π x 0,033 a {1 - (43,48 x 0,003)} x 8 x (61 - 28,042a ) ] = 501,73 a - 230,65 = 5000 
Kcal
hora
a = 
 5000 + 230,65
501,73
 = 10,42 m
Temperatura en la base: Tb = 24 + 61 - 
28,042
10,42
 = 82,3ºC
*****************************************************************************************
IV.13.- Sobre un tubo de una aleación de aluminio de 20 mm de diámetro exterior se desea colocar aletas
longitudinales de perfil triangular. La base de las aletas tiene un espesor de 1 mm y la distancia entre los
centros de las bases de las aletas es de 3,5 mm lo que permite mantener un coeficiente de película hcF =50
Kcal/hm2°C. La conductividad térmica del material es, k = 100 Kcal/hm°C.
Determinar
a) Las dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales (su longitud )
b) El calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo si la temperatura de la base es de 125°C
y la del fluido exterior de 20°C
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en el vértice
d) El calor evacuado por una aleta
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) Dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales
Lópt = 1,196 (Ω khcF
)1/3 = Ω = b L
2
 = 1,196 (
b Lópt k
2 hcF
)1/3 = 1,196 ( b k
2 hcF
)1/3 Lópt
1/3
Lópt
2/3 = 1,196 ( b k
2 hcF
)1/3 = 1,196 (
0,001 x 100
2 x 50
)1/3 = 0,1196 ; Lópt = 0,04136 m = 41,36 mm ; Base = 1 mm
b) Calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo, si la temperatura de la base es de 125°C y la
del fluido exterior de 20°C
Para 1 aleta: q1 aleta = - Φb k b 
βt
 2 L 
 G4(βt)
Φb = Tb - TF = 125 - 20 = 105º
βt = 
8 f hcF L2
k b
 = f = 1 + ( b
2 L
)2 = 1 + ( 1
2 x 41,36
)2 = 1,00007 =
Aletas.IV.-104
 
= 
8 x 1 x 50 x 0,041362
100 x 0,001
 = 2,616 ⇒ G4(βt) = 0,77 (Gráfica)
ó también: G4(βt) = 
I1(βt)
Io(βt)
 = 
I1(2,616)
I0(2,616)
 = 0,775
Para 1 aleta: q1 aleta = - Φb k b 
βt
 2 L 
 G4(β t) = - 105 x 100 x 0,001 x 
2,616
2 x 0,04136
 x 0,775 = 257,35 Kcal
m lineal
ó también a partir de Lóptima, en la forma,
Lópt = 
0,842
hcF
 
q1 aleta
Tb - TF
 ; 0,00413 = 
0,842
50
 
q1 aleta
105
 ; q1 aleta = 257,5 Kcal
Para N aletas,
Nº N de aletas = de π = 3,5 N ; N = 20 π3,5
 = 17,97 ⇒ 18 aletas
qN aletas = 257,35 Kcalm lineal
 x 18 aletas = 4632,23 Kcal
m lineal
Calor disipado por la fracción de tubo sin aletas: qtubo = ( 2 π re - N b) L hcF (Tb - TF) =
 
= [( 2 π x 0,01) - (18 x 0,001)] x 1 m x 50 Kcal
hm2ºC
 x 105ºC = 235,4 Kcal
m lineal
qTotal (1 m lineal) = 4632,23 + 235,4 = 4867,63 Kcalm lineal
Rendimiento de la aleta: η = 
2 G4(βt)
βt
 = 
2 x 0,775
2,616
 = 0,5925 = 59,25% (Del orden del 60%)
c) Temperatura en el centro de gravedad de la aleta,
 Φ 
Φb
 = G3(βt , ηt) = 
 βt = 2,616 ; ηt = x L 
 = 2
 3 
 = 0,8165 
 βt ηt = 2,616 x 0,8165 = 2,1388 ; G3(2,1388) = 0,69 
 = 0,69
Tcentro gravedad - TF
Tb - TF
 = 0,69 ; 
Tcentro gravedad - 20
125 - 20
 = 0,69 ; Tcentro gravedad = 92,45ºC 
De otra forma
Φ
Φb
 = 
I0(2 n x)
I0(2 n L)
 = T - 20
125 - 20
L = 0,04136 m ; x = 2 L
3
 = 0,02757 m
n = 2 f hcF L
k b
 = 
2 x 1 x 50 x 0,04136
100 x 0,001
 = 6,431
2 n x = 2 x 6,431 x 0,02757 = 2,1356 ; I0(2 n x) = I0(2,1356) = 2,522
2 n L = 2 x 6,431 x 0,04136 = 2,6153 ; I0(2 n L) = I0(2,6153) = 3,60
Φ = Φb 
I0(2 n x)
I0(2 n L)
 = (125 - 20) 
2,522
3,6
 = 73,55 ; Tcentro gravedad = 20 + 73,55 = 93,55ºC
Temperatura en el vértice de la aleta
Aletas.IV.-105
Φ = Φb 
I0(2 n 0)
I0(2 n L)
 = (125 - 20) 1
3,6
 = 29,16ºC ; Tvértice = 20 + 29,16 = 49,16ºC*****************************************************************************************
IV.14.- Un tubo de una determinada aleación k= 80 W/m°K tiene un diámetro interior de 25 mm y un
diámetro exterior de 30 mm, y sobre el mismo se han dispuesto 20 aletas rectas longitudinales, del mismo
material que el tubo, uniformemente distribuidas, con su extremo libre aislado térmicamente, de espesor e=3
mm y longitud transversal L= 30 mm.
El medio exterior (aire), se encuentra en reposo a la temperatura de 20°C, siendo de 100°C la temperatura
de la superficie exterior del tubo.
Suponiendo el mismo coeficiente de película en el tubo y en las aletas, determinar,
a) El aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas
b) Temperatura en el centro de gravedad de cada aleta y en su extremo libre.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
Propiedades del aire exterior,
Tpared-fluido = 100 + 202
 = 60ºC ⇒ 
ρaire = 1,025 
Kg
m3
 ; cpF aire = 1017 JKgºK
 ; kaire = 0,0279 Wm ºK
 νaire = 19,4 x 10-6 m
2
seg ; Pr = 0,71 ; 
g β
ν2
 = 0,782 x 108
El coeficiente de película se puede calcular a partir de la fórmula,
Nu = 0,6 + 0,387 Gr Pr
{1 + (
0,56
Pr
)9/16}16/9
6 , válida en: 105 < Gr.Pr < 1012 ; Pr > 0,5
Gr = 
g β ∆ T L3
ν2
 = 
 ∆T = 100 - 20 = 80ºC
L = d = 0,03 m
 = 0,782 x 10 x 80 x 0,033 = 168.912
Gr . Pr = 168.912 x 0,71 = 119927,5 
por lo tanto,
Nu = 0,6 + 0,387 
119927,5
{1 + (
0,56
0,71
)9/16}16/9
6
= 2,8558 ; Nu = 8,1557
hcF = Nu kd
 = 
8,1557 x 0,0279
0,03
 = 7,585 W
m2ºC
a) Aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas
Calor desprendido por metro lineal de tubo sin aletas: 
q = hcF AL ∆T = 7,585 W
m2ºC
 x 0,03 π (m2) x (100 - 20)ºC = 57,19 Wm
Espacio de tubo no ocupado por las aletas = 0,03 π - (20 x 0,003) = 0,03425 m
Calor desprendido por metro lineal a través del tubo no ocupado por las aletas = 
0,03425 x 57,19
0,03 π
 = 20,78 Wm 
ALETA con su extremo libre térmicamente aislado:
qN aletas = - k S 
Tb - TF
L
 Bi Th Bi N = 
 S = 0,003 x 1 = 0,003 m2 
 p = (1 + 0,003) x 2 = 2,006 m 
 Bi = 
p hcF L2
k S
 = 
2,006 x 7,585 x 0,032
80 x 0,003
 = 0,0571 
 =
 
