¿Cómo hace matemáticas una CPU?

Hay varias formas de responder esta pregunta, te podría hablar de la ALU, que se encarga de realizar las sumas entre dos bits, también podría hablarte de cómo funcionan estos y aquellos circuitos… Pero como supongo que quieres ahorrarte un semestre de ver elementos de computadores, solo necesitas saber dos cosas:

• Una tarea compleja puede descomponerse en tareas simples.
• Siempre habrán límites (de memoria o tiempo) que el computador no podrá manejar.

Mejor que cualquier explicación que yo pudiera darte, este video ilustra como fue el inicio de las calculadoras mecánicas de una forma intuitiva:

Así que me centraré mejor en el segundo punto, hay varias formas de resolver un problema, varias secuencias de pasos ordenadas (finitas, para los que les gustan las tildes sobre las i-es), a cada una de estas recetas de pasos para solucionar un problema se les llama algoritmos. Hay un algoritmo bastante sencillo para sumar dos bits, pero antes de presentártelo, debes saber que se puede hacer con circuitos:

• Un bit AA es un valor que puede estar en 00 o 11, este valor se puede representar por un switch (No pasa corriente, o pasa corriente), por un bombillo (encendido o apagado), por tu dedo (estirado o contraido), etc… Cualquier sistema que pueda tomar uno de dos valores puede representar un bit. (Como una pregunta de si o no, decidir entre dos opciones, etc.).
• Hay operaciones que puedes hacer con bits, básicamente lo que hacen es juntar el valor de dos bits (o agarrar el valor de un bit) y generar un nuevo valor en base a esto… Un ejemplo es la negación: No ANo A dará el valor contrario de AA, si AA es 00, entonces No ANo A será 11; bastante simple. Otro ejemplo sería la "conjunción", que toma dos valores y genera uno nuevo, A y BA y B solo dará 11 cuando ambos AA y BB sean 11, en cualquier otro caso dará 00. También están la "Disyunción exclusiva", que puede escribirse como A o B, pero no ambos a la vezA o B, pero no ambos a la vez solo dará 11 cuando AA o BB sean 11, pero no ambos al mismo tiempo… Hay más operaciones por si quieres investigarlas (se llama algebra de Boole).

Así que esas son las reglas del juego, pensemos en cómo sumar dos bits; pero antes debemos pensar en como sumar un dedo de cada mano:

Imagina que quisiera sumar dos pulgares:

Cuál debería ser el resultado de pulgar más pulgar, bueno, podríamos hacer lo mismo que hacen los números y llevarnos una, me explico: Es obvio que cuando sumamos dos dedos distintos (como pulgar más índice) el resultado debería ser una mano con ambos dedos extendidos, ¿no? Así que al sumar pulgar más pulgar, podríamos querer una mano con ambos dedos extendidos… Pero si el pulgar ya está extendido, entonces debemos bajarlo y llevarnos una al siguiente dedo, luego, pulgar más pulgar = índice.

Es como si nos llevaramos una al dedo de al lado:

Pero bueno suficiente de manos, ahora veamos que pasaría con los bits: Si tuviera cuatro bits (algo como 01010101) y quisiera sumarlos a otros cuatro bits (algo como 00110011) debería pasar algo similar, ¿no crees?

Primero las unidades, 1+11+1, estos son como nuestros pulgares, ya vimos que debemos llevarnos una, luego, 1+1=101+1=10, es decir, pulgar más pulgar es igual al dedo índice, y dejamos el dedo pulgar abajo (por eso 11 y luego 00, el 11 es el índice, el 00 es el pulgar), vamos a reservar este índice 11.

Luego las decenas, tenemos 0+10+1, esto obviamente debe dar 11, pero recordemos que, por la suma anterior, nos "llevamos una", y teníamos ya un índice estirado, luego, 1+1=101+1=10, nos volvemos a llevar una, bajamos el índice y nos llevamos la otra al dedo favorito de los jóvenes, el corazón:

Y así sucesivamente, básicamente a lo que llegaremos es que:

0101+00110100+0010+0001+00010100+0100=(0100+0001)+(0010)+(0001)==0100+0010+0010==10000101+0011=(0100+0001)+(0010)+(0001)=0100+0010+0001+0001=0100+0010+0010=0100+0100=1000

De ahí a lo que me refiero con llevar una… La forma más sencilla de lograr esto es con el semisumador, que es un circuito que ejecuta este algoritmo, pero para dos bits, no para dos números de cuatro bits cada uno:

Así que para resumir tu pregunta, utilizando circuitos partes de crear una forma de sumar dos números y un contador, usando ambas cosas puedes multiplicar, y de ahí el mundo es tu lienzo.