. ¿Cómo puedo hallar su evoluta?

Tema:CurvashodógrafasTema:Curvashodógrafas

Esta pregunta, puede considerarse como un tema posterior a lo que es curvatura y radio de curvatura:

r⃗ (t)=acoswti^+asenwtj^+bwtk^r→(t)=acoswti^+asenwtj^+bwtk^

La fórmula para el escalar curvatura y radio de curvatura respectivamente:

k(t)=||α′(t)×α′′(t)||||α′(t)||3R(t)=||α′(t)||3||α′(t)×α′′(t)||k(t)=||α(t)′×α(t)″||||α(t)′||3R(t)=||α(t)′||3||α(t)′×α(t)″||

Tienen carácter fundamental, ya sea para funciones vectoriales en tres o en dos dimensiones. Por ejemplo Para una curva plana con 't' como parámetro. Sea una curva C representada por la siguiente función vectorial:

CC : α(t)=[x(t),y(t)]α(t)=[x(t),y(t)]

Derivando:

α′(t)=[x′(t),y′(t)]α(t)′=[x(t)′,y(t)′]

Derivando nuevamente:

α′′(t)=[x′′(t),y′′(t)]α(t)″=[x(t)″,y(t)″]

Vector Tangente Unitario:

T′(t)=α′(t)||α′(t)||=[x′(t),y′(t)]x′2(t)+y′2(t)−−−−−−−−√T(t)′=α(t)′||α(t)′||=[x(t)′,y(t)′]x(t)′2+y(t)′2

El vector normal principal se halla como:

N(t)=T′(t)||T′(t)||N(t)=T(t)′||T(t)′||

Se calcula T′(t)T(t)′ derivando cada componente del vector tangente unitario resultando:

T′(t)=x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)x′2(t)+y′2(t)−−−−−−−−√[−y′(t),x′(t)]T(t)′=x(t)′y(t)″−x(t)″y(t)′x(t)′2+y(t)′2[−y(t)′,x(t)′]

Al dividirlo entre su módulo se obtiene simplemente:

N(t)=T′(t)||T′(t)||=[−y′(t),x′(t)]x′2(t)+y′2(t)−−−−−−−−√N(t)=T(t)′||T(t)′||=[−y(t)′,x(t)′]x(t)′2+y(t)′2

El cálculo del radio de curvatura se hace del modo siguiente.

||α′(t)×α′′(t)||=∣∣∣∣∣i^x′(t)x′′(t)j^y′(t)y′′(t)k^00∣∣∣∣∣=x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)||α(t)′×α(t)″||=|i^j^k^x(t)′y(t)′0x(t)″y(t)″0|=x(t)′y(t)″−x(t)″y(t)′

||α′(t)||3=[x′2(t)+y′2(t)]3/2||α(t)′||3=[x(t)′2+y(t)′2]3/2

Y el radio de curvatura:

R(t)=[x′2(t)+y′2(t)]3/2(x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t))R(t)=[x(t)′2+y(t)′2]3/2(x(t)′y(t)″−x(t)″y(t)′)

La ecuación: Nos da la posición del centro de la circulo osculador o circunferencia osculatriz

Circunferencia osculatriz - Wikipedia, la enciclopedia libre

Parámetro Longitud de arco 's'

P(c)=γ(s)+R(s)N(s)P(c)=γ(s)+R(s)N(s)

o usando como parámetro el tiempo:

P(c)=α(t)+R(t)N(t)P(c)=α(t)+R(t)N(t)

El lugar geométrico de los centros de curvatura nos da una curva llamada EVOLUTA, la cual puede estar en función del parámetro longitud de arco 's' o en función del tiempo 't'.