= 80 x 0,003 x 80 x 0,2388 x 0,2344 x 20 = 716,5 Wm
Aletas.IV.-106
Calor disipado total = 20,78 + 716,5 = 737,28 Wm
Aumento en % = 
737,28 - 57,19
57,19
 x 100 = 1189% 
b) Temperatura en el centro de gravedad de cada aleta y en su extremo libre
Φ(ξ) = 
T(ξ) - TF
Tb - TF
 = 
Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Temperatura en el (c.d.g) de la aleta: (ξ = 0,5) ; T(0,5) - 20
100 - 20
 = 
Ch{ 0,0571 (1 - 0,5)}
Ch 0,0571
 = 0,9791
 T(c.d.g) = 98,32ºC
Temperatura en el extremo libre: (ξ = 1) ; T(1) - 20
100 - 20
 = 1
Ch 0,0571
 ; T(1) = TL = 97,77ºC
*****************************************************************************************
IV.15.- Para realizar el control del calentamiento de un determinado reactor, que no debe sobrepasar los
250°C, se hace uso de un tubo especial de acero k= 45 W/m°C, en cuyo interior se ha hecho el vacío, que
conecta el interior del reactor con un dispositivo electrónico exterior acoplado en su otro extremo y que no
debe sobrepasar los 60°C. Si el tubo se asimila a un cilindro de 50 cm de longitud y 3 cm de diámetro, y el
medio exterior se encuentra a 20°C, determinar,
 
a) El coeficiente de película existente entre el cilindro y el
medio exterior
b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el
cilindro
c) La temperatura en la mitad del cilindro
________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
El tubo de acero, cuyo diámetro interior no se da, y en cuyo interior se ha hecho el vacío (no existe convección
en el interior), se puede asimilar a una protuberancia cilíndrica de 3 cm de diámetro, con uno de sus extremos a
250ºC y el otro extremo, sobre el que va el dispositivo electrónico que no permite intercambio térmico por el
extremo, que consideraremos térmicamente aislado a 60ºC.
a) Coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exterior
Tb - TF
T(1) - TF
 = Ch Bi ; 250 - 20
60 - 20
 = 5,75 = Ch Bi ; Bi = 5,9277 
Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
hcF (π d) L2
k π d
2
4
 = 4 hcF L
2
k d
 = 
4 hcF x 0,52
45 x 0,03
 = 5,9277 ; hcF = 8 W
m2ºC
 
b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro
Con este valor de hcF la convección es natural y, por lo tanto, no es necesario ningún otro tipo o medio de refri-
geración
c) Temperatura en la mitad del cilindro
Φ(ξ) = 
T(ξ) - TF
Tb - TF
 = 
Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Temperatura en la mitad del cilindro: (ξ = 0,5) ; T(0,5) - 20
250 - 20
 = 
Ch{ 5,92771 (1 - 0,5)}
Ch 5,9277
 ; T(0,5) = 93,5ºC
*****************************************************************************************
IV.16.- Un cazo metálico contiene agua hirviendo a 100ºC. El mango metálico del mismo, es un tubo cilín-
Aletas.IV.-107
drico, de diámetro exterior de= 0,01 m, longitud L= 0,175 m, espesor 1 mm y conductividad térmica k= 40
W/mºK, y lleva en su extremo libre un aislamiento térmico. La temperatura del aire del medio exterior y del
hueco del tubo es de 20ºC y el coeficiente de película correspondiente hc = 10 W/m2ºC.
a) Determinar a partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor
evacuado a través del mango y rendimiento.
 
