¿Qué es un rotor en matemáticas?

Ante todo, pongámonos en contexto: el concepto de rotor en matemáticas habita en la teoría de campos vectoriales. Un campo es una función que asigna a cada punto del espacio un valor. Si ese valor es un número se denomina campo escalar; y si ese valor es un vector, entonces se denomina campo vectorial.

Esto es un campo vectorial:

Matemáticamente se expresa así:

v⃗ =v1(x,y,z)i⃗ +v2(x,y,z)j⃗ +v3(x,y,z)k⃗ v→=v1(x,y,z)i→+v2(x,y,z)j→+v3(x,y,z)k→

donde las funciones vivi son funciones escalares de tres variables (los tres ejes coordenados del espacio tridimensional), que corresponden a las tres componentes de cada vector en cad punto (x,y,z)(x,y,z). Y los vectores i⃗ ,j⃗ ,k⃗ i→,j→,k→ son los vectores unitarios en la dirección positiva de los tres ejes coordenados del espacio tridimensional.

Un campo escalar es algo más sencillo, pues a cada punto del espacio le asigna simplemente un número, por lo que su forma matemática será así:

k=k(x,y,z)k=k(x,y,z),

es decir: una simple función real de tres variables reales.

Los campos pueden ser uniformes (si a cada punto le corresponde un vector idéntico a los demás puntos (en dirección y sentido), o pueden ser variables. Si son variables, pueden serlo en dos sentidos; en el espacial (los vectores van cambiando en módulo, dirección y sentido según nos movemos de unos puntos a otros) y/o temporal (los vectores, además, van cambiando en el tiempo).

Existen diversos conceptos relacionados con los cambios que efectúan los campos, sean escalares o vectoriales. La Teoría de funciones reales de una variable real nos dió la herramienta de la derivada para el estudio de las variaciones locales de dichas funciones, pero esta herramienta es a todas luces insuficiente en un tema tan complicado como los campos: es necesario ampliar el concepto, y volverlo mucho más sutil, porque los campos pueden variar en muchos sentidos y direcciones. Por eso la Teoría de Campos posee conceptos como el de gradiente, divergencia, rotacional (o rotor) y laplaciano.

Expresado con palabras: el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial que en cada punto tiene asignado un vector que indica la rotación que el campo original tiene alrededor de ese punto. En la figura el punto central tendría un rotor no nulo, pues claramente se aprecia cómo el campo rota a su alrededor. Analíticametne cada uno de estos conceptos tiene su expresión diferencial. En el caso del rotor, dado un campo de forma v⃗ =v1(x,y,z)i⃗ +v2(x,y,z)j⃗ +v3(x,y,z)k⃗ v→=v1(x,y,z)i→+v2(x,y,z)j→+v3(x,y,z)k→, su rotor tiene la siguiente expresión:

rot(v⃗ )=∇×v⃗ =(δv3δy−δv2δz)i+(δv1δz−δv3δx)j+(δv2δx−δv1δy)krot(v→)=∇×v→=(δv3δy−δv2δz)i+(δv1δz−δv3δx)j+(δv2δx−δv1δy)k

Donde el operador ∇∇ (nabla) es un importantísimo operador en la teoría de campos, que se define así:

∇=δδxi+δδyj+δδki∇=δδxi+δδyj+δδki