Reemplazando lo que tenemos en la última ecuación:

(xc,yc)=(x(t),y(t))+x′2(t)+y′2(t)(x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t))[−y′(t),x′(t)](xc,yc)=(x(t),y(t))+x(t)′2+y(t)′2(x(t)′y(t)″−x(t)″y(t)′)[−y(t)′,x(t)′]

Trabajando por coordenadas separadas:

xc=x(t)−y′(t)[x′2(t)+y′2(t)(x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t))]xc=x(t)−y(t)′[x(t)′2+y(t)′2(x(t)′y(t)″−x(t)″y(t)′)]

yc=y(t)+x(t)[x′2(t)+y′2(t)(x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t))]yc=y(t)+x(t)[x(t)′2+y(t)′2(x(t)′y(t)″−x(t)″y(t)′)]

Para una curva plana que se puede expresar como: y=f(x)y=f(x) el proceso es similar y se parametriza como:

x=t∧y=f(t)x=t∧y=f(t)

CC : α(t)=[t,f(t)]α(t)=[t,f(t)]

Derivando:

α′(t)=[1,f′(t)]α(t)′=[1,f(t)′]

Derivando nuevamente:

α′′(t)=[0,f′′(t)]α(t)″=[0,f(t)″]

Vector Tangente Unitario:

T′(t)=α′(t)||α′(t)||=[1,f′(t)]1+f′2(t)−−−−−−√T(t)′=α(t)′||α(t)′||=[1,f(t)′]1+f(t)′2

El vector normal principal se halla como:

N(t)=T′(t)||T′(t)||N(t)=T(t)′||T(t)′||

Se calcula T′(t)T(t)′ derivando cada componente del vector tangente unitario resultando:

T′(t)=f′′(t)1+f′2(t)−−−−−−√[−f′(t),1]T(t)′=f(t)″1+f(t)′2[−f(t)′,1]

Al dividirlo entre su módulo se obtiene simplemente:

N(t)=T′(t)||T′(t)||=[−f′(t),1]1+f′2(t)−−−−−−√N(t)=T(t)′||T(t)′||=[−f(t)′,1]1+f(t)′2

El cálculo del radio de curvatura se hace del modo siguiente.

||α′(t)×α′′(t)||=∣∣∣∣∣i^10j^f′(t)f′′(t)k^00∣∣∣∣∣=f′′(t)||α(t)′×α(t)″||=|i^j^k^1f(t)′00f(t)″0|=f(t)″

||α′(t)||3=[1+f′2(t)]3/2||α(t)′||3=[1+f(t)′2]3/2

Y el radio de curvatura:

R(t)=[1+f′2(t)]3/2f′′(t)R(t)=[1+f(t)′2]3/2f(t)″

La ecuación: Nos da la posición del centro de la círculo osculador.

Parámetro Longitud de arco 's'

P(c)=γ(s)+R(s)N(s)P(c)=γ(s)+R(s)N(s)

o usando como parámetro el tiempo:

P(c)=α(t)+R(t)N(t)P(c)=α(t)+R(t)N(t)

El lugar geométrico de los centros de curvatura nos da una curva llamada EVOLUTA, la cual puede estar en función del parámetro longitud de arco 's' o en función del tiempo 't'.

Reemplazando lo que tenemos en la última ecuación:

(xc,yc)=(t,f(t))+1+f′2(t)f′′(t).[−f′(t),1](xc,yc)=(t,f(t))+1+f(t)′2f(t)″.[−f(t)′,1]

Trabajando por coordenadas separadas:

xc=t−f′(t)[1+f′2(t)f′′(t)]xc=t−f(t)′[1+f(t)′2f(t)″]

yc=f(t)+[1(t)+f′2(t)f′′(t)]yc=f(t)+[1(t)+f(t)′2f(t)″]

Ahora si. Con todo este conocimiento previo pasamos a resolver la pregunta.

Vamos a resolver el siguiente problema:

Hallar la evoluta de la siguiente curva: y=x2ay=x2a

parametrizamos la curva de la siguiente manera:

x=t∧y=t2/ax=t∧y=t2/a

CC : α(t)=[t,t2/a]α(t)=[t,t2/a]

Derivando:

α′(t)=[1,2t/a]α(t)′=[1,2t/a]

Derivando nuevamente:

α′′(t)=[0,2/a]α(t)″=[0,2/a]

Aplicando las dos últimas ecuaciones para este caso se tiene:

xc=t−2ta[1+4t2a22a]xc=t−2ta[1+4t2a22a]

yc=t2a+[1+4t2a22a]yc=t2a+[1+4t2a22a]

Simplificando paso a paso:

xc=t−2ta[a2+2t2a]xc=t−2ta[a2+2t2a]

yc=t2a+[a2+2t2a]yc=t2a+[a2+2t2a]