b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo
del mango es despreciable, determinar a partir de qué posición
en el mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor evacuado
a través del mango y rendimiento.
c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a
50ºC.
d) El tipo de diseño del mango más favorable
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) A partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC.
Distribución de temperaturas: Φ(ξ) = 
T(ξ) - TF
Tb - TF
 = 
Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
 p = π (de + di) = π (0,01 + 0,008) = 0,05655 m 
 S = π
 4 
 (de2 - di
2) =
= π
 4 
 (0,012 - 0,0082) = 2,827 x 10-5 m2 
 = 
10 x 0,05655 x 0,1752
40 x 2,827 x 10-5
 = 15,31
La temperatura en la base de la protuberancia, entronque con el cazo, es de 100ºC, ya que el coeficiente de pelí-
cula del agua en ebullición es muy elevado, por lo que la temperatura del agua y la del cazo será prácticamente
la misma.
Si llamamos “x” a la distancia a partir de la cual la temperatura del mango es inferior a 50ºC, se tiene,
50 - 20
100 - 20
 = 0,375 = 
Ch { 15,31 (1 - x
0,175
)}
Ch 15,31
 ⇒ x = 0,0439 m 
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
q = k S Tb - TF
L
 Bi Th Bi = 40 x 2,827 x 10-5 x 80 
0,175
 x 15,31 Th 15,31 = 2,02 W
µ = Th Bi
Bi
 = 
Th 15,31
15,31
 = 0,2523 = 25,23%
b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a par-
tir de qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC.
Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
p = π de = π x 0,01 = 0,0314 m
 S = π
 4 
 (de2 - di
2) = π
 4 
 (0,012 - 0,0082) = 
= 2,827 x 10-5 m2 
 = 
10 x 0,0314 x 0,1752
40 x 2,827 x 10-5
 = 8,5
50 - 20
100 - 20
 = 0,375 = 
Ch { 8,5 (1 - x
0,175
)}
Ch 8,5
 ⇒ x = 0,06 m 
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
q = k S Tb - TF
L
 Bi Th Bi = 40 x 2,827 x 10-5 x 80 
0,175
 x 8,5 Th 8,5= 1,4985 W
Aletas.IV.-108
µ = Th Bi
Bi
 = 
Th 8,5
8,5
 = 0,3409 = 34,1%
c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC.
Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
p = π de = π x 0,01 = 0,0314 m
 S = π de
2
 4 
 = 
π x 0,012
 4 
 = 7,85 x 10-5 m2 
 = 
10 x 0,0314 x 0,1752
40 x 7,85 x 10-5
 = 3,06
50 - 20
100 - 20
 = 0,375 = 
Ch { 3,06 (1 - x
0,175
)}
Ch 3,06
 ⇒ x = 0,128 m 
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
q = k S Tb - TF
L
 Bi Th Bi = 40 x 2,827 x 10-5 x 80 
0,175
 x 3,06 Th 3,06 = 2,366 W
µ = Th Bi
Bi
 = 
Th 3,06
3,06
 = 0,538 = 53,8%
d) El tipo de diseño del mango más favorable, será aquel que menos “queme”, o menos calor disipe; en nues-
tro caso es el mango (b)
*****************************************************************************************
IV.17.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme k = 10 Kcal/h.m.ºC, de 120 mm de longitud y 20 mm de
diámetro, entre dos paredes, que se encuentra a 300ºC y 100ºC respectivamente. .
 
Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de
10ºC, y que el coeficiente de película es hC = 15 Kcal/h.m2.ºC.
Determinar
a) El calor evacuado al exterior
b) La temperatura en la mitad de la aguja
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
Aleta con sus extremos a temperaturas Tb y TL
a) Calor evacuado al exterior
El calor evacuado al exterior es la diferencia de los calores que pasan por las bases.
q = qξ=0 - qξ=1 = - k S L
 (Tb - TF) Bi 
 (1 - Ch Bi ) {Φ(1) + 1}
 Sh Bi 
 = 
= 
 S = π d
2
4
 = 
π x 0,022
4
 = 3,14 x 10-4 m2 
 Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
15 x (π x 0,02) x 0,122
10 x 3,14 x 10-4
 = 4,32 ; Φ(1) = 100 - 10
300 - 10
 = 0,31 
 =
= - 
 10 Kcal
hm2ºC
 x 3,14 x 10-4 m2 
0,12 m
 (300 - 10) 4,32 
 (1 - Ch 4,32 ) {0,31 + 1}
 Sh 4,32 
 = 16 Kcal
hora
b) Temperatura en la mitad de la aguja
Φ(ξ) = 
 Sh{ Bi (1 - ξ )} + Φ(1) Sh( Bi ξ)
 Sh Bi 
Φ(0,5) = Sh{ 4,32 (1 - 0,5 )} + 0,31
 x Sh( 4,32 x 0,5)
 Sh 4,32 
 = 0,4119
Aletas.IV.-109
Tξ=0,5 - TF
Tb - TF
 = 
Tξ=0,5 - 10
300 - 10
 ; Tξ=0,5 = 129,5ºC 
*****************************************************************************************
IV.18.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme, de 30 cm de longitud y 2 cm de diámetro, que sobresale de
una superficie plana A que se encuentra a 400ºC. El cilindro está conformado por dos tipos de material, de
forma que los 5 primeros cm más cercanos a la pared tienen una conductividad térmica k1 = 2 Kcal/h.m.ºC,
y el resto una conductividad térmica, k2 = 5 Kcal/h.m.ºC.
Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de 20ºC, y que el coeficiente de película
lateral y en el extremo libre B es hC = 10 Kcal/h.m2.ºC.
 
Determinar
a) La temperatura TC de unión de los materiales que confor-
man el cilindro
b) El calor evacuado al exterior
c) La temperatura en el extremo libre B
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
El cilindro se puede considerar, con conducción unidimensional, conformado por una aleta (AC) entre 2 tempe-
raturas y una aleta (CB) con convección por el extremo libre.
Aleta con convección en el extremo libre, Base a TC
El calor disipado q2 es el que entra por la base C
q2 = 
 k2 S (TC - TF) Bi2 
L2
 
Th Bi2 + 
 S Bi2 
p L2
 1 + S Bi2 
p L2
 Th Bi2 
 = 
 p = π d = π x 0,02 = 0,06283 m ; L2 = 0,25 m 
 S = π d
2
4
 = 
π x 0,022
4
 = 0,000314 m2 
 Bi2 = 
hC p L2
2
k2 S
 = 
10 x 0,06283 x 0,252
5 x 0,000314
 = 25 
TC - TF = ΦC
 =
 
= 
 5 Kcal
h.m.C
 x 0,000314 m2 x ΦC ºC x 5 
0,25 m
 
Th 5 + 
 0,000314 x 5 
0,06283 x 0,25
 1 + 0,000314 
x 5 
0,06283 x 0,25
 Th 5 
 = 0,0314 ΦC
Aleta con sus extremos a temperaturas TA y TC
El calor que atraviesa la base C es,
q1 = - 
 k1 S 
L1
 (TA - TF) Bi1 
 - Ch{ Bi1 (1 - ξ)} + Φ(1) Ch{ Bi1 ξ}
 Sh Bi1 
 = 
 L1 = 0,05 m ; ξ = 1
 Φ(1) = TC - TF
TA - TF
 = Φ
400 - 20
 = Φ
380
 
 =
= - k1 S 
L1
 (TA - TF) Bi1 
 - Ch{0} + Φ(1) Ch Bi1
 Sh Bi1 
 = 
 Bi1 = 
p L1
2 hC
k1 S
 = 
0,06283 x 0,052 x 10
2 x 0,000314
 = 2,5 
Bi1 = 1,581
 =
= - 
 2 Kcal
h.m.ºC
 x 0,000314 m2 
0,05 m
 (400 - 20)ºC x 1,581 x 
 - 1 + Φ
380
 Ch 1,581
 Sh 1,581 
 = 3,2445 - 0,02162 Φ
Igualando los dos calores en C se obtiene,
Aletas.IV.-110
0,0314 Φ = 3,2445 - 0,02162 Φ ⇒ Φ = 61,2ºC = TC - 20 ; TC = 81,2ºC
b) Calor evacuado al exterior
El calor evacuado al exterior por el cilindro, es el mismo que penetra por la base A; por lo tanto,
qA = - 
 k1 S 
L1
 (TA - TF) Bi1 
 - Ch{ Bi1 (1 - ξ)} + Φ(1) Ch{ Bi1 ξ}
 Sh Bi1 
 = 
 x = 0 ; ξ = 0
 Φ(1) = TC - TF
TA - TF
 = 
61,2
400 - 20
 = 0,161 
 =
 
= - 
 2 Kcal
h.m.ºC
 x 0,000314 m2 
0,05 m
 (400 - 20)ºC x 1,581 x 
 - Ch 1,581 + 0,161
 Sh 1,581 
 = 7,69 Kcal
hora
c) Temperatura en el extremo libre B ⇒ ξ = 1 (Aleta con convección en el extremo libre)
Φ(1) = Ch 0 + 0
Ch Bi2 + 
S Bi2
p L2
 Sh Bi2
 = TB - TF
TC - TF
 
1
Ch 5 + 
0,000314 x 5
0,06283 x 0,25
 Sh 5
 = 0,006739 = TB - 20
81,2 - 20
 ⇒ TB = 20,41ºC 
*****************************************************************************************
IV.19.- Un soldador consiste, (a efectos térmicos), en una varilla cilíndrica metálica que se calienta eléctri-
camente por un extremo B alcanzándose en el otro extremo A (punta del soldador) una cierta temperatura.
La temperatura del medio exterior es de 20ºC.
Las dimensiones del soldador son, Longitud L= 80 mm; Diámetro d= 5 mm
Determinar, considerando sólo efectos convectivos,
a) La temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen
estacionario), y la potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones
b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y
que el calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo
una temperatura de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC. ¿Qué temperatura máxima se podría conse-
guir en estas circunstancias?
Datos del material del soldador, k = 80 W/mºK ; hC = 20 W/m2ºK ; α = 1,93 x 10-4 m2/seg
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
a) Temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estaciona-
rio)
Se trata de una aguja cilíndrica (protuberancia) que intercambia calor on el medio exterior, con convección por
el extremo libre,
Se conoce, TA = 277ºC ; ξ = 1
 T(x) - TF 
TB - TF
 = 
 Bi Ch[(1 - ξ) Bi] + hC L 
k
 Sh[(1 - ξ) Bi] 
Bi Ch Bi + hC L 
k
 Sh Bi
 ; 400 - 20 
TB - 20
 = 
 Bi Ch(0) + 0
Bi Ch Bi + hC L 
k
 Sh Bi
Bi = 
hC p L2
k S
 = 
 p = d π = 0,005 π = 0,0157 m 
 S = π d
2
4
 = 1,96 x 10-5 m2 
 = 
20 x 0,0157 x 0,082
80 x 1,96 x 10-5
 = 1,2816
 400 - 20 
TB - 20
 = 
 1,28 
1,28 Ch 1,28 + 
20 x 0,08
80
 Sh 1,28
 = 0,576 ; TB = 679,6ºC
Potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones
Aletas.IV.-111
Hay que determinar una cantidad de calor igual a la que se desprende a través de toda la varilla
qconv = 
 k S (Tb - TF) Bi 
L
 
Th Bi + S Bi 
p L
 1 + S Bi 
p L
 Th Bi 
 =
 
 = 
 80 x 1,96 x 10-5 (679,6 - 20) 1,28 
0,08
 
Th 1,28 + 
 1,96 x 10-5 1,28 
0,0157 x 0,08
 1 + 
 1,96 x 10-5 1,28 
0,0157 x 0,08
 Th 1,28 
 = 12 W
De otra forma
A partir de la eficiencia de la aleta se tiene,
qconv = hC A (TB - TA) ηaleta = 
 ηaleta = Th Bi
Bi
 = 
Th 1,28
1,28
 = 0,7172A = 1,276 x 10-3 m2
 =
 = 20 x 1,276 x 10
-3 x (679,6 - 20) x 0,7172 = 12 W
b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el
calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una tem-
peratura de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC.
Al realizarse el calentamiento uniformemente, se trata de un caso con condición de contorno con RESISTENCIA
TERMICA INTERNA DESPRECIABLE, por lo que,
t = 
 ρ L cp 
hCF
 ln (
q
q - hcF A (T - TF)
) = V k
A hCF α
 ln (
q
 q - hcF A (T - TF) 
)
en la que q/A es la potencia eléctrica a aplicar en B
q = 12 W
V
A
 = 
π d2
4
 L
π d L + π d
2
4
 = d L
4 L + d
 = 
0,005 x 0,08
(4 x 0,08) + 0,005
 = 1,23 x 10-3 m
Bi = 
hC VA
k
 = 
20 x 1,23 x 10-3
80
 = 3,07 x 10-4 << 1 (que confirma el enunciado)
A = π d L + π d
2
4
 = (π x 0,005 x 0,08) + π 
x 0,0052
4
 = 1,276 x 10-3 m2
t = 
1,23 x 10-3 m x 80 W
mºC
20 W
m2.ºC
 x 1,93 x 10 -4 m
2
seg
 ln ( 12 W
 12 W - 20 W
m2.ºC
 x 20 m2 (300 - 20)ºC 
) = 23,07 seg
Temperatura máxima que se podrá conseguir en estas circunstancias
Para: t → ∞ ; q = hC A (Tmáx - TF) ; Tmáx = TF + 
q
 A hC 
 = 20 + 12
 1,276 x 10-3 x 20 
 = 490,2ºC 
*****************************************************************************************
IV.20.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se
dispone de un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que
consiste en un tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y ale-
tas longitudinales triangulares, de altura 4 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,785 cm, colocadas a
una distancia entre centros de 15,7 mm, del mismo material que el tubo
La velocidad del agua caliente es de 1,5 m/seg
Aletas.IV.-112
La longitud del tubo con aletas es de 300 metros. El tubo se encuentra en posición horizontal y la nave tiene
100 m de longitud.
Determinar
a) El calor disipado por una aleta
b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la
misma a la entrada del tubo
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
e) La temperatura en el extremo de la aleta, y en su centro de gravedad, en el punto medio de la tubería.
Datos del agua caliente,
ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ; Pr = 1,75 ; gβ/ν2 =
85,09 (1/ºK.m3)
Datos del aire,
ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 x 10-6 m2/seg ; Pr = 0,7; α = 0,3 x 10-4 m2/seg
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se
puede aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = db π
l
 = 50 mm x π
15,7
 = 10
Cálculo de hc ext (aire en reposo), En primera aproximación se puede suponer una temperatura de pared de
99,5ºC, que habrá que comprobar a posteriori.
Gr = 
g β ∆ T dbase
3
ν2
 = 
 ∆T = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; dbase = 0,05 m 
 