Finalmente:

xc=−4t3a2xc=−4t3a2

yc=3t2a+a2yc=3t2a+a2

Si se quiere dar la forma de una ecuación donde las variables solo sean x e y solamente hay que despejar 't' de ambas ecuaciones paramétricas y formar una relación entre las ecuaciones resultantes.

xcxc=−(4a2)t3−(a24)xc=t3(a416)xc=t6ycyc=3t2a+a2a3(yc−a2)=t2a327(yc−a2)3=t6xcycxc=−(4a2)t3yc=3t2a+a2−(a24)xc=t3a3(yc−a2)=t2(a416)xc=t6a327(yc−a2)3=t6

Igualando las dos últimas ecuaciones se tiene:

x2c=1627a(yc−a2)3xc2=1627a(yc−a2)3

Si se quiere dar a la ecuación la forma de y=f(x)y=f(x) entonces sería:

yc=32x2c2a−−−√3+a2yc=32xc22a3+a2

Para un punto cerca a xo=0xo=0 el radio de curvatura es R=a2R=a2

Para el caso particular donde 'a' es igual a uno.

La ecuación paramétrica de la evoluta es:

xc=−4t3xc=−4t3

yc=3t2+12yc=3t2+12

Despejando 't' de ambas ecuaciones paramétricas:

xcxc=−4t3−xc4=t3x2c16=t6ycyc=3t2+1/2yc−1/23=t2(yc−1/2)327=t6xcycxc=−4t3yc=3t2+1/2−xc4=t3yc−1/23=t2xc216=t6(yc−1/2)327=t6

Igualando las dos últimas ecuaciones se tiene:

x2c=1627(yc−12)3xc2=1627(yc−12)3

Si se quiere dar a la ecuación la forma de y=f(x)y=f(x) entonces sería:

yc=32x2c2−−−√3+12yc=32xc223+12

Para un punto cerca a xo=0xo=0 el radio de curvatura es R=1/2R=1/2

—————————

Para el caso del problema planteado en la pregunta, la ecuación paramétrica de la evoluta es:

xc=−t3100xc=−t3100

yc=3t220+10yc=3t220+10

Y esa vendría a ser la respuesta a la pregunta.

Despejando 't' de ambas ecuaciones paramétricas:

xcxc=−t3100−100xc=t310000xc=t6ycyc=3t220+10203(yc−10)=t2800027(yc−10)3=t6xcycxc=−t3100yc=3t220+10−100xc=t3203(yc−10)=t210000xc=t6800027(yc−10)3=t6

Igualando las dos últimas ecuaciones se tiene:

x2c=8270(yc−10)3xc2=8270(yc−10)3

Simplificando la fracción:

x2c=4135(yc−10)3xc2=4135(yc−10)3

Si se quiere dar a la ecuación la forma de y=f(x)y=f(x) entonces sería:

yc=3210x2c−−−−√3+10yc=3210xc23+10

Y esa vendría a ser la respuesta a la pregunta utilizando solamente las variables xx e yy.

Para un punto cerca a xo=0xo=0 el radio de curvatura es R=10R=10

Aquí se muestra una gráfica:

La gráfica en azul corresponde a la función ( Ecuación de una parábola ) y=x2/20y=x2/20

La gráfica en verde corresponde al circulo osculador en la Vecindad de x = 0

x2+(y−10)2=10x2+(y−10)2=10

La parte inferior del círculo es:

y=10−100−x2−−−−−−−√y=10−100−x2

Considerando que los angulos menores a 18° cumplen con bastante aproximación el criterio: θ≈senθ≈tanθθ≈senθ≈tanθ entonces se tiene para el caso de la circunferencia:

x = Rsen18°Rsen18° =3.09017

y =R(1−cos18°)R(1−cos18°) = 0.489435

Y para el caso de la parábola:

x =3.09017

y = 0.4774575

Y mientras mas pequeño sea el ángulo, la coincidencia será bastante mayor. Finalmente la gráfica en color naranja corresponde a la evoluta de la parábola y=x2/20y=x2/20.