g β 
ν2
 = 
9,8 m
seg2
 x 1
(273 + 20)ºK
(20,76 x 10-6)2 m
2
seg
 = 7,76 x 107 1
m3 ºK
 
 =
 
= 7,76 x 107 1
m3 ºK
 x 79,5 x 0,053 = 771.150
Gr.Pr = 771.150 x 0,7 = 539.805 < 107 (laminar)
hc ext = 1,18 ∆Tdb
4
 = 1,18 
 79,5
0,05
4
 = 7,45 W
m2ºC
a) Calor disipado por una aleta triangular
No se conoce la temperatura en la base Tb, pero en primera aproximación podemos suponer vale 99,5ºC, que es
un poco inferior a la temperatura media del agua caliente, ya que el material de la tubería tiene una k = 42
W/mºC.
q1 aleta long. = µ hc ext Alateral aleta (Tb - Text)
Alateral aleta = 2 (L* x 300 m) = 2 (0,04 x 300) = 24 m2
Φb = Tb - TF = 99,5 - 20 = 79,5º
β t = 
8 f hcF L2
k b
 = f = 1 = 8 hcF L
2
k b
 = 
8 x 7,45 x 0,042
42 x 0,785 x 10-2
 = 0,5378 ; G4(β t) = 0,241 
µ = 
 2 G4(βt)
βt
 = 
2 x 0,24
0,5378
 = 0,8925
q1 aleta long. = 0,8925 x 7,45 x 24,1 x (99,5 - 20) = 12.750 W
Calor disipado por todas las aletas triangulares,
qN aletas long. = 12.750 x 10 = 127.503 W
Aletas.IV.-113
b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
qtubo = hc ext Atubo (Tb - Text) = 
 Atubo = (π db - 10 x 0,00783) x atubo = 
 { (π x 0,05) - (10 x 0,00783)} x 300 = 23,57 m2 
 =
 = 7,45 x 23,57 x (99,5 - 20) = 13.962 W
Qtotal = qtubo + qaletas = 13.962 + 127.503 = 141.465 W = { Atubo + µ Aaletas} hc ext (Tb - Text)
De otra forma,
Q = TF - Text
1
Ai hci
 + 1
2 π k a
 ln rbri
 + 1
(µ Aaletas + Atubo) hc ext
 = 
 µ = 0,8925
 Aaletas = 24 m x 10 = 240 m2 
Atubo = 23,57 m2
 =
= 
 Coeficiente de convección del fluido interior 
Redi = 
uF di
νagua
 = 
1,5 x 0,04
0,294 x 10-6
 = 204.080
 Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,3 = 0,023 x 204.080 0,8 x 1,750,3 = 481,4 ; hci = 
 481,4 x 0,682
0,04
 = 8.207 W
m2ºC
 
 = 
= 100 - 20
1
(2 π x 0,04 x 300) x 8207 + 
1
2 π x 42 x 300) ln 
0,5
0,4
 + 1
{(0,8925 x 240) + 23,57} x 7,45
 = 140.608 W 
De aquí se puede obtener la temperatura de la pared exterior Tb del tubo,
Qtotal = 
TF - Tb
1
Ai hci
 + 1
2 π k a
 ln rbri
 
 = 100 - Tb
1
(2 π x 0,04 x 300) x 8207
 + 1
2 π x 42 x 300)
 ln 
0,5
0,4
 =
 
= 100 - Tb
1,616 x 10-6 + 2,819 x 10-6 
 = 140.608 W ; Tb = 99,38ºC 
que es una aproximación más que suficiente el haber considerado la temperatura de 99,5ºC.
c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo
Qtotal = 141.465 W = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = (Ωi uF ρi) cp agua ∆T
*
 =
 
= Ωi = 
π di
2
4
 = 
 π x 0,042
4
 = 0,001257 m2 =
= 0,001257 m2 x 1,5 mseg 
x 958,4 
Kg
m3
 x 4211 J
KgºC
 x ∆T*ºC = 7607,3 ∆T*
Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo
∆T* = 141.465
7607,3
 = 18,6ºC ⇒ 
Tentrada = 100 + 
18,6 
2
 = 109,3ºC
Tsalida = 100 - 
18,6 
2
 = 90,7ºC 
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
NTU = U A
Cmín
 = 
 U A (TF - Text) = 141.465 W = U A (100 - 20) 
U A = 1768,3 W
m.ºC
 
Cmín = Gagua cp agua = 7607,3 WºC
 = 
1768,3
7607,3
 = 0,2324
ε = 1 - e-(NTU) = 1 - e- 0,2324 = 0,2074 = 20,74%
Comprobación: Q total = ε Cmín (TC1 - TF1) = 
Aletas.IV.-114
 = ε Cmín (Tentrada agua - Text) = 0,2474 x 7607,3 x (109,3 - 20) = 140.900 W
e) Temperatura en el extremo de la aleta (su vértice), para la situada en el centro de la tubería
Φvértice = Φb 
I0(βt ηt)
I0(βt)
 = (99,5 - 20) 
I0(0)
I0(0,5378)
 = 79,5ºC 1
1,076
 = 0,93
Tvértice = 20 + (0,93 x 79,5) = 93,9ºC
Temperatura en el centro de gravedad de la aleta,
Φ
Φb
 = 
I0(βt ηt)
I0(βt)
 = 
 βt = 0,5378 ; ηt = x L 
 = 2
 3 
 = 0,812 
 βt ηt = 0,5378 x 0,812 = 0,4367
 = 
I0(0,4367)
I0(0,5378)
 = 
1,04986
1,076
 = 0,9757
Tcentro gravedad - TF
Tb - TF
 = 0,9757 ; 
Tcentro gravedad - 20
99,5 - 20
 = 0,9757 ; Tcentro gravedad = 97,6ºC 
*****************************************************************************************
IV.21.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se
dispone de un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura mediade 100ºC, que
consiste en un tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y ale-
tas anulares del mismo material que el tubo, de diámetro exterior de = 15 cm y espesor en la base sobre el
tubo de 0,3 cm, colocadas a una distancia entre centros de 4 cm.
La velocidad del agua caliente es de 0,5 m/seg
La longitud del tubo con aletas, horizontal, es de 50 metros.
Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo libre
Se puede suponer una temperatura en la base de 99,5ºC
Determinar
a) El calor disipado por una aleta
b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la
misma a la entrada del tubo
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
e) La temperatura en el extremo aislado de las aletas
Datos del agua caliente,
ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ; Pr = ,751, ; gβ/ν2 =
85,09 1/ºK.m3
Datos del aire,
ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 x 10-6 m2/seg ; Pr = 0,7; α = 0,3 x 10-4 m2/seg
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se
puede aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas en el tubo: N = 50 m
0,04 m
 = 1250 aletas
Cálculo de hc ext (aire en reposo)
Aletas.IV.-115
Gr = 
g β ∆ T dbase
3
ν2
 = 
 ∆T = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; dbase = 0,05 m 
 
g β 
ν2
 = 
9,8 m
seg2
 x 1
(273 + 20)ºK
(20,76 x 10-6)2 m
2
seg
 = 7,76 x 107 1
m3 ºK
 
 =
 
= 7,76 x 107 1
m3 ºK
 x 79,5 x 0,053 = 771.150
Gr.Pr = 394830 x 0,7 = 539805 < 107 (laminar)
hc ext = 1,18 ∆Tdb
4
 = 1,18 
 79,5
0,05
4
 = 7,45 W
m2ºC
De otra forma,
El coeficiente de convección se puede calcular con la fórmula,
Nu = 0,6 x 0,387 x Gr Pr
{1 + (
0,56
Pr
)9/16}16/9
6 , válida en: 105 < Gr.Pr < 1012 ; Pr > 0,5
Nu = 0,6 x 0,387 x 539805
{1 + (
0,56
0,7
)9/16}16/9
6 = 3,495 ; Nu = 12,22
hcF = Nu kd
 = 
12,22 x 0,03
0,05
 = 7,332 W
m2ºC
a) Calor disipado por una aleta con su extremo libre térmicamente aislado
q1 aleta = µ hc ext Alateral aleta (Tb - Text)
Alateral aleta = 2 π (re2 - rb2) = 
 re = 7,5 cm
rb = 2,5 cm
 = 2 π (0,0752 - 0,0252) = 0,031416 m2
Φb = Tb - TF = 99,5 - 20 = 79,5ºC
αan = 
 rb 
 re 
 = 
0,025
0,075
 = 0,333
 βan = 
2 hcF re2
k e
 = 
2 x 7,45 x 0,0752
42 x 0,003
 = 0,809 
 ⇒ µ = G2(αan .βan) = 0,86 
q1 aleta = 0,86 x 7,45 W
m2 ºC
 x 0,031416 m2 x (99,5 - 20) = 16 W
Calor disipado por todas las aletas,
qN aletas = 16 W x 1250 = 20.000 W
b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
qtubo = hc ext Atubo (Tb - Text) = Atubo = π db (0,04 - 0,003) = 5,812 x 10-3 m2 =
 
= 5,812 x 10-3 m2 x 7,45 W
m2 ºC
 (99,5 - 20)ºC = 3,442 W
qtubo total = 1250 x 3,442 = 4.302,8 W
Qtotal = qtubo + qaletas = 20.000 + 4302,8 = 24.302,8 W 
ó Qtotal = { Atubo + µ Aaletas} hc ext (Tb - Text)
De otra forma,
Aletas.IV.-116
Q = TF - Text
1
Ai hci
 + 1
2 π k a
 ln rbri
 + 1
N (µ Aaletas + Atubo) hc ext
 = 
 µ = 0,86
 Aaletas = 0,031416 m2 
Atubo = 0,005812 m2
 =
= 
 Coeficiente de convección del fluido interior 
Redi = 
uF di
νagua
 = 0,5 
x 0,04
0,294 x 10-6
 = 68027
 Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,3 = 0,023 x 6802700,8 x 1,750,3 = 200 ; hci = 
 200 x 0,682
0,04
 = 3410 W
m2ºC
 
 = 
= 100 - 20
1
(2 π x 0,04 x 50) x 3410 + 
1
2 π x 42 x 50 ln 
0,5
0,4
 + 1
1250 x {(0,86 x 0,031416) + 0,005812} x 7,45
 = 24010 W
c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo
Qtotal = 24302,8 W = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = (Ωi uF ρi) cp agua ∆T
*
 =
 
= Ωi = 
π di
2
4
 = 
 π x 0,042
4
 = 0,001257 m2 =
 
= 0,001257 m2 x 0,5 mseg 
x 958,4 
Kg
m3
 x 4211 J
KgºC
 x ∆T*ºC = 2535,8 ∆T*
Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo
∆T* = 24302,8
2535,8
 = 9,58ºC ⇒ 
Tentrada = 100 + 
9,6 
2
 = 104,8ºC
Tsalida = 100 - 
9,6 
2
 = 95,2ºC 
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
ε = 1 - e-(NTU)
NTU = U A
Cmín
 = 
 U A (TF - Text) 
 24302,8 W = U A (100 - 20) ; U A = 303,785 W
m.ºC
 