Muy aparte de todo esto se debe aclarar algo. Cundo uno estudia en un curso de física el capítulo correspondiente a 'espejos esféricos' nos dicen que hay de dos tipos convexos y cóncavos, también se señala que la distancia focal es la mitad del centro de curvatura.

f=c/2=R/2f=c/2=R/2

Claramente si es un espejo 'esférico' debe tener un centro de curvatura pero un espejo esférico NO tiene un foco bien definido, lo mismo que una lente con arcos esféricos, por eso al cerrar un poco el diafragma en una cámara fotográfica la foto es mas enfocada pero pierde brillantez. Los rayos paralelos próximos al vértice del espejo si convergen en el foco, pero los rayos paralelos mas externos convergen en un punto anterior al foco, dentro del eje principal. Por eso algunos textos hacen la aclaración que en realidad no se trata de espejos esféricos, sino mas bien parabólicos, los cuales si tienen un foco bien definido. Con la acotación de que el ángulo de abertura del espejo debe ser pequeño, de tal modo que se cumpla:

θ≈senθ≈tanθθ≈senθ≈tanθ

Pero aquí viene otro problema, si admitimos que los espejos son parabólicos, con un foco bien definido, entonces este tipo de espejos NO tienen un centro de curvatura único.

Si imaginamos que la curva en verde representa un espejo esférico, la curva en azul representa un espejo parabólico, entonces el centro de curvatura de dicho espejo está dado por la evoluta en color naranja. La variación es pequeña, ya que de acuerdo con las ecuaciones que describen las dimensiones de estos espejos se tiene que:

Si x = 3 los puntos de la evoluta son:

(xc,yc)=−0.27,11.35(xc,yc)=−0.27,11.35

Y si x = -3 los puntos de la evoluta son:

(xc,yc)=0.27,11.35(xc,yc)=0.27,11.35

Entonces las ecuaciones que se estudian en lo capítulos de espejos esféricos en realidad solamente son válidas para pequeñas aberturas, del mismo modo que el movimiento de un péndulo se puede aproximar a un (MAS) cuando la amplitud del ángulo formado entre el eje 'y' y un radio de curvatura cumple la condición de que:

θ≈senθ≈tanθθ≈senθ≈tanθ

Entonces volviendo al tema de los espejos curvos, en realidad la forma de los espejos como se puede apreciar en la gráfica ,mientras las amplitudes sean pequeñas se pueden aproximar a una parábola ( para decir que el foco es un único punto ) o bien a una forma esférica ( para decir que el centro de curvatura es único). Ya que cuando la abertura del ángulo es pequeña, la ecuación de la parábola y del círculo osculador casi coincide cerca a la vecindad del punto xo=0xo=0. Como en este ejemplo práctico que hay una coincidencia mientras el valor de x sea menor a 3 tal como se puede ver al hacer una ampliación de las gráficas obtenidas en Geogebra.

La siguiente tabla muestra los valores de la posición del centro de curvatura, así como el módulo del radio de curvatura, los datos en azul correspondiente a la parábola y los datos en color verde corresponden al circulo osculador de los puntos cercanos al punto xo=0xo=0.

Como acotación final:

Desarrollando la raíz como binomio de Newton:

1−x2−−−−−√=1−12x2−18x4−116x6−...1−x2=1−12x2−18x4−116x6−...

1−1−x2−−−−−√=12x2+18x4+116x6+...1−1−x2=12x2+18x4+116x6+...

mientras x <<< 1 la ecuación de la semicircunferencia:

y=1−1−x2−−−−−√y=1−1−x2 se podrá aproximar a la ecuación de la parábola

y=12x2y=12x2

Del mismo modo se se tiene:

R2−x2−−−−−−−√=R−12Rx2−18R3x4−116R5x6−...R2−x2=R−12Rx2−18R3x4−116R5x6−...

R−R2−x2−−−−−−−√=12Rx2+18R3x4+116R5x6+...R−R2−x2=12Rx2+18R3x4+116R5x6+...

Mientras senθ=x/Rsenθ=x/R sea aproximadamente a θθ ó tanθtanθ la ecuación de la semicircunferencia:

y=R−R2−x2−−−−−−−√y=R−R2−x2 se podrá aproximar a la ecuación de la parábola