Cmín = Gagua cp agua = 2535,8 WºC
 = 
303,785
2535,8
 = 0,1198
ε = 1 - e-(NTU) = 1 - e- 0,1198 = 0,113 = 11,3%
Comprobación: Q total = ε Cmín (TC1 - TF1) = 
 = ε Cmín (Tentrada agua - Text) = 0,113 x 2535,8 x (104,8 - 20) = 24.277 W
e) Temperatura en el extremo aislado de la aleta central
Φe = Φb G1(αan βan) = 
αan = 0,333
βan = 0,809
 ⇒ G1(αan βan) = 0,83 = 0,83 Φb 
Te = 20 + (0,83 x 79,5) = 86ºC (aleta central) ; 
Te primera aleta = 20 + 0,83 x {(104,8 - 0,5) - 20} = 89,55ºC
Te última aleta = 20 + 0,83 x { (95,2 - 0,5) - 20)} = 82,00ºC 
 
*****************************************************************************************
IV.22.- En una habitación se dispone de un sistema de calefacción por agua caliente que consiste en un tubo
de acero de diámetro interior di = 4 cm y diámetro exterior db = 4,4 cm, y aletas anulares de diámetro exte-
rior de = 10 cm y espesor 0,1 cm, colocadas a una distancia entre centros de 5 cm. El coeficiente k = 42
Kcal/hm°C
La longitud del tubo es de 12 metros
El coeficiente de película al exterior es, hc ext = 5 Kcal/hm2°C
Aletas.IV.-117
El coeficiente de película por el interior del tubo correspondiente al {agua caliente-pared interior del tubo}
es hci = 1000 Kcal/hm2°C
Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo
Se puede suponer que la temperatura exterior del tubo es igual a la temperatura en la base de la aleta Tb
Temperatura del aire, Text = 20°C
Determinar
a) El valor de U A
b) La temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo y el calor cedido a la
habitación, si circulan 10 litros/minuto de agua, que entra en la tubería a 60°C
c) La temperatura en el extremo aislado de la primera aleta
Datos del agua, ρ = 1000 kg/m3 ; cp = 1 Kcal/kg°C
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se
puede aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = 12 m
0,05
 = 240
Calor disipado por una aleta
q1 aleta anular = µ hc ext Alateral aleta (Tb - Text)
No se conoce la temperatura en la base Tb
Alateral aleta = 2 π (re2 - rb2) = 
 re = 5 cm
rb = 2,2 cm
 = 2 π (0,052 - 0,0222) = 0,0127 m2
Eficiencia de la aleta,
αan = 
 rb 
 re 
 = 
0,022
0,05
 = 0,44
 βan = 
2 hcF re2
k e
 = 
2 x 5 x 0,052
42 x 0,001
 = 0,77 
 ⇒ µ = G2(αan .βan) = 0,92 
q1 aleta = 0,92 x 5 Kcal
h.m2.ºC
 x 0,01276 m2 x (Tb - 20)ºC = 0,05842 (Tb - 20) Kcalhora
qtubo (para 1 aleta) = hc ext Atubo (Tb - Text) = Atubo = π x 0,044 x 0,049 = 0,0068 m2 =
 
= 5 Kcal
h.m2.ºC
 x 0,0068 m2 x (Tb - 20)ºC = 0,034 (Tb - 20) Kcalhora
a) Valor de (U A)
Qtotal = N (qtubo + qaletas) = 240 x {0,05842 (Tb - 20) + 0,034 x (Tb - 20)} = 
Tb - 20
0,04508
 Kcal
hora
Qtotal = 
TF - Ti
1
2 π ri a hci
 = Ti - Tb1
2 π k a
 ln rbri
 = Tb - 20
0,04508
 =
= TF - 20
1
2 π ri a hci
 + 1
2 π k a ln 
rb
ri
 + 0,04508
 = TF - 20
1
2 π x 0,02 x 12 x 1000 + 
1
2 π x 42 x 12 ln 
0,022
0,020
 + 0,04508
 =
= TF - 20
0,0006631 + 0,00003009 + 0,04508
 = TF - 20
0,045773
 = U A (TF - 20)
U A = 1
0,045773
 = 21,847 Kcal
h ºC
Aletas.IV.-118
b) Temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo (que entra en la tubería a
60°C si circulan 10 litros/minuto de agua
Qtotal = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = U A 
∆T2 - ∆T1
ln ∆T2
∆T1
 
∆T2 = Tent - Text = 60 - 20 = 40
∆T1 = Tsal - Text = Tsal - 20
Gagua = V ρ = 10 x 60 lithora
 x 1000 
Kg
m3
 = 600 
Kg
hora
Qtotal = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = 600 
Kg
hora
 x 1 Kcal
KgºC
 x (60 - Tsal)ºC
Qtotal = U A 
∆T2 - ∆T1
ln ∆T2
∆T1
 = 21,847 Kcal
hºC
 x 
40 - (Tsal - 20)
ln 40
Tsal - 20
 = 21,847 Kcal
hºC
 x 60 - Tsal
ln 40
Tsal - 20
Igualando las anteriores se obtiene,
600 Kcal
hºC
 x (60 - Tsal)ºC = 21,847 KcalhºC
 x 60 - Tsal
ln 40
Tsal - 20
 ; 600 = 
21,847 Kcal
hºC
ln 40
Tsal - 20
 ; Tsal = 58,56ºC
Calor cedido a la habitación
Qtotal = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = 600 
Kg
hora
 x 1 Kcal
KgºC
 x (60 - 58,56)ºC = 858,2 Kcal
hora
De otra forma,
ε = 1 - e-(NTU)
NTU = U A
Cmín
 = 
 U A = 21,847 Kcal
h.ºC
 
 Cmín = Gagua cp agua = 600 
Kg
hora
 x 1 Kcal
Kg.ºC
 = 600 Kcal
hºC
 
 = 
21,847
600
 = 0,03641
ε = 1 - e-(NTU) = 1 - e- 0,03641 = 0,035756 = 3,57%
Q total = ε Cmín (TC1 - TF1) = ε Cmín (Tentrada agua - Text) = 0,035756 x 600 x (60 - 20) = 858,16 Kcalhora
c) Temperatura en el extremo aislado de la primera aleta
Φe = Φb G1(αan βan) = 
 G1(αan βan) =
 = G1(0,44 . 0,77) = 0,90 
 = 0,90 Φb ; Te - Text = 0,90 x (Tb - Text)
1ª Aleta (TF = 60ºC) ; 
Tb - 20
0,04508
 = TF - 20
0,045773
 = 60 - 20
0,045773
 = 873,877 ; Tb = 59,4ºC
Te = Text + 0,90 x (Tb - Text) = 20 + 0,90 x (59,4 - 20) = 55,45ºC
*****************************************************************************************
IV.23.- En un tubo de acero que tiene una conductividad térmica de 40 Kcal/hm°C y diámetro exterior de=30
mm, se han dispuesto 20 aletas rectas uniformes a lo largo del mismo, de dimensiones, espesor 2 mm; longi-
tud 20 mm
Las aletas se considerarán con su extremo libre aislado térmicamente.
Se supondrá que el fluido que envuelve al conjunto se encuentra a una temperatura de 20°C, que la superfi-
cie exterior del tubo está a 90°C y que el coeficiente de película asociado toma un valor hc=30 Kcal/h.m2.°C.
Si las aletas se encuentran uniformemente distribuidas sobre la superficie exterior del tubo, determinar,
Aletas.IV.-119
a) El calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin ale-
tas.
b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para que dejase
de ser interesante el uso de superficies adicionales.
c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas anulares
por metro lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35 mm; el diámetro del tubo
es de 30 mm. Las condiciones térmicas son las del enunciado.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
 
a) Calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante ale-
tas, frente al tubo sin aletas.
Para el caso de no existir aletas, el calor desprendido por el tubo limpio, por
metro lineal es,
q = hcF A ∆T = 30 Kcal
h.m2.ºC
 x 0,03 π m2 x (90 - 20) ºC = 197,92 Kcal
h. m lineal tubería
Calor disipado a través del espacio de tubo no ocupado por las aletas,
q1 = 
197,92 Kcal
h. m lineal tubería
 x Fracción de tubo 
0,03 π
 = 
 Fracción de tubo =
 (0,03 π) - (20 x 0,002) = 0,054247 
 =
 
 = 
197,92 x 0,054247 
0,03 π
 = 113,92 Kcal
h. m lineal
Las aletas son longitudinales con el extremo térmicamente aislado; el calor disipado por las mismas es,
q2 = k S 
 Tb - TF 
L
 Bi Th Bi n = 
 k = 40 Kcal
h.m.ºC
 ; S = 0,002 x 1 = 0,002 m2 ; L = 0,2 m 
Tb - T0 = 90 - 20 = 70ºC ; p = (1 + 0,002) x 2 = 2,004 m
 n = nº de aletas = 20 ; Bi = 
hc p L2
k S
 = 
30 x 2,004 x 0,022
40 x 0,002
 = 0,3006 
 =
 = 40 x 0,002 70
0,02
 0,3006 Th 0,3006 x 20 = 1533 Kcal
h.m lineal
qdisipado = q1 + q2 = 113,92 + 1533 = 1646,92 Kcalh. m lineal
Aumento en % = 
1646,92 - 197,92
197,92
 x 100 = 732,1%
b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para que dejase de
ser interesante el uso de superficies adicionales.
hcF e
2 k
 < 1 ; hcF < 2 ke ; hcF < 
2 x 40
0,002
 ; hcF < 40.000 Kcal
h.m2.ºC
 
Aletas.IV.-120
luego se justifica el uso de aletas cuando hcF sea menor de 40000 Kcal/hm2ºC
c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan
100 aletas anulares por metro lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y
radio exterior de 35 mm; el diámetro del tubo es de 30 mm. Las condiciones térmi-
cas son las del enunciado.
q1 = calor disipado a través del tubo = {1 - (100 x 0,002)} q = 0,8 x 197,92 = 158,3 Kcalh m
q2 = calor disipado a través de las 100 aletas por metro = π (1 - αan2 ) k e Φb βan
2
 G2 (αan , βan) n =
= 
 βan = 
2 hcF re2
k e
 = 
2 x 30 x 0,0352
40 x 0,002
 = 0,9585 
αan = 
rb
 re 
 = 15
 35 
 = 0,4286 ; Φb = 90 - 20 = 70ºC 
 G2 (αan , βan) = G2(0,428 , 0,952) = 0,87 ; n = 100 aletas 
 =
= π (1 - 0,42862) x 40 x 0,002 x 70 x 0,95852 x 0,87) x 100 =1147,86 Kcal
h m
qdisipado = q1 + q2 = 158,3 + 1147,86 = 1306,2 Kcalh. m lineal
***********************************************************************************************************
IV.24.- Un pequeño dispositivo electrónico que genera calor por efecto Joule, lo disipa durante su funciona-
miento al exterior. Este dispositivo se puede considerar como un cilindro de dimensiones, radio Ri = 0,002 m
y altura, a= 0,006 m.
Para que su funcionamiento sea lo más correcto posible se le inserta una camisa aleteada de aluminio k =
200 W/mºK con 12 aletas longitudinales en su superficie exterior, que tienen su extremo libre térmicamente
aislado. Los datos de la camisa aleteada son, diámetro exterior De = 0,006 m, espesor de las aletas, e =
0,0007 m, y longitud de las aletas, L = 0,01 m.
La resistencia de contacto (dispositivo electrónico-camisa aleteada) es muy importante, y vale, 10-3 m2.ºK/W
El coeficiente de película al exterior es, hcF = 25 W/m2ºK. La temperatura exterior es Te = 20ºC
La camisa aleteada se ha diseñado para que la superficie del dispositivo electrónico no supere los 80ºC.
Determinar,
a) El calor disipado al exterior
b)La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo electrónico si no se utilizase la camisa ale-
teada.
c) La temperatura de los diámetros interior y exterior de la camisa aleteada y en el extremo de la aleta
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCION
El circuito térmico puede ponerse en la forma,
 
 El calor evacuado es,
q = Ts - Text
Rcontacto(dispositivo-camisa) + Rcamisa + Raletas + tubo
a) Calor disipado al exterior
Calor disipado por la (aleta + tubo) = hcF (Atubo + µ Aaletas) (Tb - Text) = 
Tb - Text
1
hcF (Atubo + µ Aaletas)
Aletas.IV.-121
Bi = 
hcF p L2
k S
 = 
 hcF = 25 W/m2.ºK